当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学 集合 复习






一、集合的基本概念及表示方法 1、 集合的概念: 一般的, 把一些能够确定的不同的对象看成一个整体, 就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合, 简称集.通常用大写英文字母 A、B、C、··表示。集合中的每个对象叫做这个集合的元素,通常用小写字母 a、b、 ·· c。 2、 集合中元素的三个特征 (1) 确定性;设 A 是一个给

定的集合,a 是某一具体的对象,则 a 是 A 的元素,或者不是 A 的元素,两种情况必有 一种且只有一种成立. (2) 互异性; 集合中的元素必须是互异的,也就是说,对于一个给定的集合,它的任何两个元素都是不同的.即集合中的元素 不重复,两个或两个以上的相同的元素都认为是一个元素,在用列举法表示时也只能写一个 .例如方程 x2+2x+1=0 的解组成的集合 A,必须写成 A={-1}. (3) 无序性; 集合中的元素不考虑顺序,对于元素相同而排列顺序不同的集合认为是相同的集合.例如集合{1,2,3,4}与集 合{4,3,2,1}是相同的集合. 注意区分: 集合 ( x,y ) y ? 点组成的点集;

?

x 中的元素是 ( x,y ) ,这个集合表示二元方程 y ? x 的解集,或者理解为曲线 y ? x 上的

?

x ? 中的元素是 x ,这个集合表示函数 y ? ? 集合 ? y y ? x ? 中的元素是 y ,这个集合表示函数 y ?
集合 x y ? 集合 y ?

x 中自变量 x 的取值范围; x 中函数值 y 的取值范围;

?

,它是用列举法表示的单元素集合. x 中的元素只有一个(方程 y ? x )

?

3、 集合的分类 集合可以根据它含有的元素的个数分为两类:含有有限个元素的集合叫做有限集,含有无限个元素的集合叫做 无限集. 4、 集合的表示方法 (1) 列举法 把集合中的元素一一列举出来,并用花括号括起来表示集合的方法. 使用列举法时应注意一下几点: ①元素间用分隔号“,;②元素不重复;③元素无顺序;④对于含较多元素的集合如果构成该集合的元素有明显 ” 规律,可用列举法,但必须把元素间的规律显示清楚后才能用省略号.如:由方程 x2-1=0 的所有解组成的集合可以表示 为{-1,1}. (2)描述法 用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合,并把这个条件写在花括号内表示集合的方法,即{x∈A│p(x)}. 对于描述法,不能只把注意力放在竖号“│”右边“p”适合的条件,还要对竖号“│”左边的形式引起足够的重 视. 如:所有的直角三角形的集合可以表示为{x│x 是直角三角形}. (3)图示法 为了形象的表示集合,我们常常画一条封闭的曲线, 1,3,5,8 用它的内部来表示一个集合. 如图所示,表示集合{1,3,5,8}.

1

5、空集 不含任何元素的集合叫做空集,记作φ . 注意: (1)空集中没有任何元素,要区分φ 和{0},集合{0}中有 1 个元素 0,而φ 中没有任何元素,两者有着本质的不 同. (2)空集在实际问题中是实实在在存在的,如在实数范围内方程 x2+1=0 的解集和不等式 x2+1<0 的解集都是空 集. 6、常用数集的符号 为了书写方便对于常用数集用特定的字母表示: (1) 全体非负整数组成的集合通常简称非负整数集(或自然数集) ,记作 N; (2) 非负整数集内排除 0 的集合,称为正整数集,表示成 N*(或 N+) ; (3) 全体整数组成的集合通常简称为整数集,记作 Z; (4) 全体有理数组成的集合通常简称为有理数集,记作 Q; (5) 全体实数组成的集合通常简称为实数集,记作 R; 二、集合间的关系 1、包含关系 如果任意 x∈A,? x∈B,则集合 A 是集合 B 的子集,记作 A ? B ?或 B ? A.显然,任何集合是他自身的子集, 即 A ? A,空集是任何集合的子集,即φ ? A. 2、相等关系 对于两个集合 A、B,如果 A ? B 同时 B ? A,那么成集合 A 和集合 B 相等,记作 A=B.显然,两个相等的集合的 元素完全相同. 3、真包含关系 对于两个集合 A 和 B,如果 A ? B,并且 A≠B,称集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A B,显然,空集是任何非空 集合的真子集,若 A B,则 B 中至少存在一个元素不属于 A. 三、集合与集合间的运算 1、交集; 一般的对于两个给定的集合 A、B,由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素构成的集合,叫做 A 和 B 的交 集,记作 A∩B. 2、并集; 一般的对于两个给定的集合 A、B,由属于集合 A 或属于集合 B 的所有元素组成的集合,叫做 A 与 B 的并 集,记作 A∪B. 3、全集与补集; 含有所要研究的各集合的全部元素的集合称为全集,一般可记作 U,全集是相对的。 若 A 是全集 U 的子 集,则由全集中不属于 A 的元素组成的集合称为 A 的补集,记作 CUA. 三、精解: 1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性” 。

