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2015-2016高中数学 1.2函数及其表示习题课课件 新人教A版必修1


第一章 集合与函数概念

习题课(二) 函数及其表示

1.理解函数的概念,了解构成函数的三要素. 2.会求一些简单函数的定义域、值域. 3.能正确使用区间表示数集. 4 .掌握函数的三种表示方法 —— 解析法、图象法、列表 法,在实际情景中,会根据不同的情景选择恰当的函数表示 法.

1.设 M={x|-2≤x≤

2},N={y|0≤y≤2},函数 y=f(x)的 定义域为 M,值域为 N,对于下列四个图象,不可作为函数 y= f(x)的图象的是( )

解析:由函数定义可知,任意作一条直线x=a,则与函数 的图象至多有一个交点,结合选项可知 C中图象不表示 y 是x 的 函数. 答案:C

2.下列各对函数中,图象完全相同的是( A.y=x 与 y= x2 x B.y=x与 y=x0 C.y=( x)2 与 y=|x| D.y= x+1· x-1与 y= ?x+1??x-1?

)

解析:本题主要考查函数的三要素. 对于 A,y= x2=|x| 与 y=x 不是同一个函数, 故它们的图象不同; 对于 C, 函数 y=( x)2 的定义域为[0,+∞),函数 y=|x|的定义域为 R,故它们的图象 不同;对于 D,函数 y= x+1· x-1的定义域为[1,+∞),而 y= ?x+1??x-1?的定义域为(-∞,-1]∪[1,+∞),故它们的 图象不同.故选 B.
答案:B

3.函数f(x)=3x-4的定义域是[1,4],则其值域是( A.{-1,8} C.(-1,8) B.[-1,8] D.R

)

解析:函数f(x)=3x-4,x∈[1,4]的图 象如图所示.

由图可知,f(x)的值域为[-1,8].故选
B. 答案:B

4.已知函数f(x)与g(x)分别由下表给出: x 1 2 3 4

f ( x)
x

2
1

3
2

2
3

1
4

g(x)

1

3

4

3

则f(g(x))=2,则x=________.

解析:本题主要考查函数的对应法则及求函数值.由表易 知,当x=1时,f(g(1))=f(1)=2;当x=2时,f(g(2))=f(3)=2; 当 x = 3 时, f(g(3)) = f(4) = 1 ;当 x = 4 时, f(g(4)) = f(3) = 2 ,故 x 的取值可以是1,2,4. 答案:1,2,4

5.已知函数y=f(x)的图象如图所示,其中 y轴左侧为一条线段,右侧为一段抛物线,则 f(x)的解析式为________.
解析:当-2≤x≤0 时,设 y=ax+b, 把(-2,0)与(0,2)代入 y=ax+b,
? ?0=-2a+b, 得? ? ?2=b. ? ?a=1, 解得? ? ?b=2.

∴y=x+2.

当 0<x≤3 时,设 y=a(x-2)2-2, 把(0,2)代入 y=a(x-2)2-2,得 a=1, ∴y=(x-2)2-2,
? ?x+2, ∴f(x)=? 2 ? ??x-2? -2,

-2≤x≤0, 0<x≤3

? ?x+2, -2≤x≤0, 答案:f(x)=? 2 ? ??x-2? -2, 0<x≤3

6.已知函数f(x)=3x2-5x+2. (1)定义域、对应法则、值域分别是什么? (2)分别求f(3),f(a),f(x+1).

解:(1)定义域为:R,对应法则:f(x)=3x2-5x+2,
? 5? 2 1 1 值域:f(x)=3?x-6? - ≥- , 12 12 ? ? ? ? ? 1 ∴f(x)的值域为?y?y≥-12 ? ? ? ? ? ?. ? ?

(2)f(3)=3×32-5×3+2=14, f(a)=3a2-5a+2, f(x+1)=3(x+1)2-5(x+1)+2=3x2+x.

函数的定义域与值域

(1)若函数 y=f(x)的定义域是[0,2],则函数 f?2x? g(x)= 的定义域是( x-1 A.[0,1] C.[0,1)∪(1,4] ) B.[0,1) D.(0,1) )

(2)函数 y=2- -x2+4x的值域是( A.[-2,2] C.[0,2] B.[1,2]

D.[- 2, 2]

解析:(1)∵f(x)的定义域是[0,2], f?2x? ∴要使 有意义, x-1
? ?0≤2x≤2, 需满足? ? ?x-1≠0, ? ?0≤x≤1, 即? ? ?x≠1,

∴0≤x<1, ∴g(x)定义域为[0,1).故选 B.

(2)∵-x2+4x=-(x-2)2+4≤4, ∴ 0≤ -x2+4x ≤2 , - 2≤ - -x2+4x ≤0,0≤2 -

-x2+4x≤2, ∴0≤y≤2,故选 C.
答案:(1)B (2)C

函数的三要素:定义域、值域和对应法则.定义域是使函

数中每一个式子都有意义的自变量 x 的取值范围,注意最后要
写成集合或区间的形式;值域是当自变量 x 取遍定义域内的所 有值时,所得的所有函数值的集合;对应法则描述如何将定义 域中的数变为值域中的数,它包括解析式、图象和数表三种情 形.

1. (1)若函数 f(x)的定义域是[0,1], 则函数 义域为________.

? 2? f(2x)+f?x+3?的定 ? ?

(2)函数 y=x2-4x+3,x∈[0,3]的值域为________.

0≤2x≤1, ? ? 解析:(1)由? 2 0≤x+ ≤1, ? 3 ? 1 ? ?0≤x≤2, 得? ?-2≤x≤1, 3 ? 3 即
? 1? x∈?0,3?. ? ?

(2)函数y=x2-4x+3=(x-2)2-1,x∈[0,3], 画出函数y=x2-4x+3,x∈[0,3]的图象,如图,得值域为 [-1,3].

? 1? 答案:(1)?0,3? ? ?

(2)[-1,3]

分段函数的方程或不等式

?x+2?x≤-1? ? 2 已知 f(x)=?x ?-1<x<2? ?2x?x≥2? ? A.1 3 C.1,2或± 3

, 若 f(x)=3, 则 x 的值是(

)

3 B.1 或 2 D. 3

解析:本题主要考查分段函数的相关问题.该分段函数的三 段对应函数的值域分别为(-∞, 1], [0,4), [4, +∞), 而 3∈[0,4), ∴f(x)=x2=3,x=± 3,而-1<x<2,∴x= 3,故选 D.
答案:D

1 .可以先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,

列出方程,然后相应求出自变量的值.
2 .也可以先逐段求出函数的值域找到函数值所在的区间 段,列出方程,然后相应求出自变量的值.注意无论采用哪种 方法,都要检验所求自变量的值是否符合题意.

?1 ?2x-1?x≥0? 2.设函数 f(x)=? ?1?x<0? ?x 值范围是________.

,若 f(a)>a,则实数 a 的取

1 解析: 本题主要考查分段函数. 当 a≥0 时, f(a)=2a-1>a, 1 a<-2,矛盾;当 a<0 时,f(a)=a>a,a<-1,所以 a 的取值 范围为(-∞,-1).
答案:(-∞,-1)

函数的解析式
如图所示,已知底角为 45° 的等腰梯形 ABCD,底边 BC 长为 7cm,腰长为 2 2cm,当垂直于底边 BC(垂足为 F)的直线 l 从左至右移动(与梯形 ABCD 有公共点)时,直线 l 把梯形分成两 部分, 令 BF=x, 试写出左边部分的面积 y 关于 x 的函数解析式, 并画出大致图象.

l自左向 思路点拨: → 确定l左侧图形形状 → 求图形面积 右移动 → 建立所求函数解析式 → 画图象

解:过点 A,D 分别作 AG⊥BC,DH⊥BC,垂足分别是 G, H. 因为 ABCD 是等腰梯形, 底角为 45° ,AB=2 2cm, 所以 BG=AG=DH=HC=2 cm. 又 BC=7 cm,所以 AD=GH=3 cm.

(1)当点 F 在 BG 上时, 1 2 即 x∈[0,2]时,y= x ; 2 (2)当点 F 在 GH 上时, x+?x-2? 即 x∈(2,5]时,y= ×2=2x-2; 2 (3)当点 F 在 HC 上时,即 x∈(5,7]时, y=S 五边形 ABFED=S 梯形 ABCD-SRtΔCEF 1 1 1 2 =2(7+3)×2-2(7-x) =-2(x-7)2+10.

综合(1)(2)(3)得函数解析式为 ?1 2 x∈[0,2], ?2x , ? x∈?2,5], y=?2x-2, ? 1 ?- ?x-7?2+10. x∈?5,7], ? 2 函数图象如图所示.

1.欲求l左侧的面积,应先确定形状. 2.l在AB之间,l在DC之间时,其左侧的形状不同,应分 类讨论.

3.如图所示,△OAB是边长为2的正三角形,这个三角形 位于直线x=t左边的图形的面积为y,求函数y=f(t)的解析式及

其定义域、值域,并作出其图形.

解:∵△ABO 是正三角形,且边长为 2, ∴题图中各点坐标为 A(2,0),B(1, 3),D(t,0),而 C 点纵 坐标 yc 可以利用 Rt△OCD 中有一个角∠COD=60° ,而求得 yc = 3t(0≤t≤1).而当 1<t≤2 时,|DA|=2-t,同理 yc= 3(2- t). 1 1 32 ∴当 0≤t≤1 时,y=f(t)= |OD|· |DC|= t· 3t= t . 2 2 2

1 当 1<t≤2 时,y=f(t)=S△OAB-S△CDA= 3-2· (2-t)· 3(2- 3 32 2 t)= 3- 2 (2-t) =- 2 t +2 3t- 3. 再注意到,当 t<0 时,显然有 y=0,当 t>2,有 y= 3. ?0,t<0, ? ? 32 ? 2 t ,0≤t≤1, ∴y=f(t)=? ?- 3t2+2 3t- 3,1<t≤2, ? 2 ? 3,t>2. ?

此函数的定义域为 R,值域为[0, 3].图象如下图.


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