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空间点线面的位置关系(2013-12-31)






点线面之间的位置关系

教学目的

教学内容

【知识要点】

一、公理和基本定理 1、公理 (1)公理 1:对直线 a 和平面α ,若点 A、B∈a , A、B∈α ,则 (2)公里 2:若两个平面α 、β 有一个公共点 P,则α 、β 有且只有

(3)公理 3: 不共线的三点可确定 推论:①一条直线和其外一点可确定 ③两条平行直线可确定 平面. 个平面. 平面.②两条相交直线可确定 平面. 条过点 P 的公共直线

)公理

(4)公理 4:平行于同一条直线的两条直线平行.; 平行角定理: 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行, 那么这两个角 2、空间两条不重合的直线有三种位置关系:相交、平行、异面 3、异面直线所成角θ 的范围是 0 <θ ≤90
0 0



二、空间中的平行问题 (1)直线与平面平行的判定及其性质 ①线面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面 。 (线线平行→线面平行) ②线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线和交线 。 (线面平行→线线平行) (2)平面与平面平行的判定及其性质

两个平面平行的判定定理:
① 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面

1

线面平行→面面平行) ②如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平面 (线线平行→面面平行) ③垂直于同一条直线的两个平面 。



两个平面平行的性质定理:
①如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面 。 (面面平行→线面平行) ②如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线 。 (面面平行→线线平行) 三、空间中的垂直问题 (1)线线、面面、线面垂直的定义 ①两条异面直线的垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线互相 。 ②线面垂直:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,就说这条直线和这个平面 。 ③平面和平面垂直:如果两个平面相交,所成的二面角(从一条直线出发的两个半平面所组成的 图形)是直二面角(平面角是直角) ,就说这两个平面 。 (2)垂直关系的判定和性质定理 ①线面垂直判定定理和性质定理 判定:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线 这个平面。 性质:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。 ②面面垂直的判定定理和性质定理 判定:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相 。 性质: 如果两个平面互相垂直, 那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线 另一个平面。 四、空间角问题 (1)直线与直线所成的角 ①两平行直线所成的角:规定为 度。 ②两条相交直线所成的角:两条直线相交其中 的角,叫这两条直线所成的角。 ③两条异面直线所成的角:过空间任意一点 O,分别作与两条异面直线 a,b 平行的直线, a?, b? 形成两条相交直线,这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。 (2)直线和平面所成的角 ①平面的平行线与平面所成的角:规定为 度。 ②平面的垂线与平面所成的角:规定为 度。 ③平面的斜线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线 和这个平面所成的角。 求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角: “一作,二证,三计算” 。 (3)二面角和二面角的平面角 ①二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做 ,这条直线叫做 二面角的 ,这两个半平面叫做二面角的 。 ②二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成的角叫 。 ③直二面角:平面角是直角的二面角叫 。两相交平面如果所组成的二面角是直二 面角,那么这两个平面 ;反过来,如果两个平面垂直,那么所成的二面角为 。 ④求二面角的方法。 定义法:在棱上选择有关点,过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角。 垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线,过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角 的平面角。
2

【典型例题】
例 1.一空间几何体的三视图如图 1 所示,则该几何体的体积为_________________.

a
2 2 3 正视图 2 左视图

2 2 正(主)视 图1 图 2 侧(左)视图 俯视图

1 1
俯视图 . _.

变式练习:如右上图是一个几何体的三视图,若它的体积是 3 3 ,则 a ? 例 2.设正六棱锥的底面边长为 1,侧棱长为 5 ,那么它的体积为___

例 3.如右图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,O 是底面 A1B1C1D1 的中心,则 O 到平面 AB C1D1 的距离为__________.

D1 O A1 D A
A1 A1

C1 B1 C
A1

A1

B
A1

变式练习: 3 题

变式练习(1)

变式练习(2)

(1)若正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面边长为 1,AB1 与底面 ABCD 成 60° 角,则 A1C1 到底面 ABCD 的距离为( )A. 3 3 B.1 C. 2 D. 3

(2)如图,已知点 E 是棱长为 2 的正方体 AC1 的棱 AA1 的中点,则点 A 到平面 EBD 的距离 例 4.如图所示,已知正四棱锥 S—ABCD 侧棱长为 2 ,底面边长为 3 ,E 是 SA 的中点,则异 面直线 BE 与 SC 所成角的大小为_____________.

3

P

C

例4

A M B

变式练习: (右上) 已知 ?ABC 为等腰直角三角形, P 为空间一点, AC ? BC ? 5 2, PC ? AC , 如图 , 且
PC ? BC , PC ? 5 , AB 的中点为 M ,则 PM 与平面 ABC 所成的角为

例 5.若直线 l∥平面 A、l∥a

,直线

,则 与 的位置关系是( C、 与 相交



B、 与 异面

D、 与 没有公共点

变式练习:给出下列四个命题, 其中假命题的个数是______________. ①垂直于同一直线的两条直线互相平行; ②垂直于同一平面的两个平面互相平行. ③若直线 ④若直线

l1 , l2 l1 , l2

与同一平面所成的角相等,则 是异面直线,则与

l1 , l2

互相平行.

l1 , l2

都相交的两条直线是异面直线.