如 B C ? 中元素各表示什么? : ? ? xC 集? 合 y ? , A ? x |g|g , lA y y ? ?( g l x l ,x , B | y 、 ? ? ? xy 、 ?)
A 表示函数 y=lgx 的定义域,B 表示的是值域,而 C 表示的却是函数上的点的轨迹 2.进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。
2 如x 3B 1 : ? 0 ?? 集2 , 合? ? Ax ? x | ? x |? a x

?

?

若B ? A,则实数a的值构成的集合为
2

显然,这里很容易解出 A={-1,3}.而 B 最多只有一个元素。故 B 只能是-1 或者 3。根据条件,可以得到 a=-1,a=1/3. 但是, 这里千万小心,还有一个 B 为空集的情况,也就是 a=0,不要把它搞忘记了。 3. 注意下列性质:

( ?集 11 )? 的 集, 个 合a 子 a ,所 n a , 的 2 数 是 ; ? ? 2 n 有
要知道它的来历:若 B 为 A 的子集,则对于元素 a1 来说,有 2 种选择(在或者不在) 。同样,对于元素 a2, a3,?? an,都有 2 种选择,所以,总共有 2 种选择, 即集合 A 有 2 个子集。 当然,我们也要注意到,这 2 种情况之中,包含了这 n 个元素全部在和全部不在的情况,故真子集个数为 2 ? 1 ,
n n n

n

非空真子集个数为 2 ? 2
n

(? B 2 BA )? ? 若 , A ? ? B A? B A ;
(3)德摩根定律:

CU ? A ? B? ? ? CU

A?

? ? C B, C? ?
U

U

? A

? A ? B ? CU? ? ? CU?

B

有些版本可能是这种写法,遇到后要能够看懂

A ? B? A , ? ? ?A ? B A B

B

4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法)

a x ? 5 如 不的 ?, : 等解 M 数 已 式集且 a 知 2? 为 5 实 关 于 x 的 0 M ? , 若 求 3 M x ? a
的取值范围。

a 35 · ? ( ?, 2 ∵ M∴ 3 ? 0 3? a a 55 · ? ∵ M∴2 5 , ? ? 0 5? a

? 5 ? ? ?, ?, ) a 1 ? ? 2? ? 9 5 ? ? 3

注意,有时候由集合本身就可以得到大量信息,做题时不要错过; 如告诉你函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0) 在 ( ??,1) 上 单调递减, (1, ??) 上单调递增, 在 就应该马上知道函数对称轴是 x=1.或者, 说在 X 轴上有两个交点 (m, , 0) (n, 0) , 也应该马上可以想到 m,n 实际上就是方程 ax2+bx+c=0 的 2 个根

3

集合练习 1
一、选择题 1.已知全集 U=R,集合 A={x|1≤x<7},B={x|x2-7x+10<0},则 A∩(?RB) = ( A.(1,2)∪(5,7) C.(1,2)∪(5,7] 2.已知集合 A={x|y= A.? C.[1,+∞) B.[1,2]∪[5,7) D.(1,2]∪(5,7) )

x ? 1 },B={y|y=lg(x2+10)},则 A∪ RB=(
B.[10,+∞) D.R

)

3.已知集合 M ? {?1,0,1}, N ? {x | x ? ab, a, b ? M 且a ? b} ,则集合 M 与集合 N 的关系是( A.M=N B.M N C.N M D. M ? N ? ?



4.设全集 U ? {0 ,1, 2 , 3 , 4} ,集合 A ? {0 ,1, 2} ,集合 B ? {2 , 3} ,则 (CU A) ? B A. ? B. {1, 2 , 3 , 4} C. {0 ,1, 2 , 3 , 4}
x





D.{2,3,4} ( )

5.已知全集 U ? R, 集合A ? {x | lg x ? 0}, B ? {x | 2 ? 1}, 则CU ( A ? B) ? A. (??,1) B. (1,?? ) C. (??,1]
2

D. [1,?? ) )

6.集合 A ? {0, 2, a}, B ? {1, a }, 若A ? B ? {0,1, 2, 4,16} ,则 a 的值为( A.0
?

