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浙江省杭州第二中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题


杭州二中 2015 学年第一学期高一年级期中考数学试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1、设集合 M ? ?0,1, 2? , N ? ? x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0? ,则 M ? N ? ( (A) ?1? (B) ?2? (C) ?0,1? (D) ?1, 2?

) )

2、已知 a ? log2 0.3 , b ? 20.1 , c ? 0.21.3 ,则 a、b、c 的大小关系为( (A)a<b<c (B)c<a<b (C)a<c<b (D)b<c<a 1 3、已知函数 f ( x) ? ? log 2 x ,在下列区间中,函数 f ( x) 有零点的是( x (A) ? 0,1?
2



(B) ?1, 2 ?

(C) ? 2, 4 ? )

(D) ? 4, ???

4、函数 f ( x) ? log 1 ( x 2 ? 4) 的单调递增区间为( (A) ? 0, ?? ? (B) ? ??,0 ? (C) ? 2, ???

(D) ? ??, ?2?

5、已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) 和偶函数 g ( x) 满足 f ( x) ? g ( x) ? a x ? a? x ? 2 (a>0,且 a ? 1) ,若 g (2) ? a ,则 f ?2? 等于( (A)2 (B)
15 4


17 4

(C)

(D) a 2 )

? 2 x , x ? 4, 6、若函数 f ( x) ? ? 则 f (log2 3) 等于( ? f ( x ? 3), x ? 4,
(A)3 (B)4 (C)16 (D)24

7、已知两个函数 f ( x) 和 g ( x) 的定义域和值域都是集合 ?1, 2,3? ,其定义如下表:

x
f ( x)

1 2

2 3

3 1

x
g ( x)

1 3

2 2

3 1

则方程 g ( f ( x)) ? x 的解集是( (A) ?3? (B) ?2?

) (C) ?1? ) (D) ?

1? ? 8、函数 f ? x ? ? ln ? x ? ? 的图像是( x? ?

1 9、函数 f ( x) ? x ?| x | ?1? 在 ?m, n? 上的最小值为 ? ,最大值为 2,则 n ? m 的最大值为( 4



(A)

5 2

(B)

2 5 + 2 2

(C)

3 2

(D)2

10、对于函数 f ? x ? ,若对于任意的 x1 , x2 , x3 ? R , f ? x1 ? , f ? x2 ? , f ? x3 ? 为某一三角形的三边长, 则称 f ? x ? 为“可构成三角形的函数” .已知函数 f ? x ? ? 实数 t 的取值范围是(
?1 ? (A) ? , 2 ? ?2 ?
1

ex ? t 是“可 构成三角形的函数” ,则 ex ? 1

) (C) ?1, 2? (D) ? 0, ?? ?

(B) ?0,1?

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分。 11、计算 0.01 2 ? 8 3 ? 2log4 5 ? 12、函数 y ? 1 ? lg ? x ? 2 ? 的定义域为________ 13、若函数 f ( x) 是幂函数,且满足
1 f (4) ? 3 ,则 f ( ) 的值为________ 2 f (2)
? 2

14、已知定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,且 f ( x) 在 ?1, ?? ? 为递增函数, 若不等式 f (1 ? m) ? f (m) 成立,则 m 的取值范围是________ 15、设 f ( x) 为定义在 R 上的奇函数, f (1) ?
1 , f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (2) ,则 f (5) ? ________ 2

?| lg x |, x ? 0 16、已知函数 f ( x) ? ? 2 ,若函数 y ? 2[ f ( x)]2 ? 3mf ( x) ? 1 有 6 个不同的零点,则 ?? x ? 2 x, x ? 0
实数 m 的取值范围是

三、解答题:本大题共 4 小题,共 46 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 B ? ? x | x 2 ? a ? 0? 17、 (本题满分 8 分)设全集是实数集 R , A ? ? x | 2 x 2 ? 7 x ? 3 ? 0? , (1)当 a ? ?1 时,求 A ? B 和 A ? B ; (2)若 ?CR A? ? B ? B ,求实数 a 的取值范围。

