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三角函数的性质及其应用


【巩固练习】 一、选择题 1. .若函数 y ? cos(? x ? (A)

?
3

) (? ? 0) 的图象相邻两条对称轴间距离为
(B) 12 (C)2

? ,则 ? 等于( 2
(D)4



1 2

2.为了得到函数 y ? sin(2 x ?

2? ? ) 的图象,只需把函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象( ) 3 6
(B)向右平移

(A)向左平移

? 个单位长度 2

? 个单位长度 2

(C)向左平移

? 个单位长度 4

(D)向右平移

? 个单位长度 4

3. 设函数 f ( x) ? sin ??x ? ? ? ? cos ??x ? ? ? ? ? ? 0, ? ? f(-x)=f(x),则( (A)f(x)在 ? 0, (C)f(x)在 ? 0, ). (B)f(x)在 ?

? ?

??

? 的最小正周期为 π,且 2?

? ?? ? 单调递减 ? 2?

? ? 3? ? , ? 单调递减 ?4 4 ? ? ? 单调递增 ?

? ?? ? 单调递增 ? 2?

(D)f(x)在 ?

? ? 3? , ?4 4

4.将函数 f ( x) ? sin ?? x ? ? ? 的图象向左平移 则 ? 的值不可能等于( ) (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 12

? 个单位,若所得图象与原图象重合, 2

5. 函数 f ( x) ? 3 sin( 2 x ? 区间( ?

?
3

) 的图象为 C,① 图象 C 关于直线 x ?

? 5?
12 12 ,

)内是增函数;③ 由 y=3sin2x 的图象向右平移 )

? 个单位长度可以得到图象 C. 3
(C)2 )

11? 对称;② 函数 f(x)在 12

以上三个论断中,正确论断的个数是( (A)0 (B)1

(D)3

6.下列函数中,图象的一部分如图所示的是(

(A) y ? sin ? x ?

? ?

??
? 6?

(B) y ? sin ? 2 x ?

? ?

??
? 6?

(C) y ? cos ? 4 x ?

? ?

??
? 3?

(D) y ? cos ? 2 x ?

? ?

??
? 6?

7.函数 f ( x) ? Asin ?? x ? ? ? ? b 的图象如图,则 f ( x ) 的解析式的和

S =f (0)+f (1)+f (2)+

+f (2006) 的值分别为( )

(A) f ( x) ?

1 sin 2? x ? 1 2

S =2006

(B) f ( x ) ?

1 ? sin x ? 1 2 2 1 ? sin x ? 1 2 2

S =2007

1 2

(C) f ( x ) ? 二、填空题

1 ? 1 sin x ? 1 S =2006 2 2 2

(D) f ( x ) ?

S =2007

8 . 设 函 数 f ( x) ? cos( 3x ? ? )(0 ? ? ? ? ).

若 f ( x) ? f ?( x) 是 奇 函 数 , 则

?=

. 9. 函 数 y ? 2 s i nx x 的图象按向量 a 平移后得到的图象的函数解析式为 ,? R

y ? 2 s i nx( + 3

?

)-1

,则向量 a 的坐标为

.

10. 将 函 数 y ? sin x 的 图 象 向 左 平 移 ? (0 ? ? ? 2? ) 个 单 位 后 , 得 到 函 数

y ? sin( x ?

?
6

) 的图象,则 ? 的一个可能值为

. (写出—个即可).

11.若两个函数的图象只经过若干次平移后就能够重合,则称这两个函数为“同形”函 数.给出下列函数: ① f1 ( x) ? sin x ? cos x, ③ f 3 ( x) ? 2 sin x ? 2 , ② f 2 ( x) ? sin x , ④ f 4 ( x) ? 2 (sin x ? cos x) ,

其中“同形”函数有____________.(填序号) 三、解答题 12. 已知函数 f ( x) ? cos(2x ? 期和图象的对称轴方程.

?
3

)? 2 sin( x?

?
4

) sin( x?

?
4

)求函数 f ( x) 的最小正周 ,

13.已知函数 f ( x) ? cos(2 x ?

2π ) ? 1 ? 2 cos 2 x, ? x ? R ? . 3

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期及单调递增区间;
B 3 , b ? 1, c ? 3, (2) ?ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c ,若 f ( ) ? ? 2 2

且 a ? b, 试判断 ?ABC 的形状,并说明理由.

14.如图是某简谐运动的一段图象,其函数模型是 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( x ? 0) ,其中
? π π 2 <φ< 2

A>0,ω>0,

(1)根据图象求函数 y =f ( x) 的解析式; (2) 若 函 数 g ( x ) =f ( x ? + , ) 实数

?

满足

6

0< ? < ? .且 ? g ( x)dx ? 3 .求 ? 的值.
?

