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浙江省2015年普通高校招生考试试测数学(理)试题


浙江省 2015 年普通高校招生考试试测 数学(理)试题
姓名______________ 分 4 至 5 页。满分 150 分, 考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 准考证号______________ 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 5 页, 选择题部分 1 至 3 页, 非选择题部

选择题部分 (共 50 分)
注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、 准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷 和答题纸规定的位置上。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 P (A+B)=P (A)+P (B) P (A · B)=P (A)· P (B ) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p,那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
[来源:学科网]

如果事件 A,B 相互独立,那么

P n ? k ? ? Cn p ?1 ? p ?
k k

n?k

(k ? 0, 1, 2, ?, n)

台体的体积公式 1 V ? h S1 ? S1S2 ? S2 3

?

?

其中 S1, S2 分别表示台体的上、下底面积,h 表示 台体的高

柱体的体积公式 V=Sh 其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 锥体的体积公式 1 V= Sh 3 其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高 球的表面积公式 S=4πR2 球的体积公式 4 3 V ? πR 3 其中 R 表示球的半径

一、 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1. 设集合 S={x|3<x≤6},T={x|x2-4x-5≤0},则 A.(-∞,3]∪ (6,+∞) C.(-∞,-1)∪ (6,+∞) A.12 3.已知整数 x,y 满足 B.13 = R(S∩T)

B.(-∞,3]∪ (5,+∞) D.(-∞,-1)∪ (5,+∞) C.14 D.15

2.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若公差 d<0,且|a7|=|a8|,则使 Sn>0 的最大正整数 n 是

?

x ? 2y ? 2 ? 0 , 设 z=x-3y,则 2x ? y ? 1 ? 0 .

A.z 的最大值为 1

B.z 的最小值为 1

C.z 的最大值为 2 D.z 的最小值为 2 4.某几何体的立体图如图所示,该几何体的三视图不 可能是 .
(第 4 题图)

A.
正视图 侧视图

B.
正视图 侧视图

C.
正视图 侧视图

D.
正视图 侧视图

俯视图

俯视图

俯视图

俯视图

5.现有 90 kg 货物需要装成 5 箱,要求每一箱所装货物的重量不超过其它任一箱所装货物 重量的 2 倍.若某箱所装货物的重量为 x kg,则 x 的取值范围是 A.10≤x≤18 B.10≤x≤30 C.18≤x≤30 D.15≤x≤30 6.设点 D,E 分别在△ABC 的边 BC,AC 上,线段 AD,BE 相交于点 F,则“F 为△ABC 的 重心”是“

AF BF = =2”的 FD FE
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

? ?x 1 ? x2 , x ? 0 , 7.已知函数 f (x)=x+ln ( x 2 ? 1 +x),g(x)= ? 则 2 ? ? ? x 1? x , x ? 0 .

A.f (x)是奇函数,g(x)是奇函数

B.f (x)是偶函数,g(x)是偶函数

C.f (x)是奇函数,g(x)是偶函数 D.f (x)是偶函数,g(x)是奇函数 8.在△ ABC 中,已知∠ BAC 的平分线交 BC 于点 M,且 BM : MC=2 : 3.若∠ AMB=60° , AB ? AC 则 = BC A.2 B. 5 C. 7
R B).

D.3

9.设 A,B,C 为全集 R 的子集,定义 A-B=A∩( A.若 A∩B ? A∩C,则 B ? C C.若 A-B ? A-C,则 B ? C 10.设动点 A,B 均在双曲线 C: 曲线 C 的离心率为 e. A.若 e> 2 ,则 OA ? OB 存在最大值 C.若 e> 2 ,则 OA ? OB 存在最小 值

B.若 A∩B ? A∩C,则 A∩(B-C)= ? D.若 A-B ? A-C,则 A∩(B-C)= ?