?2 x ? b 18、 (本题满分 12 分)已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? x ?1 是奇函数 2 ?a
(1)求 a 、 b 的值; (2 )判断并证明 f ( x) 的单调性;
2 2 (3)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? K ) ? 0 恒成立,求 K 的取值范围。

19、 (本题满分 12 分)设 a 为实数,函数 f ? x ? ? ? x ? a ? ? x ? a ? a ? a ? 1? .
2

( 1)若 f ? 0? ? 1,求 a 的取值范围; (2)讨论 f ? x ? 的单调性; (3)当 a ? 2 时,讨论 f ? x ? ? x 在 R 上的零点个数.

20、 (本题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ? x ?

a ? 4 , g ( x) ? kx ? 3 . x

(1)当 a ? k ? 1 时,求函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增与单调递减区 间; (2)当 a ? [3, 4] 时,函数 f ( x) 在区间 [1, m] 上的最大值为 f ( m) ,试求实数 m 的取值范围; ( 3)当 ( x1

a ? [1, 2]时,若不等式 | f ( x1 ) | ? | f ( x2 ) |? g ( x1 ) ? g ( x2 ) 对任意 x1, x2 ?[2, 4]

? x2 )恒成立,求实数 k 的取值范围.

杭州二中 2015 学年第一学期高一年级期中考数学答案
一、 选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分。在每小题 给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
题号 答案

1 D

2 C

3 B

4 D

5 B

6 D

7 A

8 B

9 B

10 A

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分。

11. 14 ?

5

12.[-2,8] 15. 5

13. 1

3

14.( ??, 1 )
2

2

16. (??, ?1)

三、解答题:本大题共 4 小题,共 46 分,解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。 17、 (本题满分 10 分)
? (1) A ? B ? ? ? x | ? x ? 1? ? 1 2 ?

A ? B ? ?x | ?1 ? x ? 3?

(2) a ? ?

1 4

18、 (本题满分 10 分) (1)
a?2

,b ?1

(2) f ( x) 在 R 上为减函数(证略) (3) k ? ?
1 3

19、 (本题满分 12 分)
(1) ? ??, ? ; 2

? ?

1? ?

(2) f ( x) 在 (a,??) 上单调递增,在 (??, a) 上单调递减; (3)当 a ? 2 时, f ? x ? ? x 有两个零点. 试题解析: (1) f (0) ? a ? a ? a ? a ? a ? a ,因为 f ? 0? ? 1,所以 a ? a ? 1 ,
2 2

当 a ? 0 时, 0 ? 1 ,显然成立;当 a ? 0 ,则有 2a ? 1 ,所以 a ? 综上所述, a 的取值范围是 ? ??, ? . 2

1 1 .所以 0 ? a ? . 2 2

? ?

1? ?

2 ? ? x ? ?2a ? 1?x, x ? a (2) f ( x) ? ? 2 ? ? x ? (2a ? 1) x ? 2a, x ? a

对于 u1 ? x 2 ? ?2a ? 1?x ,其对称轴为 x ? 所以 f ( x) 在 (a,??) 上单调递增;

2a ? 1 1 ? a ? ? a ,开口向上, 2 2

对于 u1 ? x 2 ? ?2a ? 1?x ? 2a ,其对称轴为 x ? 所以 f ( x) 在 (??, a) 上单调递减.

