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陕西省西安市第七十中学2015-2016学年高二上学期10月月考数学(理)试题


2015—2016 学年高二第一学期 10 月月考数学试题
分值 150 分 考试时间 120 分钟 )
一 选择题(共十二个小题,每小题 5 分,每小题只有一个正确答案)

1.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-2n+2,则数列{an}的通项公式为( A.an=2n-3 B.an=2n+3 ?1,n=1, C.an=? ?2n-3,n≥2

?1,n=1, D.an=? ?2n+3,n≥2 )

1 2. 若数列{an}为等差数列, 公差为 , 且 S100=145, 则 a2+a4+…+a100 的值为( 2 A.60 B.85 C. 145 2 D.其他值 )

3.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和且 a3=-6,a7=6,则( A.S4=S5 B.S5=S6 C.S4>S6
2

D.S5>S6 )

4.数列{an}的通项公式 an=3n -28n,则数列{an}各项中最小项是( A.第 4 项 B.第 5 项 C.第 6 项 D.第 7 项

5.在等比数列{an}中,如果 a1+a2=40,a3+a4=60,那么 a5+a6=( A.80 B.90 C.95 D.100

)[

6.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=an-1(a 是不为零的常数),则数列{an}( A.一定是等差数列 B.一定是等比数列

)[

C.或者是等差数列,或者是等比数列

D.既非等差数列,也非等比数列 ) D.2 015×2 016

7.已知数列{an}满足 a1=0,an+1=an+2n,则 a2 015 等于( A.2 015×2 014 B.2 014×2 013

C.2 013×2 012

8.数列 9,99,999,…的前 n 项和为( ) 10 10 10 A. (10n-1)+n B.10n-1 C. (10n-1) D. (10n-1)-n 9 9 9 9.已知-9,a1,a2,-1 四个实数成等差数列,-9,b1,b2,b3,-1 五个实数成 等比数列,则 b2(a2-a1)的值等于( A.-8 B.8 C.- 9 8 D. 9 8 ) )

10.设等差数列{an}的公差为 d,若数列{2a1an}为递减数列,则( A.d>0 B.d<0 C.a1d>0 D.a1d<0

11. 设 ??? C 的内角 ? , ? , C 的对边分别为 a , b , c .若 a ? 2 , c ? 2 3 ,

cos ? ?

3 ,且 b ? c ,则 b ? ( 2

) C. 2 2 D. 3 2sin2B-sin2A sin2A

A. 3

B. 2

12. 在△ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c.若 3a=2b, 则 的值为( ) 1 1 A.- B. C.1 9 3 7 2

D.

二 填空题(四个小题,每小题 5 分) 13.如图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案,则按此规律第 n 个图案中 需用黑色瓷砖_______块.(用含 n 的代数式表示)

14.设 ?ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c ,且 a = 2, cos C = 则 c=______.

1 , 3sin A = 2sin B , 4

15. 在等差数列{an}中,a1=7,公差为 d,前 n 项和为 Sn,当且仅当 n=8 时 Sn 取得最大值, 则 d 的取值范围为________.

?2an,0≤an≤1, 16.若数列{an}满足 an+1=? ?an-1,an>1,
三 解答题(共 5 个小题,每题 14 分) 17.等差数列 ?an ? 中, a2 ? 4 , a4 ? a7 ? 15 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

6 且 a1= ,则 a2017=___ 7

(Ⅱ)设 bn ? 2an ?2 ? n ,求 b1 ? b2 ? b3 ? ??? ? b10 的值. 1 → → 18.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a>c.已知BA·BC=2,cos B= , 3 b=3.求: (1)a 和 c 的值; (2)cos(B-C)的值.

19.已知数列{an}满足 a1=1,an-2an-1-2n-1=0(n∈N*,n≥2). (1)求证:数列{ n}是等差数列; 2 (2)若数列{an}的前 n 项和为 Sn,求 Sn.

an

20.已知数列 ?an ? 是递增的等比数列,且 a1 ? a4 ? 9, a2a3 ? 8. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, bn ?

an ?1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . Sn Sn ?1
3 5 , a3 ? ,且当 n ? 2 时, 2 4

21.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , n ? ?? .已知 a1 ? 1 , a2 ?