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)的右支上,点 O 为坐标原点,双 a2 b2

B.若 1<e≤ 2 ,则 OA ? OB 存在最大值 D.若 1<e≤ 2 ,则 OA ? OB 存在最小值

非选择题部分 (共 100 分)
注意事项: 1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上, 不能答在试题卷上。 2.在答题纸上作图, 可先使用 2B 铅笔, 确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 11.已知 m 为 实数,直线 l1 : 2 x ? y ? 3 ? 0 , l 2 : mx ? (m ? 5) y ? 3 ? 0 ,若 l1 ? l 2 ,则

m ? _______
3 12.已知等比数列{an},a2+a3= ,a4+a5=6,则 a8+a9= 2

. .

13.已知实数 a,b 满足 a3-b3=4,a2+a b+b2+a-b=4,则 a-b= 14. 已知 x ? 2 y ? 4 ( x, y ? R ? ) , 则 15.已知单位向量 a,b 的夹角为 序数对 (λ,μ) = 16.已知函数 y ? tan( x ? .

2 1 ? 的最小值为 x y



π .设单位向量 c=λ a+μ b (λ>0,μ∈ R),若 c⊥ a,则有 3

? ) 的图像,则图像的对称中心坐标为 3




17.已知线段 OA,OB,OC 两两垂直,且 OA=1,OB=1,OC=2.若线段 OA,OB,OC 在直线 OP 上的射影长相等,则其射影长为

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18. (本题满分 14 分) 已知函数 f (x)=4 sin 周期为 4π. (Ⅰ ) 求函数 f (x)的最大值; (Ⅱ ) 若 α∈ (0,
π π 6 ),且 f (α- )= ,求 f (α)的值. 5 2 2

?x
2

cos (

?x
2



π )+ 3 (x∈R,ω>0)的最小正 3

19. (本题满分 14 分) 在△ ABC 中,内角 A,B,C 满足 4 sin Asin C-2 cos (A-C)=1. (Ⅰ ) 求角 B 的大小; (Ⅱ ) 求 sin A+2 sin C 的取值范围.

20.(本题满分 15 分) 在四棱锥 P-ABCD 中,底面是边长 为 2 的菱形,∠ BAD=60? ,PA=PD=3,PD⊥ CD.E 为 AB 中点. (Ⅰ ) 证明:PE⊥ CD; (Ⅱ ) 求二面角 C-PE-D 的正切值.
A

P

D E B

C

(第 20 题图)

21.(本题满分 15 分) 如图,设椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的右 a 2 b2

y A Q O P M (第 21 题图) F N x

焦点为 F(1,0),A 为椭圆的上顶点,椭圆上的点到右焦点 的最短距离为 2 -1.过 F 作椭圆的弦 PQ,直线 AP,AQ 分 别交直线 x-y-2=0 于点 M,N. (Ⅰ ) 求椭圆的方程; (Ⅱ ) 求当|MN|最小时直线 PQ 的方程.

22.(本题满分 14 分)如图,已知曲线 C:y=x2 (0≤x≤1),O(0,0),Q(1,0),R(1,1).取线 段 OQ 的中点 A1, 过 A1 作 x 轴的垂线交曲线 C 于 P1, 过 P1 作 y 轴的垂线交 RQ 于 B1, 记 a1 为矩形 A1P1B1Q 的面积.分别取线段 O A1,P1B1 的中点 A2,A3,过 A2,A3 分别作 x 轴的垂线交曲线 C 于 P2,P3,过 P2,P3 分别作 y 轴的垂线交 A1P1,RB1 于 B2,B3,记 a2 为两个矩形 A2P2B2 A1 与矩形 A3P3B3B1 的面积之和. 以此类推,记 an 为 2n Sn. (I) 求 a2 与 an;
-1

个矩形面积之和,从而得数列{an},设这个数列的前 n 项和为
y R

1 (Ⅱ ) 求 Sn,并证明 Sn< . 3
P1 P2 O A2 B2 A1

P3

B3 B1 Q x

A3

(第 22 题图)

测试卷答案及评分参考 数学(理科)
说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如 果考生的解法与本解答不同, 可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。 二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的 内容和难度, 可视影响的程度决定后续部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分。 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四、只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。 五、未在规定区域内答题,每错一个区域扣卷面总分 1 分。 一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分,满分 50 分。 1.B 6.C 11.5 15.(
3 2 3 ,- ) 3 3

2.B 7.C

3.D 8.C 12.96 16.
1 2 π

4.C 9.B

5.B 10.D 13.2 14.2 17.