B.1

C.2 )

D.4

7.集合{ x ? N | x ? 5 }的另一种表示法是( A.{0,1,2,3,4} C.{0,1,2,3,4,5} B.{1,2,3,4}

D.{1,2,3,4,5} ) C.8
2

8.集合 A ? {3 , 6 , 8 } 的真子集的个数为( A.6 B.7

D.9 )

9.设全集 U=R,A={x∈N︱1≤x≤10},B={ x∈R︱x + x-6=0},则下图中阴影表示的集合为( A.{2} B.{3} C.{-3,2} ) D.{-2,3}

10.当 x ? R,下列四个集合中是空集的是( A. {x|x -3x+2=0} C. {x|x -2x+3=0}
2 2

B. {x|x <x} D. {x|sinx+cosx=

2

6 } 5

4

11.设全集 U ? {1,2,3,4,5,6,7} ,集合 A ? {1,3,5} ,集合 B ? {3,5} ,则 A. U ? A ? B C. U ? A ? (CU B) B. U ? (CU A) ? B D. U ? (CU A) ? (CU B)





12.下列四个集合中,是空集的是 A. {x | x ? 3 ? 3} C. {x | x ? 0}
2

( B. {( x, y ) | y ? ? x , x, y ? R}
2 2



D. {x | x ? x ? 1 ? 0}
2

二、填空题 1.已知全集 U={1,2,3,4,5},A={1,2},B={1,2,4},则?U(A∪B)=________.

2.设全集 U=Z ,A={1,3,5,7,9},B={1,2,3,4,5,6},则右图中阴影部 分表示的集合是________.

3.若集合 A={x|x≤2},B={x|x≥a},满足 A∩B={2},则实数 a=________. 4. 已知集合

P ? x / x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 , Q ? ?x / x ? N ?,则 P ? Q ?
1 5.已知集合A= ? ,2,3,4?,那么A的真子集的个数是
6.满足 ?0,1, 2? .

?

?

A ? {0,1, 2,3, 4,5} 的集合 A 的个数是_______个.
2

7.若 A ? {?2,2,3,4} , B ? {x | x ? t , t ? A} ,用列举法表示 B

.

三.计算题 已知全集 U ? {1,2,3,4,5} ,若 A ? B ? U , A ? B ? ? , A ? (CU B) ? {1,2} ,试写出满足条件的 A、B 集合.

5

集合练习 2
一.选择题 1.满足条件{1,2,3} ? M ? {1,2,3,4,5,6}的集合 M 的个数是( ? ? A、8 B、7 C、6 ) D、5

2.若集合 A ? x | x ? 0 ,则下列结论中正确的是(
2

?

?

) D、 ? ? A

A、A=0

B、 0 ? A

C、 A ? ?

3.下列五个写法中① 是( ) A、1 个

?0?? ?0,1,2?,②φ
B、2 个

{0},③

?0,1,2? ? ?1,2,0?,④ 0 ? ? ,⑤ 0 ? ? ? ? ,错误的写法个数
D、4 个

C、3 个

4.方程组 ?

?x ? y ? 1 的解集是( ? x ? y ? ?1



A

? x ? 0, y ? 1?

B

?0,1?

C

?(0,1)?

D

?( x, y) | x ? 0或y ? 1?


5.设 A、B 是全集 U 的两个子集,且 A ? B,则下列式子成立的是( (A)CUA ? CUB 6.已知全集 M ? ?a | (B)CUA ? CUB=U (C)A ? CUB= ?

(D)CUA ? B= ?

? ?

6 ? ? N且a ? Z ? ,则 M=( 5?a ?

