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圆锥曲线一个性质的再探究


2 0 1 4年 第 1 2期   ̄  ̄A A O P 中,   =  A P 即 OA , 中学数 学研 究  ?1 9?   si n  7 / "   【   :   一   J   si n  6 『   si n ;   而 2 s i n a c o s O = ( 1 一 A) s i n ( 0 +   )  = ( 1一   A) ( s i n O c o s c  ̄+ c o s O s i n a ) ,化 简 整 理,得 ( 1一   A ) s i n 0 c o s t x= ( 1 + A) c o s O s i n a, 于 是 t a n O =   t a n   p   =   I+At A A O B中, 面   即O A=   =   , 所以   =   ,   a n   . 所  一   =   =   (  二  !   s i n 2 0   !  ±  2  u   ’   s i n O一   一i  ±  2 1   翌 (  ±  2鞲   2s i n O c o s 0   ’ 皿  _ 1 +A A, ] 2 t a n 2 o L 故 e=   , 圆 锥 曲 线 一 个 性 质 的 再 探 究  福 建省宁德 市高级 中学  ( 3 5 2 1 0 0 )   连其 秀  文[ 1 ]给 出了圆锥 曲线的一个 性质 , 即文 [ 1 ]   的定理 1 — 8 , 读后颇受启发, 但觉意犹未尽.本文拟   对这 一性质 进 一步探 究 , 探 究其 变 式及推广 , 并应 用   推广 性质解 决 原 性 质 无 法解 决 的 问题. 先把 文[ 1 ]   的性 质 抄 录 如 下 ( 为 节省 篇 幅, 把 原 定 理 加 以 综  合) :   B为切点的抛物线的两条切线交于P , 则点P在定直  线f :   =一m( m ≠0 ) ( 在 抛物 线 外部 ( 不含 焦 点 的  区域 )的 部 分 )上 的充 要 条 件 是 直 线 A B 过 定 点  ( m, 0 ) .   下 面 先探 究上 述 性质 的变 式及 推. 广.   一 定理 1 . 1  ( 综合文[ 1 ]的定理 1 、 2 ) 倾斜角不   2   2   探 究性 质 的变式  以上 定理 揭 示 了圆锥 曲线 的类焦 点 M( m, 0 )与   、 2   为零 的直线 与椭 圆   +   =1 ( 口 >b>0 )交 于 、   a  D  类准 线 z :   =一 a、   =一   的关联 性质.如果 把 类焦  l H,   曰两 点 , 分 别 以 A、   为切 点 的 椭 圆 的 两条 切 线 交于  2   点 M( m, 0 )换 为 定 点 M( 0 , n ) , 会 得 到 什 么相 应 的   P , 则点P在定直线z :  =   ( m≠0 ) ( 在椭 圆外部的   |I ‘  结论 ? 经 探 究, 容 易 得 到 以上定 理 的变 式( 探 究过 程  略) :   2   部 分 )上 的充 要条件 是 直线 A B过 定 点  ( m, 0 ) .   定理 2 . 1  ( 综合 文[ 1 ]的定理 3 、 4 )倾斜角不   2   , 定理 1 . 2   倾斜 角不 为直 角 的直 线 与椭 圆   +   a  2   2   , 为零 的直

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