π

15.已知函数 f ( x) ? 3sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )(0 ? ? ? π, ? ? 0) 为偶函数,且函 数 y ? f ( x) 图象的两相邻对称轴间的距离为 (1)求 f ( ) 的值; (2) 将函数 y ? f ( x) 的图象向右平移

π . 2

π 8

π 个单位后, 再将得到的图象上各点的横坐标舒 6

畅长到原来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图象,求 g ( x) 的单调递减区间.

【参考答案与解析】 1.【答案】C 【解析】 2. 【答案】C

2? 1 ? ? ? ,?? ? 2 ? 2 2

【解析】把函数 y ? sin(2 x ?

?
6

) 的图象向左平移

y ? sin[2(x +
3. 【答案】A

?
4

)?

?
6

]= sin(2 x ?

2? ) 的图象. 3

? 个单位长度,得到 4

【解析】 f ( x) ? sin?? x ? ? ? ? cos? ? x ? ?? ?

?? ? 2 sin ? ? x? ?? ? ,由最小正周 4? ?
? ? =kπ+ (k∈Z),又|φ| 4 2

期为 π 得 ω=2,又由 f(-x) =f(x)可知 f(x)为偶函数,因此 φ+



? ? ? ?? 可得 φ= ,所以 f(x)= 2 cos 2x,在 ? 0, ? 单调递减.故选 A. 2 4 ? 2?
4. 【答案】B 【解析】因为将函数 f ( x) ? sin ?? x ? ? ? 的图象向左平移

? 个单位,若所得图象与 2

原图象重合,所以

? 2? ? = (k ? Z ) 是已知周期的整数倍,即 k ? , ? 2 2

解得

? =4k

,故 A,C,D 都正确。从而选 B.

5.【答案】C 【解析】对于① ,当 x ? 于直线 x ?

11? 对称; 12

11? 11? 11? ? ) ? 3 sin( 2 ? ? ) ? ?3 ,因此图象 C 关 时, f ( 12 12 12 3

对于② ,由 2 k? ?

?
2

≤ 2x ?

令 k=0 得函数 f(x)在区间( ?

? 5?
12 12 ,

? ? ? 5? ≤ 2 k? ? 得 k? ? ≤x≤ k? ? ,k∈ Z, 3 2 12 12
)内是增函数;对于③ ,由 y=3sin2x 的图象向右平移

位长度可以得到 y ? 3 sin 2( x ?

?

3

) ? 3 sin( 2 x ?

2? ) 的图象,故③ 不正确. 3

? 个单 3

综上所述,正确结论的个数是 2.故选 C. 6.【答案】D

T ? ? ? ? 可知 ? ? 2 .将点 ( ,1) 代入 y ? sin ? 2x ? ? ? ,可知 4 4 6 3 ? ? ? ? ? ? 是其中的 ? 值之一.故函数是 y ? sin ? 2 x ? ? ? cos ? 2 x ? ? . 3? 6? ? ?
【解析】易知 A=1,由 7.【答案】B

【解析】观察图形,知 A ?

1 1 ? ? , b ? 1,T =4, ?? = ,所以 f ( x) ? sin ( x +? ) ? 1 , 2 2 2 2

1 1 ? sin (0+? ) ? 1 ?0 ? sin ? , ?? =0 . 2 将(0,1)代入解析式得出 , 1 ? f ( x) ? sin x ? 1 , 2 2 所以
3 1 f (0)=1,f (1)= ,f (2)=1,f (3)= ,f (4)=1 ,且以 4 为周期, 又 2 2

f (0)+f (1)+f (2)+f (3)=4 ,式中共有 2007 项, 2007=4 ? 501+3 ? S =f (0)+f (1)+f (2)+ +f (2006)=4 ? 501+f (2004)+f (2005)+f (2006)

3 1 =2004+1+ +1=2007 . 2 2
8.【答案】 【解析】 又

? 6

f ( x) ? f '( x) ? cos( 3 x ? ? ) ? 3 sin( 3 x ? ? ) ,

f ( x) ? f '( x) 是奇函数,且在 R 上有意义,? f (0) ? f '(0) ? 0 ,
?? ?

即 cos? ? 3sin ? ? 0 ,又 0 ? ? ? ? , 9.【答案】

?
6.

(- , -1) 3

?

【解析】由 y ? 2sin x,x ? R 向左平移

? ? y ? 2sin (x + ) 个单位得到 3 ; 3
y ? 2 sin (x +



y ? 2 sin (x +

?

3 再向下平移 1 个单位得到

)

?
3

)-1

(- , -1) 故平移方向是 3

?

10.【答案】

11 π 6
?
) ? sin( x ?

