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二次函数的最值问题(典型例题)


2015 年 周末班学案

自信释放潜能;付出铸就成功! WLS

二次函数的最值问题 【例题精讲】
题面:当?1≤x≤2 时,函数 y=2x2?4ax+a2+2a+2 有最小值 2, 求 a 的所有可能取值.

【拓展练习】
如图,在平面直角坐标系 xOy 中,二次函数 y ? 点为 C . (1)求此二次函数解析式; (2)点 D 为点 C 关于 x 轴的对称点, 过点 A 作直线 l :y ? 3 x ? 3 交 BD 于点 E, 过点 B 作直线 BK// AD 3 3 交直线 l 于 K 点.问:在四边形 ABKD 的内部是否存在点 P,使得它到四边形 ABKD 四边的距离都相等, 若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由; (3) 在 (2) 的条件下,若 M 、 N 分别为直线 AD 和直线 l 上的两个动点,连结 DN 、 NM 、 MK ,求 DN ? NM ? MK和的最小值.
3 2 x ? bx ? c 的图象与 x 轴交于 A (?1,0)、 B (3,0)两点, 顶 2

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2015 年 周末班学案

自信释放潜能;付出铸就成功! WLS

练习一

【例题精讲】
若函数 y=4x2?4ax+a2+1(0≤x≤2)的最小值为 3,求 a 的值.

【拓展练习】
题面:已知:y 关于 x 的函数 y=(k?1)x2?2kx+k+2 的图象与 x 轴有交点. (1)求 k 的取值范围; (2)若 x1,x2 是函数图象与 x 轴两个交点的横坐标,且满足(k?1)x12+2kx2+k+2= 4x1x2. ① 求 k 的值;② 当 k≤x≤k+2 时,请结合函数图象确定 y 的最大值和最小值.

练习二
金题精讲 题面:已知函数 y=x2+2ax+a2?1 在 0≤x≤3 范围内有最大值 24,最小值 3,求实数 a 的值.

【拓展练习】
题面:当 k 分别取?1,1,2 时,函数 y=(k?1)x2 ?4x+5?k 都有最大值吗?请写出你的判断,并说明理由; 若有,请求出最大值.

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自信释放潜能;付出铸就成功! WLS

讲义参考答案
【例题精讲】
答案: ?3 ? 7 或 0 或 2 或 4

【拓展练习】
答案:(1) y ?

3 2 3 3 ;(2) (2, 3 );(3)8 x ? 3x ? 2 2

练习一答案

【例题精讲】
答案:a = ? 2 或 4+ 2 . 详解:∵ y= 4x2?4ax+a2+1(0≤x≤2) ∴ y= 4( x ? (1)当 0≤ (2)当

a 2 ) +1 2

a ≤2,即 0≤a≤4 时,最小值为 1,不符合题意,舍去; 2

a <0 即 a<0 时,令 f(0)=3 得:a2+1=3,解得:a = ± 2 ,故 a = ? 2 ; 2 a (3)当 >2 即 a>4 时,令 f(2)=3,即 a2?8a+14=0,解得;a= 4± 2 ,故 a = 4+ 2 ; 2
综上有 a = ? 2 或 4+ 2 .

【拓展练习】
答案:(1) k≤2;(2)① k 值为?1;② y 的最大值为

3 ,最小值为?3. 2

详解:(1)当 k=1 时,函数为一次函数 y= ?2x+3,其图象与 x 轴有一个交点. 当 k≠1 时,函数为二次函数,其图象与 x 轴有一个或两个交点, 令 y=0 得(k?1)x2?2kx+k+2=0. △ =(?2k)2?4(k?1)(k+2)≥0,解得 k≤2.即 k≤2 且 k≠1. 综上所述,k 的取值范围是 k≤2. (2)① ∵ x1≠x2,由(1)知 k<2 且 k≠1. 由题意得(k?1)x12+(k+2)=2kx1(*), 将(*)代入(k?1)x12+2kx2+k+2=4x1x2 中得:2k(x1+x2)=4x1x2.
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又∵ x1+x2=

2k k+2 2k k+2 ,x1x2= ,∴ 2k? =4? , k ?1 k ?1 k ?1 k ?1

解得:k1= ?1,k2=2(不合题意,舍去).∴ 所求 k 值为?1.

1 2 3 ) + ,且?1≤x≤1, 2 2 1 3 由图象知:当 x= ?1 时,y 最小= ?3;当 x= 时,y 最大= . 2 2 3 ∴ y 的最大值为 ,最小值为?3. 2
② 如图,∵ k1= ?1,y= ?2x2+2x+1= ?2(x?

练习二答案

课后练习详解
【例题精讲】
答案:2 或?5. 详解:配方 y=(x+a)2?1, 函数的对称轴为直线 x= ?a, 顶点坐标为(?a,?1). ① 当 0≤?a≤3 即?3≤a≤0 时, 函数最小值为?1,不合题意; ② 当?a<0 即 a>0 时, ∵ 当 x=3 时,y 有最大值;当 x=0 时,y 有最小值, ∴ 9+6a+a2 ?1=24,a2 ?1=3,解得 a=2; ③ 当?a>3 即 a<?3 时, ∵ 当 x=3 时,y 有最小值;当 x=0 时,y 有最大值, ∴ a2 ?1=24,9+6a+a2 ?1=3, 解得 a= ?5. ∴ 实数 a 的值为 2 或?5.

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自信释放潜能;付出铸就成功! WLS

【拓展练习】
答案:有最大值,为 8. 详解:∵ 当开口向下时函数 y=(k?1)x2 ?4x+5?k 取最大值 ∴ k?1<0,解得 k<1. ∴ 当 k= ?1 时函数 y=(k?1)x2 ?4x+5?k 有最大值,当 k=1,2 时函数没有最大值. ∴ 当 k= ?1 时,函数 y= ?2x2?4x+6= ?2(x+1)2+8. ∴ 最大值为 8.

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