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圆的一般方程导学案 (1)


圆的一般方程
(一).课前准备 1.已知圆的圆心为 C (a, b) ,半径为 r ,则圆的标准方程为 原点上,则圆的方程就是 2.求过三点 A(0,0), B(1,1), C (4, 2) 的圆的方程. . ,若圆心在坐标

(二).学习探究 问题 1.方程 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 表示什么图形?方程 x2 ? y

2 ? 2x ? 4 y ? 6 ? 0 表示什么图 形? 问题 2.方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 在什么条件下表示圆?

新知:方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示的轨迹:
2 2

D E 1 , ? ) 为圆心, D 2 ? E 2 ? 4 F 为半径的圆 2 2 2 D E D E (2)当 D2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,方程只有实数解 x ? ? , y ? ? ,即只表示一个点 (? , ? ) 2 2 2 2
(1)当 D2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,方程表示以 (? (3) D ? E ? 4F ? 0 时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形
2 2

小结:方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示的曲线不一定是圆,只有当 D2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,它表
2 2

示的曲线才是圆,形如 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 的方程称 为圆的一般方程。
2 2

思考: 1.圆的一般方程的特点? 2.圆的标准方程与一般方程的区别? 典型例题 例 1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程?如果是,请求出圆的圆心及半径. ⑴ 4 x ? 4 y ? 4 x ? 12 y ? 9 ? 0 ; ⑵ 4 x ? 4 y ? 4 x ? 12 y ? 11 ? 0 ;
2 2 2 2

1

例 2 已知线段 AB 的端点 B 的坐标是 (4,3) ,端点 A 在圆上 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 运动,求线段 AB 的 中点 M 的轨迹方程。

动手试试 练 1. 求过三点 A(0,0), B(1,1)C (3, 2) 的圆的方程, 并求这个圆的半径长和圆心坐标.

练 2. 已知一个圆的直径端点是 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,试求此圆的方程.

(三)、总结提升 ※ 学习小结 1.方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 中含有三个参变数,因此必须具备三个独立的条件,才能确定 一个圆,还要注意圆的一般式方程与它的标准方程的转化. 2.待定系数法是数学中常用的一种方法,在以前也已运用过.例如:由已知条件确定二次函数,利 用根与系数的关系确定一元二次方程的系数等.这种方法在求圆的方程有着广泛的运用, 要求熟练 掌握. 3.使用待定系数法的一般步骤:⑴根据题意,选择标准方程或一般方程;⑵根据条件列出关于

a, b, r 或 D, E, F 的方程组; ⑶解出 a, b, r 或 D, E, F ,代入标准方程或一般方程.
学习评价 1. 若方程 x ? y ? x ? y ? m ? 0 表示一个圆,则有( ).
2 2

A. m ? 2
2 2

B. m ? 2

C. m ?

1 2

D. m ?

1 2
).

2. 圆 x ? y ? 4 x ?1 ? 0 的圆心和半径分别为 ( A. (2, 0) ,5 B. (0, ?2) , 5
2 2

C. (0, 2) , 5 D. (2, 2) ,5
2

3. 动圆 x ? y ? (4m ? 2) x ? 2my ? 4m ? 4m ? 1 ? 0 的圆心轨迹是( ). A. 2 x ? y ? 1 ? 0 B. x ? 2 y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 1 ? 0
2

D. x ? 2 y ? 1 ? 0

4.

过点 C (?1,1), D(1,3) ,圆心在 x 轴上的圆的方程是

. .

5. 圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 5 ? 0 的点到直线 3x ? 4 y ? 20 ? 0 的距离的最大值为 课后作业

1. 设直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 和圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 3 ? 0 相交于 A, B ,求弦 AB 的垂直平分线方程.

2.

求经过点 A(?2, ?4) 且与直线 l : x ? 3 y ? 26 ? 0 相切于点 B(8, 6) 的圆的方程.

3


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