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6.3.2二次函数的图象与abc符号的关系


6.3.3 二次函数的图象与 a、b、c 的符号
1. 根据 y ? ax ? bx ? c 的图象和性质填表: ( ax ? bx ? c ? 0 的实数根记为 x1、x 2 )
2
2




y

与 与 x 轴有 线段 OA=

坐 标 轴 的 交


2





) C

个交点 ? b ? 4ac ,OB= ,AB=

0 .

与 y 轴的交点坐标是 线段 OC= 与坐标轴共有 ;



A
( , )

B


O



)x

个交点. ,

y





) C

与 x 轴有 线段 OA=

个交点 ? b ? 4ac
2

0 .

与 y 轴的交点坐标是 线段 OC= 与坐标轴共有 ;

,AC=

个交点. ,





) A

O

x

y

与 y 轴的交点坐标是
( ,

C )

与 x 轴有
x

个交点 ? b ? 4ac
2

0

线段 OC= 与坐标轴共有

; 个交点. 时, ;

O

2. 抛物线 y ? ??x ? 1? ? 3 的图象开口向
2

,顶点坐标是 ,当 x

,说明当 x = , 与 y 轴的交点坐标是

y 有最

值是
2

;对称轴是

时, y 随 x 的增大而增大. .

3. 抛物线 y ? x ? 4 x ? 3 与 x 轴的交点坐标是 把它转化为顶点式是:

,则顶点坐标是

【课堂学习】
一、自主探索: 1.观察 y ? ax ? bx ? c 的图象,你能得到关于 a、b、c 的哪些信息?
2

2.归纳: ⑴ a 的符号由 ①开口方向向 ⑵ b 的符号由 ① ② ③ ⑶ c 的符号由 ①点(0, c )在 y 轴正半轴 ? c ②点(0, c )在原点 ? c ③点(0, c )在 y 轴负半轴 ? c ⑷ b ? 4ac 的符号由
2

y y=ax2+bx+c

决定:

? a

0;②开口方向向 ; ; 决定: 0; 0; 0.

? a
决定;

0.

在 y 轴的左侧 ? a、 b 在 y 轴的右侧 ? a、 b 是y轴 ?b 0.

-1

O

1

x

决定:
1

①抛物线与 x 轴有 ②抛物线与 x 轴有 ③抛物线与 x 轴有

交点 ? b2-4ac 交点 ? b2-4ac 交点 ? b -4ac
2

0 ? 方程有 0 ? 方程有 0 ? 方程 实数根;

实数根; 实数根; 点. ; .

④特别的,当抛物线与 x 轴只有一个交点时,这个交点就是抛物线的 ⑸特别的,当 x =1 时, y = 当 x =-1 时, y = ,对应的点的坐标记为: ,对应的点的坐标记为:

【课堂练习】
二次函数的图象与性质具体如下图所示:
y

y

y

y

y o x
o

y x

o

x

o

x

o

x

o

x

a c

0、b 0 0、abc 0

a 0、b 0 c 0、abc 0

a 0、b 0 c 0、abc 0

a 0、b 0 c 0、abc 0

a 0、b 0 c 0、abc 0

a 0、b 0 c 0、abc 0

?

b 2a

0 0

?

b 2a

0 0

?

b 2a

0 0

?

b 2a

0 0

?

b 2a

0 0

?

b 2a

0 0

b2-4ac

b2-4ac

b2-4ac

b2-4ac

b2-4ac

b2-4ac

图象有最 点,当 x= 在对称轴的 在对称轴的

函数有最 值是

图象有最 点,当 x= 在对称轴的 在对称轴的

函数有最 值是

侧,y 随 x 的增大而 侧,y 随 x 的增大而

侧,y 随 x 的增大而 侧,y 随 x 的增大而
y x=1

【典型例题】
例 1、已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列
4 个结论中:①abc>0;②b<a+c;③4a+2b+c>0;④b -4ac>0; ⑤b=2a.正确的是 (填序号)
-1 0 x
2

【拓展提升】
2 如图抛物线 y ? ax ? bx ? c 与 x 轴交与点 (-3,0)、(1,0),与 y 轴交与点( 0,-3).

