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最新2013年高中物理竞赛培训教材


高中物理竞赛培训教材 目
第一讲 第二讲 第三讲 第四讲 第五讲 第六讲 第七讲 第八讲 第九讲 第十讲 第十一讲 第十二讲 第十三讲 第十四讲 第十五讲 第十六讲 第十七讲 第十八讲 第十九讲 第二十讲 第二十一讲 第二十二讲



力的处理???????????????????????? (2) 力矩和力矩平衡???????

?????????????? (5) 直线运动 ??????????????????????? (15) 相对运动???????????????????????? (29) 关联速度???????????????????????? (40) 力???????????????????????????? (55) 摩擦角及其它??????????????????????? (65) 一般物体的平衡稳度??????????????????? (76) 牛顿定律???????????????????????? (85) 万有引力 天体的运动??????????????????? (94) 功和能????????????????????????? (104) 功能原理和机械能守恒定律???????????????? (122) 动量和能量??????????????????????? (129) 机械振动和机械波???????????????????? (146) 热力学基础??????????????????????? (154) 原子物理??????????????????????? (160) 电场?????????????????????????? (184) 静电场中的导体与电介质????????????????? (201) 电路?????????????????????????? (215) 磁场对电流的作用和电磁感应??????????????? (224) 带电粒子在电磁场中的运动????????????????(234) 交流电、 电磁振荡、 电磁波????????????????? (242)

1

第一讲 力的处理

一、矢量的运算 1、加法 表达: a + b = c 。 名词: c 为“和矢量” 。 法则:平行四边形法则。如图 1 所示。 和矢量大小:c = 中α 为 a 和 b 的夹角。 和矢量方向: c 在 a 、 b 之间,和 a 夹角β = arcsin 2、减法 表达: a = c - b 。 名词:c 为“被减数矢量” b 为“减数矢量” a 为“差 , , 矢量” 。 法则:三角形法则。如图 2 所示。将被减数矢量和减数 矢量的起始端平移到一点,然后连接两时量末端,指向被减 数时量的时量,即是差矢量。 差矢量大小:a =

?

?

?

?

a 2 ? b 2 ? 2ab cos ? ,其

?

?

?

?

?

?

b sin ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos ?

?

?

?

?

?

?

? ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos ? ,其中θ 为 c 和 b 的夹角。

差矢量的方向可以用正弦定理求得。 一条直线上的矢量运算是平行四边形和三角形法则的特例。 例题:已知质点做匀速率圆周运动,半径为 R ,周期为 T ,求它在 内的平均加速度大小。

1 1 T 内和在 T 4 2

1 T 的过程,A 到 4 1 ? C 点对应 T 的过程。这三点的速度矢量分别设为 v A 、 2
解说:如图 3 所示,A 到 B 点对应
2

? ? vB 和 vC 。
? ? ? ? ? ? vC ? vA vB ? vA ? ? ? vt ? v0 根据加速度的定义 a = 得: a AB = , a AC = t AB t AC t
由于有两处涉及矢量减法,设两个差矢量 ?v1 = v B - v A , ?v 2 = v C - v A ,根 据三角形法则,它们在图 3 中的大小、方向已绘出( ?v 2 的“三角形”已被拉伸成一条 直线) 。 本题只关心各矢量的大小,显然:

?

?

?

?

?

?

?

vA = vB = vC =

2?R ,且: ?v1 = T

2 vA =

2 2?R 4?R , ?v 2 = 2 v A = T T

所以: a AB =

?v 1 t AB

2 2?R 4?R ?v 2 8 2 ?R 8?R T = = , a AC = = T = 。 2 T T t AC T T2 4 2

观察与思考:这两个加速度是否相等,匀速率圆周运动是不是匀变速运动? 3、乘法 矢量的乘法有两种:叉乘和点乘,和代数的乘法有着 质的不同。 ⑴ 叉乘 表达: a ? b = c 名词: c 称“矢量的叉积” ,它是一个新的矢量。 叉积的大小:c = absinα ,其中α 为 a 和 b 的夹角。意义: c 的大小对应由 a 和

?

?

?

?

?

?

?

?

? b 作成的平行四边形的面积。
叉积的方向: 垂直 a 和 b 确定的平面, 并由右手螺旋定则确定方向, 如图 4 所示。 显然, a ? b ≠ b ? a ,但有: a ? b = - b ? a ⑵ 点乘 表达: a ? b = c 名词:c 称“矢量的点积” ,它不再是一个矢量,而是一个标量。

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

3

点积的大小:c = abcosα ,其中α 为 a 和 b 的夹角。 二、共点力的合成 1、平行四边形法则与矢量表达式 2、一般平行四边形的合力与分力的求法 余弦定理(或分割成 RtΔ )解合力的大小 正弦定理解方向 三、力的分解 1、按效果分解 2、按需要——正交分解

?

?

4

第二讲 力矩和力矩平衡

力矩是表示力对物体产生转动作用的物理量, 是物体转动转动状态改变的原因。 它等于力和力臂的乘积。表达式为:M=FL,其中力臂L是转动轴到F的力线的(垂直) 距离。单位: Nm 效果:可以使物体转动.

正确理解力矩的概念 力矩是改变转动物体的运动状态变化的物理量,门、窗等转动物体从静止状态 变为转动状态或从转动状态变为静止状态时,必须受到力的作用。但是,我们若将 力作用在门、窗的转轴上,则无论施加多大的力都 不会改变其运动状态,可见转 动物体的运动状态的变化不仅与力的大小有关, 还受力的方向、 力的作用点的影响。 力的作用点离转轴越远,力的方向与转轴所在平面越趋于垂直,力使转动物体运动 状态变化得就越明显。物理学中力的作用点和力的作用方向对转动物体运动状态变 化的影响,用力矩这个物理量综合表示,因此,力矩被定义为力与力臂的乘积。力 矩概括了影响转动物体运动状态变化的所有规律,力矩是改变转动物体运动状态的 物理量。 力矩是矢量,在中学物理中,作用在物体上的力都在同一平面内,各力对转轴 的力矩只能使物体顺时针转动或逆时针转动,这样,求几个力矩的合力就简化为代 数运算。 力对物体的转动效果 使物体转动改变的效果不仅跟力的大小有关,还跟力臂有关,即力对物体的转 动效果决定于力矩。①当臂等于零时,不论作用力多么大,对物体都不会产生转动 作用。②当作用力与转动轴平行时,不会对物体产生转动作用,计算力矩,关键是 找力臂。需注意力臂是转动轴到力的作用线的距离,而不是转动轴到力的作用点的 距离。 大小一定的力有最大力矩的条件: ①力作用在离转动轴最远的点上; ②力的方向垂直于力作用点与转轴的连线。 力矩的计算:
5

①先求出力的力臂,再由定义求力矩M=FL 如图中,力F的力臂为LF=Lsinθ 力矩M=F?L sinθ ②先把力沿平行于杆和垂直于杆的两个方向分解, 平行于杆的分力对杆无转动效果, 力矩为零;平行于杆的分力的力矩为该分力的大小与杆长的乘积。 如图中,力F的力矩就等于其分力F1产生的力矩,M=F sinθ ?L 两种方法不同,但求出的结果是一样的,对具体的问题选择恰当的方法会简化解题 过程。
F L θ LF θ L F1 θ

F F2

明确转轴很重要: 转轴:物体转动时,物体上的各点都沿圆周运动,圆周的中心在同一条直线上, 这条直线叫转轴。 特点:①物体中始终保持不动的直线就是转轴。 ②物体上轴以外的质元绕轴转动,转动平面与轴垂直且为圆周,圆心在 轴上。 ③和转轴相平行的线上各质元的运动情况完全一样。

大多数情况下物体的转轴

是容易明确的,但在有的

情况下则需要自己来确定转轴的位置。如:一根长木棒置于水平地面上,它的两个 端点为AB,现给B端加一个竖直向上的外力使杆刚好离开地面,求力F的大小。在这 一问题中,过A点垂直于杆的水平直线是杆的转轴。象这样,在解决问题之前,首先 要通过分析来确定转轴的问题很多,只有明确转轴,才能计算力矩,进而利用力矩 平衡条件。 有固定转动轴物体的平衡
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转动平衡:有转动轴的物体在力的作用下,如果保持静止或匀速转动状态,我 们称这个物体处于转动平衡。 注意:作用于同一物体的同一力,由于所取转轴的位置不同,该力对轴的力矩大小 可能发生相应的变化,对物体产生转动作用的方向(简称“转向” )也可能不同。例如 如右图中的力 F, 若以 o1 为轴 (即对 o1 取矩) 其力矩为 M1=FL1, 使物体逆时针转, 若以 o 2 为轴(即对 o 2 取矩)其力矩为 M2=FL2,使物体顺时针转,由图可知 L1< L2,故 M1< M2, 且二者反向。由此可见,一谈力矩,必须首先明确是以何处为轴,或对谁取矩。 平衡条件:作用于物体上的全部外力对固定转动轴所取力矩的代数和为零。 沿着转轴观察,力矩的转动效应不是使物体沿顺时针转,就是逆时针转,若使物体 沿顺时针转的力矩为正,则使物体沿逆时针转的力矩就为负。 可以将力分解带沿杆和垂直于方向沿杆的分力力矩为零 (或者垂直于面和平行与面 或者轴,其中平行与面或者轴的分力力矩为零) 当作用在有固定转动轴物体上的顺时针方向力矩之和与逆时针方向力矩之和相等 时,物体将处于静止或匀速转动状态。有固定转动轴物体的平衡的表达式为:

? M ? O或 ? M ? ? ? M ?
作用在物体上的大小相等.方向相等.作用线平行的两个力组成一个力偶。它对物体 只有转动作用,其大小积为力偶距:力偶距=力?力偶臂.力偶臂等于两个力作用线间的 距离.力偶距的正负也由它使物体转动方向来确定;逆时针为正,顺时针为负。 (3)解决实际问题的步骤; (a)确定研究对象——哪个物体; (b)分析状态及受力——画示意图;分析研究对象的受力情况,找出每一 个力的力臂,分析每一个力矩的转动方向; (c)列出力矩平衡方程:∑M=0或∑M顺=∑M逆; (d)解出字母表达式,代入数据; (e)作必要的讨论,写出明确的答案。 (4)一般物体的平衡条件 此处所谈的“一般物体”是指没有固定转动轴物体。 对一个“一般物体”来说,作用在它上面的力的合力为零,对任意一点的力矩之和

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为零时,物体才能处于平衡状态。也就是说必须一并具有或满足下面两个关系式:

?? M ? 0(对任意转轴) ? ? ? ?? F ? 0 ?
注意:∑M=0 或∑M 顺=∑M 逆,方程转轴可以根据需要可以任意选取,一般原则是尽量 多的力力臂为零,或者让未知的力的力矩为零. 例题分析: 例题 1: 如图:BO 是一根质量均匀的横梁,重量 G1=80N,BO 的一端安在 B 点,可绕通 过 B 点且垂直于纸面的轴转动,另一端用钢绳 AO 拉着横梁保持水平,与钢绳的夹角

? ? 30 o ,在横梁的 O 点挂一个重物,重要 G2=240N,求钢绳对横梁的拉力 F1:
(1)本题中的横梁是一个有固定转动轴的物体; (2)分析横梁的受力:拉力 F1,重力 G1,拉力 F2; (3)找到三个力的力臂并写出各自的力矩:

F1 的力矩: F1l sin ?

G1 的力矩: G1

l 2

F2 的力矩: G 2 l

解:据力矩平衡条件有:

F1l sin ? ? G1

G ? 2G 2 l ? G2 l ? 0 由此得: F1 ? 1 ? 560 N 2 2 sin ?

例题 2:如右上图,半径为 R 的均匀圆柱体重 30 N,在水平绳的拉力作用下,静止于固 定斜面上,求:(1)绳子的拉力,(2)斜面对圆柱体的支持力,(3)斜面对圆柱体的摩擦 力。 解析:如右下图,圆柱体受重力、斜面的支持力和摩擦力、绳拉力四个力。此四力 不是共点力。不可以将绳拉力 T,摩擦力 f 平移到柱体重心 处。用共点力平衡条件解决较繁(将斜面对柱体的支持力 N 和摩擦力 f 合成为一个力 F,则 F、T、G 共点,然后再将 R 分解求得 N、f) 。用力矩解决较好。 取接触点为轴, 由力矩平衡有: T(R+Rcos370)=GRsin370,

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T?

G ? 10N 3 , f ?R? G ? 10N 3 ;

取柱心为轴,有 TR=fR,得

再取拉力作用点为轴,有 NRsin370=f(R+Rcos370), 得 N=G=30N。 例题 3: 如图所示, 光滑圆弧形环上套有两个质量不同的小球 A 和 B 两球之间连有弹簧, 平衡时圆心 O 与球所在位置的连线与竖直方向的夹角分别为 α 和 β , 求两球质量之比。

O A α β B

N1 A
O A α β B

N2 O α β B m2g N1


N3

m1g

解析:此题可以分别分析小球 A、B 所受共点

力,对每个球列共点力平衡方程求解,但是很繁琐。若换一个角度,以 O 为轴用力矩求 解则较方便。如右下图,小球 A 受到 N1、N2、 m1g 三个力作用,B 受到 N1’ 3、m2g 三个 、N 力作用。与弹簧一起看作绕过 O 点的转动轴平衡问题,其中 N2、N3 没有力臂,N1 和 N1’ 的力矩互相抵消。于是有:m1gRsinα =m2gRsinβ ,所以有:

m1 sin? ? 。 m 2 sin?

例题4:一块均匀木板MN长L=15m,重G1=400N,搁在相距D=8m的两个支架A、B上, MA=NA,重G2=600N的人从A点向B点走去,如图所示。求:①人走过B点多远木板会 翘起来?②为使人走到N点时木板不翘起来,支架B应放在离N多远处?2.67m 、3m

分析和解:当木板刚翘起来时,板的重力对 B 点产生的力矩和人的重力对 B 点产生 的力矩使板平衡,设人走过 B 端 L 时木板会翘起来,则有 400 ? 4 ? 600 ? LB 可解得

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LB=2.67m,

同理,可设当人走到 N 端木板刚要翘起来时,B 支架和 N 端的距离为 LBN 可得 LBN=3m

则有 400 ? (7.5 ? LBN ) ? 600 ? LBN

例题 5: 在光滑水平面上有一滑块,滑块上放有一个上端有固定转动轴的木棒,如图 1。 . 现用水平力 F 向右推滑块,但滑块仍静止。试分析滑块对木棒的弹力的变化情况。

分析与解答: 先应弄清施力 F 前的情况; 因为滑块静止,目水平面是光滑的,所以木棒对滑块只有 竖直向下的压力 力) ,而无摩擦力。由牛顿第三案律可知,滑块对木棒也只有支持力(弹

。 再以木棒为研究对象,对于其转动轴,木棒所受的弹力 N 的力距与木棒的重

力距平衡,如图 2(a)所示。

施力 F 点,同样由滑块静止可知,木棒对滑块向左的静摩擦力 滑块对木棒也有水平向右的静摩擦中

,以与力 F 平衡。则

。这样,以木棒为研究对象,对转动轴又增

加了一个摩擦力 f 的逆时针方向的力距,如图(b),而木棒的重力对轴的顺时针方向的 力距大小是不变的,故木棒所受滑块施的弹力将减小。 [本题交替以滑块和木棒为研究对象,结合物体的平衡条件进行受力分析,正是要求 的解题能力] 例题 6: 如图 3 所示,有固定转动轴 0 的轻板与竖直墙之间夹着一个光滑重球。在板的 端点绝竖直向上的力 F,使整个装置处于平衡。 若缓慢使板与竖直墙的夹角 θ 增大(仍小 于 90o),则力 F 及其对轴 o 的力距 M 各将如何变化?

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分析与解答:以木板为研究对象,力 F 对轴 o 的力距与球对木板的正压力 N 对轴的 力距平衡, 因此力 F 对轴 o 的力距 M 的变化情况, 取决于弹力 N 对轴 o 的力距变化情况, 其变化规律如何呢?这就要转移以光滑球的研究对象并应注意抓住球的重力 G 和半径 R

这两个不变的因素。设球与板接触点到轴 o 的距离为 X, 板对球的弹力 N ?

。参看图 4 可知,

G 对板, Sin? G ? RCot L 为板长。 Sin? 2

由力距平衡有, FLSin? ? Nx ? N ?

M?

G ? GR RCot ? Sin? 2 Sin 2 ? 2 GR LSin 2? Tan

F?

?
2

可见随 增大,M . F 都减小。 例题 7: 如图 5 所示,水平轻杆 AB 长 1.5m,其 A 端有固定转动轴,倾斜轻杆 CO 与 AB 夹角为 30°AC=1m。在 B 端有一小定滑轮,绕过定滑轮的细绳左侧成竖直,并连接重物 P,其重 G=100N;右侧细绳穿过动滑轮后,端点固定在 E 点,动滑轮上吊有重物 G1=30N。 不计滑轮质量及摩擦。求 co 杆对 AB 杆的作用力 F。

分析与解答:co 杆对 AB 的作用力有两个方面效果,一方面向上支持,另一方沿 AB 向右推。本题所求是这两个方面效果的合力 F,力 P 的方向沿 oc 杆斜向上(若计 oc 方 向,这可以对 oc 杆的转动轴的合力距为零得出) 。 另外,在不计绳重和摩擦的前提下,同一根绳沿各方向的拉力(张力)是相等的, 本题中定滑轮两侧绳的拉力以及动滑轮两侧的绳拉力都相等。 以动滑轮为研究对象,依题(注意 30°角及左右两侧绳的对称性)知它所受的三个

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力互成 120°有



以 AB 杆为研究对象,对轴 A 有

F ACSin30o ? G AB ? T ABSin30o
得 F= ? N。

例题 8:如图 7 所示,一根长为 L 重为 G0 的均匀杆 AB,A 端顶在粗糙的竖直墙上,与墙 的摩擦因数为 μ ;B 端用一根强度足够大的绳挂在墙的 C 处。此时杆恰好成水平,绳的 倾角为 。 (1)求杆能保持水平平衡时,μ 和 应满足的条件。 (2)若 P 为杆上一点,在 BP 间挂任意重物都不会使杆的 A 端下滑,求 P 点的位置 应在何处。

分析与解答: (1)以 B 为轴,由力距平衡,对杆 AB 如(图 8)

fL ? G 0

L 2



f ?

G0 2
L 2


若以 A 为轴,则 又 N ? TCos? ?

TLSin? ? G 0 G0 Cot? 2

T?

G0 2 Sin?

要杆不 F 下滑,应有

,得

(2)设 P 点到 A 的距离为 X,所挂重物 G



1



2

12

由 1.2 得

3

要杆 F 不下滑,需 代入四式得

,即

4

G0 GxTan? ? xG ( ? ? Tan? ) ? GTan? ? ? 2 L L xG ? GTan? ? ( ? ? Tan? ).......5 L

因为 成

,所以 5,式中左端

,从而右端应不大于零,否则式中的不等式不

GTan? ?

xG ( ? ? Tan? ) ? 0 L

同步达纲练习: 1.如图 9 所示,长 L=4m 的均匀吊桥质量 m=80kg,成水平时,并未与对岸地面接触, 这时牵引绳与桥面成 30?角。质量 m。=50kg 的人站在桥面距轴 D 为 1m 处,用水桶打水。 桶和水的质量为 m=10kg,正以 a=0.2m/s 的速度上升。此时牵引绳的拉力多大? 1. 1079N 简解:水桶加速上升,由牛顿第二定律得 F-mg=ma, F=100N 对轴 o,M=o

T=1079N

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2.如图 10 所示,质量为 m 的均匀杆与地面接触为一固定转动轴,杆与光滑球接触 占距 0 为 L/3。求竖直墙对球的弹力 T。

2. 简解:对杆

对球体静止,水平方向有

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第三讲 直线运动

一、参照系(又叫参考系) 宇宙间的一切物体都在永恒不停的运动中,绝对静止的物体是不存在的,因此物体 在空间的位置只能相对于另一物体来确定,所以要描述物体的位置,就必须选择另一物 体作为参考,这个被选作参考的另一物体,就叫参照物。如船对水运动,水是参照物; 当车停在公路上时,它相对于地球是静止的,但相对于太阳又是运动。可见物体的运动 或静止,必须对于一定的参照物来说才有才有确定的意义。至于参照物的选择主要看问 题的性质和研究的方便。通常我们研究物体的运动,总以地球做参照物最为方便,但在 研究地球和行星相对太阳的运动时,则以太阳做参照物最为方便了。 为了准确、定量地表示物体相对于参照物的位置和位置变化,就需要建立坐标系, 参照系是参照物的数学抽象:它被想象为坐标系和参照物固定地联结在一起,这样,物 体的位置就可用它在坐标系中的坐标表示了,所以,参照系就是观察者所在的、和他处 于相对静止状态的系统。 注: 1.惯性系——牛顿第一定律成立的参照系。凡相对惯性系静止或作匀速直线运动 的物体,都是惯性系。 2.非惯性系——牛顿第一定律不成立的参照系。凡相对惯性系作变速运动的物体, 都是非惯性系。如不考虑地球的自转时,地球可视为惯性系;而考虑地球的自转时,则 地球为非惯性系。 3.选取参照系的原则:①、牛顿第一和第二定律、动能定理、动量定理、动量守 恒定律和机械能守恒定律等动力学公式,只适用于惯性系;②运动学公式,不仅适用于 惯性系,也适用于非惯性系。因为物体运动具有相对性,即运动性质随参照物不同而不 同,所以恰当地选择参照系,不仅可以使运动变为静止,使变速运动变为匀速运动(匀
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速直线运动的简称) ,而且可以使分析和解答的思路和步骤变得的极为简捷。 二、运动的位移和路程 1.质点 质点是一个理想模型。在物理学中常常用理想模型来代替实际的研究对象,这样抽 象的目的是简化问题和便于作较为精确的描述。 质点只是一例, 以后还要用到光滑斜面、 理想气体、点电荷等理想模型,要注意理解和学会这种科学的研究方法。 若研究地球绕太阳公转时,地球可视为质点;而研究地球上重力加速度随纬度的变 化时, 地球则不可视为质点。 又如研究一根弹簧的形变, 弹簧即使很短也不可视为质点; 物质的分子和原子都很小,但在研究其内部的振动和转动时,视为质点就没有意义了。 2.位移和路程 运动物体的位置发生变化,用位移来描述,位移这个物理量常用 s 或 x 有时也用

?x 。位移可这样定义:位移=末位置—初位置。可表示为:x ? Rt ? R0(式中 X 是位移,
R0 , Rt 为初时刻和末时刻的位置矢量) 。位移 X 这个物理量既有大小又有方向,且合成与
分解符合平行四边形定则,具有这种性质的物理量在物理学上叫做矢量。运动质点在一 段时间内位移的大小就是从初位置到到末位置间的距离,其方向规定为:总是从初位置 到指向末位置。 注意: ①、 若质点沿直线从 A 点运动到 B 点, 则位移 X 就是末 位置 B 点的坐标减去初位置 A 点的坐标如右图所示。 ②、若质点在 oxy 平面内或 从 oxyz 空间内, A 点运动到 B 点,则这段时间内的位移 X 可用 oxy 或 oxyz 坐标系 中初位置和末位置坐标 R1 、

R2 表示,如左下图所示。
3.时刻和时间 时刻指某一瞬时,是与某一状态相对应的物理量。如第 n 秒初、第 n 秒末,并不是

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同一时刻;而第(n—1)秒末与第 n 秒初,第 n 秒末与第(n+1)秒初则是同一时刻。 时间指两时刻的间隔,是与是与某一过程相对应的物理量。注意第 n 秒内与前 n 秒 内不是同一段时间。 4.速度 ①、平均速度 在一段时间内 t 内,质点的位移为 X,则位移 X(或 ?S )与时间 t (或 ?t )的比值, 叫做平均速度: v ?

?x x 或v ? ;平均速度的方向与位移的方向相同。由于作变速直 ?t t

线运动的物体,在各段路程上或各段时间内的平均速度一般来说是不相同的。故一提到 平均速度必须明确是哪段位移上或哪一段时间内的平均速度。 ②、瞬时速度(又称即时速度) 要精确地如实地描述质点在任一时刻地邻近时间内变速直线运动的快慢, 应该把 ?t 取得很短, ?t 越短,越接近客观的真实情况,但 ?t 又不能等于零,因为没有时间间隔 就没有位移,就谈不上运动的快慢了,实际上可以把 ?t 趋近于零,在这极短时间中, 运动的变化很微小,实际上可以把质点看作匀速直线运动,在这种情况下,平均速度可 以充分地描述该时刻 t 附近质点地运动情况。我们把 ?t 趋近于零,平均速度 的极限值,叫做运动质点在 t 时刻的瞬时速度。用数学式可表示为: v ?