二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分,满分 28 分。

+ 3 , 0 , k ∈ Z

2 3

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.本题主要考查诱导公式、两角和差公式、二倍角公式、三角函数的性质等基础知识,同 时考查运算求解能力。满分 14 分。 (Ⅰ ) 因为 f (x)=4sin

?x 1 ?x 3 ?x ( cos sin )+ 3 2 2 2 2 2

= sin ω x - 3 (1-cos ω x)+ 3

π ). 3 2π 1 又 f (x)的最小正周期为 4π,令 =4π, 得 ω= . ? 2 1 π 所以 f (x)=2 sin ( x+ ),其最大值为 2. ………… 7 分 2 3 π 6 ? π 6 π (Ⅱ ) 由于 f (α- )= ,即 2 sin ( + )= ,而 α∈ (0, ),可知 5 5 2 2 12 2 ? π 4 cos ( + )= , 2 12 5 所以 ? π f (α)=2 sin ( + ) 2 3 ? π π ? π π =2 sin ( + ) cos +2 cos ( + ) sin 2 12 4 2 12 4
= 2 sin (ω x+



7 2 . 5

………… 14 分

19.本题主要考查三角变换、三角函数值域等基础知识,同时考查运算求解能力。满分 14 分。 (Ⅰ )因为 4 sin A sin C-2 cos (A-C)=4 sin A sin C -2 cos A cos C+2 sin A sin C =-2 (cos A cos C-sin A sin C), 所以-2 cos (A+C)=1,故

1 cos B= . 2
又 0<B<π,所以
π B= . 3
2π 3

………… 6 分

(Ⅱ ) 由(Ⅰ )知 C=

-A,故

[来源:Z,xx,k.Com]

sin A+2 sin C=2 sin A+ 3 cos A= 7 sin (A +θ),
π 21 2 7 其中 0<θ< ,且 sin θ= ,cos θ= . 7 7 2

由 0<A<

2π 3

知,θ<A+θ<

2π 3

+θ,故

21 <sin (A+θ)≤1. 14
所以 sin A+2 sin C∈ (

3 , 7 ]. 2

………… 14 分

20.本题主要考查空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识,空间向量的应用,同时考 查空间想象能力、推理论证和运算求解能力。满分 15 分。 (Ⅰ ) 在菱形 ABCD 中,因为∠ BAD=60? ,E 为 AB 的中点,可得 DE⊥ CD, 又因为 PD⊥ CD,所以 CD⊥ 平面 PDE, 因此 PE⊥ CD. (Ⅱ ) 方法一: 过 D 作 DH⊥ PE,垂足为 H,连结 CH.由 CD⊥ 平 ………… 5 分

面 PDE,得 CH⊥ PE, 所以∠ CHD 是二面角 C-PE-D 的平面角. 由 PE⊥ CD,AB∥ CD,可得 PE⊥ AB, 由 E 为 AB 中点,PA=3,所以 PE=2 2 .
7 2 在△ PDE 中,由余弦定理得 cos∠ DPE= , 12
A H D E B C P

故 sin∠ DPE=

46 ,所以 12

(第 20 题图)

DH= 在 Rt△ CH D 中,可得 tan∠ CHD=

46 . 4

4 46 CD = . 23 DH 4 46 所以,二面角 C-PE-D 的正切值为 . 23

………… 15 分

方法二: 以 D 为原点,DE,DC 所在射线分别为 x,y 轴的正 半轴,建立空间直角坐标系 D-xyz.可知 D(0,0,0), C(0,2,0), E( 3 ,0,0),
D A E B x (第 20 题图) P z

B( 3 ,1,0), A ( 3 ,-1,0), 设 P(a,0,c).因为 PA=PD=3, 即
? ?a ? c ? 9, ? 2 2 2 ? ?(a ? 3) ? (?1) ? c ? 9.
2 2

C

y

解得 P(

2 3

,0,

23 3

).