2a ? 1 1 ? a ? ? a ,开口向上, 2 2

综上所述, f ( x) 在 (a,??) 上单调递增,在 (??, a) 上单调递减. (3)由(2)得 f ( x) 在 (a,??) 上单调递增,在 (0, a ) 上单调递减,所以 f ( x) min ? f (a) ? a ? a 2 . 当 a ? 2 时, f ( x) min ? f (a) ? a ? a 2 , 当 x ? (0, a) 时, f (0) ? 2a ? 4 , f (a) ? a ? a 2 ,而 y ? ? x 在 x ? (??,0) 上单调递增,

y ? ? x 在 x ? (0, ??) 单调递减,下面比较 f (a) ? a ? a 2 与 ? a 的大小
因为 a ? a ? (? a ) ? 2a ? a ? 0
2 2

所以 f (a) ? a ? a ? ? a
2

结合图象不难得当 a ? 2 时, y ? f ( x) 与 y ? ? x 有两个交点. 综上所述,当 a ? 2 时, f ? x ? ? x 有两个零点.

20、 (本题满分 14 分)

试题解析: (1)单调递增区间为 ? ??, ?

? ? ?

? 2 ? ? ? 2 ? 2? 2? , ?? , 0 和? ,单调递减区间为 ? ? 和 ? 0, ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ?

(2)∵ 3 ? a ? 4 ,∴ y ? f ( x) 在 (1, a ) 上递减,在 ( a, ? ?) 上递增, 又∵ f ( x ) 在区间 [1, m] 上的最大值为 f ( m) , ∴ f (m) ? f (1) ,得 (m ? 1)(m ? a) ? 0 ,∴ m ? amax ,即 m ? 4 ; 6 分 (3)∵ | f ( x1 ) | ? | f ( x2 ) |? g ( x1 ) ? g ( x2 ) ∴ | f ( x1 ) | ? g ( x1 ) ?| f ( x2 ) | ? g ( x2 ) 恒成立

令 F ( x) ?| f ( x) | ? g ( x) ,∴ F ( x) 在 [2, 4] 上递增。

a ? (?1 ? k ) x ? ? 1 x ? [2,2 ? 4 ? a ] ? ? x 对于 F ( x) ? ? , , ?(1 ? k ) x ? a ? 7 x ? (2 ? 4 ? a ,4] ? x ?
(1)当 x ?[2,2 ? 4 ? a] 时, F ( x) ? (?1 ? k ) x ? ①当 k ? ?1 时, F ( x ) ? ?

a ?1 x

a ? 1 在 [2,2 ? 4 ? a ] 上递增,所以 k ? ?1 符合; x a ②当 k ? ?1 时, F ( x) ? (?1 ? k ) x ? ? 1 在 [2,2 ? 4 ? a ] 上递增,所以 k ? ?1 符合; x
③当 k ? ?1 时,设 2 ? x1 ? x2 ? 2 ? 4 ? a , F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 欲 F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? 0 恒成立,只需 a ? (1 ? k ) x1 x2 ? 0 即可,即 当 x1 、 x2 都趋向于 2 ? 4 ? a 时, x1 x2 最大

a ? (1 ? k ) x1 x2 x1 x2

a ? x1 x2 1? k

?

a ? (2 ? 4 ? a ) 2 1? k

即只需

a 1 2 4 ? 2 ? 4 ? a ,即 ?( ? ? 1)max ? 2 ? 3 k ?1 k ?1 a a

∴ ?1 ? k ? 6 ? 4 3 ,∴ k ? 6 ? 4 3 (2)当 x ? (2 ? 4 ? a,4] 时, F ( x) ? (1 ? k ) x ? ①当 k ? 1 时, F ( x) ?

a ?7 x

a ? 7 在 (2 ? 4 ? a ,4] 上递减,所以 k ? 1 不合; x a ②当 k ? 1 时, F ( x) ? (1 ? k ) x ? ? 7 在 (2 ? 4 ? a ,4] 上递减,所以 k ? 1 不合; x ③当 k ? 1 时,同样由单调性定义可得,

只需

a 1 2 4 ? 2? 4?a , ?( ? ? 1)min ? 1 ? 2 , 1? k 1? k a a

∴k ? 2 2 ?2 又 F ( x) 为连续函数, (6 ? 4 3) ? (2 2 ? 2) ? 0 综上可知, k ? 6 ? 4 3 .


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