?x 所趋近 ?t
?x

lim ?t ,它
?t ?0

具体表示 t 时刻附近无限小的一段时间内的平均速度,其值只随 t 而变,是精确地描述 运动快慢程度的物理量。以后提到的速度总是指瞬时速度而言。平均速度、瞬时速度都 是矢量。 描述质点的运动,有时也采用一个叫“速率”的物理量;速率是标量,等于运动质 点所经过的路程与经过该路程所用时间的比值,若质点在 t 时间内沿曲线运动,通过的 路程 X (即曲线的长度) 则 X 与 t 的比值叫在时间 t 内质点的平均速率, , 可表示为 v ?

x 。 t

例如在某一时间内,质点沿闭合曲线环形一周,显然质点的位移等于零,平均速度也为 零,而质点的平均速率是不等于零的。所以平均速度的大小与平均速率不能等同看待。 当质点沿直线单一方向运动时平均速度的大小等于平均速率。 而瞬时速率就是瞬时速度 的大小,而不考虑方向。 5.加速度

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运动物体在 t o 时刻的速度为 v o (初速度),在 t 时刻的速度为 v t (末速度),那么在

?t ? t ? t o 这段时间里,速度的变化量(也叫速度的增量)是 ?v ? vt ? vo , ?v 与 ?t 的
比值称为这段时间内的平均加速度,可表示为: a ?

?v ,平均加速度只能粗略描述速 ?t

度改变的快慢程度。跟平均速度引导到瞬时速度的过程相似,选取很短的一段时间 ?t , 当 ?t 趋近于零时,平均加速度的极限值,叫做运动质点在 t 时刻的瞬时加速度。用数学 式可表示为: a ?

lim ?t 。
?t ?0

?v

若质点做匀速直线运动,它的加速度大小和方向恒定不变,则平均加速度就是瞬时 加 速 度 , 通 常 t o =0 , 时 间 ?t ? t ? t o 可 用 末 时 刻 t 表 示 , 则 加 速 度 定 义 式 为 :

a?

vt ? v0 ?v ,根据牛顿第二定律可知,一个质点的加速度是由它受到的合外力和 ? t t

它的质量共同决定,牛顿第二定律的表达式所表示的是加速度的决定式即 a ?

?F 。 m

上式是矢量式,其中 a, ?v, ? F 都是矢量。加速度的方向就是质点所受合外力的方 向,对匀变速运动,加速度的方向总是跟速度变化量的方向一致。 加速度的大小和方向跟速度的大小和方向没有必然联系。速度与加速度的关系,不 少同学有错误认识,复习过程中应予以纠正。 ①、加速度不是速度,也不是速度变化量,而是速度对时间的变化率,所以速度大, 速度变化大,加速度都不一定大。 ②、加速度也不是速度大小的增加。一个质点即使有加速度,其速度大小随时间可 能增大,也可能减小,还可能不变。 (两矢量同向,反向、垂直) ③、速度变化有三种基本情况:一是仅大小变化(试举一些例子) ,二是仅方向变 化,三是大小和方向都变化。 注意:五个容易混淆的平均速度和瞬时速度 ①、一个质点沿直线运动(无往返) ,在前半程位移的速度大小恒为 v1 ,在后位移 的速度大小恒为 v 2 则全程的平均速度 v s 的倒数,等于 v1 、 v 2 倒数和的一半:

vs = 1 ( 1

2 v1

?

1 ) v2
18

②、一个质点沿直线运动(无往返) ,在前一半时间的速度大小恒为 v1 ,在后一半 时间的速度大小恒为 v 2 则全程的平均速度 vT ,等于 v1 、 v 2 之和的一半:

vT = 1 (v1 ? v2 )
2
③、一个质点以初速度 v0,末速度 v t ,做匀变速直线运动,则全程的平均速度的大 小 v 等于 v0 与 v t 之和的一半: v =

1 (v 0 ? v t ) 2

④、一个质点以初速度 v0,末速度 v t ,做匀变速直线运动(且无往返) ,则在位移
2 v 0 ? vt2 2

中点的瞬时速度大小 v s 为: v s
2
2

?

⑤、一个质点以初速度 v0,末速度 v t ,做匀变速直线运动,则在时间中点的瞬时速 度大小 v T 为: v T =
2

2

1 S (v 0 ? v t ) = v = 2 T

v 不论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动,都有 s >
2

vT
2

(可利用图像法证明)

6.匀变速直线运动 ① 、 匀 变 速 直 线 运 动 的 三 个 基 本 公 式 : v ? v0 ? at ;
2 vt ? v0 ? 2ax 2

1 x ? v0t ? at 2 ; 2

注意:A、各式的物理意义和各量的矢量性;B、上述公式成立的条件:匀变速直线 运动以及计时的起点( t o =0)时,质点经过坐标原点 O(其瞬时速度为 v o ) ,坐标原点 O 也作为位移的起点。C、在这套公式的基础上,附加一定条件,能导出许多有用的公式。 例如: 初速度为零的匀加速直线运动公式, 自由落体运动, 竖直上抛运动以及平抛运动、 斜抛运动等有关的公式。 ②、图象 A: 速度和位移都 是时间的函数,因此 描述物体运动的规律
19

常用 v ? t 图象、 s ? t 图象,如图所示。

对于图象要注意理解它的物理意义,既对图象的纵、横轴表示的是什么物理量,图 象的斜率、截距代表什么意义都要搞清楚,形状完全相同的图线,在不同图象(坐标轴 的物理量不同)中意义会完全不同。下表是对形状一样的 v ? t 图、 s ? t 图意义的比较。 B:匀变速直线运动的 a ? t 图象是一平行于时间轴的直线,如左下图所示。

C:匀变速直线运动的 s ? t 图象是一抛物线。对于匀加速直线运动,抛物线“开口” 向上,若是匀减速直线运动抛物线“开口”向下;抛物线的顶点由初速度大小和加速度 大小决定。如右上图所示。 ③、初速度为零的匀加速直线运动的五个基本规律 A:瞬时速率与时间成正比: v1 : v2 : v3 ...... : vn ? t1 : t 2 : t 3 ...... : t n B:位移大小与时间平方成正比: x1 : x 2 : x3 ...... : x n ? t1 : t 2 : t 3 ...... : t n
2 2 2 2

C:在连续相等的时间(T)内的平均速率之比为连续奇数之比:

v1 : v2 : v3 ...... vn ? 1 : 3 : 5...... : (2 N ? 1)
D:在连续相等的时间(T)内的位移大小之比为连续奇数之比:

20

x1 : x2 : x3 ...... xn ? 1 : 3 : 5...... : (2 N ? 1)
E:通过连续相等的位移(X0)所用时间之比:

t1 : t 2 : t 3 ...... : t n ? 1 : ( 2 ? 1) : 3 ? 2....... : n ? n ? 1
特别提醒: 初速度为零的匀加速直线运动的五个基本规律对于其逆运动——末速度 为零的匀减速直线运动(二者加速度大小相等)也适用! ④、任意匀变速直线运动的两个基本规律 A、任意一段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度: v ? v t
2

推广: v ? v t ?
2

1 x (v 0 ? v t ) ? 2 t

B、在任意连续相等时间(T)内的位移之差等于恒量: ?x ? x N ? x N ?1 ? aT 2 推广: ?x ? x N ? 6、竖直上抛运动 ①、定义:将物体以一定的初速度( v 0 )竖直向上抛出后物体只在重力作用下的运 动叫竖直上抛运动。 ②、特点:初速度不为零,且约定初速度方向为正方向;做竖直上抛运动的物体的 加速度( a ) a ? ?g : ③、讨论: A、上升到最高点的时间( t 上 ) t 上 ? :

x

M

? ( N ? M )aT 2

v2 v0 B、上升的最大高度( H ) H ? 0 : 2g g

C、上升阶段与下降阶段做竖直上抛运动的物体通过同一段做竖直距离所用的时间 相等(时间对称性: t 上 ? t 下 ) D、上升阶段与下降阶段做竖直上抛运动的物体经过同一位置的速度大小相等、方 向相反(速度对称性: v上 ? ?v下 ) ④、竖直上抛运动的公式: x ? v0 t ?

1 2 gt ; vt ? v0 ? gt (以竖直向上为正方向) 2

在以上两个公式中, v o , t , g 是算术符号(即它们总是正值) ,但 x 和 v t 在不同 的时间范围内取不同的符号。竖直上抛运动的处理最好是全过程看作匀减速直线运动。
21

分两个过程会复杂一些! 推广:竖直下抛运动是一种初速度不为零的,加速度为 g 的匀加速直线运动。其公 式为: x ? v0 t ?

1 2 gt ; vt ? v0 ? gt (以竖直向下为正方向) 2

三、处理直线运动的科学思维方法 一、图像法 分析和解答物理问题, 除了物理公式和数学方法外, 还可以利用物理图像 (函数图、 矢量图、几何图、光路图等) 这里先介绍如何利用 v ? t 图象、 s ? t 图象解答直线运动的各种问题步骤如下: 1、根据物理规律中各个物理量的函数关系,在直角坐标系上定性地或者定量地画 出相应地函数图像。 2、根据图像的斜率、截距、与坐标轴所包围的面积,以及图像交点的坐标等的物 理意义,进行分析、推理和计算。

例 1:一火车沿直线轨道从静止发出由 A 地驶向 B 地,并停止在 B 地。AB 两地相距 x,火车做加速运动时,其加速度最大为 a1,做减速运动时,其加速度的绝对值最大为

a2,由此可可以判断出该火车由 A 到 B 所需的最短时间为

。 (奥赛题目)

解析:整个过程中火车先做匀加速运动,后做匀减速运动,加速度最大时,所用时 间最短,分段运动可用图像法来解。 根据题意作 v—t 图,如图所示。由图可得 a1 ?

v t1

a2 ? s?
解得 t ?

v t2

1 1 v(t1 ? t 2 ) ? vt 2 2

2 s ( a1 ? a 2 ) a1 a 2

例 2:两辆完全相同的汽车,沿水平直路一前一后匀速行驶,速度为 v0,若前车突
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然以恒定的加速度刹车,在它刚停住时,后车以前车刹车时的加速度开始刹车。已知前 车在刹车过程中所行的距离为 x,若要保证两辆车在上述情况中不相碰,则两车在做匀 速行驶时保持的距离至少为: A.x B.2x C.3x D.4x

解析:物体做直线运动时,其位移可用 v ? t 图像中的 面积来表示,故可用图像法做。 作两物体运动的 v—t 图像如图所示, 前车发生的 位移 x 为三角形 v0Ot 的面积, 由于前后两车的刹车加 速度相同,根据对称性,后车发生的位移为梯形的面 积 X′=3X,两车的位移之差应为不相碰时,两车匀速 行驶时保持的最小车距 2x. 所以应选 B。 例 3:一只老鼠从老鼠洞沿直线爬出,已知爬出速度 v 的大小与距老鼠洞中心的距 离 x 成反比,当老鼠到达距老鼠洞中心距离 x1=1m 的 A 点时,速度大小为 v1=20cm/x,问 当老鼠到达距老鼠洞中心 x2=2m 的 B 点时,其速度大小 v2 为多少?老鼠从 A 点到达 B 点 所用的时间 t 为多少? 解析:因为老鼠从老鼠洞沿直线爬出,已知爬出的速 度与 通过的距离成反比,则不能通过匀速运动、匀变速运动公

1 ? s 图像中, v 1 所围面积即为所求的时间。以距离 x 为横轴, 为纵轴建 v 1 1 立直角坐标系,则 x 与 成正比,作 —x 图像如图所示,由图可得 x=2m 时,老鼠的 v v
式直接求解, 但可以通过图像法求解, 因为在 速度为 10cm/x。在 1m 到 2m 之间图像与横轴包围的面积即为所求的时间,所以老鼠从 A 到 B 爬行的时间为 t ? ( 二、微元法 微元法是分析、解决物理问题中的常用方法,也是从部分到整体的思维方法。用该 方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决, 使所求的问题 简单化。在使用微元法处理问题时,需将其分解为众多微小的“元过程” ,而且每个“元

1 1 1 ? ) ? s ? 7.5s. 0.2 0.1 2

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过程”所遵循的规律是相同的,这样,我们只需分析这些“元过程” ,然后再将“元过 程”进行必要的数学方法或物理思想处理,进而使问题求解。使用此方法会加强我们对 已知规律的再思考,从而引起巩固知识、加深认识和提高能力的作用。 例 1: 如图所示, 一个身高为 h 的人在灯以速度 v 沿水 平直线行走。 设灯距地面高为 H, 求证人影的顶端 C 点是做 匀速直线运动。 解析:该题不能用速度分解求解,考虑采用“微元法” 。 设某一时间人经过 AB 处,再经过一微小过程 △t(△t→0) ,则人由 AB 到达 A′B′,人影顶端 C 点到达 C′点,由于△XAA′=v△t 则人影顶端的

移动速度 vC ? lim

?t ?0

?S CC ? ?t

H ?S AA? Hv H ?h ? lim ? ?t ?0 ?t H ?h

可见 vc 与所取时间△t 的长短无关,所以人影的顶端 C 点做匀速直线运动。 (本题 也可用相似三角形的知识解) 。 三、等效法 在一些物理问题中, 一个过程的发展、 一个状态的确定, 往往是由多个因素决定的, 在这一决定中,若某些因素所起的作用和另一些因素所起的作用相同,则前一些因素与 后一些因素是等效的,它们便可以互相代替,而对过程的发展或状态的确定,最后结果 并不影响,这种以等效为前提而使某些因素互相代替来研究问题的方法就是等效法。 等效思维的实质是在效果相同的情况下, 将较为复杂的实际问题变换为简单的熟悉 问题,以便突出主要因素,抓住它的本质,找出其中规律.因此应用等效法时往往是用 较简单的因素代替较复杂的因素,以使问题得到简化而便于求解。 例 1:质点由 A 向 B 做直线运动,A、B 间的距离为 L,已知质点在 A 点的速度为 v0, 加速度为 a,如果将 L 分成相等的 n 段,质点每通过 L/n 的距离加速度均增加 a/n,求 质点到达 B 时的速度。 解析 从 A 到 B 的整个运动过程中,由于加速度均匀增加,故此运动是非匀变速直

线运动,而非匀变速直线运动,不能用匀变速直线运动公式求解,但若能将此运动用匀 变速直线运动等效代替,则此运动就可以求解. 因加速度随通过的距离均匀增加,则此运动中的平均加速度为

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a平 ?

a 初 ? a末 2

?

a?a?

(n ? 1)a 3an ? a (3n ? 1)a n ? ? 2 2n 2n
解得
2 v B ? v0 ?

2 2 由匀变速运动的导出公式得 2a平 L ? v B ? v0

(3n ? 1)aL n

四、递推法 递推法是解决物体与物体发生多次作用后的情况. 即当问题中涉及相互联系的物 体较多并且有规律时,应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类,然后求出通 式。具体方法是先分析某一次作用的情况,得出结论。再根据多次作用的重复性和它们 的共同点,把结论推广,然后结合数学知识求解。用递推法解题的关键是导出联系相邻 两次作用的递推关系式。 例 1:小球从高 h0 = 180m 处自由下落,着地后跳起又下落,每与地面相碰一次, 速度减小 (n = 2) ,求小球从下落到停止经过的总时间为通过的总路程。 g 取 10m/s2) ( 解析:小球从 h0 高处落地时,速率 v0 = 2gh 0 = 60m/s 第一次跳起时和又落地时的速率 v1 = 第二次跳起时和又落地时的速率 v2 = ?? 第 m 次跳起时和又落地时的速率 vm = 每次跳起的高度依次为 h1 =
v0 2m v0 2 v0 22 1 n

v2 h v12 h 0 = 2 ,h2 = 2 = 0 ,??, 2g n 4 2g n

通过的总路程 Σ s = h0 + 2h1 + 2h2 + ? + 2hm + ? = h0 + = h0 +
2h 0 1 1 1 (1 + 2 + 4 + ? + 2m?2 + ?) n2 n n n 2h 0 n2 ?1 5 = h0 ? 2 = h0 = 300m n2 ?1 n ?1 3

经过的总时间为 Σ t = t0 + t1 + t2 + ? + tm + ? = = =
v 0 2v1 2v + + ? + m+ ? g g g v0 1 1 m [1 + 2 ? + ? + 2 ? ( ) + ?] g n n v 0 n ? 1 3v0 ? = =18s g n ?1 g

例 2:A 、B 、C 三只猎犬站立的位置构成一个边长为 a 的正三角形,每只猎犬追
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捕猎物的速度均为 v ,A 犬想追捕 B 犬,B 犬想追捕 C 犬,C 犬想追捕 A 犬,为追捕到 猎物,猎犬不断调整方向,速度方向始终“盯”住对方,它们同时起动,经多长时间可 捕捉到猎物? 解析:由题意可知,由题意可知,三只猎犬都做等速率 曲线运动, 而且任一时刻三只猎犬的位置都分别在一个正三 角形的三个顶点上,但这正三角形的边长不断减小,如图 6 —1 所示。所以要想求出捕捉的时间,则需用微元法将等速 率曲线运动变成等速率直线运动,再用递推法求解。 设经时间 t 可捕捉猎物, 再把 t 分为 n 个微小时间间隔 Δ t ,在每一个 Δ t 内每只猎犬的运动可视为直线运动,每隔 Δ t ,正三角形的边长分 别为 a1 、a2 、a3 、? 、an ,显然当 an→0 时三只猎犬相遇。 a1 = a-AA1-BB1cos60°= a- vΔ t a2 = a1- vΔ t = a-2? vΔ t a3 = a2- vΔ t = a-3? vΔ t ?? an = a-n ? 因为 a-n ? 所以:t =
3 vΔ t 2 3 vΔ t = 0 ,即 nΔ t = t 2
2a 3v

3 2

3 2 3 2

3 2 3 2

(此题还可用对称法,在非惯性参考系中求解。 ) 五、极限法 极限法是把某个物理量推向极端,即极大和极小或极左和极右,并依此做出科学的 推理分析,从而给出判断或导出一般结论。极限法在进行某些物理过程的分析时,具有 独特作用,恰当应用极限法能提高解题效率,使问题化难为易,化繁为简,思路灵活, 判断准确。 因此要求解题者, 不仅具有严谨的逻辑推理能力, 而且具有丰富的想象能力, 从而得到事半功倍的效果。看如下一例: 解析:当斜面光滑时, ? =0,物体上滑与下滑加速度大小相等,故仅 B 正确。 再看如下一例:

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解析: k =1 时, 当 空气阻力为零, 则空气阻力与重力之比当然为为零, 故仅 C 正确。 六、对称法 由于物质世界存在某些对称性,使得物理学理论也具有相应的对称性,从而使对称 现象普遍存在于各种物理现象和物理规律中。 应用这种对称性它不仅能帮助我们认识和 探索物质世界的某些基本规律,而且也能帮助我们去求解某些具体的物理问题,这种思 维方法在物理学中称为对称法。利用对称法分析解决物理问题,可以避免复杂的数学演 算和推导,直接抓住问题的实质,出奇制胜,快速简便地求解问题。 例:如图所示,竖直上抛一个小球,小球两次经过高度为 h 处经历的时间为 ?t , 球小球抛出的初速度大小和在空中运动的总时间?(忽略空气阻力) 解析:根据竖直上抛运动的对称性特点,设上升最大高度为 H,则:

H ? h?

1 ?t 2 1 2 g ( ) ? gtm 2 2 2

2h ?t 2 ? 故小球在空中运动的时间为:T= 2t m ? 2 g 4
小球上抛的初速度大小,就等于下落的末速度大小:

v0 ? gtm ? g

2 h ?t 2 ? g 4

七、自由弦运动的等时性及应用 如左下两图所示,直径为 d 的竖直圆环,可以证明:物体从静止开始,无摩擦地由 圆环最高点沿不同的弦运动到圆周上或者从圆周上沿不同的弦运动到圆环最低点, 所需 的时间都相等,且等于沿竖直直径自由落体的时间,即: t ? (请同学们结合牛顿第二定律与运动学公式证明之)

2d 。 g

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在利用“自由弦运动的等时性”分析和解答极值问题时,关键准确地画出竖直圆, 竖直圆的位置有两个特点: ①、一定通过运动的起点和终点。②、一定与不定点的连线(直线或曲线)相切: 当起点一定时与不同终点的连线相切;当终点一定时与不同起点的连线相切。 例 1:一个物体沿有共同底边(其长度为 L) ,的不同斜面,从顶部由静止开始无摩 擦滑下,证明:沿 450 倾角的斜面滑下,所需时间最短,为: t min ? 2

L g

解析:画出竖直圆,如右上图所示,利用“自由弦运动的等时性”分析既得出结论。 例 2: (1990 年第二届全国中学生力学竞赛试题)一个质点自倾角为 ? 的斜面上方 定点 A,沿光滑斜槽从静止开始滑下,为了使质点在最短时间到达斜面,求斜槽与竖直 方向的夹角 ? 应等于多少? 解析:为了画一竖直圆通过起点 A,并与不同终点的连线相切;可以先通过起点 A 作一水平线与斜边延长线交于 o ' ,然后作 ?Ao' C 的角平分线交过 A 点的竖直于 O;以 O 为圆心,以 OA 为半径画圆,如图所示。可以看出从 A 运动到在圆周上的的切点 B2 ,所 需时间最短;又因为 ? 为等腰三角形 OAB2 顶角的外角,应等于不相邻的两内角之和, 即: ? =2 ? 。

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第四讲 相对运动
任何物体的运动都是相对于一定的参照系而言的,相对于不同的参照系,同一物体 的运动往往具有不同的特征、不同的运动学量。 通常将相对观察者静止的参照系称为静止参照系; 将相对观察者运动的参照系称为 运动参照系。物体相对静止参照系的运动称为绝对运动,相应的速度和加速度分别称为 绝对速度和绝对加速度;物体相对运动参照系的运动称为相对运动,相应的速度和加速 度分别称为相对速度和相对加速度;而运动参照系相对静止参照系的运动称为牵连运 动,相应的速度和加速度分别称为牵连速度和牵连加速度。 绝对运动、相对运动、牵连运动的速度关系是:绝对速度等于相对速度和牵连速度 的矢量和。

? ? ? v绝对 ? v相对 ? v牵连

这一结论对运动参照系是相对于静止参照系作平动还是转动都成立。 当运动参照系相对静止参照系作平动时,加速度也存在同样的关系:

? ? ? a绝对 ? a相对 ? a牵连
位移合成定理:SA 对地=SA 对 B+SB 对地 如果有一辆平板火车正在行驶,速度为

? v 火地

(脚标“火地”表示火车相对地面,下

同) 。有一个大胆的驾驶员驾驶着一辆小汽车在火车上行驶,相对火车的速度为 那么很明显,汽车相对地面的速度为:

? v 汽火



? ? ? v汽地 ? v汽火 ? v火地
(注意:

? v 汽火



? v 火地

不一定在一条直线上)如果汽车中有一只小狗,以相对汽车
29



? v 狗汽 的速度在奔跑,那么小狗相对地面的速度就是

? ? ? ? v狗地 ? v狗汽 ? v汽火 ? v火地
从以上二式中可看到,上列相对运动的式子要遵守以下几条原则: ①合速度的前脚标与第一个分速度的前脚标相同。 合速度的后脚标和最后一个分速 度的后脚标相同。 ②前面一个分速度的后脚标和相邻的后面一个分速度的前脚标相同。 ③所有分速度都用矢量合成法相加。 ④速度的前后脚标对调,改变符号。 以上求相对速度的式子也同样适用于求相对位移和相对加速度。 相对运动有着非常广泛的应用,许多问题通过它的运用可大为简化,以下举两个例 子。 例1 如图 2-2-1 所示, 在同一铅垂面上向图示的两个方向以
vB=20m/s vA=10m/s 60? 30?

vA ? 10 m / s、vB ? 20 m / s 的初速度抛出 A、B 两个质点,问
1s 后 A、B 相距多远? 这道题可以取一个初速度为零,当 A、B 抛出时开始以加

图 2-2-1

速度 g 向下运动的参考系。在这个参考系中,A、B 二个质点都做匀速直线运动,而且方 向互相垂直,它们之间的距离

s AB ?

