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曹瑞彬--初等数论


竞赛中数论选讲(扬州)
启东中学 曹瑞彬
例 1.设 n∈N+,f(n)=n(n2-1)(n2-5n+26),求证:120|f(n)。 例 2.设 p 为奇质数,证明 例 3.试证:A= 1 ?
1 1 1 ? ? ? ? 不是整数。 2 3 n

例 4.对于正整数 n 与 k,定义:F(n,k)= ? r 2 k ?1 , 求

证:F(n,1)|F(n,k)。
r ?1

n

例 5.求同时满足下条件的一组整数 a、b, (1)ab(a+b)不能被 7 整除;(2) (a+b)7-a7-b7 能被 77 整除。

例 6.证明:对于任一正整数 n,存在一个正整数满足下列性质: (1)它有 n 位数;(2)它的每位数字都不是零;(3)它能被其各位数字之和整除。

例 7.给定大于 1 的自然 a、b、n,An-1 和 An 是 a 进制数,Bn-1 和 Bn 是 b 进制数,An-1、 An、Bn-1、Bn 定义为: An=(xnxn-1…x))a,An-1=(xn-1xn-2…x0)a,Bn=(xnxn-1…x))b,Bn-1=(xn-1xn-2…x0)b,其中 xn≠0, A B xn-1≠0。证明:当 a>b 时,有 n ?1 ? n ?1 。 An Bn

例 8.给定正整数 n,已知砝码重量(克)都是正整数的 k 块砝码和一台天平可以称出质 量为 1,2,3,…,n 克的所有物品。 (1) 求 k 的最小值 f(n); (2) 当且仅当 n 取什么值时, 上述 f(n)块砝码的组成方式是唯一确定的?并证明你的 结论。

例 9 . 定 义 函 数 : f : N+→N+ 如 下 : f(1)=1 , f(3)=3 , 且 对 n∈N , 有 f(2n)=f(n) , f(4n+1)=2f(2n+1)-f(n),f(4n+3)=3f(2n+1)-2f(n),问有多少个 n∈N+, 且 n≤2009 , 使 f(n)=n。

例 10.设整数 a、b、c 满足 a+b+c=0,记 d=a2011+b2011+c2011。证明:|d|不是素数。

例 11.设 a、b、c、d 为正整数,证明:a4b+d-a4c+d 被 240 整除。

例 12 已知数列{an},其中 a1=1,a2=2,
?5an+1-3an(an·n+1为偶数), a an+2=? a ? an+1-an(an·n+1为奇数).

试证:对一切 n∈N*,an≠0. (1988 年全国高中竞赛试题)

例 13 设 E={1,2,3,……,200},G={a1,a2,……,a100}?E. ? 且 G 具有下列两条性质: ⑴ 对任何 1≤i<j≤100,恒有 ai+aj≠201; ⑵ 100 Σ ai=10080. i=1

试证明:G 中的奇数的个数是 4 的倍数.且 G 中所有数字的平方和为一个定数.

例 14.设整数 x、y、z 满足:(x-y)(y-z)(z-x)=x+y+z。求证:27|( x+y+z)。

例 15.设 n>1,证明:11…1 不是完全平方数。

例 16.已知 a0=0,a1=1,an+1=8an-an-1,n=1,2,…,求证:在数列{an}中没有形如 3α5β(α、 β 为正整数)的项。

例 17 数列{xn}为 1,3,5,…,满足递推关系:xn+2=xn+1+2xn,n∈N*。数列{yn}为 7,17, 55,…,满足递推关系:yn+2=2yn+1+3yn,n∈N*。证明:这两个数列没有相同的项。

例 18.证明:对任意整数 n ? 4 ,存在一个 n 次多项式
f ( x) ? x n ? a n ?1 x n ?1 ? ? ? a1 x ? a 0

具有如下性质: (1) a0 , a1 , ?, a n?1 均为正整数; (2)对任意正整数 m ,及任意 k (k ? 2) 个互不相同的正整数 r1 , r2 , ?, rk ,均有 f (m) ? f (r1 ) f (r2 ) ? f (rk ) .

例19. 记[m]为不超过实数m 的最大整数. 设x 、 均为正实数, y 且对所有的正整数n , 都有 [x[ny]]= n ?1成立.证明:xy =1,且y是大于1的无理数. k 例 20.设 k,l 是给定的两个正整数,证明:存在无穷多个正整数 m≥k,使得 Cm与 l 互 素. 21.设 f(x)是周期函数,T 和 1 是 f(x)的周期且 0<T<1.证明: 1 ( I ) 若 T 为有理数,则存在素数 p,使 是 f(x)的周期; p (II)若 T 为无理数, 则存在各项均为无理数的数列{an}满足 1>an>an+1>0(n=1, …), 2, 且每个 an(n=1,2,…)都是 f(x)的周期.

例 22. 求出所有小于 10 的正整数 M,使得 5 整除 2009M+M2009。

例 23.证明:数列 1,31,331,33331,…中有无穷多个合数。

24.试求出所有的正整数 a、b、c,其中 1<a<b<c,且使得(a-1)(b-1)(c-1)|abc-1。


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