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选4-1 2 直线与圆的位置关系


一、选择题 1.如图,△ABC 内接于⊙O,∠ C=30° ,AB=2,则⊙O 的半径为( )

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A. 3 C.2 3

B.2 D.4

2.如图,在⊙O 中,弦 AB,CD 相交于点 F,AB=10,AF=2.若 CF∶DF=1∶4,则 CF 的长等于( )

/>A. 2 C.3

B.2 D.2 2 )

3.如图,∠ACB=90° ,CD⊥AB 于点 D,以 B D 为直径的圆与 BC 交于点 E,则(

A.CE· CB=AD· DB C.AD· AB=CD2

B.CE· CB =AD· AB D.CE· EB=CD2

4.如图,在 Rt△ABC 中,∠B=90° ,D 是 AB 上一点,且 AD=2DB ,以 D 为圆心,D B 为半径的圆与 AC 相切,则 sin A 等于( )

A.

3 3

1 B. 3 D. 5 5

1 C. 2

5.如图所示,△ABC 内接于圆 O,过点 A 的切线交 BC 的延长线于点 P,D 为 AB 的中 点,DP 交 AC 于点 M,若 BP=8,AM=4,AC=6,则 PA=( )

A.4 2 C. 2

B.3 2 D.5 2

解析:由题意 MC=AC-AM=6-4=2.又 D 为 AB 的中点,∴AD=BD.过点 C 作 CN∥ AB 交 PD 于 N,

∴ ∴

AM AD BD BP = = = , MC CN CN CP 8 4 = , PC 2

∴PC=4.∵PA2=PC· PB=32, ∴PA=4 2. 答案:A 6.(2014 年天津一中月考)如图过⊙O 外一点 P 分别作圆的切线和割线交圆于 A,B,且 PB=7,C 是圆上一点使得 BC=5,∠BAC=∠APB,则 AB=( )

A.6 C. 35

B.5 D.4
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解析:因为 PA 是圆的切线,所以∠BAP=∠ACB, AB PB 又∠BAC=∠APB,所以△BAP 与△BCA 相似,所以 = ,所以 AB2=PB· BC=7×5 CB AB =35,所以 AB= 35. 答案:C 二、填空题 7.(2014 年江南十校联考)如图, 在圆的内接四边形 ABCD 中, ∠ABC=90° , ∠ABD=30° , ∠BDC=45° ,AD=1,则 BC=________.

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解析:连接 AC.因为∠ABC=90° ,所以 AC 为圆的直径.又∠ACD=∠ABD=30° ,所 以 AC=2AD=2.又∠BAC=∠BDC=45° ,故 BC= 2.

答案: 2 8.如图,已知 AD=5,DB=8,AO=3 10,则圆 O 的半径 OC 的长为________.

解析:取 BD 的中点 M,连接 OM,OB,则 OM⊥BD,因为 BD=8,所以 DM=MB=

4, AM=5+4=9, 所以 OM2=AO2-AM2=90-81=9, 所以半径 OB= OM2+BM2= 9+16= 25=5,即 OC=5. 答案:5 9.(2013 年高考陕西卷)如图, 弦 AB 与 CD 相交于⊙O 内一点 E, 过 E 作 BC 的平行线与 AD 的延长线交于点 P,已知 PD=2DA=2,则 PE=________.

解析:∵PE∥BC,∴∠PED=∠BCE. 又∵∠BCE=∠BAD,∴∠PED=∠BAD. 在△PDE 和△PEA 中,
? ?∠P=∠P, ? ,∴△PDE∽△PEA, ?∠PED=∠EAP ?



PD PE = ,∴PE2=PD· PA=2×3=6, PE PA

∴PE= 6. 答案: 6 三、解答题 10.如图,AD 是∠BAC 的平分线,⊙O 过点 A 且与 BC 边相切于点 D,与 AB,AC 分别 交于 E,F,求证:EF∥BC.

证明:如图,连接 DF.

因为 BC 与圆相切, 所以∠CDF=∠DAF. 因为∠EFD 与∠EAD 同为弧 DE 所对的圆周角, 所以∠EFD=∠EAD. 又因为 AD 是∠BAC 的平分线, 故∠EAD=∠DAF. 所以∠CDF=∠EFD, 所以 EF∥BC. 1 11.(2014 年大理模拟)如图,在正△ABC 中,点 D,E 分别在边 BC,AC 上,且 BD= 3 1 BC,CE= CA ,AD,BE 相交于点 P,求证: 3

(1)P,D,C,E 四点共圆; (2)AP⊥CP. 1 1 证明:(1)在正△ABC 中, 由 BD= BC,CE= CA,可得△ABD≌△BCE, 3 3

∴∠ADB=∠BEC, ∴∠ADC+∠BEC=180° , ∴P,D,C,E 四点共圆. (2)如图,连接 DE,在△CDE 中,CD=2CE,∠ACD=60° , 由正弦定理知∠CED=90° , 由 P,D,C,E 四点共圆知,∠DPC=∠DEC,

∴AP⊥CP. 12.(能力提升)(2013 年高考全国新课标卷Ⅰ)如图,直线 AB 为圆的切线,切点为 B,点 C 在圆上,∠ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E,DB 垂直 BE 交圆于点 D.

(1)证明:DB=DC; (2)设圆的半径为 1,BC= 3,延长 CE 交 AB 于点 F,求△BCF 外接圆的半径. 解析:(1)证明:连接 DE,交 BC 于点 G.

由弦切角定理得,∠ABE=∠BCE, 而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE, ∴BE=CE. 又因为 DB⊥BE,所以 DE 为直径,∠DCE=90° .
w w w .x k b 1.c o m

由勾股定理可得 DB=DC. (2)由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC, 故 DG 是 BC 的中垂线,所以 BG= 3 . 2

设 DE 的中点为 O,连接 BO,则∠BOG=60° ,从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30° , 所以 CF⊥BF,故 Rt△BCF 外接圆的半径等于 3 . 2
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答案 1 解析:连接 AO 并延长交⊙O 于 D,连接 BD.

∠D=∠C=30° ,在 Rt△ABD 中,AD=2AB=4, ∴半径为 2. 答案:B 2 解析:∵CF∶DF=1∶4, ∴DF=4CF,

∵AB=10,AF=2,∴BF=8, ∵CF· DF=AF· BF,∴CF· 4C 4 F=2×8,∴CF=2. 答案:B 3 解析:在直角三角形 ABC 中,根据直角三角形射影定理可得 CD2=AD· DB, 又根据切割线定理可得 CD2=CE· CB, 所以 CE· CB=AD· D B. 答案:A 4 解析:如图,设 AC 与圆相切于 E 点,连接 DE,

则 DE⊥AC,DE=DB, 则 AD=2ED, 1 ∴在 Rt△ADE 中,sin A= . 2 故选 C. 答案:C


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