?v A t ?2 ? ?v B t ?2

? 10 5m ? 22 .4 m
v? 射出很多个小球,球 ts

例 2 在空间某一点 O,向三维空间的各个方向以相同的速度

之后这些小球中离得最远的二个小球之间的距离是多少(假设 ts 之内所有小球都未与 其它物体碰撞)? 这道题初看是一个比较复杂的问题,要考虑向各个方向射出的小球的情况。但如果 我们取一个在小球射出的同时开始自 O 点自由下落的参考系,所有小球就都始终在以 O 点为球心的球面上,球的半径是 的直径 2

v0 t ,那么离得最远的两个小球之间的距离自然就是球

v0 t 。

同步练习 1.一辆汽车的正面玻璃一次安装成与水平方向倾斜角为β 1=30°, 另一次安装成倾

v1 v 角为β 2=15°。问汽车两次速度之比 2 为多少时,司机都是看见冰雹都是以竖直方向

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从车的正面玻璃上弹开?(冰雹相对地面是竖直下落的) 提示:利用速度合成定理,作速度的矢量三角形。答案为:3。 2、模型飞机以相对空气 v = 39km/h 的速度绕一个边长 2km 的等边三角形飞行,设 风速 u = 21km/h ,方向与三角形的一边平行并与飞机起飞方向相同,试求:飞机绕三 角形一周需多少时间? 提示:三角形各边的方向为飞机合速度的方向(而非机头的指向) ; 第二段和第三段 v 合 大小相同。 参见右图,显然: v = v 2 + u - 2v 合 ucos120° 合 可解出 v 合 = 24km/h 。 答案:0.2hour(或 12min.) 。 3.图为从两列蒸汽机车上冒出的两股长幅气雾拖尾的照片(俯视) 。两列车沿直轨 道分别以速度 v1=50km/h 和 v2=70km/h 行驶,行驶方向如箭头所示,求风速。 提示:方法与练习一类似。答案为:3
v2 v1
2 2

?

4、细杆 AB 长 L ,两端分别约束在 x 、 y 轴上运动, (1)试求杆上与 A 点相距 aL (0< a <1)的 P 点运动轨迹; (2)如果 vA 为已知,试求 P 点的 x 、 y 向分速度 vPx 和 vPy 对杆方位角θ 的函数。 提示: (1)写成参数方程 ?
? x ? aL sin ?

?y ? (1 ? a )L cos ?

后消参数θ 。

(2)解法有讲究:以 A 端为参照, 则杆上各点只绕 A 转动。但鉴于杆子的实 际运动情形如右图,应有 v 牵 = vAcosθ ,v 转 = vA 速度为:v 转 + vAsinθ = P 点的线速度必为
avA sin ? vA sin ?

cos 2 ? sin ?

,可知 B 端相对 A 的转动线 ....



= v相

所以 vPx = v 相 cosθ + vAx ,vPy = vAy - v 相 sinθ

31

答案: (1) vA 。

x2 (aL ) 2

+

y2 (1 ? a ) 2 L2

= 1 ,为椭圆; (2)vPx = avActgθ ,vPy =(1 - a)

一般来说,选择不同的参考系物体的运动状态不同,但采用坐标转换法也可以 改变物体的运动情况特别是可以把直觉看来是曲线运动的物体转换成直线运动的 情况却很少学生了解,解题时采用这样的方法可以使问题简化很多。 例 3. 由于汽车在冰面上行驶时摩擦因数很小,所以其最大加速度不能超过 a=0.5m/s2.根据要求,驾驶员必须在最短时间内从 A 点到达 B 点,直线 AB 垂直于 汽车的初始速度 ? , 如图 2 一 1 所示. 如果 A、 之间的距离 AB=375 m, B 而初速度 ? =10 m/s,那么这个最短时间为多少?其运动轨迹是什么? 分析和解:本题是一个典型的相对运动问题,而且用常规的方法是很 难解出此题的,然而如果才坐标系转换法解此题,其难度却可以大大 降低。 坐标系转换:汽车在 A 点不动,而让 B 点以恒速 ? 向汽车运动的 相 反方向运动.在此坐标系内汽车为了尽快与 B 点相遇,必

须沿直线以恒加速度 a 向 B 点驶去.假设它们在 D 点相遇,如 图 2—2 所示.设 AB=b,我们可以列出:

1 b 2 ? (?t ) 2 ? ( at 2 ) 2 2
由①式可得: t ?



2? 2 2? 2 4b 2 ? ( 2 )2 ? 2 a2 a a



将数据代人②式得 t=50s。 在地球坐标系内,它的运动是两个不同方向上的匀
32

速直线运动和匀加速直线运动的合运动,因而它的 运动轨迹是一条抛物线.

用相对运动观点处理追及和相遇问题 例 4. 航空母舰上的战斗机起飞时的最大加速度是 a=5.0m/s2,相对地面速度须达到 vm=50m/s。航空母舰以一定的速度航行,该其甲板长度 L=160m。设飞机起飞时可看作匀 加速运动,且对航母的状态没有影响。为使飞机能安全起飞,则航母的速度不得小于多 少? 【解析】 :相对航母,飞机起飞时加速度 a = a=5.0m/s ,最大位移 s =L=160m,所 能达到的最大速度 u ?
/ 2 /

2a ?s ? =40m/s。

为使飞机能安全起飞,航母的速度 v≥vm-u=10m/s。 例 5. 如图,A 船从赶港口 P 出发去拦截正以速度 v0 沿直线航行的船 B,P 与 B 所在航线 的垂直距离为 a,A 船启航时,B 与 P 的距离为 b(b>a) ,若忽略 A 启动的时间,并认 为 A 一起航就匀速运动,为使 A 船能以最小速率拦截到 B 船,下列说法正确的是:BC A.A 船应以 PC 方向运动 B.A 船应以 PD 方向运动
B b P A C a D

a C.A 船的最小速率为 v 0 b
D.A 船的最小速率为 v0

b2 ? a2 b

【解析】 要从 P 出发拦能截到 B,则 A 相对 B 的运动方向应取开始时的 PB 向。 :A 而 A 相对海面的速度,应等于 A 相对 B 的速度与 B 相对海面速度的矢量和,如图所示, 可见只有 A 相对海面速度 vA 对地垂直 PB 时为最小。

B

VA 对地

VA 对 B VB 对地 P

例 6. 物体 A 在地面上足够高的空中以速度 v1 平抛,与此同时,物体 B 在 A 正下方距离

33

h 处以速度 v2 竖直上抛,不计空气阻力,则二者在空中运动时的最近距离为 A. h

v1 v2
v1
2 v12 ? v 2

B. h

v2 v1
v2
2 v12 ? v 2

C. h 答:D

D. h

【解析】 :由于二者加速度相同,则二者相对匀
2 速。以 A 为参考系,则 B 相对 A 匀速运动的速度为 v12 ? v 2 ,方向如图, 二者间

的最近距离即为图中 AC。
A

v1

A

h h C v2

例 7. 两颗卫星在同一轨道

v2

B

平面内 , 卫星离地面的高

v1

B

绕地球

做同绕向的匀速圆周运动,地球半径为 度等于 , 卫星离地面高度为

,则: 是多少?

(1) 、 两卫星运行周期之比

(2) 若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方, 则 至少经过多少个周期与 相距最远? 【解析】 :(1)对做匀速圆周运动的卫星使用向心力公式

可得: 所以

(2)由 为

可知:

,即 转动得更快。则 a 相对 b 的角速度大小

34

?? ? ? a ? ? b ?

2? 2? ? Ta Tb

设经过时间 两卫星相距最远,则由图可得: ( 其中 时对应的时间最短。 、2、3??)

所以

,得

【点评】:圆周运动中的追及和相遇问题也可“利用相对(角)位移关系列方程”。 当然,如果能直接将角位移关系转化成转动圈数关系,运算过程更简洁,但不如利用相 对角位移关系容易理解,而且可以和直线运动中同类问题的解法统一起来,记忆比较方 便。 练习 1 A、B 两棒长均为 L=1m,接近在同一竖直线上,A 的下端与 B 的上端相距

s=20m,A、B 同时开始运动,A 做自由落体,B 做竖直上抛,初速度 v0 =40m/s,不计空 气阻力,则到两棒相遇时间 t1 和从相遇开始到分离所需时间 t2 分别为 C A.t1=0.5s,t2=0.5s B.t1=0.05s,t2=0.5s C.t1=0.5s,t2=0.05s D.t1=0.05s,t2=0.05s
B A

由于二者加速度相同,则二者相对匀速。以 A 为参考,B 相对 A 匀速。 2.内空高 h 的升降机正以加速度 a(<g)匀加速上升中,顶部突然一颗螺钉松脱, 至落到底板上需要时间 A A.

2h a?g

B.

2h g ?a

C.

2h a

D.以上答案都不对

3.如图,物体甲从高 H 处以速度 v1 平抛,同时乙从乙距甲水平方向 s 处由地面以初 速度 v2 竖直上抛,不计空气阻力,则两物体在空中相遇的条件是
35

ABD

A.从抛出到相遇的时间为

H v2 s H ? , v2 > gH v1 v2



v1

B.若要在物体乙上升中遇甲,必须

H

v2


gH s H C.若要在物体乙下降中遇甲,必须 ? , v2 > 2 v1 v2
D.若相遇点离地高度为

H ,则 v2 ? gH 2
s H 或 。 v1 v 2

由于二者加速度相同,则二者相对匀速,相遇时间为

※4.两个以 20.0m/s 的速度垂直下落,一妇女以 5.0m/s 的速度向前奔跑,她感 到雨点从什么方向落下,速度的大小为多少? 根据生活经验,人 不动时,感到雨点垂直 下落, 人运动时无论向 哪个方向奔跑,雨点都 会向她 迎面扑来,并且运 动速度越快,雨点扑来 的速 度也越大。所以观察雨点的速度和人的运动速 度有关。 根据英文字母表示: 地面:Earth;妇女 Woman; 雨点 Rain; 规定速度符号:

? ? RE 为雨点相对地面;
? ? WE 为人相对地面; ? ? EW 为地面相对人; ? ? RW 为雨点相对人。 ? ? ? ? ? 雨点相对人的速度 ? RW= ? EW+ ? RE , ? EW = - ? WE

36

雨点相对人的速度大小为:

雨点相对人的速度方向为: 要使雨点不让人的鞋子受潮,雨伞的半径应大于:d= h tan14°=0.375m。 ※拓展:有一条船要过河,河位于东西方向,水以u的速度从西向东流动。如 果船相对水的速度为υ ’向北方行驶,从岸上的人看船向正偏东θ 1 运动,如何才能 使以最短的时间到达对岸?

5.某人以 4 ㎞/h的速度向东行进时,感觉风从正北吹来。如果将速度增加一倍, 则感觉风从东北方向吹来,求相对于地面的风速和风向。 解:根据英文字母规定速度的意义:

? ? PE 为人相对地面; ? ? WE 为风相对地面;
? ? WP 为风相对人。
根据矢量关系:

? ? ? ? WE= ? WP +? PE ??(1) ? ? ? ? WE= ? ’WP + ? ’PE ??(2)
其中 ? ’PE=2 ?

?

?
PE

考虑风的速度 ? WE 在东西方向的投影, 由(1)可得:υ WEcosθ =υ
PE

?

由(2)可得:υ WEcosθ +υ WPcos45°=2υ 由此可得:

PE

37

风的速度大小为:

6. 李明同学放学回家,正碰上刮风下雨,他以 18km/h 的速度由西向东快跑,此时 他发现了奇怪的现象,雨滴成竖直下落状态,请你确定,这时刮的是____风,风速是 ___m/s 思路点拨 地面上刮风时,风的速度方向与地面平行,即沿水平方向,此时若下雨,则雨 滴一方面由于受重力作用而沿竖直方向下落. 另一方面又由于风对它的作用使它沿水平 方向也发生运动,可以想象,当雨滴在水平方向的运动速度小于风的速度时,在水平方 向上风相对于雨滴总是有向前的速度, 由此风还会把雨滴向前带动使之具有更大的水平 方向的速度,只有当两者在水平方向的速度相等时,两者在水平方向上方无相互作用, 雨滴在水平方向上的速度才不会再变化,所以,若把风中的雨滴下落的运动从水平和竖 直两个方向来看,则雨滴将一方面以某一速度沿竖直方向下落,另一方面则具有一个和 风速相同的水平方向的速度随风一道运动. 人在雨中奔跑的速度是沿水平方向的, 他若感到此时雨滴是沿竖直方向下落, 表明 此时人与雨滴之间在水平方向上没有相对运动, 即人和雨滴在水平方向上的速度是相同 的,又由上分析知此时雨滴在水平方向上的速度与风速相同,可见此时人奔跑的速度与 风的速度相同.故知此时刮的是西风,风速是 18km/h,即 5m/s. 答案:西,5 7. A、B 两辆车以相同速度 v0 同方向作匀速直线运动,A 车在前,B车在后.在

两车上有甲、乙两人分别用皮球瞄准对方,同时以相对自身为 2 v0 的初速度水平射出,
38

如不考虑皮球的竖直下落及空气阻力,则(C A.甲先被击中 B.乙先被击中 C.两人同时被击中 D.皮球可以击中乙而不能击中甲 思路点拨



甲球抛出时对他的速度为:v 甲=2v0-v0=v0,方向向后; 乙球抛出后对他的速度为:v 乙=2 v0+ v0=3 v0,方向向前,设两车相距 s 远, 则甲球自抛出至击中乙所需的时间为: t1 ?

s s ? v甲 ? v0 2v0

乙球自抛出至击中甲所需的时间为: t 2 ? 可见 t2=t1,说明两人同时被击中.

s s s ? ? v乙 ? v0 3v0 ? v0 2v0

39

第五讲 关联速度

所谓关联速度就是两个通过某种方式联系起来的速度.比如一根杆上的两个速 度通过杆发生联系,一根绳两端的速度通过绳发生联系.常用的结论有: 1,杆或绳约束物系各点速度的相关特征是:在同一时刻必具有相同的沿杆或绳 方向的分速度. 2,接触物系接触点速度的相关特征是:沿接触面法向的分速度必定相同,沿接 触面切向的分速度在无相对滑动时相同. 3,?线状相交物系交叉点的速度是相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和. 4,如果杆(或张紧的绳)围绕某一点转动,那么杆(或张紧的绳)上各点相对 转动轴的角速度相同? 类型 1 ?质量分别为m1、m2 和m3 的三个质点A、B、C位于光滑的水平桌面上, 用已拉直的不可伸长的柔软轻绳AB和BC连接,∠ABC=π -α ,α 为锐角,如图 5-1所示.今有一冲量I沿BC方向作用于质点C,求质点A开始运动时的速度.

图 5-1

图 5-2

??类型 2 ?绳的一端固定,另一端缠在圆筒上,圆筒半径为R,放在与水平面成 α 角的光滑斜面上,如图5-2所示.当绳变为竖直方向时,圆筒转动角速度为 ω (此时 绳未松弛),试求此刻圆筒轴O的速度、圆筒与斜面切点C的速度。 ??类型 3 ?直线AB以大小为v1 的速度沿垂直于 AB 的方向向上移动,而直线 CD 以

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大小为v2 的速度沿垂直于CD的方向向左上方移动,两条直线交角为 α ,如图 5-3所 示.求它们的交点P的速度大小与方向.(全国中学生力学竞赛试题)

图 5-3

图 5-4

??以上三例展示了三类物系相关速度问题. 类型 1 求的是由杆或绳约束物系的各 点速度;类型 2 求接触物系接触点速度;类型 3 则是求相交物系交叉点速度.三类问题 既有共同遵从的一般规律,又有由各自相关特点所决定的特殊规律,我们若能抓住它们 的共性与个性,解决物系相关速度问题便有章可循. ??首先应当明确,我们讨论的问题中,研究对象是刚体、刚性球、刚性杆或拉直的、 不可伸长的线等,它们都具有刚体的力学性质,是不会发生形变的理想化物体,刚体上 任意两点之间的相对距离是恒定不变的; 任何刚体的任何一种复杂运动都是由平动与转 动复合而成的.如图 5-4所示,三角板从位置ABC移动到位置A′B′C′,我们可 以认为整个板一方面做平动,使板上点B移到点B′,另一方面又以点B′为轴转动, 使点A到达点A′、点C到达点C′.由于前述刚体的力学性质所致,点A、C及板上 各点的平动速度相同,否则板上各点的相对位置就会改变.这里,我们称点B′为基 点.分析刚体的运动时,基点可以任意选择.于是我们得到刚体运动的速度法则:刚体 上每一点的速度都是与基点速度相同的平动速度和相对于该基点的转动速度的矢量 和.我们知道转动速度v=rω ,r是转动半径,ω 是刚体转动角速度,刚体自身转动 角速度则与基点的选择无关. ??根据刚体运动的速度法则,对于既有平动又有转动的刚性杆或不可伸长的线绳,每 个时刻我们总可以找到某一点,这一点的速度恰是沿杆或绳的方向,以它为基点,杆或 绳上其他点在同一时刻一定具有相同的沿杆或绳方向的分速度(与基点相同的平动速 度).因此,我们可以得到下面的结论. ??结论 1 ?杆或绳约束物系各点速度的相关特征是: 在同一时刻必具有相同的沿杆或 绳方向的分速度. ??我们再来研究接触物系接触点速度的特征. 由刚体的力学性质及“接触”的约束可 知,沿接触面法线方向,接触双方必须具有相同的法向分速度,否则将分离或形变,从
41

而违反接触或刚性的限制.至于沿接触面的切向接触双方是否有相同的分速度,则取决 于该方向上双方有无相对滑动,若无相对滑动,则接触双方将具有完全相同的速度.因 此,我们可以得到下面的结论. ??结论 2 ?接触物系接触点速度的相关特征是:沿接触面法向的分速度必定相同,沿 接触面切向的分速度在无相对滑动时相同. ??相交物系交叉点速度的特征是什么呢?我们来看交叉的两直线a、b,如图 5-5所 示,设直线a不动,当直线b沿自身方向移动时,交点P并不移动,而当直线b沿直线 a的方向移动时,交点P便沿直线a移动,因交点P亦是直线b上一点,故与直线b具 有相同的沿直线a方向的平移速度.同理,若直线b固定,直线a移动,交点P的移动 速度与直线a沿直线b方向平动的速度相同.根据运动合成原理,当两直线a、b各自 运动,交点P的运动分别是两直线沿对方直线方向运动的合运动.于是我们可以得到下 面的结论.

图 5-5 ??结论 3 ?线状相交物系交叉点的速度是相交双方沿对方切向运动分速度的矢量 和. ??这样,我们将刚体的力学性质、刚体运动的速度法则运用于三类相关速度问题,得 到了这三类相关速度特征,依据这些特征,并运用速度问题中普遍适用的合成法则、相 对运动法则,解题便有了操作的章法. ??下面我们对每一类问题各给出 3 道例题,展示每一条原则在不同情景中的应用. ??例 1 ?如图 5-6所示, 杆AB的A端以速度v做匀速运动, 在杆运动时恒与一静止 的半圆周相切,半圆周的半径为R,当杆与水平线的交角为 θ 时,求杆的角速度 ω 及 杆上与半圆相切点C的速度.

42

图 5-6 ??分析与解?考察切点C的情况. 由于半圆静止, 杆上点C速度的法向分量为零, 故点C速度必沿杆的方向.以点C为基点,将杆上点A速度v分解成沿杆方向分量v1 和垂直于杆方向分量v2(如图 5-7所示),则v1 是点A与点C相同的沿杆方向平动速 度,v2 是点A对点C的转动速度,故可求得点C的速度为

图 5-7 ?????vC=v1=v?cosθ , 又??? v2=v?sinθ =ω ?AC. 由题给几何关系知,A点对C点的转动半径为:AC=R?cotθ , 代入前式中即可解得:ω =(vsin2θ )/(Rcosθ ). ??例 2 ?如图 5-8 所示,合页构件由三个菱形组成,其边长之比为 3∶2∶1,顶点A3 以速度v沿水平方向向右运动,求当构件所有角都为直角时,顶点B2 的速度vB2.

图 5-8 ??分析与解?顶点B2 作为B2A1 杆上的一点,其速度是沿B2A1 杆方向的速度v1 及垂直于B2A1 杆方向速度v1′的合成;同时作为杆B2A2 上的一点,其速度又是沿B2 A2 杆方向的速度v2 及垂直于B2A2 杆方向的速度v2′的合成.由于两杆互成直角的特 定条件,由图 5-9显见,v2=v1′,v1=v2′.故顶点B2 的速度可通过v1、v2 速度 的矢量和求得,而根据杆的约束的特征,得

43

图 5-9

???v1=( ???v2=(

/2)vA1;

/2)vA2,

于是可得 由几何关系可知 ????vA1∶vA2∶vA3=A0A1∶A0A2∶A0A3=3∶5∶6, 则???vA1=v/2,vA2=(5/6)v, 由此求得??vB2=( /6)v.

图 5-10 ??上述解析,我们是选取了速度为沿杆方向的某一点为基点来考察顶点B2 的速 度的.当然我们也可以选取其他合适的点为基点来分析.如图 5-10所示,若以A1、 A2 点为基点,则B2 点作为B2A1 杆上的点,其速度是与A1 点相同的平动速度vA1 和对 A1 点的转动速度vn1 之合成,同时B2 点作为B2A2 杆上的点,其速度是与A2 点相同的

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平动速度vA2 和对A2 点的转动速度vn2 之合成,再注意到题给的几何条件,从矢量三 角形中由余弦定理得 而由矢量图可知 ????vn1=( /2)(vA2-vA1), /6)v.

代入前式可得???vB2=( ??两解殊途同归.

??例 3 ?如图 5-11 所示,物体A置于水平面上,物体A上固定有动滑轮B,D为定滑 轮,一根轻绳绕过滑轮D、B后固定在C点,BC段水平.当以速度v拉绳头时,物体 A沿水平面运动,若绳与水平面夹角为 α ,物体A运动的速度是多大?

图 5-11 ??分析与解?首先根据绳约束特点, 任何时刻绳BD段上各点有与绳端D相同的 沿绳BD段方向的分速度v,再看绳的这个速度与物体A移动速度的关系:设物体A右 移速度为vx,则相对于物体A(或动滑轮 B 的轴心),绳上B点的速度为vx,即 ?????vBA=vx, 方向沿绳 BD 方向;而根据运动合成法则,在沿绳 BD 方向上,绳上 B 点速度是相对于参 照系A(或动滑轮 B 的轴心)的速度vx 与参照系A对静止参照系速度vxcosα 的合 成,即 ?????v=vBA+vxcosα ; 由上述两方面可得 ?????vx=v/(1+cosα ). ??例 4 ?如图 5-12所示, 半径为R的半圆凸轮以等速v?0沿水平面向右运动, 带 动从动杆AB沿竖直方向上升,O为凸轮圆心,P为其顶点.求当∠AOP=α 时,A B杆的速度.

45

图 5-12

图 5-13

??分析与解?这是接触物系相关速度问题.由题可知,杆与凸轮在A点接触,杆 上A点速度vA是竖直向上的,轮上A点的速度v0 是水平向右的,根据接触物系触点速 度相关特征,两者沿接触面法向的分速度相同,如图 5-13 所示,即 ????vAcosα =v0sinα , 则???vA=v0tanα . 故AB杆的速度为v0tanα . ??例 5 ?如图 5-14 所示,缠在线轴上的绳子一头搭在墙上的光滑钉子A上,以恒定 的速度v拉绳,当绳与竖直方向成 α 角时,求线轴中心O的运动速度vO.设线轴的外 径为R,内径为r,线轴沿水平面做无滑动的滚动. ??分析与解?当线轴以恒定的速度 v 拉绳时,线轴沿顺时针方向运动.从绳端速度v 到轴心速度vO,是通过绳、轴相切接触相关的.考察切点B的速度:本题中绳与线轴间 无滑动,故绳上B点与轴上B点速度完全相同,即无论沿切点法向或切向,两者均有相 同的分速度. 5-15是轴上B点与绳上B点速度矢量图: 图 轴上B点具有与轴心相同的 平动速度vO 及对轴心的转动速度rω (ω 为轴的角速度),那么沿切向轴上B点的速 度为rω -vOsinα ;而绳上B点速度的切向分量正是沿绳方向、大小为速度v,于是 有关系式,即

图 5-14

图 5-15

46

????rω -vOsinα =v.????????① 又由于线轴沿水平地面做纯滚动,故与水平地面相切点C的速度为零,则轴心速度为? ?????vO=Rω ,????????????② 由①、②两式可解得????vO=(Rv)/(r-Rsinα ). ??若绳拉线轴使线轴逆时针转动,vO=(Rv)/(r-Rsinα ),自行证明. ??例 6 ?如图 5-16所示,线轴沿水平面做无滑动的滚动,并且线端A点速度为v, 方向水平.以铰链固定于点B的木板靠在线轴上,线轴的内、外径分别为r和R.试确 定木板的角速度 ω 与角 α 的关系.

图 5-16

图 5-17

??分析与解?设木板与线轴相切于C点, 则板上C点与线轴上C点有相同的法向 速度vn,而板上C点的这个法向速度正是C点关于B轴的转动速度,如图5-17 所示, 即 ???vn=ω ?BC=ω ?Rcot(α /2).?????????① ??现在再来考察线轴上C点的速度:它应是C点对轴心O的转动速度vCn 和与轴心 相同的平动速度vO 的矢量和,而vCn 是沿C点切向的,则C点法向速度vn 应是??? vn=vOsinα .????????????????② ??又由于线轴为刚体且做纯滚动,故以线轴与水平面切点为基点,应有 ???v/(R+r)=vO/R.??????????????③ 将②、③两式代入①式中,得???ω =(1-cosα )/(R+r)v. ??例 7 ?如图 5-18 所示,水平直杆AB在圆心为O、半径为r的固定圆圈上以匀速 u竖直下落,试求套在该直杆和圆圈的交点处一小滑环M的速度,设OM与竖直方向的 夹角为 φ .