)

A、{2,3} B、{1,2,3,4}

C、{1,2,3,6} D、{-1,2,3,4}

7.集合 M ? {x x ? 2 x ? a ? 0, x ? R} ,且 ?
2

M ,则实数 a 的范围是( ) C、 a ? ?1 D、 a ? 1

A、 a ? ?1

B、 a ? 1

8. 设集合 P、S 满足 P ? S=P,则必有( (A)P S; (B)P ? S;

) (C)S

P;

(D)S=P。

9. 设全集 U ? { a, b, c, d , e } ,A、B 都是 U 的子集 A ? B ? {e} , CU A ? B ? {d } , CU A ? CU B ? {a, b} ,则下列判断 中正确的是( ) (B)c?A 且 c?B; ) (B) A ? B ? A ? C ; (D) CU A ? B ? CU A ? C 。 (C)c?A 且 c?B; (D)c?A 且 c?B 。

(A)c?A 且 c?B;

10. 若 A ? B ? A ? C ,则一定有( (A)B=C; (C) A ? CU B ? A ? CU C ;

6

11. 已知集合 M 和 N 间的关系为 M ? N ? M ,那么下列必定成立的是( (A) CU N ? M ? ? ; (C) CU M ? CU N ? ? ;
y ?3



(B) CU M ? N ? ? ; (D) CU M ? CU N ? ? 。 )

12. 若 U={(x,y)∣x,y∈R}, M={(x,y)∣ x ? 2 ? 1 }, N={(x,y)∣y-3=x-2 },则 CUM?N 是 ( (A) ? ; (C){(2,3)}; (B){2,3}; (D){(x,y)∣y-3≠x-2 }。

13. 定义集合 A 与集合 B 的“差集”为: A ? B ? {x | x ? A且x ? B},则 A ? ( A ? B) 总等于( (A)A; (B)B; (C) A ? B ; (D) A ? B 。



14. 若 A ? { a | a ? 3n ? 1, n ? Z } , B ? { b | b ? 3n ? 2, n ? Z } , C ? { c | c ? 6n ? 1, n ? Z },则 A、B、C 的关系 是( ) (B)A B=C; (D)A=B=C 。 ) B.若 A ? B ? B,则A ? B D. CU ? A ? B ? ? ?CU A? ? ?CU B ? )

(A)A B C; (C)A=B C; 15. 下列表述中错误的是(

A.若 A ? B, 则A ? B ? A C. ( A ? B)

A

( A ? B)

16. 下列各项中,不可以组成集合的是( A.所有的正数 B.约等于 2 的数

C.接近于 0 的数 D.不等于 0 的偶数 17.设集合 M ? {x | x ? k ? 1 , k ? Z } , N ? {x | x ? k ? 1 , k ? Z } ,则 ( ) 4 2 2 4 A. M ? N B. M 18.表示图形中的阴影部分( ) A. ( A ? C ) ? ( B ? C ) B. ( A ? B) ? ( A ? C ) C D. ( A ? B) ? C 19.已知集合 A、B、C 为非空集合,M=A∩C,N=B∩C,P=M∪N,则( ) A.C∩P=C B.C∩P=P C.C∩P=C∪P D.C∩P= ? 20.定义集合运算:A⊙B={z︳z= xy (x+y),x∈A,y∈B} ,设集合 A={0,1} ,B={2,3} ,则集合 A⊙B 的所有元素 之和为( ) (A)0 (B)6 (C)12 (D)18 二、填空题 1. 调查某班 50 名学生, 音乐爱好者 40 名, 体育爱好者 24 名, 则两方面都爱好的人数最少是 2.已知 A ? y | y ? x ? 1, x ? R ,全集 U ? R ,则 C U A ? N ?
2
2 3.设 U ? 2, 4, a ? a ? 1 , A ? ?2,| a ? 1|? , C U A ? ?7? ,则 a ?

N

C. N A

M
B

D. M ? N ? ?

C. ( A ? B) ? ( B ? C )

, 最多是

Ks5u

?

?

. .

?

?

4.已知 A={x|x<3 } ,B={x|x<a } (1)若 B ? A,则 a 的取值范围是______Ks5u (2)若 A B,则 a 的取值范围是______
7

5.若{1,2,3} A ? {1,2,3,4} ,则 A=______ 6. 已知 x | x ? 2004 ? ( a ? 2) x ? a ? 4 ? 0 ? ?0? ,则 a ?
2 2

?

?



7. 若 A ? x | x ? x ? 1 ? 0, x ? R , B ? x | x ? x ? 1 ? 0, x ? R ,则集合 A, B 的关系是
2 2

?

?

?

?



2 8. 若 已 知 A ? x| x ? 2 x? 2 ? a ? 0 , B ? x| x ? 2 2 x? a? 2 ? 0 , A ? B ? ? , 则 实 数 a 的 取 值 范 围

?