11? ) ,将函数 6 6 6 11? 11? ) 的图象,即 个 单 位 后 得 到 函 数 y ? sin( x ? y ? sin x 的 图 象 向 左 平 移 6 6
【 解 析 】 依 题 意 得 y ? sin( x ?

?

? 2? ) ? sin( x ?

y ? sin( x ?

?
6

) 的图象,则 ? 的一个可能值为

11? 6 .

11. 【答案】①③ 【解析】先将函数一一化解,

f1 ( x) ? 2 sin (x ?

?
4

),

f3 ( x) ? 2(sin x ?1) ,
12.【解析】

f 4 ( x) ? 2sin (x ? ) 4 ,满足“同形”函数,不仅要求周期

?

f 2 ( x) ? sin x ,

相同,而且振幅也要相等,故①③是“同形”函数.

f ( x) ? cos(2 x ? ) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4

?

?

?

1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? (sin x ? cos x)(sin x ? cos x) 2 2 1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2

? 1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) 6 2 2
∴ f ( x ) 的最小正周期 T ? 由 2x ?

?
6

? k? ?

?
2

2? ?? 2

(k ? Z ) ,得 x ?

k? ? ? (k ? Z ) 2 3

∴ 函数图象的对称轴方程为: x ? k? ?
13.【解析】 (Ⅰ)? f ?x ? ? cos? 2 x ?

?

3

(k ? Z )

? ?

2? ? 3 3 ?? ? sin 2 x ? cos2 x ? 3 sin? 2 x ? ? ? ? cos2 x ? 3 ? 2 2 3? ?

π 5π ? ? f ? x ? 的最小正周期 T ? π ,单调递增期间是 ? kπ ? , kπ+ ? ? k ? Z ? . 12 12 ? ?
(Ⅱ)由正弦定理得:

a 1 3 3 ,∴ sin C ? , ? ? π sin A sin sin C 2 6

π 2π 或 . 3 3 π π 2π π 当 C ? 时, A ? ;当 C ? 时, A ? .(不合题意,舍) 3 3 2 6 ? ABC 所以 为直角三角形。
∵0 ? C ? π , ∴C ? 14. 【解析】 (1)由函数图象及函数模型 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 可知 A=2 ,

1 7 1 由 T ? π ? π ? π ,得 T=2π ; 2 6 6





?

? 2π 得 ω =1;由 2sin ? ? ?1 得 ? ? ?

π , 6

π ∴所求函数解析式为 y ? f ( x) ? 2 sin(x ? ). 6

(2)由(1)知 g ( x) ? f ( x ? )=2sin x.

π 6


cos? ?

?? g ( x)dx ? ?? 2 sin xdx ? ?2 cos x ? ? ?2 cosπ ? 2cos? ? 2 ? 2 cos? ? 3,

π

π

π

1 π ?? . 2 ,又 0<? <? ,解得 3 ∴ 15.【解析】

(1) f ( x) ? 3sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? ) = 2 ?

? 3 ? 1 sin(?x ? ? ) ? cos(?x ? ? )? 2 ? 2 ?

π ? 2sin(? x ? ? ? ) 6
因为 f(x)为偶函数,所以对 x∈R,f(-x)=f(x)恒成立,

π π 6 6 π π π π 即 ? sin ? x cos(? ? ) ? cos ? x sin(? ? ) ? sin ? x cos(? ? ) ? cos ? x sin(? ? ) 6 6 6 6 π 整理得 sin ? x cos(? ? ) ? 0 6 π 因为 ? >0,且 x∈R,所以 cos(? ? ) ? 0 6 π π 又因为 0< ? <π ,故 ? ? ? 6 2 π 所以 f ( x) ? 2sin(? x ? ) ? 2 cos ? x 2 2? ? ? 2 ? ,所以 ?=2 ,f(x)=2cos2x. 由题意得 ? 2
因此 sin(?? x ? ? ? ) ? sin(? x ? ? ? ) . 故 f ( ) ? 2 cos

?

?

? ? 个单位后,得到 f ( x ? ) 的图象,再将所得图象横 6 6 x ? 坐标伸长到原来的 4 倍,纵坐标不变,得到 f ( ? ) 的图象. 4 6
(2)将 f(x)的图象向右平移个 所以 g ( x) ? f ( ?

8

4

? 2.

x ? x ? ? x ? ? ) ? 2cos ?2( ? ) ? ? 2cos( ? ). 4 6 2 3 ? 4 6 ?

当 2 k? ? 递减.

x ? 2? 8? ? ? 2k? ? ? (k∈Z),即 4k? ? ? x ? 4k? ? (k∈Z)时,g(x)单调 2 3 3 3

因此 g(x)的单调递减区间为 ?4k? ?

? ?

2? 8? ? ,4k? ? ? (k∈Z) 3 3?


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