47

图 5-18 分析与解?当小环从圆圈顶点滑过圆心角为 φ 的一段弧时,据交叉点速度相关特 征,将杆的速度u沿杆方向与圆圈切线方向分解,则M的速度为 ????v=u/sinφ . ??例 8 ?如图 5-19所示,直角曲杆OBC绕O轴在如图 5-19 所示的平面内转动, 使套在其上的光滑小环沿固定直杆OA滑动. 已知OB=10cm, 曲杆的角速度 ω =0. 5rad/s,求 φ =60°时,小环M的速度.

图 5-19

图 5-20

分析与解?本题首先应该求出交叉点M作为杆BC上一点的速度v, 而后根据交叉 点速度相关特征,求出该速度沿OA方向的分量即为小环速度. ??由于刚性曲杆OBC以O为轴转动, 故其上与OA直杆交叉点的速度方向垂直于转 动半径OM、大小是v=ω ?M=10cm/s. ??将其沿MA、MB方向分解成两个分速度,如图 5-20 所示,即得小环M的速度为: vM=vMA=v?tanφ =10 cm/s.

??例 9 ?如图 5-21 所示,一个半径为R的轴环O1 立在水平面上,另一个同样的轴环 O2 以速度v从这个轴环旁通过,试求两轴环上部交叉点A的速度vA与两环中心之距离 d之间的关系.轴环很薄且第二个轴环紧邻第一个轴环.?

48

图 5-21

图 5-22

分析与解?轴环O2 速度为v,将此速度沿轴环O1、O2 的交叉点A处的切线方向分 解成v1、v2 两个分量,如图 5-22,由线状相交物系交叉点相关速度规律可知,交叉点 A的速度即为沿对方速度分量v1.注意到图 5-22 中显示的几何关系便可得

第六讲

力和运动的关系

判断一个物体做什么运动,一要看它受到什么外力,二要看它的初速与外力方向的 关系。物体运动某时刻的加速度总与该时刻所受的合外力相对应,而某时刻的速度沿轨 迹切线方向,与该时刻所受的力没有直接对应关系。 (1)物体受平衡力的作用: 物体以

? F ? 0, a ? 0 。当 V

0

? 0 时,物体静止:当 V0 ? 0 时,

V0 作匀速直线运动。

(2)物体作直线运动:

? F =恒量, a ? 恒量,物体作匀变速运动。当 V

0

? 0 时,

作初速为零的匀加速直线运动;当 运动,如果

V0 ? 0 时,如果 ? F 与 V0 同向,物体作匀加速直线

? F 和V

0

反向,物体作匀减速直线运动。

? F =变量, a =变量,物体将做变加速运动。如果方向不变大小变,物体作如有
空气阻力的竖直上抛运动;若大小和方向都变,物体的运动更要具体分析。 (3)物体作曲线运动 ①物体作曲线运动的条件: 当物体所受的合外力的方向与物体运动的速度方向不在 一条直线上时,物体将作曲线运动。在运动过程中,物体的速度方向是在曲线某点的切 线方向上,合力在切线方向的分量产生切向加速度,它描述速度大小改变的快慢;合力 在法线方向(径向)的分量产生法向加速度,它描述速度方向改变的快慢。 ②抛物线运动:当物体所受的合外力大小和方向都不变,而速度与合外力方向不在
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同一直线上时,物体作轨迹为抛物线的运动。如物体只受重力作用的抛体运动和带电粒 子在匀强电场中的运动。当合力与初速的方向垂直时,物体做类平抛运动;当合力与初 速的夹角小于 90?时,物体作类下抛运动;当合力与初速的夹角大于 90?时,物体作类 上抛运动。 ③圆周运动:当物体所受的合外力的大小保持不变,而速度与合外力保持垂直,则 物体做匀速圆周运动。 在匀速圆周运动中,切向加速度为零,法向加速度即向心加速度,故此时合外力就 叫向心力

F ? mV 2 / r



? F ? mr?

2

向心力是从力的作用效果命名的力,任何一个力或几个力的合力,只要它的作用效 果是使质点产生向心加速度,这个力或这几力的合力就叫向心力。不要在分析物体所受 的重力、弹力、摩擦力之外再无中生有地受到一个向心力。 做非匀速圆周运动的质点所受到的合外力,一定在法向上有一个分量,这一分量即 为向心力;在切向上也有一个分量,这一分量使速度大小有变化。 所谓离心力是对作圆周运动的物体给提供它的向心力的另一物体的作用力, 如果做 圆周运动的物体的向心力是由两个或两个以上的物体共同提供的, 则离心力必作用在这 两个或两个以上的相应的物体上,所以,除了只有一个物体提供向心力的情况外,一般 不能把离心力说成是向心力的反作用力。 当合外力提供的向心力小于物体所需的向心力 时,物体将远离原来的轨道作离心运动;当合力提供的向心力在某时刻消失时,物体将 沿该时刻的速度方向飞出,这些现象的实质是物体的惯性所致,而不是所谓离心力的作 用。在非惯性系中提出的惯性离心力这一虚拟力,也与上述离心力根本不同,决不能混 淆。 类型一、牛顿第二定律是动力学的核心,特别是质点系的牛顿第二定律解题时应用起来 特别灵活多变,是解决复杂的动力学问题的主要手段。 例 1.如图 3—1 所示,车厢 B 底面放一个物体 A,已知它们的质量 mA =20 kg,mB =30 kg,在水平力 F=120 N 作用下,B 由静止开始运动,2s 内移动 5 m,不计地面摩擦, 求 A 在 B 内移动的距离.

50

分析和解:本题中由于不计地面摩擦,系统的和外 力就 为 F,而在和外力作用下,系统内 A、B 都

要产生加速度,故须应用质点系的牛顿第二定律求 解。 对整体(质点系)利用牛顿第二定律有 F=mAaA+mBaB,即 又S ? 120=20aA+30aB

1 2 5 9 aBt , aB ? m / s , a A ? m / s 2 2 4 1 S A ? aAt 2 ? 4.5m 2

即 S AB ? 5m ? 4.5m ? 0.5m 类型二、联结体的动力学问题是一类常见的问题,解题时除应考虑用整体法和隔离 法外,还要特别注意是杆系、绳系速度、加速度的关联的类别以及物系内各物体之 间是否存在相对速度和相对加速度. 例 3.绳 EF 一端系于轻杆 AB 中间,如图 3—3 所示,一端固定在天花板上,轻杆两 端各有一质量为 m 的小球,并通过 AC、BC 两绳系住一质量为 M 的小球 C,不计绳的 质量及绳的体积且 AC=BC=AB,求剪断 BC 绳的瞬间,EF 绳的张力 T。

分析和解:本题首先是一个联结体的问题,物体系通过杆、绳连结,受力比较复杂, 但同时还是一个力的瞬时性问题,连结的杆绳一发生状态或连结情况的变化,所受力立
51

即发生变化,物系的加速度也将发生瞬时性变化。设正三角形 ABC 边长为 l ,剪断 BC 绳瞬间 AC 绳张力为 T。如图 3—4, A 球的加速度可分解为水平方向 a x 及竖直方向 a y 。 注意到剪断 BC 瞬间 TEF 方向竖直向上。

2max ? T cos ?

l l 2m ? ( )2 ? ? T sin ? ? 2 2 l ay ? ? ? 2 T cos ? T sin ? 由以上三式得: ax ? , ay ? 2m 2m
对于 C,设其沿绳方向加速度为 a0 ,则有 Ma0 ? Mg sin ? ? T , a0 ? g sin ? ? 又

T M

剪断 BC 后,AC 绳仍绷紧,且 A、C 无相对转动,所以 A、C 在沿绳方向加速度

相等,即 a0 ? ax cos ? ? a y sin ? 将 a0 、 a x 、 a y ,值代人上式,解得 T ?

2mM g sin ? 2m ? M

对 于 TEF , 考 虑 AB 杆 , 注 意 到 其 在 EF 绳 限 制 下 质 心 无 竖 直 方 向 加 速 度. TEF ? 2mg ? T sin ? ?

m(8m ? 7 M ) g 2(2m ? M )

两个质量均为 m 的小球,用细绳连接起来,置于光滑平面上,绳恰好被拉直。用一 个恒力 F 作用在连绳中点,F 的方向水平且垂直于绳的初始位置(图 3-5-4) 力拉动 ,F 原来处于静止状态的小球。问:在两小球第一次相撞前的一瞬间,小球在垂直于 F 的作 用线方向(设为 y 方向)上的分速度多大? 由于绳的张力和方向都在不断改变,因此两小球的运动是比较复杂的,我们应用两 种手段使复杂的问题简化。 一是先研究小球在某一方向即 F 作用的线方向(设为 x 方向)上的运动:当绳与作

用线成 a 角时绳上的张力

T?

F 2 cos a ,这个张力使小球产生的在 x 方向上的加速度为

a x ? T ? cos a / m ? F /(2m)
可见,

a x 和a 无关,即小球在 x 方向上做匀加速运动(图 3-5-5)

52

y x

m

l
F

?
ay
T

F

l
m

ax

图 3-5-4

图 3-5-5

二是只考虑小球运动的初、末两个状态:设 F 的作用点共移动了 s 距离,则小球在 x 方向上运动了 ( s ? l ) 的距离,小球碰撞前在 x 方向上的速度为

v x ? 2a x ( s ? l ) ? F ( s ? l ) / m
在这段过程中,F 力做的功为

Fs ,根据动能定理

1 2 2 FS ? 2 ? m(v x ? v y ) 2
2 FS ? F ( s ? l ) ? mv y

v y ? Fl / m
应该说明的是, 因为动能定理是从牛顿第二定律推导出来的, 因此只适用于惯性系。 虽然相对不同的惯性系,F 做功的位移和物体的速度都是不一样的,但动能定理却仍然 成立。 类型三、非惯性系的问题在正常的高中物理学习中是不牵涉到的内容,但在解题时 利用了参考系的变换, 在选择的参考系为非惯性参考系时注意引如惯性力可以是问题得 到最大程度的简化。 例 5.如图 3—6 所示,质点 A 沿半圆弧槽 B 由静止开始下滑,已知 B 的质量为 M,质 点的质量为 m,槽的半径为 R 且光滑,而槽与地面的接触面也是光滑的,试求质点 A 下滑到任意位置θ 角时 B 对 A 的作用力.

53

分析和解:由于槽与地面的接触面是光滑的,质点 A 沿半圆弧槽 B 下滑时槽 B 必然 后退,如果要求的是状态量,可以考虑动量和能量的观点来解题,但如果要求的是瞬时 量,则常规的解题方法会有很大的困难,利用了参考系的变换,在以 B 为参考系时注意 引入惯性力.是解决这类问题的基本方法。 设 M 的加速度向左,大小为 a ,有 F cos? ? Ma ①

对 m 以 B 为参考系,其相对 B 的速度为 u,且必定与圆弧相

u2 切. F ? ma cos ? ? mg sin ? ? m R



根据动量与能量守恒,并设 M 的速度为 ? ,同时注意 m 的速度 u 应转换为对地速 度 . M ? ? m u i? n ? ( s ?

)

③ ( 水 平 方 向 动 量 守 恒 ) ④

mgR sin ? ?

1 1 M? 2 ? m(u 2 ? ? 2 ? 2u? sin ? ) 2 2

由以上①②③④式可解得 F ?

Mmg sin ? (3M ? 2m ? m cos 2 ? ) ( M ? m cos 2 ? ) 2

54

第六讲 力

力的概念 惯性定律指出,一个物体,如果没有受到其他物体作用,它就保持其相对于惯性参 照系的速度不变,也就是说,如果物体相对于惯性参照系的速度有所改变,必是由于受 到其他物体对它的作用,在力学中将这种作用称为力。凡是讲到一个力的时候,应当说 清楚讲到的是哪一物体施了哪一个物体的力。 一个物体,受到了另一物体施于它的力,则它相对于惯性参照系的速度就要变化, 或者说,它获得相对于惯性参照系的加速度,很自然以它作用于一定的物体所引起的加 速度作为力的大小的量度。实际进行力的量度的时候,用弹簧秤来测量。 1、力的效应 (1) 内、外效应: 力的作用效果有两种:一是受力物发生形变;二是使受力物的运动状态发生变化。 前者表现为受力物各部分的相对位置发生变化,故称为力的内效应;后者表现为受力物 的运动方向或快慢发生变化,故称为力的外效应。 众所周知,当物体同时受到两个或多个力作用时,它的运动状态也可能保持不变, 这说明力对同一物体的外效应可能相互抵消。 (2)合力与分力 合力与它的那组分力之间,在力学效果上必须具有“等效代换”的关系。 2、力的作用方式
55

力是物体间的一种相互作用,又是一并具有大小、方向和作用点的一种矢量。根据 研究和解决实际问题的需要,可以从不同的角度对力进行区分。 (1)体力、面力和点力 按照力的作用点在受力物上的分布情况, 可将力可将力分为体力、 面力和点力三种。 外力的作用点连续分布在物体表面和内部的一定 (或全部) 区域, 这种力就是体力。 重力就是一种广泛存在的体力。 作用点连续分布在物体某一面(或全部表面)上,这种力就是面力。压力和摩擦力 就是一种广泛存在的面力。 当面力和体力作用的区域远比受力物小,或可以不考虑作用点的分布情况时,就可 以把相应的体力或面力当成是集中在物体的某一点上作用的,这种情况下的体力和面力 就叫做点力。例如,在通常情况下,我们就是把重力、摩擦力和压力当成点力看待。具体 而言,常用物体各部分所受重力的合力来代替该物体受到的总重力;用摩擦面上各部分 所受摩擦力之合力来代替这个面上的总摩擦力;对压力也是按照这种方式处理的。当不 涉及转动的时候,我们甚至把面力的合力作用点标出在物体的重心上,这就使问题的解 决更加便当。但若涉及到物体的转动,就绝对不能把体力和面力(如磁力)的作用点随 便地集中到物体的重心上。点力只是在一定条件下对体力和面力的一种适当的简化而 已,对此切勿掉以轻心。 (2) 内力和外力 按照施力物与被研究物体的所属关系,又常将力分为内力和外力两大类 若被研究对象是某一物体,则该物体内部各部分间的作用力叫内力;若被研究对象 是两个或多个物体组成的系统,则系统内部各物体间的作用力都叫该系统的内力。 外力则是被研究对象以外的其他物体对则该物体(或系统)的作用力。在中学,若 无特别说明,一般所谈的受力,都指的是外力。 物体内部和相邻部分的拉力或压力都是内力。其中的前者就叫张力。理想的柔绳内 部只能有张力,而不可能有相互挤压力。其张力总是与绳的轴线相切(如绕在轮上被拉 紧的绳) 。所以柔绳只能对外产生拉力和侧压力,不能产生轴向压力。杆件既能对物体 产生拉力,也能对物体产生压力,还能对物体产生侧压力。在中学,未做特别说明,通 常把绳和线当成理想的柔绳和柔线, 一般还忽略了绳和线的质量, 以及它们的伸长形变。

重力
56

物体由于地球的吸引而受到的力,方向竖直向下.重力的作用点在物体的重心上, 在地球表面附近可认为重力保持不变.关于重力和万有引力。地球(质量 M)上的物体 (质量 m)受到地球的万有引力 ,物体随地球自转而作匀速圆周运动所需

的向心力是物体所受万有引力的一个分力,由于这一分力极小,所以万有引力的另一个

分力重力无论从大小和方向都与万有引力相差无几。所以有 式中 r 是物体到地心的距离,即 r=R+h,由于地球半径

, ,所以地球表面附

近的重力加速度 g 值变化甚微,可视为不变。重力是在地球表面附近所受的万有引力。 这正是物理的重要研究方法,在足够精确的前提下,大胆近似、大胆理想化,可使问题 大大简化。同样,说重力方向竖直向下,表明在不大的范围内,物体在各处受到重力方 向是平行的,依然是一种理想化处理方法.注意:当物体离开地面,不随地球一起转动 时,重力与物体和地球间的万有引力等同. 重力的大小可由下列方法中的一种求得.例如:可用弹簧秤测出;由公式 G=mg 计 算出;也可以用平衡法求出等.物体的重心可在物体上也可在物体外,不规则物体的重 心可由下列方法中的一种求出: ①悬挂法(图 l 一 1);②支撑法(图 l 一 2);③微元法等(图 l 一 3).

物体的重心与质心 重心:从效果上看,我们可以认为物体各部分受到的重力作用集中于一点,这一点 叫做物体的重心。 设物体各部分的重力分别为 G1、G2??Gn,且各部分重力的作用点在 oxy 坐标系中 的坐标分别是(x1,y1) x2,y2)??(xn,yn),物体的重心坐标 xc,yc 可表示为 (

xc=

?G x ?G
i i

i

=

G1 x1 ? G2 x 2 ? ? ? Gn x n ? Gi y i = G1 y1 ? G2 y 2 ? ? ? Gn y n , yc= G1 ? G2 ? ? ? Gn G1 ? G2 ? ? ? Gn ? Gi

质心:物体的质量中心。
57

如图 l 一 3 所示, 在物体上建立坐标系, 把物体分成无穷多份. 第一份的质量为 ml, 位置为(x1,y1,z1),第 n 份的质量为 mn,位置坐标为(xn,yn,zn),物体的重心坐标为:

计算重心位置的方法: 1、同向平行力的合成法:各分力对合力作用点合力矩为零,则合力作用点为重心。 2、割补法:把几何形状不规则的质量分布均匀的物体分割或填补成形状规则的物 体,再由同向(或反向)平行力合成法求重心位置。 3、公式法:如图所示,在平面直角坐标系中,质量为 m1 和 m2 的 A、B 两质点坐标分别为 A(x1,y1) ,B(x2,y2)则由两物体共同 组成的整体的重心坐标为:
y2 yC y1 O y B C A x1 xC x2 x

m x ? m2 x 2 xC ? 1 1 m1 ? m2

m y ? m2 y 2 yC ? 1 1 m1 ? m2

一般情况下,较复杂集合体,可看成由多个质点组成的质点系,其重心 C 位置由如 下公式求得:

xC ?

?m i x i ?m i

yC ?

?m i y i ?m i

zC ?

?m i z i ?m i

注:在竞赛中对重力的要求和高考中基本相同. 弹力 (1)弹力产生在直接接触又发生非永久性形变的物体之间(或发生非永久性形变的 物体一部分和另一部分之间),两物体间的弹力的方向和接触面的法线方向平行,作用 点在两物体的接触面上. (2)弹力的方向确定要根据实际情况而定. (3)弹力的大小一般情况下不能计算,只能根据平衡法或动力学方法求得.但弹簧 弹力的大小可用.f=kx(k 为弹簧劲度系数,x 为弹簧的拉伸或压缩量)来计算 .

注意: 在高考中, 弹簧弹力的计算往往是一根弹簧, 而竞赛中经常扩展到弹簧组. 例 如: 当劲度系数分别为 k1,k2,?的若干个弹簧串联使用时. 等效弹簧的劲度系数的倒数

58

为:

1 1 1 ? ? ... ,即弹簧变软;反之.若以上弹簧并联使用时,弹簧的劲度系数为: k k1 kn

k=k1+?kn,即弹簧变硬.(k=k1+?kn 适用于所有并联弹簧的原长相等;弹簧原长不相等 时,应具体考虑) 长为 的弹簧的劲度系数为 k,则剪去一半后,剩余 的弹簧的劲度系数为 2k

摩擦力 (1)摩擦力是一个物体在另一个物体表面有相对运动或相对运动趋势时,所产生的 阻碍相对运动或相对运动趋势的力.方向沿接触面的切线.且阻碍相对运动或相对运动 的趋势,分滑动摩擦力、静摩擦力和滚动磨擦力三种. 摩擦分为静摩擦和滑动摩擦 当两个相互接触的物体之间存在相对滑动的趋势(就是说:假如它们之间的接触是 “光滑的” ,将发生相对滑动)时,产生的摩擦力为静摩擦力,其方向与接触面上相对 运动趋势的指向相反,大小视具体情况而定,由平衡条件或从动力学的运动方程解算出 来,最大静摩擦力为

f max ? ? 0 N

式中

? 0 称为静摩擦因数,它取决于接触面的材料

与接触面的状况等, 为两物体间的正压力。 N 当两个相互接触的物体之间有相对滑动时, 产生的摩擦力为滑动摩擦力。滑动摩擦力的方向与相对运动的方向相反,其大小与两物 体间的正压力成正比。

f ? ?N 。 ? 为滑动摩擦因数,取决于接触面的材料与接触面的表面状况,在通常的相
对速度范围内,可看作常量,在通常情况下, 的动力学条件为静摩擦力的绝对值满足: 糙程度相同的条件下,静摩擦因数

? 0与? 可不加区别,两物体维持相对静止
。在接触物的材料和表面粗

f ? f max ? ?N

? 0 略大于动摩擦因数 ? 。

(2)摩擦力的方向的判断是竞赛和高考中的难点,也是最不容易把握的.而竞赛中 又经常扩展到二维甚至三维.请看这样一个问题. 如图 l 一 12 所示,在倾角为 a 的斜劈上,有一个水平力 F 作用在物块 A 上.A 仍静 止在斜面上,斜劈静止在地面上,试分析 A 所受的静摩擦力的方向. 1)假设法:假设斜面变为光滑,物块的相对运动趋势或相对运动方向的反方向. 2)平衡法:物块 A 静止,物块 A 一定受力平衡,物块所受摩擦力的方向是物块所受
59

其他力合力的反方向. 3)动力学法:若物块 A 随斜劈一起向右加速运动,可根据牛顿定律和运动学判断.

(3)竞赛中常用到摩擦角的概念,令静摩擦因数

? 0 等于某一角 ? 的正切值,即

? 0 ? tg? , 这 个 ? 角 就 称 为 摩 擦 角 。 在 临 界 摩 擦 ( 将 要 发 生 滑 动 状 态
下),

f max N ? ? 0 ? tg ? 。支承面作用于物体的沿法线方向的弹力 N 与最大静摩擦力

f max

的合力 F(简称全反力)与接触面法线方向的夹角等于摩擦角,如图 1-1-11 所示

(图中未画其他力) 。在一般情况下,静摩擦力

f0

未达到最大值,即

f0 ? ?0 N ,

f0 f ? ? 0 , 0 ? tg? N N

因此接触面反作用于物体的全反力 F ? 的作用线与面法线的夹角

? ? arctg

f0 N ,不

会大于摩擦角,即 ? ? ? 。物体不会滑动。由此可知,运用摩擦角可判断物体是否产生 滑动的条件。如图 1-1-12 放在平面上的物体 A,用力 F 去推它,设摩擦角为 ? ,推力 F 与法线夹角为 ? ,当 ? ? ? 时,无论 F 多大,也不可能推动物块 A,只有 ? ? ? 时,才 可能推动 A。
60

力的合成与分解 计算共点力 F1 与 F2 的合力 F

F= F1 ? F2 ? 2 F1 F2 cos?
2 2

φ =arctan

F2 sin ? (φ 为合力 F 与分力 F1 的夹角) F1 ? F2 cos?

三角形法则与多边形法则:多个共点共面的力合成,可把一个力的始端依次画到另 一个力的终端,则从第一个力的始端到最后一个力的终端的连线就表示这些力的合力。 拉密定理: 三个共点力的合力为零时, 任一个力与其它两个力夹角正弦的比值是相等的。

平行力的合成与分解 (1)同向平行力的合成 如图 l—15 所示,两个平行力 FA、FB 相距 AB,则合力 F 的 大小为 F=FA+FB,作用点 C 满足 FA|AC|=FB|BC|。

注意:同向平行力合成法则跟共点力的合成法则是一致的,关于合力作用点,其位 置满足(对任意转动轴)合力的力矩跟两分力力矩之和相等这一条件。 (2)反向力的合成如图 1—16 所示,两个大小不同的反向平行力 FA 和 FB(FA>FB)相距 AB, 则合力 F 的大小为 FA-FB, FA 同向, 与 作用点 C 满足 FA?|Ac|=FB|BC|的关系。 平行力的合成常用来确定物体的重心,常用的方法有分隔法和负质量法两种。如图 l 一 17 所示,匀质球 A 质量为 M,半径为 R;匀质棒 B 的质量为 m,长度为 L,求它的重 心?

61

第一种方法是将它分隔成球和棒两部分,然后用同向平行力合成的方法找出其重心 C,C 在 AB 的连线上,且|AC|M=|BC|m(图 l—18).第二种方法是将棒球看成一个对 称的“哑铃”和一个质量为-M 的球 A?的合成(图 l—19).用反向平行力合成的方法找 出其重心 C,C 在 AB 连线上,且|BC|(2M+ m)=|A?C|M,两种方法的结果都是:

BC ?

M ( R ? L / 2) M ?m

注意:在高考中只要求共点力的合成,要求掌握平行四边形定则和正交分解法则; 而在竞赛中常拓展到多边形的应用,以及用平行力的合成确定物体的重心等. 如右图所示,匀质球质量为 M、半径为 R;匀质棒 B 质量为 m、长度为 l。求它的重 心。
A R+l/2 C B mg (M+m)g

R A

B

Mg

【解】第一种方法是:将它分隔成球和棒两部分,然后用同向平行力合成的方法找 出重心 C。C 在 AB 连线上,且 AC?M=BC?m; 第二种方法是:将棒锤看成一个对称的“哑铃”和一个质量为-M 的球 A? 的合成, 用反向平行力合成的方法找出重心 C,C 在 AB 连线上,且 BC?(2M+m)= A?C ?M。不

难看出两种方法的结果都
Mg A C B Σ F 62 (2M+m)g

l? ? M?R ? ? 2? ? 是 BC ? 。 M ?m

A?
C

例题分析 例 1 如图 3 所示的皮带传动装置,A 和 B 分别为主动轮和被动轮上边缘上的 点。试分析工作时(皮带不打滑),皮带对 A、B 的摩擦力方向。

分析与解答:首先要弄清 A、B 两点相对皮带的运动趋势是什么方向,“假定摩擦 力消失”是判断的重要方法。当主动轮如图示方向转动时,A 点相对皮带有向上运动的 趋势,皮带施予 A 点的摩擦力方向应是向下的。如果被动轮与皮带间的摩擦力消失,则 B 点相对(正在运动的)皮带有向上运动的趋势,所以皮带对 B 点的摩擦力的方向是向 下的。被动轮正是靠这一摩擦力的力矩,使其开始转动的。 虽然 A 点所受的摩擦力方向与其运动方向相反, B 点所受的摩擦力方向与其运动 而 方向相同,但它们所受摩擦力的方向总是与它们相对运动趋势方向相反,这一点是相同 的。 例 2 一劲度系数为 k 的弹簧,剪去一半后,剩余一半的弹簧的劲度系数为 2k,试 证明。 分析与解答:证明时,唯一可运用的就是胡克定律,因此

设此弹簧在力 F 代作用下伸长量为

(图 4),则



再看上一半弹簧,它应伸长

,它受的力也是 F,因此

。证毕。 例 3 如图所示,一质量为 m 的小木块静止在滑动摩擦因数为
F θ

63

μ =

3 的水平面上,用一个与水平方向成 θ 角度的力 F 拉着小木块做匀速直线运动, 3

当 θ 角为多大时力 F 最小?

64

第七讲 摩擦角及其它

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1、 “千斤顶”中的学问 【例 1】在固定的斜面上放一物体,并对它施加一竖直向下的压力,物体与斜面间 的摩擦因数为 μ 。求斜面倾角 θ 的最大值,使得当 θ ≤θ m 时,无论竖直向下的压力

66

有多大,物体也不会滑下。

θ

分析:如图,物体受四个力,重力和压力的合力为 G+F,静摩擦力 Fs,斜面支持力 FN。将 G+F 分解为 F1 和 F2,根据平衡条件得 FN = F2=(G+F)cosθ Fs= F1=(G+F)sinθ

物体不会滑下的条件是 Fs 小于最大静摩擦力 Fm,而 Fm=μ FN ,从而有 (G+F)sinθ ≤(G+F)cosθ 化简得 θ ≤arctanμ

所以只要 θ ≤arctanμ ,无论 F 有多大,物体也不会滑下。 说明: “千斤顶”螺旋实际可以看作是 tan? <μ 的弯曲斜面。

2、推力的极大值(自锁) 【例 2】在机械设计中,常用到下面的力学装置,如图只要使连杆 AB 与滑块 m 所在 平面法线的夹角 θ 小于某个值,那么无论连杆 AB 对滑块施加多大的作用力,都不可能 使之滑动,且连杆 AB 对滑块施加的作用力越大,滑块就越稳定,工程力学上称为‘自 锁’现象。则自锁时 θ 应满足什么条件?设滑块与所在平面间的动摩擦因数为 μ 。 分析:将连杆 AB 对滑块施加的推力 F 分解,且 F 远远大于 mg,可以忽略。则滑块 m 不产生滑动的条件为 Fsinθ <μ Fcosθ 化简得自锁的条件为 θ <arctanμ 。

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3、运动员的弯道技术 【例 3】在田径比赛、摩托车赛、自行车赛等运动项目中,当通过 弯道时, 运动员必须倾斜与路面保持一定的角度 θ 才能顺利通过弯道, 这就是运动员的弯道技术。路面的弯道半径越小,运动员的速度越快, 运动员的倾斜角就越大。设在摩托车比赛中,摩托车与路面间的摩擦 因数为 μ ,试求摩托车所能达到的最大倾角。 分析:运动员要稳定地平动,路面对摩托车的力必须通过整体的 重心,所以静摩擦力 F1 与支持力 F2 的夹角等于运动员与路面的倾斜角 度 ? 。而路面对摩托车整体的力 F 是 F1 和 F2 的合力,由图知 F1= F2tanθ =mg tanθ 对摩托车的最大静摩擦力为 则摩托车不倾倒的条件是 化简得 Fm=μ F2=μ mg F1≤Fm θ ≤arctanμ

所以摩托车所能达到的最大倾角为 θ m= arctanμ 。

4、拉力的极小值 【例 4】在水平面上放有一质量为 m 的物体,物体与地面的动摩擦因数为 μ ,现用 力 F 拉物体,使其匀速运动,怎样施加 F 才能最小。 分析:设拉力与水平面间的夹角为 θ ,将拉力 F 分解,并列出平衡方程,由动摩擦 力公式得
F?

Fcosθ =μ (mg-Fsinθ ) ,化简为
?m g ? ? 1 sin(? ? ? )
2

?m g ? cos? ? ? sin ?

(其中令 sin ? ?
?m g ?2 ?1

1

? ?1
2

, cos? ?

? ? 2 ?1



当 ? ? ? ? 90? 时 F 有最小值:

Fmin ?

, 且 θ = arctanμ 。

5、破冰船中的道理 【例 5】1999 年,中国首次北极科学考察队乘坐我国自行研制的“雪龙”号科学考 察船。 “雪龙”号科学考察船不仅采用特殊的材料,而且船体的结构也满足一定的条件, 以对付北极地区的冰块和冰层。它是靠本身的重力压碎周围的冰块,同时又将碎冰块挤 向船底,如果碎冰块仍挤在冰层与船体之间,船体由于受到巨大的侧压力而可能解体。
68

为此,船体与竖直方向之间必须有一倾角 α 。设船体与冰块之间的动摩擦因数为 μ 。 试问使压碎的冰块能被挤压向船底,α 角应满足的条件。

分析:冰块受到三个力:冰层对冰块的水平向后的挤压力,船体对冰块的侧压力 F, 以及沿船体方向的摩擦力(冰块的重力和浮力可以忽略) 。将 F 分解,如图 FN = F1=Fcosα Ff =μ FN

能使压碎的冰块被挤压向船底必须满足的条件 为 F2>Ff ,有 Fsinα >μ Fcosα 化简得 α >arctanμ

6、压延机原理 【例6】压延机由两轮构成,两轮的直径均为d=50mm,轮间 的间隙为a=5mm,两轮按反方向转动,如图中箭头所示。已知烧 红的铁板和铸铁轮之间的摩擦因数为μ =0.1, 问能压延的铁板厚 度b是多少?

分析:铁板的 A、B 两点和铸铁轮接触,接触点与转轴连线 的夹角为 α 。在 A 点铁板受到 FN1 和 Ff1 两个力,在 B 点铁板受 到 FN2 和 Ff2 两个力,如图所示。要使铁板能压延铁板所受合力 必须向右,则 α <θ =arctanμ 则铁板的最大厚度为 bm= a+2(r-rcos)=7.48mm 所以能压延的铁板厚度 b<7.48mm

69

【例 7】物体放在水平面上,用与水平方向成 30°的力拉物体时,物体匀速前进。 若此力大小不变,改为沿水平方向拉物体,物体仍能匀速前进,求物体与水平面之间的 动摩擦因素μ 。 答案:引进全反力 R ,对物体两个 平衡状态进行受力分析,再进行矢量平 移, 得到图 18 中的左图和中间图 (注意: 重力 G 是不变的,而全反力 R 的方向不 变、F 的大小不变) ,φ m 指摩擦角。 再将两图重叠成图的右图。由于灰 色的三角形是一个顶角为 30°的等腰三角形,其顶角的角平分线必垂直底边??故有: φ
m

= 15°。 最后,μ = tgφ m=0.268。 【例 8】(第三届全国预赛)如图 2—1—7 所示用力 F 推一放在水平地面上的木箱,

质量为 M,木箱与地面间摩擦因数为 无法推动木箱?

问:当力 F 与竖直成夹角?多大时,力 F 再大也

[思路分析]本题属于物体平衡问题,一般方法是用平衡条件列方程求极值,但这 里用摩擦角的概念分析,问题会更加简单. 解:选物体为研究对象,受力如图 2-1-8 所示,其受四个力作用而静止,将弹力 N 和摩擦力 f 合成作出全反力 F .当物体将要发生滑动时,静摩擦角?0。满足 tg?0=?, 由平衡条件知当 0<?<?0 时,物体出现自琐现象,也就是说此时无论用多大的力都不会 使物体推动,故?角属于范围 (0,?0)。 一个接触面的平衡问题

【例 9】 一物体质量为 m, 置于倾角为 ? 的斜面上, 物体与斜面间的动摩擦因数为 ? , 若要使物体沿斜面匀速向上滑动,求拉力的最小值。

70

解析:本题有两种解法,一种是根据平衡条件利 用数学建模得到 F ? F (? ) 后再求极值,另一种是引 入全反力(摩擦角)化四力平衡为三力平衡根据矢量 三角形直观快速地求解。 解法一: (利用平衡条件求解)设拉力与斜 面夹角为θ ,则由平衡条件可得:

F cos? ? ? (mg cos? ? F sin? ) ? mg sin? ? 0
即有

F ? (sin ? ? ? cos? )mg /(cos? ? ? sin? )
F? (sin ? ? ? cos? )mg sin ? ? ? cos? ? mg sin(? ? ? ) 1? ? 2

令 ? ? tg? ,则有

解法二: (引入摩擦角)如图 1 所示,设 ? ? tg ?1 ? ,则由平衡条件 和矢量三角形可得:当拉力 F 垂直于全反力方向时此时 F 的拉

? 力最小,即: F ? mg cos( ? ? ) ?

? cos? ? sin ?
1? ? 2

mg

【例 10】结构均匀的梯子 AB,靠在光滑竖直墙上,已知梯子长为 L,重为 G,与地 面间的动摩擦因数为μ ,如图所示, (1) (2) 求梯子不滑动,梯子与水平地面夹角θ 的最小值θ 0; 当θ =θ 0 时,一重为 P 的人沿梯子缓慢向上,他上到什么位置,

梯子开始滑动? 分析:本题也有两种解法:解法一是根据物体的平衡条件求解,这

是常规解法;另一解法是分析出它临界条件θ 0 再引入摩擦角解。 解法一: (1)如图 2 所示,平衡条件可得:

71

N 1 ? f ? ?N N ?G N 1 ? L sin ? 0 ? G ? L cos? 0 2

由上述 3 式可解得: ? 0 ? tg ?1

1 2?

(2)如图 3 所示,由平衡条件可得:

N 1 ? f ? ?N N ?G?P N 1 ? L sin ? 0 ? G ? L cos? 0 ? P ? x cos? 0 2

由上述 3 式可解得: x ? L / 2 解法二: (引入摩擦角)如图 4 所示, ? ? tg ?1 ? ,由平衡 (1) 条件可得: 所以有

G L cos? 0 ? L ? sin ? 0 ? (Gtg? ) 2

? 0 ? tg ?1

1 2?

(2)如图 5 所示,将梯子和人的重力用其等效重力代替 G ? , 当等效重力的重心还在梯子重心下面时梯子还不会滑倒,当 等效重力的重心还在梯子重心上面时梯子就会滑倒,所以当 人上到梯子一半即 L/2 时,梯子开始滑动。 一. 两个接触面的平衡问题

【例 11】一架均匀梯子,一端放置在水平地面 上,另一端靠在竖直的墙上,梯子与地面及梯子与 墙的静摩擦系数分别为μ 1、 2, μ 求梯子能平衡时与 地面所成的最小夹角。 分析:此题同样有两种解法,为了节省篇幅, 接下来只介绍引入摩擦角的解法。此题是多点摩擦 的问题,而且又是多点同时滑动,所以系统达到临 界平衡状态(极限平衡状态)时,即梯子与水平所 成的夹角最小时,各处摩擦力均达到最大值。现把

72

两端点的受力用全反力表示,则梯子就只受三个力,且三个力必共点。 解:如图 6 所示, ? 1 ? tg ?1 ?1 , ? 2 ? tg ?1 ? 2 ,由平衡条件 和几何关系可得:

tg? ?
?

BC DH ? DE DH DE ? ? ? AC 2 AH 2 AH 2 EB

? 1 ? ?1? 2 1 1 1 ctg?1 ? ctg? 2 ? ? 2 ? 2 2 2 ?1 2 2 ?1

即梯子与地面所成的最小的角为

? ? tg ?1

1 ? ?1 ? 2 2 ?1

[想一想]为什么多点摩擦同时滑动的临界条件是多点的摩擦力同时达到最大值? [思考题]质量为 m 的均匀梯子,一端在坚直光滑的墙上,另一端置于粗糙的水平地 面上,静摩擦系数为μ ,一个质量为 M 的人沿梯往上爬,为了保证该人的安全,对梯子 的放置有什么要求?(答案: tg? ?

2M ? m ) 2 ? ( M ? m)

【例 12 】一梯子长为 L,斜靠在竖直的墙壁上,梯子的倾角为 ? ,与水平地面间 的静摩擦系数为 ? 1 ,与竖直墙面间的静摩擦系数为为 ? 2 ,不计梯子的重力,求:重为 G 的人沿梯子能上升的最大高度。 解:以梯子和人组成的系统为研究对象,如图所 示,建立直角坐标系: 地面对梯子的全反力 F1 的直线方程: y=-

1 (x-Lcos ? ) tan ?1

(1)

竖直墙面对梯子的全反力 F2 的直线方程: y=tan ? 2 x +Lsin ? 梯子 AB 的直线方程: y=-tan ? (x-Lcos ? ) (3) (2)

当人达最高时,梯子将要滑动,此时有: tan ? 1 = ? 1 tan ? 2 = ? 2 代入上式

由(1)(2)两式可得 F1 与 F2 的交点 P 坐标为: 、
73

xP=

L(cos? ? ?1 sin? ) 1 ? ?1 ? 2

代入(3)式得人达到的最大高度为: y=

?1 L tan? (sin ? ? ? 2 cos? ) 1 ? ?1 ? 2

=

?1 L sin? sin? ? ? 2 cos? ( ) 1 ? ?1 ? 2 cos?

令 h=Lsin ? 则: y=

?1 h (tan? ? ? 2 ) 1 ? ?1 ? 2

=

tan? ? ? 2 h 1 ? ?2

?1

讨论: (1)当 tan ? ?

1

?1

时,y ? h ,说明人可到达梯子的顶端,即:ymax=L sin ? 。

也就是说,梯子的倾角大于某一临界角 ? 0 时(tan ? 0 =

1

?1

) ,梯子会处于自锁状态。这

种情况在实际中正是人们所希望的,因此人们通常把梯子放得陡一些,使得人无论爬到 梯子的任何位置, 梯子都将因自锁而不至滑倒, 而且梯子与水平地面间的静摩擦系数 ? 1 越大,临界角 ? 0 就会越小,梯子会更容易实现自锁状态。 (2) 、当 tan ? ?

1

?1

时,y<h,说明人不能到达梯子的顶端,即:ymax=

tan? ? ? 2 h 1 ? ?2

?1

如果此题考虑到梯子的重力,则上述结果便是人与梯子系统重心的最大高度,根据 系统重心的计算公式,也可计算出人沿梯子上升的最大高度。 小结:由于摩擦角与全反力所在直线的斜率存在着特殊的关系,所以在解决此类有 关全反力及摩擦角的问题时,应首选“坐标法” ,这样可避免解繁琐的三角形,使解题 的目的性更加明确,从而达到事半功倍的效果。 【例 12 】 如图 9 所示,每侧梯长为 l 的折梯置于铅垂平面内,已知 A、B 两处动摩

74

擦因数分别为μ A=0.2、μ B=0.6 ,不计梯重,求人能爬多高而梯不滑到。 解析:这是多点摩擦不同时滑动的平衡问题,比前面的例题要复杂。如果地面与梯的摩 擦系数足够大, 则梯子不会滑到, 现两边的摩擦系数较小, 所以梯子有可能滑到,所以必须对 A、B 分别分析。
?1 0 ?1 0 ? ? 解: 由题意可得: A ? tg 0.2 ? 30 , B ? tg 0.6 ? 30

如果从 A 开始往上爬,爬到如图所示时梯子将滑到,此时 受力如图 9 所示,设此时人离 A 端的距离为 S,则由平衡 条件和 几何关系可得:

sctg? A ? (l ? s )ctg30 0

0 所以从 A 端能爬的最大高度为 H ? s ? tg60 ? 0.44l

如果从 B 端开始往上爬,爬到如图所示时梯子将滑到,此时受力如图 10 所示,这将不 可能,因为 A 梯早就滑动了或 A 梯早就转动了。综上所述,人能爬的最大高度是 0.44l 。 [想一想]为什么人在梯子上爬时,水平地面对另一边梯子的作用力必须沿梯子方向? 解题经验小结:引入摩擦角的好处:通过全反力的等效替代,可以减少力的个数,化多 力平衡问题为三力平衡问题;可以迅速确定临界平衡状态;把平衡问题的判断转化为寻 求角度之间的关系,这是求解平衡问题的重要思路。

75

第八讲 一般物体的平衡、稳度

平衡状态的特点 物体处于静止或匀速运动状态,称之为平衡状态。平衡状态下的物体是高中物理中 重要的模型,解平衡问题的基础是对物体进行受力分析。物体的平衡在物理学中有着广 泛的应用:在静力学中有单体平衡、双体平衡;在气体压强的计算中。带电粒子在电、 磁场中等等, 都需要用到物体平衡知识。 在高考中, 直接出现或间接出现的几率非常大。 平衡态物体的特点: ⑴平面共点力作用下的物体受到的合外力为零。如果物体仅受三个力,则任意两力 的合力与第三力大小相等、方向相反。合外力为零,意味着物体受到的诸力在任一方向 上的分力的矢量和为零,因而常用正交分解法列平衡方程。形式为: ?

?? Fx ? 0 ?? F y ? 0

⑵有固定转动轴物体的平衡,其合力矩为零,即 M 合=0。它表示使物体顺时针转动 的力矩等于使物体逆时针转动的力矩(全国高考卷近年未出现该类题,但上海卷时有出 现)。 一般物体的平衡 力对物体的作用可以改变物体的运动状态, 物体各部位所受力的合力对物体的平动 有影响,合力矩对物体的转动有影响。如果两种影响都没有,就称物体处于平衡状态。 因此,一般物体处于平衡时,要求物体所受合外力为零

(? F外 ? 0)

和合力矩为零

( ? M ? 0)

同时满足,一般物体的平衡条件写成分量式为

?F ?F
Mx,M y,Mz

x

? 0 ?Mx ? 0 ?0 ?0

?F

y

?M ?M

y

?0 ?0

z

z

分别为对 x 轴、y 轴、z 轴的力矩。

由空间一般力系的平衡方程,去掉由力系的几何性质能自动满足的平衡方程,容易 导出各种特殊力系的独立平衡方程。 如平面力系(设在 xOy 平面内) ,则

?F
76

x

? 0, ? M x ? 0, ? M y ? 0

自动满足,则

独立的平衡方程为:

?F ?F

x

?0 ?0 ?0
z

?F

y

z

?M

?0

这一方程中的转轴可根据需要任意选取,一般原则是使尽量多的力的力臂为零。 平面汇交力系与平面平行力系的独立方程均为二个, 空间汇交力系和空间平行力系的独 立平衡方程均为三个。 物体平衡的种类 物体的平衡分为三类: 稳定平衡 处于平衡状态的物体,当受到外界的扰动而偏离平衡位置时,如果外力或外力矩促 使物体回到原平衡位置,这样的平衡叫稳定平衡,处于稳定平衡的物体,偏离平衡位置 时,重心一般是升高的。 不稳定平衡 处于平衡状态的物体,当受到外界的扰动而偏离平衡位置时,如果外力或外力矩促 使物体偏离原来的平衡位置,这样的平衡叫不稳定平衡,处于不稳定平衡的物体,偏离 平衡位置时,重心一般是降低的。 随遇平衡 处于平衡状态的物体,当受到外界扰动而偏离平衡位置时,物体受到的合外力或合 力矩没有变化,这样的平衡叫随遇平衡,处于随遇平衡的物体,偏离平衡位置后,重心 高度不变。 在平动方面,物体不同方面上可以处于不同的平衡状态,在转动方面,对不同方 向的转轴可以处于不同的平衡状态。例如,一个位于光滑水平面上的直管底部的质点, 受到平行于管轴方向的扰动时,处于随遇平衡状态;受到与轴垂直方向的扰动时,处于 稳定平衡状态,一细棒,当它直立于水平桌面时,是不稳定平衡,当它平放在水平桌面 时,是随遇平衡。 稳度

77

物体稳定的程度叫稳度,一般说来,使一个物体的平衡遭到破坏所需的能量越多, 这个平衡的稳度就越高。稳度与重心的高度及支面的大小有关,重心越低,支面越大, 稳度越大。 练习 1、 如图所示,一个重量为 G 的小球套在竖直放置的、半径为 R 的光滑大环上,另一轻 质弹簧的劲度系数为 k ,自由长度为 L(L<2R) ,一端固定在大圆环的顶点 A ,另 一端与小球相连。环静止平衡时位于大环上的 B 点。试求弹簧与竖直方向的夹角θ 。

2、如图所示,一个半径为 R 的非均质圆球,其重心不在球心 O 点,先将它置于水平地 面上,平衡时球面上的 A 点和地面接触;再将它置于倾角为 30°的粗糙斜面上,平衡时 球面上的 B 点与斜面接触,已知 A 到 B 的圆心角也为 30°。试求球体的重心 C 到球心 O 的距离。

O B 300

A

3、两根等长的细线,一端拴在同一悬点 O 上,另一端各系一个小球,两球的质量分别 为 m1 和 m2 ,已知两球间存在大小相等、方向相反的斥力而使两线张开一定角度,分别 为 45 和 30°,如图所示。则 m1 : m2 为多少?
0

4、如图所示,一个半径为 R 的均质金属球上固定着一根长为 L 的轻质细杆,细杆的左 端用铰链与墙壁相连,球下边垫上一块木板后,细杆恰好水平,而木板下面是光滑的水 平面。由于金属球和木板之间有摩擦(已知摩擦因素为μ ) ,所以要将木板从球下面向
78

右抽出时,至少需要大小为 F 的水平拉力。试问:现要将木板继续向左插进一些,至少 需要多大的水平推力?

5、三个完全相同的圆柱体,如图所示,叠放在水平桌面上,将 C 柱放上去之前,A、B 两柱体之间接触而无任何挤压, 假设桌面和柱体之间的摩擦因数为μ 0, 柱体与柱体之间 的摩擦因数为μ ,若系统处于平衡,μ 0 与μ 必须满足什么条件?
C

A

B

6、一长为 L 的均匀薄板与一圆筒按图所示放置,平衡时,板与地面成θ 角,圆筒与薄 板相接触于板的中心.板与圆筒的重量相同均为 G.若板和圆筒与墙壁之间无摩擦,求 地面对板下端施加的支持力和静摩擦力.

1、解说:平行四边形的三个矢量总是可以平移到一个三角形中去讨论,解三角形的典 型思路有三种:①分割成直角三角形(或本来就是直角三角形) ;②利用正、余弦定理; ③利用力学矢量三角形和某空间位置三角形相似。本题旨在贯彻第三种思路。 分析小球受力→矢量平移,如图 12 所示,其中 F 表示弹簧弹力,N 表示大环的支持 力。 (学生活动)思考:支持力 N 可不可以沿图 12 中的反方向?(正交分解看水平方向 平衡——不可以。 ) 容易判断,图中的灰色矢量三角形和空间位置三角形Δ AOB 是相似的,所以:

F AB ? G R
由胡克定律:F = k( AB - R) 几何关系: AB = 2Rcosθ 解以上三式即可。
79



⑵ ⑶

答案:arccos

kL 。 2(kR ? G )

2、解说:练习三力共点的应用。 根据在平面上的平衡,可知重心 C 在 OA 连线上。根据在斜面上的平衡,支持力、重 力和静摩擦力共点,可以画出重心的具体位置。几何计算比较简单。 答案:

3 R 。 3

(学生活动)反馈练习:静摩擦足够,将长为 a 、厚为 b 的砖块码在倾角为θ 的斜 面上,最多能码多少块? 解:三力共点知识应用。

a ctg? 答: b 。

3、解说:本题考查正弦定理、或力矩平衡解静力学问题。对两球进行受力分析,并进 行矢量平移,如图 16 所示。首先注意,图 16 中的灰色三角形是等腰三角形,两底角相 等,设为α 。而且,两球相互作用的斥力方向相反,大小相等,可用同一字母表示,设 为F 。 对左边的矢量三角形用正弦定理,有:

m1g F = sin ? sin 45 ?



同理,对右边的矢量三角形,

80

有:

m 2g F = sin ? sin 30 ?



解①②两式即可。 答案:1 : 2 。 (学生活动)思考:解本题是否还有其它的方法? 答:有——将模型看成用轻杆连成的两小球,而将 O 点看成转轴,两球的重力对 O 的力矩必然是平衡的。这种方法更直接、简便。 应用:若原题中绳长不等,而是 l1 :l2 = 3 :2 ,其它条件不变,m1 与 m2 的比值 又将是多少? 解: 此时用共点力平衡更加复杂 (多一个正弦定理方程) 而用力矩平衡则几乎和 , “思 考”完全相同。 答:2 :3 2 。 4、解:以球和杆为对象,研究其对转轴 O 的转动平衡,设木板拉出时给球体的摩擦力 为 f ,支持力为 N ,重力为 G ,力矩平衡方程为: f R + N(R + L)= G(R + L) 球和板已相对滑动,故:f = μ N 解①②可得:f = ② ①

?G (R ? L) R ? L ? ?R

再看木板的平衡,F = f 。 同理,木板插进去时,球体和木板之间的摩擦 f′=

?G (R ? L) = F′。 R ? L ? ?R

答案:

R ? L ? ?R F 。 R ? L ? ?R

5、分析和解:这是一个物体系的平衡问题,因为 A、B、C 之间相互制约着而有单个物 体在力系作用下处于平衡,所以用隔离法可以比较容易地处理此类问题。 设每个圆柱的重力均为 G,首先隔离 C 球,受力分析如

81

图 1 一 7 所示,由∑Fcy=0 可得

2(

3 1 N1 ? f1 ) ? G 2 2



再隔留 A 球,受力分析如图 1 一 8 所示,由∑FAy=0 得

3 1 N1 ? f1 ? N 2 ? G ? 0 2 2
由∑FAx=0 得



f2 ?

3 1 N1 ? N1 ? 0 2 2



由∑EA=0 得

f1R ? f 2 R
由以上四式可得



f1 ? f 2 ?

N1 2? 3

?

2? 3 G 2

1 3 N1 ? G , N 2 ? G 2 2
而 f 2 ? ?0 N 2 , f1 ? ? N1

?0 ?

2? 3 ,? ? 2? 3 3

6、解:如图所示,圆筒所受三个力沿水平和竖直方向平衡的分量式为

FN 1 ? FN sin ? ? 0 , FN cos ? ? G ? 0
板所受五个力沿水平和竖直方向平衡的分量式为

? Ff ? FN sin ? ? FN 2 ? 0

? FN 3 ? G ? FN cos ? ? 0
板所受各力对圆筒和板的交点为转动轴的力矩平衡方程为

82

FN 2

L L L sin ? ? Ff sin ? ? FN 3 cos ? ? 0 2 2 2

? 根据牛顿第三定律,有 FN ? FN
联立以上各式,可解得地面对板的支持力和静摩擦力分别为 FN3=2G, Ff ? G (cot? - tan?)

1 2

83

第九讲 牛顿定律

牛顿第一定律 任何物体都保持静止或匀速直线运动状态, 直到其他物体所作用的力迫使它改变这 种状态为止。这是牛顿第一定律的内容。牛顿第一定律是质点动力学的出发点。 物体保持静止状态或匀速直线运动状态的性质称为惯性。 牛顿第一定律又称为惯性 定律,惯性定律是物体的固有属性,可用质量来量度。 无论是静止还是匀速直线运动状态,其速度都是不变的。速度不变的运动也就是没 有加速度的运动,所以物体如果不受到其他物体的作用,就作没有加速度的运动,牛顿 第一定律指出了力是改变物体运动状态的原因。 牛顿第一定律只在一类特殊的参照系中成立,此参照系称为惯性参照系。简称惯性 系。相对某一惯性系作匀速运动的参照系必定也是惯性系,牛顿第一定律不成立的参照 系称为非惯性参照系,简称非惯性系,非惯性系相对惯性系必作变速运动,地球是较好 的惯性系,太阳是精度更高的惯性系。 牛顿第二定律 (1)定律内容:物体的加速度跟所受外力的合力成正比,跟物体的质量成反比,加 速度的方向跟合外力的方向相同

(2)数学表达式: (3)理解要点

a?

?F 或
m

? F ? ma

①牛顿第二定律不仅揭示了物体的加速度跟它所受的合外力之间的数量关系, 而且 揭示了加速度方向总与合外力的方向一致的矢量关系。 在应用该定律处理物体在二维平 面或三维空间中运动的问题,往往需要选择适当的坐标系,把它写成分量形式

Fx ? ma x

? F ? ma

Fy ? ma y

Fz ? ma z
②牛顿第二定律反映了力的瞬时作用规律。 物体的加速度与它所受的合外力是时刻 对应的,即物体所受合外力不论在大小还是方向上一旦发生变化,其加速度也一定同时

84

发生相应的变化。 ③当物体受到几个力的作用时,每个力各自独立地使物体产生一个加速度,就如同 其他力不存在—样;物体受几个力共同作用时,产生的加速度等于每个力单独作用时产 生的加速度的矢量和,如图 3-1-1 示。这个结论称为力的独立作用原理。

F2

a2 a1

?F

a
F1

图 3-1-1

④牛顿第二定律阐述了物体的质量是惯性大小的量度,公式

m ? ?F /a

反映了对

同—物体,其所受合外跟它的加速度之比值是个常数,而对不同物体其比值不同,这个 比值的大小就是物体的质量,它是物体惯性大小量度,当合外力不变时,物体加速度跟 其质量成反比,即质量越大,物体加速度越小,运动状态越难改变,惯性也就越大。 ⑤牛顿第二定律的数学表达式

? F ? ma 定义了力的基本单位;牛顿(N) 。因为,
2

a?? F / m

,故

? F ? kma ,当定义使质量为 1kg 的物体产生1m s

加速度的作用力

2 为 1N 时,即 1N= 1kg? 1 m s 时,k=1。由于力的单位 1N 的规定使牛顿第二定律公式

中的 k=1,由此所产生的单位制即我们最常用的国际单位制。 ⑥在惯性参考系中,公式

? F ? ma 中的 ma 不是一个单独的力,更不能称它是什

么“加速力” ,它是一个效果力,只是在数值上等于物体所受的合外力。 ⑦对一个质点系而言,同样可以应用牛顿第二定律。 如果这个质量系在任意的 x 方向上受的合外力为 分别为

Fx ,质点系中的 n 个物体(质量

m1 , m2 ,?? mn )在 x 方向上的加速度分别为 a1x , a2 x ,?? anx ,那么有
Fx ? m1a1x ? m2 a2 x ? ?? ? mn anx

这就是质点系的牛顿第二定律。 牛顿第三定律 (1)定律内容:两个物体之间的作用力与反作用力总是大小相等,方向相反,作
85

用在一条直线上。 (2)数学表达式: F ? ?F ? (3)理解要点 ①牛顿第三定律揭示了物体相互作用的规律,自然界中的力的作用都是相互的,任 何一个物体既为受力体,则它一定就是施力体。 ②相互作用力必定是同一性质的力,即如果其中一个力是摩擦力,则它的反作用力 也一定是摩擦力。 ③两个相互作用力要与一对平衡力区分清楚。 ④这个相互作用力是指的性质力。对于效果力不一定能找到“整体”的反作用力, 如有人说向心力的反作用力就是离心力。这是错误的,因为向心力往往是由多个力作用 是共同效果,其中每个力都有其各自的反作用力,故向心力这个合力就不一定有一个所 谓反作用力。 关于参照系的问题 (1)惯性参照系:牛顿第一定律实际上又定义了一种参照系,在这个参照系中观 察,一个不受力作用的物体将保持静止或匀速直线运动状态,这样的参照系就叫做惯性 参照系,简称惯性系。由于地球在自转的同时又绕太阳公转,所以严格地讲,地面不是 一个惯性系。在一般情况下,我们可不考虑地球的转动,且在研究较短时间内物体的运 动,我们可以把地面参照系看作一个足够精确的惯性系。 (2)非惯性参照系:凡牛顿第一定律不成立的参照系统称为非惯性参性系,一切相对 于惯性参照系做加速运动的参照系都是非惯性参照系。在考虑地球转动时,地球就是非 惯性系。在非惯性系中,物体运动不遵循牛顿第二定律,但在引入“惯性力”的概念以 后,就可以利用牛顿第二定律的形式来解决动力学问题了。 (关于惯性力的应用在后边 将到) 。 应用牛顿运动定律解题的方法和步骤 应用牛顿运动定律的基本方法是隔离法,再配合正交坐标运用分量形式求解。 解题的基本步骤如下: (1)选取隔离体,即确定研究对象 一般在求某力时,就以此力的受力体为研究对象,在求某物体的运动情况时,就以 此物体为研究对象。有几个物体相互作用,要求它们之间的相互作用力,则必须将相互

86

作用的物体隔离开来,取其中一物体作研究对象。有时,某些力不能直接用受力体作研 究对象求出,这时可以考虑选取施力物体作为研究对象,如求人在变速运动的升降机内 地板的压力,因为地板受力较为复杂,故采用人作为研究对象为好。 (2)分析物体受力情况:分析物体受力是解动力学问题的一个关键,必须牢牢掌握。 ①一般顺序:在一般情况下,分析物体受力的顺序是先场力,如重力、电场力等, 再弹力,如压力、张力等,然后是摩擦力。并配合作物体的受力示意图。 ②关于合力与分力:分析物体受力时,只在合力或两个分力中取其一,不能同时取 而说它受到三个力的作用。一般情况下选取合力,如物体在斜面上受到重力,一般不说 它受到下滑力和垂直面的两个力。在—些特殊情况下,物体其合力不能先确定,则可用 两分力来代替它, ③关于内力与外力:在运用牛顿第二定律时,内力是不可能对整个物体产生加速度 的, 选取几个物体的组合为研究对象时, 这几个物体之间的相互作用力不能列入方程中。 要求它们之间的相互作用,必须将它们隔离分析才行,此时内力转化成外力。 ④关于作用力与反作用力:物体之间的相互作用力总是成对出现,我们要分清受力 体与施力体。在列方程解题时,对一对相互作用力一般采用同一字线表示。在不考虑绳 的质量时,由同一根绳拉两个物体的力经常作为一对相互作用力处理,经过不计摩擦的 定滑轮改变了方向后,我们一般仍将绳对两个物体的拉力当作一对相互作用力处理。 (3)分析物体运动状态及其变化 ①运用牛顿定律解题主要是分析物体运动的加速度 a,加速度是运动学和动力学联 系的纽带,经常遇到的问题是已知物体运动情况通过求 a 而求物体所受的力。 ②针对不同的运动形式和运用不同的公式,在分析物体运动状态时有不同的要求。 对于静力学的问题,其加速度为零,速度为零或常量;对于牛顿运动定律问题,主要是 分析加速度,要注意其瞬时性,匀变速运动可任取一点分析,变加速运动则必须找到对 应点分析;如果是运用动量定理或动能定理,则必须分析物体所受的力的冲量或所做的 功,还要分析运动始末两态的动量或动能。 ③要注意物体运动的加速度与速度的大小方向的关系, 也要注意两者大小不一定同 时为零,如竖直上抛的最高点,速度为零加速度不为零,在振动的平衡位置速度最大加 速度为零;两者的方向也不一定相同,如加速上升,两者方向相同,减速上升,两者方 向相反。 ④对于由几个物体组成的连接体的运动,要分析各个物体的加速度。各个物体的加
87

2 速度之间的关系的求法是:一般假设各物体初速为零,由公式 s ? at / 2 ,再由各物体

的位移的比值找出它们加速度之间的关系来。 ⑤若不知加速度 a 的方向,则可事先假设加速度的方向,按假设算出来的加速度若 为正,则说明假设正确;若计算出来的加速度为负,则不能简单地认为加速度的方向与 假设的方向相反,一般情况下,应该换一个方向重新计算,因为运动方向不同时,物体 所受的力有可能不同,特别是有摩擦力的时候。 (4)建立坐标系 ①通常我们采用惯性坐标系,一般不加申明就以地球为参照物,有时为了方便,采 用非惯性坐标系。 ②坐标也有瞬时性,如圆锥摆所建立的坐标就是指某一瞬间的。 ③通常采用直角坐标系,对曲线运动常用自然坐标,即取切向和法向为两坐标轴的 方向,切向加速度反映了速度大小的变化,法向加速度反映了速度方向的变化。 ④选取坐标轴,最好能以加速度方向为一轴的方向,这样可以使方程较为简洁;如 果由于解题需要而两轴都不与加速度同向,则要注意将加速度依坐标分解列入方程。 (5)列方程和解方程 ①根据物理意义列出方程,对于正交坐标,一般是对每一个隔离体列出一组坐标数 的方程。 ②出于解题的需要,一般是方程数与未知数的个数相等,若方程数少于未知数的个 数,则要注意题目的隐含条件,或者用特殊方法可以解出。 ③不同的题型要注意有不同的解法,有些题目可以一次性的列出方程,有些题目必 须走一步看一步,逐步推出结论。 (6)验算作答 ①验算是必不可少的一步,要根据物理意义和题设条件剔除多余的根。 ②为了快速检验,可以采用检验答案的量纲的方法。 ③正负符号在物理问题中有广泛的应用,要特别注意正负号的物理意义。 小练习 1、如图所示,在倾角为θ 的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连的物块 A、B,它们 的质量分别为 mA、mB,弹簧的劲度系数为 k,C 为一固定挡板。系统处于静止状态。现 开始用一恒力 F 沿斜面方向拉物块 A 使之向上运动, 求物块 B 刚要离开 C 时物块 A 的加
88

速度 a 和从开始到此时物块 A 的位移 d。重力加速度 g。
A B θ

C

解:令 x1 表示未加 F 时弹簧的压缩量,由胡克定律和牛顿定律可知

m A g sin? ? kx



令 x2 表示 B 刚要离开 C 时弹簧的伸长量, a 表示此时 A 的加速度,由胡克定律和 牛顿定律可知: kx2=mBgsinθ ② ③ ④

F-mAgsinθ -kx2=mAa 由②③式可得 a ? 由题意 d=x1+x2

F ? (m A ? m B ) g sin ? mA


由①②⑤式可得 d ?
a?

(m A ? mB ) g sin? k



?m ? m B ?g sin ? F ? ?m A ? m B ?g sin ? , d? A k mA
=30°的光滑斜面顶

2、质量分别为 m1 和 m2 的两个小物块用轻绳连结,绳跨过位于倾角??

端的轻滑轮,滑轮与转轴之间的摩擦不计,斜面固定在水平桌面上,如图所示.第一次,

m1 悬空,m2 放在斜面上,用 t 表示 m2 自斜面底端由静止开始运动至斜面顶端所需的时间.第
二次,将 m1 和 m2 位置互换,使 m2 悬空,m1 放在斜面上,发现 m1 自斜面底端由静止开始运动 至斜面顶端所需的时间为 t 3 .求 m1 与 m2 之比.

m2

m1

??

解:第一次,小物块受力情况如图所示,设 T1 为绳中张力,a1 为两物块加速度的大小,
89

l 为斜面长,则有
m1 g ? T1 ? m1a1 T1 ? m2 g sin ? ? m2 a1

(1) (2) (3)

l?

1 2 a1t 2

第二次,m1 与 m2 交换位置.设绳中张力为 T2,两物块加速度的大小为 a2,则有
m2 g ? T2 ? m2 a2 (4) T2 ? m1 g sin ? ? m1a2 (5)
l? 1 ?t? a 2 ? ? (6) 2 ? 3?
2

由 (1)、(2) 式注意到? =30°得
a1 ? 2m1 ? m 2 g (7) 2?m1 ? m 2 ?

由 (4)、(5) 式注意到? =30°得
a2 ? 2m2 ? m1 g (8) 2?m1 ? m2 ?

由 (3)、(6) 式得
a1 ? a2 (9) 9

由 (7)、(8)、(9) 式可解得
m1 11 (10) ? m2 19

3、 如图 2—4 所示, 用轻质细绳连接的 A 和 B 两个物体, 沿着倾角为α 的斜面匀速下滑, 问 A 与 B 之间的细绳上有弹力吗?

解析:弹力产生在直接接触并发生了形变的物体之间, 现在细绳有无形变无法确定.所以从产生原因上分析弹力是 否存在就不行了,应结合物体的运动情况来分析.

90

隔离 A 和 B,受力分析如图 2—4 甲所示,设弹力 T 存在,将各力正交分解,由于两 物体匀速下滑,处于平衡状态,所以有:

m A g sin? ? T ? f A ??① mB g sin? ? T ? f B ??②
设两物体与斜面间动摩擦因数分别为 ? A 、 ? B ,则

f A ? ? A N A ? ? A m A g cos? ??③ f B ? ? B N B ? ? B mB g cos? ??④
由以上①②③④可解得: T ? m A g (sin ? ? ? A cos? )和T ? mB g ( ? b cos? ? sin ? ) 若 T=0,应有: ? A ? tan?

? B ? tan?

由此可见,当 ? A ? ? B 时,绳子上的弹力 T 为零. 若 ? A ? ? B ,绳子上一定有弹力吗? 我们知道绳子只能产生拉力. 当弹力存在时,应有:T>0 即

? A ? tan? , ? B ? tan?

4、有一轻质木板 AB 长为 L,A 端用铰链固定在竖直墙上,另一端用水平轻绳 CB 拉住。 板上依次放着 A、B、C 三个圆柱体,半径均为 r,重均为 G,木板与墙的夹角为θ ,如 图 1—8 所示,不计一切摩擦,求 BC 绳上的张力。 解析 以木板为研究对象,木板处于力矩平衡状态,若分别以圆柱体 A、B、C 为研究对 象,求 A、B、C 对木板的压力,非常麻烦,且容易出错。若将 A、B、C 整体作为研究对 象,则会使问题简单化。 以 A、B、C 整体为研究对象,整体受

91

到重力 3G、木板的支持力 F 和墙对整体的 支持力 FN,其中重力的方向竖直向下,如 图 1—8—甲所示。合重力经过圆柱 B 的轴 心,墙的支持力 FN 垂直于墙面,并经过圆 柱 C 的轴心,木板给的支持力 F 垂直于木 板。由于整体处于平衡状态,此三力不平 行必共点,即木板给的支持力 F 必然过合 重力墙的支持力 FN 的交点. 根据共点力平衡的条件:∑F=0,可得:F=3G/sinθ . 由几何关系可求出 F 的力臂 L=2rsin2θ +r/sinθ +r?cotθ

以木板为研究对象,受力如图 1—8—乙所示,选 A 点 为转轴,根据力矩平衡条件∑M=0,有: F?L=T?Lcosθ

3Gr (2 sin 2 ? ? 1 / sin? ? cot? ) 即 ? T ? L ? cos? sin?
解得绳 CB 的能力: T ?

图 1—8 乙

3Gr 1 ? cos? (2 tan? ? ) L sin 2 ? ? cos?

5、如图所示,绳子不可伸长,绳和滑轮的质量不计,摩擦不计.重 物 A 和 B 的质量分别为 m1 和 m2, 求当左边绳的上端剪断瞬间, 两重 物的加速度. 左边上端绳断瞬时,其余绳上 力 尚 未 及 改 变 , A 、 B 受 力 如 图 答 6-5 , 则 有 T1 ? m1 g ? m a ; 1 1
m2 g ? T2 ? m2 a2 ,又
B A

T2 ? 2T1 , a1 ? 2a2 ,可得 a1 ?

4m1 ? 2m2 g 4m1 ? m2

a2 ?

2m1 ? m2 g 4m1 ? m2

T1 A T1 T2 m1g B m2g 图答 6-5

92

6、如图所示,A 为定滑轮,B 为动滑轮,摩擦不计,滑轮及线的质量不计,三物块的质 量分别为 m1、m2、m3 ,求:⑴物块 m1 的加速度;⑵两根绳的张力 T1 和 T2 .
A T1 T2 m2g x 图答 6-6 B T3 m3g m1 m2 B m3

T1 m1g

A

如图答 6-6 设定 坐标方向及线上拉力,对 m1、m2、m3 建立运动方程 FT1 ? m1 g ? m1a1
FT 2 ? m2 g ? m2 a2 ② m3 g ? FT 2 ? m3a3 ③



又 FT1 ? 2FT 2 ④,而由三者位移关系:

设三者位移各为 s1、s2、s3,m2 与 m3 相对滑轮 B 的位移设为 x,对 m2 有 x= s2+ s1, 对 m3 有 x= s3- s1,则 2 s1= s3- s2,故加速度关系为
a1 ? 4m2 m3 ? m1m2 ? m1m3 g 4m2 m3 ? m1m2 ? m1m3

a3 ? a2 ⑤由上列五式可得 2 8m1m2 m3 4m1m2 m3 T1 ? g T2 ? g 4m2 m3 ? m1m2 ? m1m3 4m2 m3 ? m1m2 ? m1m3 a1 ?

7、如图所示,在以加速度 a 行驶的车厢内,有一长为 L,质量为 m 的棒 AB 靠在光滑的 后壁上,棒与车厢底面间的摩擦因数为μ .为了使棒不滑动,棒与竖直平面所成的夹角 θ 应在什么范围内?
θ A B

a

棒不向右滑,受力如图答 6-9 所示,水平方向: F2 ? Ff ? ma ,竖直方向: FN ? mg ,以 A 端 为支点,应满足:
a L L ma cos? ? ? mgL cos? ? mg sin ? ? mgL sin ? ,可得 tg? ? ? 2? 。 g 2 2

棒不向左滑,受力如图答 6-10 所示,对 A 端有:
a L L ma cos? ? mg sin ? ? mgL sin ? ? ? mgL cos? ,得 tg? ? ? 2? , g 2 2
1 1 所以 tg ?( ? 2?) ? ? tg ?( ? 2?) ?

a g

a g

A

A

??
ma

F2 FN mg 图答 6-9 Ff 93

F2

??
ma mg 图答 6-10 FN Ff

第十讲

万有引力 天体的运动

知识点击 1.开普勒定律 第一定律(轨道定律) :所有行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动。太 阳是在这些椭圆的一个焦点上。 第二定律(面积定律) :对每个行星来说,太阳和行星的连线(叫矢径)在相等的 时间内扫过相等的面积。 “面积速度” :

?S 1 ? r? sin ? (θ 为矢径 r 与速度 ? 的夹角) ?t 2

第三定律(周期定律) :所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方 的比值相等。即:

T2 ? 常量 . a3

2.万有引力定律 ⑴万有引力定律:自然界中任何两个物体都是相互吸引的.任何两个质点之间引力 的大小跟这两个质点的质量的乘积成正比,跟它们的距离的二次方成反比.

F ?G

Mm , r2

G ? 6.67 ?10?11 N ? m2 / kg 2 ,称为引力常量.

⑵重力加速度的基本计算方法 设 M 为地球的质量,g 为地球表面的重力加速度. 在地球表面附近( h ?? R )处: G

Mm GM ? mg , g ? 2 =9.8m/s2 2 R R M , r2
gr R2 R 2 ? 2 ?( ) g r R?h

在地球上空距地心 r=R+h 处: g r ? G

4 3 ?r ? 4 g r r Mr 在地球内部跟离地心 r 处: r ? G 2 ? G 3 2 , gr ? g g ? G?? r , r ? g R R r r 3
3.行星运动的能量 ⑴行星的动能 当一颗质量为 m 的行星以速度 ? 绕着质量为 M 的恒星做平径为 r 的圆周运动:

EK ?

GM 1 Mm ,式中 ? ? 。 m? 2 ? G r 2 2r
94

⑵行星的势能 对质量分别为 M 和 m 的两孤立星系,取无穷远处为万有引力势能零点,当 m 与 M 相 距 r 时,其体系的引力势能: EP ? ?G

Mm r 1 Mm Mm ⑶行星的机械能: E ? EK ? EP ? m? 2 ? G ? ?G 2 r 2r

4.宇宙速度和引力场 ⑴宇宙速度(相对地球) 第一宇宙速度:环绕地球运动的速度(环绕速度) . 第二宇宙速度:人造天体发射到地球引力作用以外的最小速度(脱离速度) . 第三宇宙速度:使人造天体脱离太阳引力范围的最小速度(逃逸速度) . ⑵引力场、引力半径与宇宙半径. 对于任何一个质量为 M,半径为 r 的均匀球形体系都有类似于地球情况下的这两个 特征速度.如果第二宇宙速度超过光速,即 c ?

2GM 2GM ,则有关系. r ? r c2

在这种物体上,即使发射光也不能克服引力作用,最终一定要落回此物体上来,这 就是牛顿理论的结论, 近代理论有类似的结论, 这种根本发不了光的物体, 被称为黑洞, 这个临界的 r 值被称为引力半径,记为 rg ?

2GM c2

用地球质量代入,得到 rg≈0.9 cm,设想地球全部质量缩小到 1 cm 以下的小球内, 那么外界就得不到这个地球的任何光信息. 如果物质均匀分布于一个半径为 r 的球体内,密度为ρ ,则总质量为 M ?

4 3 ?r ? 3

4 2G ? ? rg3 ? 3c 2 1 3 )2 又假设半径 r 正好是引力半径,那么 rg ? ,得 rg ? ( 8? G ? c2
此式表示所设环境中光不可能发射到超出 rg 的范围, 联想起宇宙环境的质量密度平 均值为 10-29g/cm3,这等于说,我们不可能把光发射到 1028cm 以外的空洞,这个尺度称为 宇宙半径. 天体运动中一类应用开普勒定律的问题,解这类问题时一定要注意运动的轨道、面积、 周期,但三者之间也是有关联的,正因为如此,解题时要特别注意“面积速度” 。 例 2.一物体 A 由离地面很远处向地球下落,落至地面上时,其速度恰好等于第一宇宙 速度.已知地球半径 R=6400 km.若不计物体在运动中所受到的阻力,求此物体在空
95

中运动的时间。 分析和解:物体落至地面时其速度值为第一宇宙速度值,即: ? ? 上式中 R 为地球半径,g 为地球表面处的重力加速度。 设 A 最初离地心的距离为 r,则由其下落过程中机械能守恒,应有:

Rg

1 2 Mm Mm m? ? G ? ?G 2 R r
且 GM=gR2 联立上三式可解得:r=2R 物体在中心天体引力作用下做直线运动时,其速度、加速度是变化的,可以将它看 绕中心天体的椭圆轨道运动, 将其短轴取无限小。 这就是我们通常所说的 “轨道极限化” 。 物体 A 下落可以看成是沿着很狭长的椭圆 轨道运行,其焦点非常接近此椭圆轨道长轴的 两端,如图 6—2 所示,则由开普勒第一定律, 得知地心为椭圆的一个焦点.则椭圆长半轴为 a=R

又由开普勒第三定律,物体沿椭圆轨道运行的周期和沿绕地心(轨道不计为 R) 的圆轨道运行的周期相等.其周期为:

T?

2? R

?

? 2?

R g

再由开普勒第二定律得:

S t ? S0 T

1 1 S ? ? ab ? ab , S0 ? ? ab 4 2
1 1 ? ab ? ab S 2 ? 2? R ? ( ? ? 1) R t? T? 4 S0 ? ab g 2 g
?( 3.14 6400 ?103 ? 1) ? 2.06 ?103 s 2 9.8

天体质量(密度)的计算问题往往是由万有引力定律和向心力公式建立天体计算的基本 方程, 解题时一般要注意中心天体与运动卫星关系的建立, 同时还要注意忽略微小量 (次
96

要因数)的问题,这是解决这类问题的两个非常重要的因数。 例 3.新发现一行星,其星球半径为 6400 km,且由通常的水形成的海洋覆盖它所有的 表面,海洋的深度为 10 km,学者们对该行星进行探查时发现,当把试验样品浸入行星 海洋的不同深度时,各处的自由落体加速度以相当高的精确度保持不变.试求此行星表 面处的自由落体加速度.已知万有引力常量 G=6. 67?10-11N m2/ kg2。 分析和解:解本题的关键就在于首先要建立中心天体和运动卫星,才能运用基本方程式 求行星表面处的自由落体加速度,若把水视为运动卫星群,则关键是如何求中心天体的 质量。 以 R 表示此星球的半径,M 表示其质量,h 表示其表面层海洋的深度,R0 表示除海 洋外星球内层的半径,r 表示海洋内任一点到星球中心的距离.则:

R ? r ? R0 ,且 R ? R0 ? h ,以ρ 水表示水的密度.则此星球表面海洋水的总质量为

4 4 3 4 m ? ? R3 ?水 ? ? R0 ?水 ? ??水 3R0 h ? 3R0 h2 ? h3) ( 2 3 3 3
因 R>>h,略去 h 高次项,得 m ? 4??水 R 2 h 由G

(M ? m)m G M ? m) ( Mm GM ? mg 0 , g0 ? ? mg 表 , g 表 ? 2 , G 2 2 2 R0 R0 R R

R 2m M (M ? m)(M ? m) ? 依题意: g 表 ? g 0 ,即: 2 ? ,M ? 2 2 Rh ? h 2 R R02 (R ? h)
则 g表 ?

G ? 4??水 R 3h R 2 ? 2h

? 2? G ?水 R

将 G=6. 67?10-11N m2/kg2, 水=1. ρ 0?103kg/m3, R=6.4 ?106 m 代入得: 表=2. 7 m/s2。 g 类型三、天体运动的能量问题要注意在轨运行的卫星的机械能,然后利用机械能的 改变及功能原理来解题,这是因为卫星的运行轨道变化既要注意其变轨机理,又要符合 能量原理。 例 4.质量为 m 的人造地球卫星,在圆形轨道上运行.运行中受到大小恒为 f 的微弱阻 力作用,以 r 表示卫星轨道的平均半径,M 表示地球质量,求卫星在旋转一周的过 程中: (1)轨道半径的改变量Δ r=? (2)卫星动能的改变量Δ Ek=?

97

分析和解:因卫星沿圆形轨道运动,则 G 则卫星的机械能为 E ?

Mm ?2 1 GMm , ? m ,则 EK ? m? 2 ? 2 r r 2 2r

GMm GMm GMm ? ?? 2r r 2r

(1) 设卫星旋转一周轨道半径改变量为△r,则对应机械能改变量为

?E ? ?

GMm GMm GMm 1 1 1 1 ?r ?r , ? ? ( ? ) ? = ? 2 (r ? ?r) 2r 2 2 r r ? ?r r r ? ?r r(r ? ?r) r GMm ?E ? ?r 2r 2
4? r 3 f GM m ,负号表示轨道半径减小。 ?r ,?r ? ? GMm 2r 2

根据功能原理: W=Δ E,即 ?2? rf ? (2)卫星动能的改变量为:

?EK ?

GMm GMm GMm 1 1 GMm GMm 4? r 3 f ? ? ( ? ) ? ?r ? ? ? ? ( ) 2? rf ? (r ? ?r) 2r 2 2 r ? ?r r 2r2 2r2 GMm

天体运动的宇宙速度问题实质上就是两个问题:一个是摆脱引力场所需要的能量的问 题;一个是能量的来源问题。而能量要么来源于燃料,要么来源于碰撞。 例 5.宇宙飞行器和小行星都绕太阳在同一平面内做圆周运动,飞行器的质量比小行星 的质量小很多,飞行器的速率为 ? 0 ,小行星的轨道半径为飞行器轨道半径的 6 倍。 有人企图借助飞行器与小行星的碰撞使飞行器飞出太阳系, 于是他便设计了如下方 案:Ⅰ.当飞行器在其圆周轨道的适当位置时,突然点燃飞行器上的喷气发动机, 经过极短时间后立即关闭发动机,以使飞行器获得所需的速度,沿圆周轨道的切线 方向离开圆轨道;Ⅱ.飞行器到达小行星的轨道时正好位于小行星的前缘,速度的 方向和小行星在该处速度的方向相同,正好可被小行星碰撞;Ⅲ.小行星与飞行器 的碰撞是弹性正碰。不计燃烧的燃料质量. (1)试通过计算证明按上述方案能使飞行器飞出太阳系. (2)设在上述方案中,飞行器从发动机取得的能量为 E1.如果不采取上述方案而令 飞行器在圆轨道上突然点燃喷气发动机,经过极短时间后立即关闭发动机,以使飞行器 获得足够的速度沿圆轨道切线方向离开圆轨道后能直接飞出太阳系. 采用这种办法时飞 行器从发动机取得的能量的最小值用 E2 表示.问

E1 为多少? E2

分析和解:(1)设太阳的质量为 M0,飞行器的质量为 m,飞行器绕太阳做圆周运动的轨道

98

半径为 R。根据所设计的方案,可知飞行器是从其原来的圆轨道上某处出发,沿着半个 椭圆轨道到达小行星轨道上的.该椭圆既与飞行器原来的圆轨道相切,又与小行星的圆 轨道相切. 要使飞行器沿此椭圆轨道运动, 应点燃发动机使飞行器的速度在极短时间内, 由 ? 0 变为某一值 u0.设飞行器沿椭圆轨道到达小行星轨道时的速度为 u,因为大小为 u0 和 u 的这两个速度的方向都与椭圆的长轴垂直,由开普勒第二定律可得 u0 R= 6 Ur (1) 由能量关系,有

M m 1 M m 1 2 mu0 ? G 0 ? mu 2 ? G 0 2 R 2 6R
GM 0 M 0m ?2 ? m 0 ,或?0 ? 2 R R R 12 ?0 7
(4) u ? ,

(2)

由万有引力定律,有 G

(3)

解(1) (3)三式得 u0 ? (2)

1 ?0 21

(5)

设小行星绕太阳运动的速度为 V,小行星的质量为 M,

GM 0 M 0M 1 V2 ? ?0 ?M 由万有引力定律 G ,得 V ? 2 6R 6 (6 R) 6R
可以看出 V>u (7)

(6)

由此可见,只要选择好飞行器在圆轨道上合适的位置离开圆轨道,使得它到达小行 星轨道处时,小行星的前缘也正好运动到该处,则飞行器就能被小行星撞击。可以把小 行星看作是相对静止的,飞行器以相对速度 V ? u 射向小行星,由于小行星的的质量比 飞行器的质量大得多,碰撞后,飞行器以同样的速度 V ? u 弹回,即碰撞后,飞行器对 小行星的速度的大小为 V ? u ,方向与小行星的速度的方向相同,故飞行器相对太阳的 速度为 u1 ? V ? V ? u ? 2V ? u 或将(5) (6)式代入得 u1 ? (

2 1 ? )?0 3 21

(8)

如果飞行器能从小行星的轨道上直接飞出太阳系,它应具有的最小速度为 u2 ,则有

M m 1 2 mu2 ? G 0 ? 0 2 6R
得 u2 ?

GM 0 1 ? ?0 3R 3

(9)

99

可以看出 u1 ?

1 1 1 ( 2? )?0 ? ? 0 ? u2 3 7 3

(10)

飞行器被小行星撞击后具有的速度足以保证它能飞出太阳系. (2) 为使飞行器能进人椭圆轨道,发动机应使飞行器的速度由 ? 0 增加到 u0,飞行器 从发动机取得的能量 (3) E1 ?

1 2 1 2 1 12 2 1 2 5 2 mu0 ? m?0 ? m ?0 ? m?0 ? m?0 2 2 2 7 2 14

(11)

若飞行器从其圆周轨道上直接飞出太阳系,飞行器应具有最小速度为 u3,则有

M m 1 2 mu3 ? G 0 ? 0 2 R
由此得 u3 ? 2G

M0 ? 2?0 R

(12)

飞行器的速度由 ? 0 增加到 u3,应从发动机获取的能量为

1 2 1 2 1 2 E2 ? mu3 ? m?0 ? m?0 2 2 2 5 m? 2 E1 14 0 所以 ? ? 0.71 1 E2 2 m?0 2

(13)

(14)

天体运动的宇宙速度问题实质上就是两个问题: 一个是摆脱引力场所需要的能量的 问题;一个是能量的来源问题。而能量要么来源于燃料,要么来源于碰撞。 天体运动的机械能守恒 二体系统的机械能 E 为系统的万有引力势能与各天体的动能之和。仅有一个天体 在运动时,则 E 为系统的万有引力势能与其动能之和。由于没有其他外力作用,系统内 万有引力属于保守力, 故有机械能守恒, 为一恒量, E 如图 4-10-1 所示, M 天体不动, 设 m 天体绕 M 天体转动,则由机械动能守恒,有

E?

? GMm 1 ? GMm 1 2 2 ? mv1 ? ? ? mv 2 r1 2 r2 2

当运动天体背离不动天体运动时, E P 不断增大,而 E K 将不断减小,可达无穷远 处,此时 E P ? 0 而 E K ≥0,则应满足 E≥0,即

? GMm 1 2 ? mv ? 0 r 2
100

例如从地球发射人造卫星要挣脱地球束缚必 有

v1

v2
r2

? GMm 1 2 ? mv ? 0 R 2

r1

M

v?

2GM ? 2 Rg ? 11.2 k m s R

图 4-10-1
我们称 v =11.2km/s 为第二宇宙速度, 它恰为 第一宇宙速度为 2 倍。 另外在上面的二体系统中,由于万有引力属于有心力,所以对 m 而言,遵循角动 量守恒

? ? mv ? r ? 恒量


mvr ? sin? ? 恒量

?是v与r 方向的夹角。它实质可变换得到开普勒第二定律,即行星与恒星连线在
相等时间内扫过面积等。 天体运动的轨道与能量 若 M 天体固定,m 天体在万有引力作用下运动,其圆锥曲线可能是椭圆(包括圆) 、 抛物线或双曲线。 i)椭圆轨道 如图 4-7-1 所示,设椭圆轨道方程为

y
b
v1 M (? ,0) a x

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

(a>b)

?a v2

O

2 2 则椭圆长,短半轴为 a、b,焦距 c ? a ? b ,近地点速

?b
图 4-10-2

度 v1 ,远地点速度 v 2 ,则有

E?

1 GMm 1 GMm 2 2 mv1 ? ? mv 2 ? 2 a?c 2 a?c

mv1 (a ? c) ? mv 2 (a ? c)
或由开普勒第二定律:

101

1 1 v1 (a ? c) ? v2 (a ? c) 2 2
可解得

?v1 ? (a ? c)GM /(a ? c) ? a ? ? ?v2 ? (a ? c)GM /(a ? c) ? a ?
代入 E 得

E??
ii)抛物线 设抛物线方程为

GMm ?0 2a

y ? Ax 2
0, 1 4 A )处,则 m 在抛物线顶点处能量为

太阳在其焦点(

E?

1 GMm 1 2 2 mv 0 ? ? mv 0 ? 4 AGMm 1 2 2 ( ) 4A

可以证明抛物线顶点处曲率半径

??

1 1 2 mv 0 / ? ? GMm /( ) 2 2 A ,则有 4 A 得到
y
C

v0 ? 8 AGM
抛物线轨道能量

b c O

D a F (c,0)

x

E?
iii)双曲线 设双曲线方程为

1 m ? (8 AGM ) ? 4 AGM ? 0 2

图 4-10-3

x2 y2 ? ?1 a2 b2
2 2 焦距 c ? a ? b ,太阳位于焦点(C,0) ,星体 m 在双曲线正半支上运动。如图

4-10-3 所示,其渐近线 OE 方程为 y=bx/a,考虑 m 在 D 处与无穷远处关系,有

E?

1 GMm 1 2 2 mv 0 ? ? mv ? 2 c?x 2

考虑到当 r ? ? ,运动方向逼近渐近线,焦点与渐近线距 FC 为

FC ? cb / a 2 ? b 2 ? b
102

故有

1 1 v D (c ? a ) ? v ? ? b 2 2
联解得



mv D (c ? a) ? mv? ? b

?v? ? GM / a ? ? b GM ?v D ? c?a a ?
双曲线轨道能量

E?

GMm ?0 2a

103

第十一讲 功和能

一、知识点击 1.功、功率和动能定理 ⑴功 功是力对空间的积累效应.如果一个恒力 F 作用在一个物体上,物体发生的

??

位移是 s ,那么力 F 在这段位移上做的功为

?

??

W=Fscosθ

在不使用积分的前提下,我们一般只能计算恒力做的功.但有时利用一些技巧也能 求得一些变力做的功. ⑵功率:作用在物体上的力在单位时间内所做的功. 平均功率: P ?

W t

瞬时功率: P ? lim ⑶动能定理 ①质点动能定理:

W Fs cos ? ? lim ? F? cos ? ?t ?t 1 2 1 W外 ? F外s ? m?2 ? m?12 ? EKt ? EK 0 ? ?EK 2 2

②质点系动能定理:若质点系由 n 个质点组成,质点系内任何一个质点都会受到来 自于系统以外的作用力(外力)和系统内其他质点对它的作用力(内力) ,在质点 运动时这些力都将做功.

?W

i外

1 1 2 ? ?Wi内 ? ? mi?it ?? mi?i20 2 2

即 W系外 ? W系内 ? EKt ? EK 0 ? ?EK 2. 虚功原理:许多平衡状态的问题,可以假设其状态发生了一个微小的变化,某一力 做了一个微小的功△W,使系统的势能发生了一个微小的变化Δ E,然后即可由Δ W= △E 求出我们所需要的量,这就是虚功原理. 3.功能原理与机械能守恒 ⑴功能原理:物体系在外力和内力(包括保守内力和非保守内力)作用下,由一个 状态变到另一个状态时,物体系机械能的增量等于外力和非保守内力做功之和. 因为保守力的功等于初末势能之差,即

W保 ? EP 0 ? EPt ? ??EP

104

W外 ? W非保内 ? ?(E K +E P)=?E
⑵机械能守恒:当质点系满足: W外 ? W非保内 ? 0 ,则Δ E =0 即 EK + EP = EK0 + EP0= 常量 机械能守恒定律:在只有保守力做功的条件下,系统的动能和势能可以相互转化, 但其总量保持不变. 说明: 机械能守恒定律只适用于同一惯性系. 在非惯性系中, 由于惯性力可能做功, 即使满足守恒条件,机械能也不一定守恒.对某一惯性系 W 外=0,而对另一惯性系 W


≠0,机械能守恒与参考系的选择有关。

4.刚体定轴转动的功能原理 若刚体处于重力场中,则:M 外=M 其外+MG(M 其外表示除重力力矩 MG 以外的其他外力矩) W=W 其外+WG=(M 其外+MG)θ = EKr

( 而 WG ? ??EP ? ? E P 2 -E P1)

1 M 其外? ? ?EP ? ?EKr ? mghC 2 ? J ?12) ( 2
即为重力场中刚体定轴转动的功能原理. 若呱 M 其外? ? 0 ,即 M 其外=0,则:

mghC ?

1 J ? 2 =常量 2

刚体机械能守恒. 二、方法演练 类型一、动力学中有些问题由于是做非匀变速运动,用牛顿运动定律无法直接求解, 用动能定理,计算细杆对小环做的功也比较困难,因此 有时在受力分析时必须引入一个惯性力, 这样就可以使 问题简化很多。 例 1.如图 4—2 所示,一光滑细杆绕竖直轴以匀 角速度ω 转动,细杆与竖直轴夹角 ? 保持不变,一 个相对细杆静止的小环自离地面 h 高处沿细杆下 滑. 求小球滑到细杆下端时的速度. 分析和解:本题中由于小环所需向心力不断减小,
105

因此小环不是做匀变速运动,用牛顿运动定律无法 直接求解,用动能定理,计算细杆对小环做的功也 比较困难,因此我们选择细杆做参考系,分析小环 受力时必须加上一个惯性力,小环在旋转的非惯 性系中,虽然有径向运动,受到科里奥利力的作用, 但小环在切向无位移,科里奥利力不做功.惯性离心力 f ? m? 2 r ,随半径 r 的减小

f 均匀减小,所以小环由半径 r0 处移到下端 r=0 处,惯
性离心力对 r 的平均值为 F ? 惯性离心力做的功:

m? 2 r0 2

1 W1 ? ? Fr0 ? ? m? 2 h 2 tan 2 ? 2
重力做功为: W2 = mgh, 由动能定理得 mgh ? (? m? 2 h2 tan 2 ? ) ?

1 2

1 2 m? 2

? ? 2 gh ? ? 2 h 2 tan 2 ?
类型二、在功能关系的问题中有些也牵涉到速度关联的问题,在解题中必须注意到 它们之间的约束条件,找出有关速度关系,才能准确利用功能原理即可求解. 例 2.如图 4—3 所示,一根长为 l 的细刚性轻杆的两端分别连结小球 a 和 b,它们 的质量分别为 ma 和 mb.杆可绕距 a 球为 l 处的水平定轴 O 在竖直平面内转动.初 始时杆处于竖直位置,小球 b 几乎接触桌面.在杆的右边水平桌面上,紧挨着细杆 放着一个质量为 m 的立方体匀质物块,图中 ABCD 为过立方体中心且与细杆共面的 截面.现用一水平恒力 F 作用于 a 球上,使之绕 O 轴逆时针转动,求当 a 转过 ? 角 时小球 b 速度的大小,设在此过程中立方体物块没有发生转动,且小球 b 与立方体 物块始终接触没有分离.不计一切摩 擦.

1 4

106

解析:如图 4—4 所示,用 ? b 表示 a 转过 ? 。角时 b 球速 度的大小, ? 表示此时立方体速度的大小,则有

?b cos ? ? ?
由于 b 与正立方体的接触是光滑的,相互作用力总是沿 水 平方向,而且两者在水平方向的位移相同,因此相

互作用的作用力和反作用力做功大小相同, 符号相反, 做功的总和为 0.因此在整个 过程中推力 F 所做的功应等于球 a、b 和正立方体机械能的增量.现用 ? a 表示此时 a 球速度的大小,因为 a、b 角速度相同, Oa ? 根据功能原理可知

1 3 1 l ,0 Ob ? l ,所以得?a ? ?b 4 4 3

l 1 l l 1 3l 3l 1 2 F ? sin ? ? ma?a ? ma g ( ? cos ? ) ? mb?b2 ? mb g ( ? cos ? ) ? m? 2 4 2 4 4 2 4 4 2
将①、②式代人③可得

l 1 l l 1 3l 3l 1 F ? sin ? ? ma (?b )2 ? ma g ( ? cos ? ) ? mb?b2 ? mb g ( ? cos ? ) ? m(?b cos ? ) 2 4 2 4 4 2 4 4 2
解得 ?b ?

9l ? F sin ? ? ( ma ? 3mb ) g (1 ? cos ? ) ? 2ma ? 18mb ? 18m cos 2 ?

类型三、一些平衡状态的问题,用平衡条件很难或无法求解,这时可以假设其状态 发生了一个微小的变化,就可以设想某一力做了一个微小的功△W,然后用虚功原 理就可以很简单地解答出问题. 例 3.如图 4—5 所示,一轻质三足支架每边长度均为 l ,每边与竖直线成同一角度 θ ,三足置于一光滑水平面上,且恒成一正三角形.现用一绳圈套在三足支架的三 足上, 使其不能改变与竖直线间的夹角, 设三足支架负重为 G, 试求绳中张力 FT. 分 析和解: 在本题这可以取与原平衡状态逼近的另一平衡态, 从而虚设了一个元过程, 此过程中所有元功之和为零,以此为基本关系列出方程,通过极限处理,从而求得 最后结果.

107

分析支架受力:由于负重受到重力 G,支架的每边足部同时受到两侧绳的拉力 FT, 易得其合力为 3FT ,方向指向三足 构成的正三角形的几何中心,支架三边足部受水平 地面支持力 FN,此力方向竖直向上。现设想支架各边足底在 3FT 力作用下向正三角形 中心移动一极小位移 ?x , 因而支架的高度升高了 ?y ,则在此虚拟的微动讨程中, 3FT 力有一元功. N 力不做功. F 负重重力势能增大. 对系统用功能原理得 3 3FT ? ?x ? G ? ?y 上式中,支架升高 ?y 与 ?x 关系如图 4—6,图中支 架一边位置从 ab 变为 a'b',作 b'b" ⊥ ab, aa" ⊥ a' b', 由于 ?x 很小,ab 边转过的角度△θ 也很小,故可认 为 a"b'=ab",且 a'b'边与竖直方向夹角为θ ,则有

?x sin ? ? ?y cos? , 即 ?y ? ?x tan ?
于是可得 3 3FT ? ?x ? G?x tan ? ,即 FT ?

G tan ? 。 3 3

类型四、 能量守恒的问题往往牵涉到摩擦力做功和碰撞, 摩擦力做功要消耗机械能, 而碰撞可以造成多过程,两者结合起来就很容易在物理学中出现一些数列问题,因 此在解题中如何通过能量关系的计算得出有关的通式是解决这类问题的关键。 例 4.一固定的斜面,如图 4—7 所示,倾角θ = 450,斜面长 L = 2.00 m.在斜面下 端有一与斜面垂直挡板,一质量为 m 的质点,从斜面的最高点沿斜面下滑,初速度 为零.质点沿斜面到斜面最低端与挡板发生弹性碰撞.已知质点与斜面间的滑动摩 擦因数μ =0.20.试求此质点从开始运动到与挡板发生第 11 次碰撞的过程中运动的
108

总路程.