4Sn?2 ? 5Sn ? 8Sn?1 ? Sn?1 .
(1)求 a4 的值; (2)证明: ?an ?1 ?

? ?

1 ? an ? 为等比数列; 2 ?

(3)求数列 ?an ? 的通项公式.

高二年级数学(理科)答案 一.选择题
题号 答案 1 C 2 B

( 每小题 5 分,共 60 分)
3 A 4 B 5 B 6 C 7 A 8 D 9 A 10 D 11 B 12 D

二.填空题
13.__4n+8__ 7? ? 15..?-1,- ? 8? ?

(每小题 5 分,共 20 分)
14. __4__ _____ 16.______12/7

三.解答题 (共 70 分)
17.等差数列 ?an ? 中, a2 ? 4 , a4 ? a7 ? 15 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 2an ?2 ? n ,求 b1 ? b2 ? b3 ? ??? ? b10 的值. 【解析】 (I)设等差数列 ?an ? 的公差为 d .
? ? a1 ? 3 ?a1 ? d ? 4 由已知得 ? , 解得 ? . ? ?d ? 1 ?? a1 ? 3d ? ? ? a1 ? 6d ? ? 15

所以 an ? a1 ? ? n ?1? d ? n ? 2 . (II)由(I)可得 bn ? 2n ? n . 所以 b1 ? b2 ? b3 ? ??? ? b10 ? ? 2 ? 1? ? ? 22 ? 2 ? ? ? 23 ? 3? ? ??? ? ? 210 ? 10 ?
? ? 2 ? 22 ? 23 ? ??? ? 210 ? ? ?1 ? 2 ? 3 ? ??? ? 10 ? ? ? ? 211 ? 2 ? ? 55 ? 211 ? 53 ? 2101 .

2 ?1 ? 210 ? 1? 2

?

?1 ? 10? ?10
2

18.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a>c.已知→ BA·→ BC=2, 1 cos B= ,b=3.求: 3 (1)a 和 c 的值; (2)cos(B-C)的值. 解:(1)由→ BA·→ BC=2,得 c·acos B=2, 1 又 cos B= ,所以 ac=6. 3

由余弦定理,得 a2+c2=b2+2accos B, 又 b=3,所以 a2+c2=9+2×2=13. ?ac=6, ?a=2, ?a=3, ? 联立? 2 得 或? 2 ?a +c =13, ?c=3 ?c=2. 因为 a>c,所以 a=3,c=2. ?1?2 2 2 1-? ? = . 3 ?3? c 2 2 2 4 2 由正弦定理,得 sin C= sin B= × = . b 3 3 9 (2)在△ABC 中,sin B= 1-cos2B= 因为 a=b>c,所以 C 为锐角,因此 cos C= 1-sin2C= ?4 2?2 7 ? = . 1-? 9 ? 9 ? 1 7 2 2 4 2 23 于是 cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C= × + × = . 3 9 3 9 27 n-1 * 19.已知数列{an}满足 a1=1,an-2an-1-2 =0(n∈N ,n≥2). (1)求证:数列{ n}是等差数列; 2 (2)若数列{an}的前 n 项和为 Sn,求 Sn.

an

an an-1 1 解 (1)∵an-2an-1-2n-1=0,∴ n- n-1= , 2 2 2 an 1 1 ∴{ n}是以 为首项, 为公差的等差数列. 2 2 2 an 1 1 (2)由(1),得 n= +(n-1)× , 2 2 2
∴an=n·2n-1, ∴Sn=1·20+2·21+3·22+…+n·2n-1① 则 2Sn=1·21+2·22+3·23+…+n·2n② ①-②,得 -Sn=1+21+22+…+2n-1-n·2n= ∴Sn=(n-1)·2n+1. 20.已知数列 ?an ? 是递增的等比数列,且 a1 ? a4 ? 9, a2a3 ? 8. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; 1·?1-2 ? -n·2n=2n-1-n·2n, 1-2
n

