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第5讲 二倍角的正弦、余弦、正切公式


二倍角的正弦、余弦、正切公式
第一部分 1. sin 2? ? 2sin ? cos ? 知识梳理

c o s? 2?

c2o? s? 2 t a? n tan? 2? 2 1 ? t a n?

2

s? i n? ? 1 2 a 2 s i? n

2

? 2 c? os

1

2. 降次公式: cos 2 ? ? 1 ? cos 2? , sin 2 ? ? 1 ? cos 2? . 2 2 3. 常见方法与技巧归纳 (1)逆用公式 (2)给值求值,给值求角,给角求值 第二部分 考点 1 倍角公式应用 1.求下列各式的值 精讲点拨

5? tan30? ? 1 ;(4) (1) sin cos ;(2) cos 15 ? sin 15 ;(3) 2 cos 8 8 12 1 ? tan2 30?

?

?

2

?

2

?

2

? EX .1? 化简
(1) 1 ? sin 2? ? 0 ? ? ?

? ?

??

?; 4?

(2) 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? , ? ? ?0, ? ?;

(3)当

3? 1 1 1 1 ? ? ? 2? 时, ? ? cos2? 2 2 2 2 2

考点 2 给值求值 2.已知 cos( ? ?

?

4 ? 12 ? ? ) ? ? ,sin( ? ? ) ? , o s ( ? ? ?) 且 ? ? ? ? ,0 ? ? ? , 求c 2 5 2 13 2 2

1

考点 3 给值求角 3. 已知 0 ? ? ?

?
4

,0 ? ? ?

?
4

2? ? ? ) , 4 tan ,且 3 sin ? ? sin(

?
2

? 1 ? tan 2

?
2

,求

? ? ? 的值。

考点 4 给角求值 4. 求 sin 10 sin 30 sin 50 sin 70 的值
? ? ? ?

考点 5 三角恒等式的证明 5.求证: (sin x ? cos x ? 1)(sin x ? cos x ? 1) ? tan x

sin 2 x

2

考点 6 二倍角公式的综合应用技巧 6.已知函数 f ( x) ? sin x ? 2 sin x cos x ? 3 cos x , x ? R 。求
2 2

(1)函数 f ( x) 的最大值及取得最大值时自变量 x 的集合 (2)函数 f ( x) 的单调增区间

2

第三部分 基础达标 一、选择题 1.若 tan(

?
4

? ? )=3,则 sin2 ? -2cos 2 ? 的值为( 3 5
3 4 1 3




A. ?

4 5

B. ?

C.

D.

2.求

1 1 ? 的值是( ? 1 ? tan 22 .5 1 ? tan 22 .5?
B.1 C.-1 D.

A.0

2 2


3.已知 sin(x-

?
4

)= —

1 ,则 sin2x 的值等于( 3
D.-

A.

11 9

B.
2

7 9

C. ?
2

11 9

7 9


4.若 sin x>cos x,则 x 的取值范围是( A.{ x |2k ? -

3 1 ? ﹤ x ﹤2k ? + ? ,k ? z}; 4 4

B.{ x |2k ? +

1 5 ? ﹤ x ﹤2k ? + ? ,k ? z} 4 4
1 1 ? ﹤ x ﹤k ? + ? ,k? z} 4 4

C.{ x |k ? -

D.{ x |k ? + 二、填空题

1 3 ? ﹤ x ﹤k ? + ? ,k ? z} 4 4

5.化简: ? ? (0,

?
4

) , 1 ?n i s

? + 1 ? sin ? - 2 ? 2 cos? =

6.若 tan2 ? = 三、解答题:

4 5? 3 ,? ?( , ? ),则 tan ? = 3 8 4

3

7.化简:

sin 2? cos ? sin ? ? ? 1 ? cos 2? 1 ? cos ? 1 ? cos ?

8.化简: cos2 (? ? 15? ) ? sin 2 (? ?15? ) ? sin(? ? 180? ) cos( ? ?180? )

3 17? 7? sin 2 x ? 2 sin 2 x 10.若 cos( ? x) ? , <x< ,求 的值。 4 5 12 4 1 ? t an x

?

11.若 tan

?
2

?

1 5 sin(? ? ? ) ? ,且 ? ? (0, ? ) , ? ? (0,2? ) ,求 sin ?、 cos ?、 sin ? 2 13

2 12.已知方程 x ? (tan? ? cot? ) x ? 1 ? 0 有两个根,且其中一个根是 2 ? 3 ,求 cos 4?

的值。

4


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