?m ? CE ? 0 , ? 设平面 CPE 的法向量为 m=(x,y,z),由 ? 可取 ? ?m ? CP ? 0 ,
m=( 2 23 , 69 ,2), 又平面 DPE 的一个法向量为 n=(0,1,0),于是 |cos<m,n>|= 所以 |tan<m,n>|=
4 46 . 23 4 46 . 23

69 |m ?n| = . | m |?| n | 165

因为二面角 C-PE-D 是锐角,所以二面角 C-PE-D 的正切值为

………… 15 分

21.本题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几何 的 基本思想方法和综合解题能力。满分 15 分。 (Ⅰ ) 由题意知,c=1,a-c= 2 -1,所以椭圆方程为
x2 +y2=1. 2

………… 4 分

(Ⅱ ) 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),直线 PQ:x-my-1=0,由

? x2 ? ? y2 ?1, ?2 ? ? x ? my ? 1 ? 0 ,
消去 x,得 (m2+2)y2+2my-1=0, 所以
?2m ? y ? y2 ? 2 , ? ? 1 m ?2 ? ? y ? y ? ?1 . 1 2 ? ? m2 ? 2

设点 M,N 的坐标分别为(xM,yM),(xN,yN). y ?1 因为直线 AP 的方程为 y-1= 1 x,由 x1

y1 ? 1 ? x, ? y ?1 ? x1 ? ? ?x ? y ? 2 ? 0 ,
得 xM= 同理可得 xN = 所以, |MN|= 2 xM ? x N =12 记 m-7=t,则
1 7 1 |MN|=12 50( ? ) 2 ? , t 50 50 1 7 1 当 =- ,即 m=- 时,|MN|取最小值. t 50 7 所以,当|MN|取最小值时 PQ 的方程为 y=-7x+7. 3my 2 ? 3 . ( m ? 1) y 2 ? 2 3my1 ? 3 . (m ? 1) y1 ? 2

m2 ? 1 . |m?7|

………… 15 分

22. 本题主要考查等比数列的概念与求和公式、 不等式等基础知识, 同时考查运算求解能力。 满分 14 分。 (I) 由题意知

1 1 P1( , ( )2 ), 2 2


1 1 1 a1= ×( )2 = . 2 2 8
又 P 2( 故

1 1 3 3 , ( 2 ) 2 ), P3( 2 , ( 2 ) 2 ), 2 2 2 2 2

1 1 3 2 1 3 × [ ( 2 ) 2 + ( 2 ) 2 - ( 2 ) 2 ]= 6 × (12+32- 2)= . 2 2 2 2 2 2 32 由题意,对任意的 k=1,2,3,…,n,有 2i ? 1 2i ? 1 - P2k ?1 ?i ( k , ( k )2 ), i=0,1,2,…,2k 1-1, 2 2 故 2n ? 1 2n ? 2 1 1 3 2 5 4 an= n × [ ( n ) 2 + ( n ) 2 - ( n ) 2 + ( n ) 2 - ( n ) 2 +…+ ( n ) 2 - ( n ) 2 ] 2 2 2 2 2 2 2 2 1 = 3n × [12+32- 2+52- 2+…+(2n-1)2-(2n-2)2] 2 1 - = 3n × {1+(4× 1+1)+(4× 2+1)+…+[4× (2n 1-1)+1]} 2 1 [1 ? 4 ? (2n ?1 ? 1) ? 1] ? 2n ?1 = 3n × 2 2 n 2 ?1 = 2 n ?1 . 2 所以 2n ? 1 3 a2= , an= 2 n ?1 , n∈ N*. ………… 10 分 2 32 (Ⅱ ) 由(I)知 1 1 an= n?1 ? 2 n?1 , n∈ N*, 2 2 故
a 2=
[来源:Z|xx|k.Com]

1 1 1 1 ? (1 ? n ) ? (1 ? n ) 22 n ?1 ? 3 ? 2n ? 1 1 1 1 1 8 4 4 2 Sn= - = ? (1 ? n ) - ? (1 ? n ) = . 1 1 3 ? 22 n ?1 2 2 6 4 1? 1? 4 2
又对任意的 n∈ N*,有

3 ? 2n ? 1 >0,
所以

Sn=

n 1 3? 2 ?1 1 < . 2 n ?1 3 3? 2 3

………… 14 分


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