?

?

2

?


2


2

9. 设集合 A ? { y | y ? x ? 2 x ? 1, x ? R } ,集合 B ? { y | y ? ? x ? 1, x ? R } ,则 A ? B ? 10. A ? { ( x, y ) | x ? y } , B ? { ( x, y ) | y ? x } ,则 A ? B ?
2 2 2

。 。

11.设集合 A ? { x | x 2 ? 3x ? 4 ? 0 } , B ? { x | ax ? 1 ? 0 } ,若 A ? B ? B , 则实数 a= 。

12. 设全集 U ? {x | 1 ? x ? 100, x ? Z } 及其二个子集

A ? { m | 1 ? m ? 100, m ? 2k ? 1, k ? Z } , B ? { n | 1 ? n ? 100, n ? 3k , k ? Z } ,
则 CU A ? B 中数值最大的元素是
2

。 ;

13. 已知集合 A ? {x | ax ? 3x ? 2 ? 0} 至多有一个元素,则 a 的取值范围 若至少有一个元素,则 a 的取值范围 。

14. 设集合 A ? {( x, y ) | a1 x ? b1 y ? c1 ? 0} , B ? {( x, y ) | a2 x ? b2 y ? c2 ? 0} ,则方程

(a1 x ? b1 y ? c1 ) (a2 x ? b2 y ? c2 ) ? 0 的解集为

. .

15. 已知 A ? {?2,?1,0,1} , B ? { y | y ? x , x ? A} ,则 B= 16.方程 ( x ? 1) ( x ? 2)( x ? 3) ? 0 的解集中含有_________个元素。
2

17.已知 U= ? ,2,3,4,5,6,7,8?, A ? ?CU B ? ? ? ,8?, ?CU A? ? B ? ?2,6?, 1 1

?CU A? ? ?CU B ? ? ?4,7?, 则集合 A=

Ks5

18. 集合 P= ? x, y ? x ? y ? 0 ,Q= ? x, y ? x ? y ? 2 ,则 P∩Q=

?

?

?

?

19. 设含有三个实数的集合既可以表示成 ? a,

? b ? ,1? ,又可以表示成 ?a 2 , a ? b, 0? ,则 a 2003 ? b2004 ? ? a ?




20. 满足 M ? ?a1 , a2 , a3 , a4 ? ,且 M ? ?a1 , a2 , a3 ? ? ?a1 , a2 ? 的集合 M 的个数是

8


相关文章:
高中数学总复习......集合
高中数学总复习...集合_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学各章总复习专题 集合总复习 集合总复习 一、本章复习建议: 本章复习建议:解不等式是高中数学...
高一数学集合复习
高一数学集合复习高中数学 集合3eud 教育网 http://www.3edu.net 百万教学资源,完全免费,无须注册,天天更新! 第一章 集合与函数概念课标单元知识 1.理解集合...
高中数学集合复习教案
高中数学集合复习教案_数学_高中教育_教育专区。高中数学 教案【中学数学教案】 集合总复习 教学目的: 1.理解集合的概念,知道常用数的概念及其记法,会判断一组对...
高中数学第一轮复习系列1-集合
高中数学第一轮复习系列1-集合_高考_高中教育_教育专区。第 1 章 集合的概念与运算一、高考考纲要求 1.了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系. 2.能用自然...
高中数学集合总复习资料
高中数学集合总复习资料_数学_高中教育_教育专区。有关集合的概念与运算方法,方便系统地复习集合的内容!高中数学集合总复习 (一)集合的有关概念: 1、集合的概念 ...
高中数学必修一集合复习精品(已整理)
高中数学必修一集合复习精品(已整理)_数学_高中教育_教育专区。集合专题复习定 义特征 表示法 分类 一组对象的全体形成一个集合 确定性、互异性、无序性 列举法...
高一数学必修一《集合》专题复习
高一数学必修一《集合》专题复习_数学_高中教育_教育专区。高一数学必修一《集合》专题复习一.集合基本概念及运算 1.集合 ?1,2,3? 的真子的个数为( A.5 ...
高一数学集合练习题及答案-经典
高一数学集合练习题及答案-经典_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档高一数学集合练习题及答案-经典_数学_高中教育_教育专区。发散思维培训...
高一数学集合小结与复习
高一数学集合小结与复习_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 高一数学集合小结与复习_数学_高中教育_教育专区。集合小结与复习课【学习导航...
更多相关标签: