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贵州省凯里市第一中学2016届高三数学一轮总复习 专题四 指数函数、对数函数、幂函数(含解析)


专题四、指数函数、对数函数、幂函数 抓住 4 个 高考重点
重点 1 指数与对数的运算 1.两个重要公式

?a, n为奇数 ? n n (1) a ? ? ?a(a ? 0) ?| a |? ??a(a ? 0) , n为偶数 ? ?
2.分数指数幂 a
m n

(2) (n a) ? a (注意 a 必须

使 n a 有意义)
n

? a ,
n m

a

?

m n

?

1
n

a

m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)
n logb N 1 n , log a b ? , log a m b ? log a b m logb a logb a
M ? log a M ? log a N , loga M n ? n loga M N

3.(1)对数的性质: a

log a N

? N , loga a N ? N , log a N ?

(2)对数的运算法则: loga MN ? loga M ? loga N , log a [高考常考角度] 角度 1 计算 (lg
1 ? 1 ? lg 25) ? 100 2 = 4

?20

.

1 ? 1 1 1 ? ? ?20 解析: (lg ? lg 25) ? 100 2 ? lg 4 100 10

角度 2 (2010 上海)已知 0 ? x ?

?
2

,化简: lg(cos x ? tan x ? 1 ? 2 sin

2

解析:原式 ? lg(sin x ? cos x) ? lg(sin x ? cos x) ? lg(1 ? sin 2 x)

x ? ) ? lg[ 2 cos( x ? )] ? lg(1 ? sin 2 x) . 2 4

(sin x ? cos x)2 1 ? sin 2 x ? 2lg(sin x ? cos x) ? lg(1 ? sin 2 x) ? lg ? lg ? lg1 ? 0 1 ? sin 2 x 1 ? sin 2 x
重点 2 指数函数的图象与性质 1.指数函数及其性质

[高考常考角度] 角度 1 若点 ( a,9) 在函数 y ? 3 的图象上,则 tan
x

a? 的值为( D 6



1

A. 0

B.

3 3

C. 1

D.

3

a 2 解析: 3 ? 9 ? 3 , a ? 2 , tan

a? ? ? tan ? 3 ,故选 D. 6 3

5 5 5 ,则 a, b, c 的大小关系是 ( 角度 2 设 a ? ( ) ,b ? ( ) ,c ? ( )

3 5

2

2 5

3

2 5

2

A )

A. a ? c ? b
2

B. a ? b ? c

C. c ? a ? b

D. b ? c ? a

解析: y ? x 5 在 x ? 0 时是增函数,所以 a ? c , y ? ( ) 在 x ? 0 时是减函数,所以 c ? b 。
x

2 5

重点 3 对数函数的图象与性质

[高考常考角度] 角度 1 函数 f ( x) ? log5 (2 x ? 1) 的单调增区间是___ (? 解析:由 2 x ? 1 ? 0 得 x ? ?

1 , ??) _______ 2

1 1 ,由复合 函数法则得 f ( x ) 与 u ? 2 x ? 1 的增减性相同,故所求为 (? , ??) 2 2

角度 2 已知函数 f ( x) ?| lg x | ,若 0 ? a ? b ,且 f (a) ? f (b) ,则 a ? 2b 的取值范围是( C )

A. (2 2, ??)

B. [2 2, ??)

C. (3, ??)

D. [3, ??)

点评:本小题主要考查对数函数的性质、函数的单 调性、函数的值域,考生在做本小题时极易忽视 a 的取值范围,而

2 ? 2 2 ,从而错选 A,这也是命题者的用苦良心之处. a 1 2 解析 1:因为 f (a) ? f (b) ,所以 | lg a |?| lg b | ,所以 a ? b (舍去),或 b ? ,所以 a ? 2b ? a ? a a 2 又 0 ? a ? b ,所以 0 ? a ? 1 ? b ,令 f (a ) ? a ? ,由“对勾”函数的性质知函数 f ( a ) 在 a ? (0,1) 上为减函数,所以 a
利用均值 不等式求得 a ? 2b ? a ?

f (a) ? f (1) ? 3 ,即 a ? 2b 的取值范围是 (3, ??)