二、解答题 例 6.正方体 ABCD-A1B1C1D1 , AA1 =2 ,E 为棱 CC1 的中点. (Ⅰ) 求证: B1D1 ? AE ; (Ⅱ) 求证: AC // 平面 B1 DE ; (Ⅲ)求三棱锥 A-BDE 的体积.
A
A1

D1

C1

B1

E
C

D
B

例 7.如下图,平面 EAD⊥平面 ABCD,△ADE 是等边三角形,ABCD 是矩形,F 是 AB 的中点,G 是 AD 的中点,EC 与平面 ABCD 成 30°角. (1)求证:EG⊥平面 ABCD; (2)若 AD=2,求二面角 E-FC-G 的大小; (3)当 AD 的长是多少时,D 点到平面 EFC 的距离为 2,请说 明理由.

4

【随堂练习】
一、选择题 1.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形,且侧棱垂直于底面)高为 4 ,体积 为 16 ,则这个球的表面积是( )A. 16? B. 20? C. 24? D. 32? 2.已知在四面体 ABCD 中, E , F 分别是 AC , BD 的中点,若 AB ? 2, CD ? 4, EF ? AB , 则 EF 与 CD 所成的角的度数为( )A. 90 B. 45 C. 60 D. 30 3.三个平面把空间分成 7 部分时,它们的交线有( ) A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 1 条或 2 条
0 0 0 0

4.在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,底面是边长为 2 的正方形,高为 4 ,则点 A1 到截面 AB1 D1 的距 离为( ) A.

8 3

B.

3 8

C.

4 3

D.

3 4

5.直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,各侧棱和底面的边长均为 a ,点 D 是 CC1 上任意一点,连接

3 3 1 1 A1B, BD, A1D, AD ,则三棱锥 A ? A1BD 的体积为( )A. a 3 B. a 3 C. a 3 D. a 3 12 6 6 12
6.下列说法不正确的是( ) .... A.空间中,一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形; B.同一平面的两条垂线一定共面; C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内; D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直. 二、填空题 1.空间四边形 ABCD 中, E , F , G, H 分别是 AB, BC, CD, DA 的中点,则 BC 与 AD 的位置关系 是_____________;四边形 EFGH 是__________形;当___________时,四边形 EFGH 是菱形; 当___________时,四边形 EFGH 是矩形;当___________时,四边形 EFGH 是正方形 2. P 为边长为 a 的正三角形 ABC 所在平面外一点且 PA ? PB ? PC ? a ,则 P 到 AB 的距离为 __________。 3.如图(下左)长方体中,AB=AD=2 A.30° ,CC1= ,则二面角 C1—BD—C 的大小为( )

B.45° C.60° D.90° 和 CC1 上,AP=C1Q,

4.如图(下右),直三棱柱 ABC—A1B1C1 的体积为 V,点 P、Q 分别在侧棱 AA1 则四棱锥 B—APQC 的体积为( )

A、

B、

C、

D、

5

【家庭作业】
一、选择题 1.设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m?? , n / /? ,则 m ? n ③若 m / /? , n / /? ,则 m / / n 其中正确命题的序号是 ( ②若 ? / / ? , ? / /? , m?? ,则 m?? ④若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ? C.③和④ D.①和④
0

)A.①和② B.②和③

2.在三棱锥 A ? BCD 中, AC ? 底面 BCD, BD ? DC , BD ? DC , AC ? a, ?ABC ? 30 ,则点 C

到平面 ABD 的距离是(

)A.

5 a 5

B.

15 a 5

C.

3 a 5

D.

15 a 3


3.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,若 E 是 A1C1 的中点,则直线 CE 垂直于( A. AC B. BD C. A1 D D. A1 D1

4.在四面体 ABCD 中,已知棱 AC 的长为 2 ,其余各棱长都为 1 ,则二面角 A ? CD ? B 的余

弦值为(

)A.

1 2

B.

1 3

C.

3 3

D.

2 3

5.四面体 S ? ABC 中,各个侧面都是边长为 a 的正三角形, E , F 分别是 SC 和 AB 的中点,则 异面直线 EF 与 SA 所成的角等于( )A. 90
0

B. 60

0

C. 45

0

D. 30

0

6.如图,四棱锥 P—ABCD 中, PA ? 平面 ABCD,底面 ABCD 是直角梯形,AB⊥AD,CD⊥AD, CD=2AB,E 为 PC 中点. P (错误!未找到引用源。) 求证:平面 PDC ? 平面 PAD; (错误!未找到引用源。) 求证:BE//平面 PAD. D

E C

7. 如 图 , 四 棱 锥 S ? ABCD 的 底 面 是 正 方 形 , A ? 底 面 B SA ABCD , E 是 SC 上一点. (1)求证:平面 EBD ? 平面 SAC ; (2)设 SA ? 4 , AB ? 2 ,求点 A 到平面 SBD 的距离;

S

E A D C

B

6

7


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