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简单的线性规划(重点)


简单的线性规划(重点)
适用学科 高中数学 适用区域 全国新课标 知识点
1.不等式的解法

适用年级 课时时长(分钟)

高中三年级 60

2.直线在坐标系中的表示 4.最值得判断

3.不等式在坐标轴上表示的区域

教学目标 1.了解线性规划的意义及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概
念 2.了解线性规划问题的图解法,并会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值。

教学重点 把实际问题转化成线性规划问题,即建模,并给出解答. 教学难点 1. 建立数学模型.把实际问题转化为线性规划问题;
2.寻找整点最优解的方法.

教学过程
一.课程导入: 若实数 x,y 满足: 4≤x+y≤6 ① 2≤x-y≤4 ② 求 2x+y 的取值范围。

解:由①、②同向相加可求得:6≤2x≤10

③ 由②得:-4≤y-x≤2

将上式与①同向相加,得:0≤y≤2 ④ ③ + ④ 得:6≤2x+y≤12. 以上解法正确吗? (先提问,老师解答,引出课题)

二、复习预习
复习我们学习过的不等式和直线的方程,思考直线和不等式在坐标系中的表示区域 ,寻求最优解,而如何 在坐标系中找到相应的区域和最优解?这就是我们这节课所学的内容

三、知识讲解 考点 1、线性规划问题
求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题, 通常称为线性规划问题. 只含有两个变量 的简单线性规划问题可用图解法来解决

考点 2、整数线性规划
要求量取整数的线性规划称为整数线性规划.

考点 3、二元一次不等式表示平面区域
①二元一次不等式 Ax+By+C>0(或<0)在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组 成的平面区域. 不. 包括边界; ②二元一次不等式 Ax+By+C≥0(或≤0)在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一 侧所有点组成的平面区域且包括边界; 注意:作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线

考点 4、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法
取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域 原因:由于对在直线 Ax+By+C=0 的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入 Ax+By+C,所得到的实数 的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从 Ax0+By0+C 的正负即可判断 Ax+By+C>0 表示直线哪一侧的平面区域.特殊地, 当 C≠0 时,常把原点作为特殊点,当 C=0 时,可用(0,1)或(1,0)当特殊点,若点坐标代入适 合不等式则此点所在的区域为需画的区域,否则是另一侧区域为需画区域。

四、例题精析
考点一
二元一次不等式(组)所表示的平面区域

【例题 1】 【题干】若 2x+4y<4,则点(x,y)必在 A.直线 x+y-2=0 的左下方 C.直线 x+2y-2=0 的右上方 B.直线 x+y-2=0 的右上方 D.直线 x+2y-2=0 的左下方

【答案】D 【解析】 ∵2x+4y≥2 2x+2y,由条件 2x+4y<4 知,

2 2x+2y<4,∴x+2y<2,即 x+2y-2<0,故选 D.

考点二

简单线性规划

【例题 2】 x-3y+4≥0, ? ? 【题干】已知约束条件?x+2y-1≥0, ? ?3x+y-8≤0,

若目标函数 z=x+ay(a≥0)恰好在点(2,2)处取得最大值,

则 a 的取值范围为 1 A.0<a< 3 1 B.a≥ 3 1 C.a> 3 1 D.0<a< 2

【答案】C 【解析】 作出可行域如图, 1 1 ∵目标函数 z=x+ay 恰好在点 A(2,2)处取得最大值,故- >-3,∴a> . a 3

考点三

简单线性规划的实际应用

【例题 3】 【题干】某公司准备进行两种组合投资,稳健型组合投资每份由金融投资 20 万元,房地产投资 30 万元组成;进取型组合投资每份由金融投资 40 万元,房地产投资 30 万元组成.已知每份稳健型组合 投资每年可获利 10 万元,每份进取型组合投资每年可获利 15 万元.若可作投资用的资金中,金融投 资不超过 160 万元,房地产投资不超过 180 万元,那么这两种组合投资各应注入多少份,才能使一年 获利总额最多?

【答案】见解析 【解析】 设稳健型投资 x 份, 进取型投资 y 份, 利润总额为 z(单位: 10 万元, 则目标函数为 z=x+1.5y(单

20x+40y≤160, ? ? 位:10 万元),线性约束条件为:?30x+30y≤180, ? ?x≥0,y≥0? x∈N,y∈N?,

x+2y≤8, ? ? 即?x+y≤6, ? ?x≥0,y≥0? x∈N,y∈N?,

作出可行域如图,解方程组

?x+2y=8, ? ?x+y=6,

得交点 M(4,2),作直线 l0:x+1.5y=0,平移 l0,当平移后的直线过点 M 时,z 取最

大值:zmax=(4+3)×10 万元=70 万元.

课后评价


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