?0 ? a ? 1 ?0 ? x ? 1 ? ? 解析 2:由 0 ? a ? b ,且 f (a) ? f (b) 得: ?1 ? b ,利用线性规划得: ?1 ? y ,求 z ? x ? 2y 的取值范围问题, ? ab ? 1 ? xy ? 1 ? ?
2

1 1 z ? x ? 2 y ? y ? ? x ? z ,过点 ?1,1? 时 z 最小为 3,∴ (3, ??) 为所求. 2 2

?21? x , x ? 1 角度 3 设函数 f ( x) ? ? ,则满足 f ( x) ? 2 的 x 的取值范围是( D ) ?1 ? log 2 x, x ? 1
A. [?1, 2] B. [0, 2] C. [1, ??) D. [0, ??)

解:即解不等式组 ?

?x ? 1 ?2
1? x

?2

或?

?x ? 1 ?x ? 1 ?x ? 1 ;由 ? 1? x 得 0 ? x ? 1 ;由 ? 得 x ? 1 ,故选择 D。 ?1 ? log 2 x ? 2 ?1 ? log 2 x ? 2 ?2 ? 2
2.幂函数的性质

重点 4 幂函数的图象与性质 1.幂函数的常见 5 种形式的图象与性质:

[高考 常考角度] 角度 1 已知幂函数 y ? xn 在第一象限内的图象如图,当 n 取 ?3, ? ( )

1 四个值,则相应于曲 线 C1 , C2 , C3 , C4 的 n 依次为 3

A. ?3, ? , ,3 C. ? , ?3,3,

1 1 3 3

1 3

1 3

1 1 3 3 1 1 D. 3, , ?3, ? 3 3

B. 3, , ? , ?3

角度 2 在平面直角坐标系 xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数 f ( x) ? 最小值是____4____.

2 的图象交于 P 、 Q 两点,则线段 PQ 长的 x

2 2 解析:设经过原点的直线与函数的交点为 ( x, ) , ( ? x, ? ) ,则 PQ ? (2 x) ? ( ) ? 4 .

2 x

2 x

4 x

本题主要考查幂函数,函数图象与性质,函数与方程,函数模型及其应用,两点间距离公式以及基本不等式,中档题. 突破 1 个高考难点 难点 指数、对数比较大小问题的求解
? 1 2

典例设 a ? log3 2, b ? ln 2, c ? 5

,则( C



A . a?b?c

B. b ? c ? a

C. c ? a ? b

D. c ? b ? a

点评:本小题以指数、对数为载体,主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的 倒数法则的应用.
3

解析 1: a ? log3 2 ?
1 2

1 1 , b ? ln 2 ? ,而 log2 3 ? log2 e ? 1 ,所以 a ? b log 2 3 log 2 e

c?5

?

?

1 ,而 5 ? 2 ? log2 4 ? log2 3 ,所以 c ? a ,综上 c ? a ? b 5

解析 2: a ? log3 2 ?

1 1 , b ? ln 2 ? , 1 ? log2 e ? log2 3 ? 2 , log 2 3 log 2 e

1 ? 1 1 1 1 1 1 ? ? ? 1, c ? 5 2 ? ? ? ,? c ? a ? b 2 log 2 3 log 2 e 5 4 2

规避 2 个易失分点 易失分点 1 指数、对数运算掌握不牢固
2 2 2 典例 设函数 f ( x) ? log a x(a ? 0 且 a ? 1) ,若 f ( x1 x2 ...x2014 ) ? 8, 则 f ( x1 ( ) ? f ( x2 ) ? ... ? f ( x2014 ) 的值等于

C



A . 4

B. 8

C. 16

D. 2loga 8

解析:? f ( x) ? loga x 且 f ( x1 x2 ...x2014 ) ? 8

?loga ( x1x2 ...x2014 ) ? 8

2 2 ?? f ( x12 ) ? f ( x2 ) ? ... ? f ( x2014 ) ? 2loga | x1 | ?2loga | x2 | ?... ? 2loga | x2014 |

? 2loga | x1x2 ...x2014 |? 2loga ( x1x2 ...x2014 ) ? 2 ? 8 ? 16 ,故选 C
易失分点 2 对复合函数的性质把握不到位 典例已知 y ? log a (2 ? ax) 在 [0,1] 上是 x 的减函数,则 a 的取值 范围是( B ) A. (0,1) B. (1, 2) C. (0, 2) D. [2, ??)

解析:令 u ? 2 ? ax,? a ? 0,?u ? ?ax ? 2 为减函数,又 y ? log a u 在 [0,1] 上是 x 的减函数 根据复合函数“ 同增异减”的法则,可知 a ? 1 , 又 u ? 0 在 [0,1] 上恒成立,故 u(1) ? 2 ? a ? 0 ?? a ? 2 ?1 ? a ? 2 ,故选 B

4


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