(Ⅱ)设 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, bn ?

an ?1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . Sn Sn ?1

【解析】 (Ⅰ)由题设可知 a1 ? a4 ? a2 ? a3 ? 8 ,

?a ? 1 ?a1 ? 8 又 a1 ? a4 ? 9 , 可解的 ? 1 或? (舍去) ? a4 ? 8 ? a 4 ? 1
由 a4 ? a1q 3 得公比 q ? 2 ,故 an ? a1q n?1 ? 2 n?1 . (Ⅱ) Sn ? 又 bn ?

a1 (1 ? q n ) 1 ? 2n ? ? 2n ? 1 1? q 1? 2

an?1 S ?S 1 1 ? n?1 n ? ? Sn Sn?1 Sn Sn?1 Sn Sn?1

? 1 ?1 1 ? ? 1 1 ? 1 ? 1 1 ? ? ? ? ? 所以 Tn ? b1 ? b2 ? ... ? bn ? ? ? ? ? ? ... ? ? ? ? ?S S ? ?S ? ? ? 2 ? ? 1 ? 2 S3 ? ? S n S n?1 ? S1 S n?1
? 1? 1 2
n ?1

?1

.
3 5 , a3 ? ,且当 n ? 2 2 4

21.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , n ? ?? .已知 a1 ? 1 , a2 ? 时, 4Sn?2 ? 5Sn ? 8Sn?1 ? Sn?1 . (1)求 a4 的值;
1 ? ? (2)证明: ?an?1 ? an ? 为等比数列; 2 ? ?

(3)求数列 ?an ? 的通项公式. 解 析 : ( 1 ) 当
? 5? ? ?

n?2
3 1 2 ? ? ? ?




?3 8? ? ,1 ?2

4 S4 ?
5 ? 4

5S2 ?
? ? ? 1 ?

8S3 ?, S1即
?

? 3 4? ? 1 ? 2

5 ? ? a4 ?? 4 ?
7 8

解得: a4 ?

(2) 因为 4Sn?2 ? 5Sn ? 8Sn?1 ? Sn?1( n ? 2 ) , 所以 4Sn?2 ? 4Sn?1 ? Sn ? Sn?1 ? 4Sn?1 ? 4Sn
5 (n ? 2) ,即 4an?2 ? an ? 4an?1 ( n ? 2 ) ,因为 4a3 ? a1 ? 4 ? ? 1 ? 6 ? 4a2 ,所以 4

4an?2 ? an ? 4an?1 ,

1 an ? 2 ? an ?1 4a ? 2a 4a ? a ? 2an ?1 2an ?1 ? an 1 n ?1 2 因为 ? n?2 ? n ?1 n ? ? , 1 4an ?1 ? 2an 4an ?1 ? 2an 2 ? 2an ?1 ? an ? 2 an ?1 ? an 2
1 1 1 ? ? 所以数列 ?an?1 ? an ? 是以 a2 ? a1 ? 1 为首项,公比为 的等比数列 2 2 2 ? ? 1 1 1 ? ? (3)由(2)知:数列 ?an?1 ? an ? 是以 a2 ? a1 ? 1 为首项,公比为 的等比数列, 2 2 2 ? ?
n ?1

1 ?1? 所以 an?1 ? an ? ? ? 2 ?2?



an ?1 ?1? ? ? ?2? an ?1? ? ? ?2?

n ?1

? ? ? ? an a ? an ? 是以 1 ? 2 为 ? ? 4 ,所以数列 ? n ? n 1 ?1? ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? 2 ?2? ?? 2 ? ? ?

首项, 公差为 4 的等差数列,所以
n

? 2 ? ? n ? 1? ? 4 ? 4n ? 2 ,

?1? ?1? 即 an ? ? 4n ? 2? ? ? ? ? ? 2n ? 1? ? ? ? ?2? ? 2? ?1? an ? ? 2n ? 1? ? ? ? ?2?
n ?1

n

n ?1

, 所 以 数 列 ?an ? 的 通 项 公 式 是


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