分析和解: 在本题中由于质点与挡板发生弹性碰撞, 故机械能消耗在摩擦力做功上, 因此只要求出下滑和上滑一个来回通过的路程的通式,就可用数列的方法求解了。 质点在沿斜面滑动的过程中,受到摩擦力 f 的大小为

f ? ? mg cos ?
若质点从斜面最高点第一次到达斜面最低端时的速度为

?1 ,则有
1 m?12 ? mgL sin ? ? ? mgL cos ? 2


质点与斜面挡板发生弹性碰撞后,以速度 ?1 开始沿斜面上滑.若上滑的最大路程为 Ll,则有

1 2 m?1 ? mgL1 sin ? ? ? mgL1 cos ? 2



由①、②两式得 mgL sin ? ? ? mgL cos ? ? mgL1 sin ? ? ? mgL1 cos ? 即

L1 mg sin ? ? ? mg cos ? ? L mg sin ? ? ? mg cos ?

令上式等号右边的数值等于 a ,并以θ =450,μ =0.20 代入,则得

L1 ? aL , a ?

1 ? 0.20 2 ? 1 ? 0.20 3

按同样的推理可知质点在第 2 次碰撞后上滑的距离为

L2 ? aL1 ? a 2 L
依此类推,可知在第 10 次碰撞后上滑的距离为: L10 ? a10 L 第 1 次碰撞前质点运动的路程为: S1 ? L 第 2 次碰撞前质点运动的总路程为: S2 ? L ? 2L1 ? L ? 2aL
109

依此类推,可知在第 11 次碰撞前,即从开始到发生第 11 次碰撞期间,质点运动的 总路程为: S10 ? L ? 2aL ? 2a 2 L ? ??? ? 2a10 L 上式等号右边的数值,可根据数学上等比级数求和的公式算出,即

S10 ? L(1 ? 2a ?

a10 ? 1 ) ,故 S10=9.86 m. a ?1

类型五、机械能守恒的问题往往还可以与刚体的约束条件的问题结合在一切,解决 这类问题时一方面要考虑到约束面的约束反力,另一方面又要考虑约束反力是否做 功,如果不做功,可重点考虑系统的质心变化和能量的关系,以及约束各点的速度 关联。 例 5.如图 4—8 所示,质量为 m 的钢球下连一根可不计质量的轻杆,杆长为 L,杆 原来直立在光滑的水平面上,轻推一下后,问: (1)小球下落的轨 迹是什么?(2)球在离地 L/2 处,杆着地点的速度为多少? 分析和解: (1)由球和杆组成的系统,因杆的质量可以忽略. 所以系统 的质心在球心.又因水平面光滑,该系统所受的 外力有重力 mg、水平面的约束反力(即支持力)N 均沿竖 直方向,故有

?F
i

e ix

? 0 ,且由于 t=0 时,?CD ? 0 ,于是有

xC ? 常量
即系统的质心—球心将沿着杆原来的直立方向运动,其轨迹为竖直线, 如图 4 一 8 所示。 (2)球(系统)下落过程中,只有重力做功,故机械能守恒.因此当球离地面 L/2 时,根据机械能守恒定律,有 由上式得: ? y ?

m m 2 gL ? ? y 2 2

gL

又因杆不会伸长或缩短,即杆可视为刚体,所以杆两端的速度沿杆的方向的投影必 须相等,根据图 4 一 9 可知: ? y sin ? ? ? x cos ? , ? 是杆与地面
110

的夹角,可算出 ? ? 300 .所以 ? x ? ? y tan ? ?

3 gL 3

类型六、能量耗损的问题特别要注意的是两种基本的形式:转化和转移。解题时往 往出现对某种耗散力的忽视把能量守恒的问题当成机械能守恒的问题来解。 例 6.在一个倾角为 ? 的斜面上镶嵌着许多同样的滚筒,相邻滚筒间的距离为 d。 滚筒沿水平方向放置, 质量为 m,半径为 r 的表面覆盖橡胶的圆柱形铁棍. 质量为 m、 长度远大于 d 的厚木板在斜面的顶端释放, 如图 3-43 所示. 求木板的最终速度 ?max , 忽略空气阻力和滚筒转轴处的摩擦力.

? L 个滚筒得到角速度 ?max ? max .厚木板势能 r d 1 2 1 2 的减少为 MgL sin ? ,而每个滚筒的动能为 I ?max ? m?max ,上述结论考虑了滚筒表 2 4 1 面最终的切向速度应该与木板的速度相等,而每个滚筒的转动惯量为 I ? mr 2 。认为 2
分析和解:厚木板滑动距离 L 时,有 木板下降过程中损失的重力势能,全部转化成为滚筒的动能是不正确的.在此情况下由 式 MgL sin ? ?

L1 2 m?max d4



可以得到木板的最终速度为 ?max ?

4dMg sin ? m

然而,这个结果是错误的,因为没有考虑滚筒加速过程中由摩擦力作用而导致的热 量损失.令单个滚筒与木板之间的摩擦力为 F(t) (没有必要假定这个力不随时间 变 化 ) 在 Δ t 时 间 间 隔 内 , 滚 筒 角 动 量 的 变 化 为 : I ?? ? rF (t )?t . ② 把上式的变化对时间取和,从而得出滚筒最终速度的一个方程:
111

r ? F (t )?t ? I ?max ? I

?max
r



另一方面,在时间△t 内,克服摩擦力所做的功(热散失)Δ Q 为摩擦力与滚筒表 面相对位移之积

?Q ? F (t ) ??max ? r? (t ) ? ?t
考虑式②、③,总的耗散能量为

Q ? ? F (t ) ??max ? r? (t )? ?t ? r?max ? F (t )?t ?I ? ??? ? I ?
在上式的计算中利用了等式 ??? ?

2 max

?I

2 ?max

2

?I

2 ?max

2

1 ?(? )2 .这个结果表明,摩擦生热损失的能量 2

与滚筒得到的动能相等.需要注意的是,这个结果既不依赖于摩擦力的大小,也不 依赖于摩擦力随时间的变化. 正确的能量守恒方程不是①式,而应该是

mgL sin ? ?

L1 2 L1 2 m?max ? Q ? 2 m?max d4 d4
2dMg sin ? m

可以得到木板的最终速度为 ?max ?

三、小试身手 1. 一质量为 m 的小滑块 A 沿斜坡由静止开始下滑,与一质量为 km 的静止在水平地面 上的小滑块 B 发生正碰撞, 如图 4—11 所示, 设碰撞是弹性的, 且一切摩擦均不计, 为使二者能且只能发生两次碰撞,则 k 的值应满足什么条件?

2. 半径等于 r 的半球形水池内充满了水如图 4—12 所示,把池内的水完全抽出至少要 做多少功?

112

3. 有一台反作用式汽艇的喷水式发动机,其进水孔面积为 S1=0.9m2,而出水孔面积为 S2=0.02m2,求发动机的效率. 4. 如图 4—13 所示,已知滑轮的质量为 M,半径为 R,物体的质量为 m,弹簧的劲度系 数为 k,斜面的倾角为θ ,物体与斜面间光滑.物体从静止释放,释放时弹簧无形变.设 细绳不伸长.且与滑轮无相对滑动,忽略轴间摩擦力矩,求物体沿斜面下滑 x 时的速度 多大?(滑轮视作薄圆盘)

5.如图所示,有一固定的、半径为 a 、内壁光滑的半球形碗(碗口处于水平位置), O 为球心. 碗内搁置一质量为 m 、 边长为 a 的等边三角形均匀薄板 ABC. 板的顶点 A 位 于碗内最低点,碗的最低点处对 A 有某种约束使顶点 A 不能滑动(板只能绕 A 点转 动). (1)当三角形薄板达到平衡时,求出碗对顶点 A 、 B 、 C 的作用力的大小各为多 少. (2)当板处于上述平衡状态时,若解除对 A 点的约束,让它能在碗的内表面上从静 止开始自由滑动,求此后三角形薄板可能具有的最大动能.

113

6. 玩具列车由许多节车厢组成, 它以恒定速率沿水平轨道行驶进人 “死圈” (图 4—15) 。 列车全长为 L,圈半径为 R, L ? 2? R ) ( .则列车应具有多大的初速度 ? 0 ,才能确保节 车厢脱离轨道?

7.如图 4 一 16 所示,长为 L 的细绳上端固定在天花板上靠近墙壁的 0 点,下端系一质 量为 m 的小球竖直悬挂起来,A 点是平衡时小球的位置,现保持绳绷直,将小球从 A 点 拉开到绳水平的位置 B, 然后在 OA 连线上于墙上固定一细长的钉子于某点, 问夏历两种 情况下,钉子到悬点 O 的距离各是多少? (1)将球释放后,绳被钉子挡住,以钉子 01 为圆心做圆周运动,如图 4—17 所示; (2)将球释放后,绳被钉子 O2 挡住,小球刚好能击中钉子,如图 4—18 所示.

8. 两根长度均为 l 的刚性轻杆,一端通过质量为 m 的球形铰链连接,另一端分别接质 量为 m 和 2m 的小球.将此装置的两杆并拢,铰链向上竖直地放在桌上,然后轻敲一下, 使球往两边滑,但两杆始终保持在竖直面内(图 4 一 19) ,忽略一切摩擦.求: (1)铰链碰到桌面前的速度 ? ; (2)当两杆夹角为 900 时,质量为 2m 的小球的速度 ? 3 ; (3)当两杆夹角为 900 时,质量为 2m 的小球的位移 s2.

114

9.水平面上有一质量为 M 的木块,其斜面上放一质量为 m 的小木块(可看做质点) ,从 静止在高度为 h 处下滑到底, (图 4—20 所示) 。设斜面的倾角为 ? ,各接触面的摩擦均 可忽略不计,试求: (1)下滑过程中,契形木块对水平面的压力; (2)当 m 刚下滑到水平面上时,M 滑行的距离; (3)当 m 刚下滑到水平面上时,M 对 m 的所做的功。

参考解答 1.解:设碰撞前 A 的速度为 v0,碰撞后 A、B 的速度分别为 v1 和 V1,则

mv0=mv1+kmV1, mv02= mv12+ kmV12,可解得: v1=
-(k-1) 2 v0,V1= v0, k+1 k+1

1 2

1 2

1 2

为使 A 能回到坡上,要 v1<0,这导致 k>1;为使 A 能再追上 B,应有-v1>V1, 导致 k>3;于是要发生第二次碰撞必须要 k>3。 设第二次碰撞后 A、B 的速度分别为 v2 和 V2,则

m(-v1)+kmV1=mv2+kmV2, mv12+ kmV12= mv22+ kmV22,可解得: v2=
4k-(k-1)2 4(k-1) v0,V2= v0, 2 (k+1) (k+1)2

1 2

1 2

1 2

1 2

若 v2>0 必不会发生第三次碰撞,若 v2<0,但-v2≤V2,也不会发生第三次碰撞, 则由-v2≤V2 可解得 5- 2 ≤k≤5+ 2 ,所以要能且只能发生两次碰撞的条件是 交集 3<k≤5+ 2 。 2.解:如题图所示,沿着容器的竖直直径,我们将水池内的水均匀细分成 n 层,每一
115

元层水的高度△ ?h ?

r , ?h 很小,故每一层水均可看做是一个薄圆柱,水面下 n ir
? ir ? r

第 i 层水柱底面的半径 ri 2 ? r 2 ? ( ) 2 ,这层水的质量为 mi ? ?? ? r 2 ? ( ) 2 ? n ?n n ? 那么将这层水抽出至少应做的功是 Wi ? ? g? ? r 2 ? ( ) 2 ? ? n ?n n ? 而将池内水完全抽出至少要做的功就是

?

ir ? r ir

? i i3 ? W ? lim? Wi ? ? g? r 4 lim? ? 2 ? 4 ? n ? n ?? i ?1 n ?? i ?1 ? n

1 ?1 ? ? ? g? r 4 lim ? 2 (1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n) ? 4 (13 ? 23 ? 33 ? ??? ? n3 ) ? n ? n ?? ? n
? 1 n(n ? 1) 1 n 2 (n ? 1) 2 ? ? ? g? r lim ? 2 ? ? 4? ? 2 n 4 n ?? ? n ?
4

?

1 ? g? r 4 4

3.解:在Δ t 时间内发动机吸收的水的体积为 V ? ? S1?t (其相对汽艇的速度为 ? ) , 动能关系式为 Ek ?

1 2 1 m? ? ? S1? 3?t 2 2 1 ( ? S1??t )u 2 2
1 S3 S1 ? , Ek? ? ? 12 ? 3 ?t 2 S2 S2

? 水喷出的速度为 u,其动能关系式为: Ek ?

因为水是不可压缩的,所以有 ? S1?t ? uS2 ?t ,由此得 u ?

? 由此可得发动机所做的功为 W ? Ek ? Ek ?

2 1 S1 ( S12 ? S 2 ) 3 ? ? ?t 2 2 S2

而有效功为 W ? ? F??t ( F 为对汽艇的反作用力)

F?

(S ? S2 ) mu ? m? ? ?? 2 S1 1 ?t S2 ( S1 ? S2 ) 3 ? ?t S2

W ? ?? ? S1
所以? ?

2S2 W? ? ? 4.3% W S1 ? S2

4.解:选择 m、M、弹簧和地球为系统,只受重力和弹力,其他外力不做功,故系统的
116

机械能守恒 mgx sin ? ?

1 2 1 2 1 kx ? m? ? J ? 2 2 2 2

? ? R?
J? 1 MR 2 2

1 4(mgx sin ? ? kx 2 ) 2 由以上三式解得: ? ? 2m ? M
- 5.解: (1)由几何关系知道 OABC 是边长为 a 正四面体,则有 NBC= 3 NB,NB=NC,OD= - - - AD= 3 a/2,OP=AG= 3 a/3,?ODA=?-2?,

a 3 a/2 所以由正弦定理得: = , sin 2? sin ?
则 sin ?= 2 / 3 ,cos ?= 3 /3,在?APO 中, -

AP=

a2/3+a2-2


3 1 a? 3 3

= 2 / 3 ,

由正弦定理得:

- - OP OA = == , sin ? sin ? sin(?+?)

AP

对力三角形也有: = == , sin ? sin ? sin(?+?) 可解得:NA= 6mg/3,NB=NC=mg/3, - (2)解除约束后重心最低的位置为板处于水平位置时,原来重心高为 h = AG - - cos?DAO=AGcos ?=a/3, ,最后重心高为 h’=a-OG'=a- 2 a/ 3 ,Ek=mg(h -h’)= 6-2 mga。 3

NA

NB

mg

??

Lg 2

6.解: (1)设列车的“线密度”为 ? ,则由机械能守恒有

1 1 ? L?02 ? ? L? 2 ? ? ? 2? R 2 g , 2 2

? 2 ? ?02 ?

4? R 2 g L
117



(2)不难判断轨道顶部的车厢最容易脱离轨道, 该车厢受力如 右图所示,两个 FT 是两边其他车厢对它的拉力。

?m

?2
R

? 2 FT ?

?? ? ?mg ,将 ?m ? R ? ?? ? ? 代入,有 2


? ?? 2 ? FT ? R? g

(3)用虚功原理求 FT,对左半侧或右半侧的列车来说,移动一小段Δ s,FT 做的功 是 FT ? ?s ,效果是使Δ s 长的车厢升高 2R 高度,因而有

FT ? ?s ? ? ? ?s ? 2 Rg ,即 FT ? 2 R? g
由①②③可解得 ? 2 ? 3Rg ,所以 ?0 ?



gR(3 ?

4? R 4? R ?0 ? gR (3 ? ) L L

7.解:以绳、球为研究对象,摆动过程中机械能守恒,而要使球能绕钉子做圆周运动, 球必须能经过圆周的最高点 C,为此据牛顿第二定律在最高点处的速度必须大于等 于一临界值,即绳中拉力为零时的线速度,据此可求出位置 O1。 要小球能击中钉子,则钉子应另有一个位置,使得挡后先做圆周运动,在到达最高 点 C 以前,在过钉子所在水平面之后的某一位置 D,绳子松弛,球做斜上抛运动。 同时击中钉子,同时利用运动过程中机械能守恒,在 D 点绳松弛瞬时球还在做圆周 运动应满足牛顿第二定律,此后开始斜上抛又应满足斜上抛运动规律,从而求出钉 子的位置 O2。 (1)取小球、地球为一系统,设钉子到悬点的距离 O1O ? x1 ,小球绕 O1 刚好能做圆 周运动,其半径为 R1,以小球圆周运动的最高点 C 为重力势能零点,则小球从 B 摆 动到 C 的过程中机械能守恒。有: mg ( L ? 2 R1 ) ?
2 m?C mg ? R1

1 2 m?C 2





x1 ? L ? R1
由①②③式解得: x1 ?



3 L 5 3 L 5

即钉子到悬点的距离至少为 x1 ?

(2)取小球、地球为一系统,设小球绕 O2 刚好能击中钉子,且绕钉子做圆周运动时
118

半径为 R2,钉子到悬点的距离 O2O ? x2 ,当小球做圆周运动到 D 点时速度为 ? D , O2D 与 O2O 之间夹角为θ ,这时绳中拉力刚好为零,并取 D 点为重力势能零点,则小 球从 B 摆动到 D 的过程中机械能守恒: 由此得: mg ( L ? R2 ? R2 cos ? ) ?

1 2 m?D 2




mg cos ? ?

2 m? D R2

此后小球做斜上抛运动,设从 D 到击中 O2 的时间为 t,则有

1 ? R2 cos ? ? ?D sin ? ? gt 2 2
R2 sin ? ? ? D cos ? ? t
由①②③④式解得 R2 ? ④



6 6 L , x2 ? L ? R2 ? (1 ? )L 3 3 6 )L 3

即钉子 O2 到悬点 O 的距离为 (1 ?

8. 解: (1)铰链碰到桌面前,三物体水平方向速度相同,由动量守恒可知,它们的水 平速度必为零.两小球也不可能有竖直速度,因此铰链的竖直速度 ? ? 2gl (2) 当两杆成 900 时, 设两小球的速度分别为 ?1 和 ? 3 (水平方向)饺链的速度为, ? 2 , , 与左杆的夹角为θ (图 1) . 根据杆的长度不能变,所以有

?1 cos 450 ? ?2 cos ?

① ②

?3 cos 450 ? ?2 sin ?

根据物体系水平方向动量守恒,可得

m?2 cos(450 ? ? ) ? m?1 ? 2m?3
根据机械能守恒



1 1 1 1 2 2 m?12 ? m?2 ? ? 2m?3 ? mgl (1 ? ) 2 2 2 2



? ?? 如图 2,设铰链速度的水平分量和竖直分量分别是 ? 2 和 ? 2 ,则有

119

?1
2

?

? ?2 2 ?? ?2 2

?

?? ?2 2 ? ?2 2

?2
2

?

?

? m?1 ? m?2 ? 2m?3

1 1 1 1 ? ?? m?12 ? ? 2m?32 ? m(?22 ? ?2 2 ) ? mgl (1 ? ) 2 2 2 2
可以比较方便地解得: ?3 ?

3gl (2 ? 2) 20

(3)这个问题可用动量守恒定律的一个推论来解决,一个 物体系如果在水平方向 上不受外力的作用,那么这个物体的质心在水平方向上的运动状态不会改变。本题中三 个物体的质心在水平方向上不会移动.当杆成 900 角时,A 和 C 的质心在 M 点,投影在 N 点,因此三物体总的质心投影在 NB 的中点 O 点(图 3) ,最初 B 球就是在 O 点,所以 B 球移动了

3l 4 2

9.解: (1)设在运动时地面对 M 的支持为 R,m 对 M 的压力为 FN,M 的加速度为 a ,m 的加速度为 a? .

对 M: Mg ? FN cos ? ? R ? 0

① ② ③

FN sin ? ? Ma
对 m: mg sin ? ? FN ? ma??

其中 a?? 是木块斜面对 m 的牵连加速度, 由①②③④式解得 R ?

a?? ? a sin ?




Mg ( M ? m) M ? m sin 2 ?

M 对水平面的压力与 R 大小相等,方向相反。
120

(2)m 从高度 h 处由静止沿斜面下滑到水平面上时,设 m 相对于 M 的速度为 ?1 , 此刻 M 后退的速度为 ? 2 ,m 相对于地面参考系的速度为 ? 3 根据速度叠加原理, ?1 、 ? 2 和 ? 3 的关系式为 ? 3 ? ?1 ? ? 2 ,即
2 ?32 ? ?12 ? ?2 ? 2?1?2 cos ?

?

?

?



因为水平方向合外力为零,所以 m 与 M 系统的水平方向动量守恒,即

m(?1 cos ? ? ?2 ) ? M?2
据题意,系统的机械能守恒,此时有 mgh ? 由⑥⑦⑧三式联立解得 ?2 ?



1 2 1 2 m?3 ? M?2 2 2



2m2 gh cos 2 ? (m ? M )( M ? m sin 2 ? )

又由①②③④式解得木楔 M 后退的加速度 a 为 a ? 所以,M 向后滑行的距离为: s ?
2 ?2

mg sin ? cos ? M ? m sin 2 ?

2a

?

m h cot ? m?M

2 (3) W ? ? m?2 ?

1 2

? Mm 2 gh cos 2 ? (m ? M )( M ? m sin 2 ? )

2 0 0 8 1 2 2 3

121

第十二讲

功能原理和机械能守恒定律

功能原理 根据质点系动能定理

W外 ? W内 ? E k 2 ? E k1
当质点系内有保守力作用和非保守力作用时,内力所做功又可分为

W内 ? W保 ? W非保
而由保守力做功特点知,保守力做功等于势能增量的负值,即

W保 ? ??E P ? E P1 ? E P 2
于是得到

W外 ? W非保 ? E P1 ? E P 2 ? E K 2 ? E K 1 W外 ? W非保 ? E K 2 ? E P 2 ) ? ( E K 1 ? E P1 ) (
用 E 表示势能与动能之和,称为系统机械能,结果得到

W外 ? W非保 ? E 2 ? E1
外力的功和非保守力内力所做功之和等于系统机械能的增量, 这就是质点系的功能原 理。可以得到(外力做正功使物体系机械能增加,而内部的非保守力作负功会使物体系 的机械能减少) 。 功能原理适用于分析既有外力做功,又有内部非保守力做功的物体系,请看下题: 劲度系数为 k 的轻质弹簧水平放置,左端固定,右端连接一个质量为 m 的木块(图 4-7-1)开始时木块静止平衡于某一位置,木块与水平面之 间的动摩擦因数为 ? 。然后加一个水平向右的恒力作用于木 块上。

k

m

F

o 图 4-7-1

(1)要保证在任何情况下都能拉动木块,此恒力 F 不得小于多少?(2)用这个力 F 拉 木块,当木块的速度再次为零时,弹簧可能的伸长量是多少? 题目告知“开始时木块静止平衡于某一位置” ,并未指明确切的位置,也就是说木 块在该位置时所受的静摩擦力和弹簧的形变量都不清楚,因此要考虑各种情况。如果弹
122

簧自然伸展时,木块在 O 点,那么当木块在 O 点右方时,所受的弹簧的作用力向右。因 为木块初始状态是静止的,所以弹簧的拉力不能大于木块所受的最大静摩擦力 mg? 。 要将木块向右拉动,还需要克服一个向左的静摩擦力 mg? ,所以只要 F≥2 mg? ,即可 保证在任何情况下都能拉动木块。 设物体的初始位置为 x 0 ,在向右的恒力 F 作用下,物体到 x 处的速度再次为零, 在此过程中,外部有力 F 做功,内部有非保守力 f 做功,木块的动能增量为零,所以根 据物体系的功能原理有

F ( x ? x0 ) ? ?mg ( x ? x0 ) ? F ? ?mg ?
可得

1 2 1 2 kx ? kx0 2 2

1 k ( x ? x0 ) 2

x?

2( F ? ?mg ) ? x0 k

因为木块一开始静止,所以要求

?

?mg

?mg x0 ≤ k k ≤

可见,当木块再次静止时,弹簧可能的伸长是

?mg

3mg? k ≤x≤ k

机械能守恒定律 若外力的与非保守内力的功之和为零时, 是机械能守恒定律。 注意:该定律只适用于惯性系,它同时必须是选择同一惯性参照系。在机械能守恒系 统中,由于保守内力做功,动能和势能相互转化,而总的机械能则保持不变。 下面介绍一例由机械能守恒推出的重要定理:伯努利方程 理想流体 不可压缩的、没有粘滞性的流体,称为理想流体。 定常流动 观察一段河床比较平缓的河水的流动,你可以看到河水平静地流着,过

W外 ? W非保 ? 0

则系统机械能守恒,这就

一会儿再看,河水还是那样平静地流着,各处的流速没有什么变化。河水不断地流走, 可是这段河水的流动状态没有改变。河水的这种流动就是定常流动。流

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