结合图象回答: ⑴当 x ? 0 时, y 的取值范围是 当 x ? 0 时, y 的取值范围是 ⑵当 y
2

y

; . ; .
-3 O 1

? 0 时, x 的取值范围是 当 y ? 0 时, x 的取值范围是
ax2 ? bx ? c ≤0 的解集是
2

⑶ ax ? bx ? c ? 0 的解集是

; .
-3

x

归纳观察图像的方法: ①当 x ? 0 时 ? 观察 ②当 y 的函数图象;当 x ? 0 时 ? 观察 的函数图象;当 y 的函数图象. 的函数图象.

? 0 时 ? 观察

? 0 时 ? 观察

【课后作业】
1.根据图象填空,并说明理由: ⑴a 0 ? 0 ? 0 ? 0; a ? b ? c 0; ; . ;b 0 ? ; abc .
2 1 O 1

y

; 0.

2

c
⑵b -4ac
2

⑶a ?b ? c 当y

x

⑷当 x ? 0 时, y 的取值范围是

? 0 时, x 的取值范围是

2.(2009 年齐齐哈尔市)已知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象如下图所示,则下 列结论: ①ac ? 0 ; ② 方程 ax ? bx ? c ? 0 的两根之和大于 0;
2

③y 随 x 的增大而增大;④ a ? b ? c ? 0 ,其中正确的个数(
A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个

y



O

1

x

3.(2009 年兰州)二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象如图所示,则下列关系式不正确的是 A. a <0 C. a ? b ? c >0 B. abc >0 D. b2 ? 4ac >0

4.若直线 y=ax+b 不经过一、三象限,则抛物线 y ? ax2 ? bx ? c ( ). (A)开口向上,对称轴是 y 轴; (B) 开口向下,对称轴是 y 轴; (C)开口向上, 对称轴是直线 x=1; (D) 开口向下,对称轴是直线 x=-1; 5. 抛物线 y ? 2?x ? 1??x ? 3? 的顶点坐标是( (A)(-1,-3); (B)(1,3);
2

). (D)(1,-8);

(C)(-1,8);

6. 若二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象的开口向下,顶点在第一象限,抛物线交于 y 轴的

3

正半轴; 则点 P? a, ? 在(

? ?

c? b?

).

(A)第一象限; (B) 第二象限; (C) 第三象限; (D) 第四象限; 2 7. 关于二次函数 y=ax +bx+c 的图象有下列命题: 2 ①当 c=0 时, 函数的图象经过原点; ②当 c>0 且函数图象开口向下时, 方程 ax +bx+c=0

4ac ? b 2 必有两个不等实根;③当 a<0,函数的图象最高点的纵坐标是 ;④当 b=0 时, 4a
函数的图象关于 y 轴对称.其中正确命题的个数有( A.1 个 B.2 个 C.3 个 ) D.4 个

8.已知直线 y=x+m 与抛物线 y ? x 2 相交于两点,则实数 m 的取值范围是( ). (A) m﹥ ?

1 1 1 1 ; (B)m﹤ ? ; (C)m﹥ ; (D) m﹤ . 4 4 4 4
2

9.若一条抛物线 y ? ax ? bx ? c 的顶点在第二象限,交于 y 轴的正半轴,与 x 轴有两个 交点,则下列结论正确的是( ). (A)a﹥0,bc﹥0; (B)a﹤0,bc﹤0; (C) a﹤0, bc﹥0; (D) a﹥0, bc﹤0 10. 抛物线 y ? x ? 3x ? 2 不经过( ).
2

(A)第一象限; (B) 第二象限;

(C) 第三象限; (D) 第四象限
2

11. 在同一直角坐标系中,抛物线 y ? x ? 4 x ? 5 与直线 y=2x-6 的交点个数是( ). (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个

12.已知反比例函数 y ? 致为( )

k 2 2 的图象在二、四象限,则二次函数 y ? 2kx ? x ? k 的图象大 x
y

y

y

y

O
A.

x

O
B.

x

O

x

O
D.

x

C.

4


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