当前位置:首页 >> 高中教育 >>

2014届高三苏教版数学(理)一轮复习创新能力提升 第十五章 第2讲 矩阵与变换 Word版含解析]


第2讲

矩阵与变换
创新能力提升
1? ? 1?

分层训练 B 级

? 1 1.(2013· 南京模拟)求曲线 C:xy=1 在矩阵 M=? ?-1 对应的变换作用下得到的曲线 C1 的方程. 解 设 P(x0,y0)为曲线 C:xy=1 上的任意一点, ? 1 它在矩阵 M=? ?-1 ? 1

由? ?-1 1? ? 1?

1? ?对应的变换作用下得到点 Q(x,y) 1?

?x0+y0=x, ?x0? ?x? ? ?=? ?,得? ?y0? ?y? ?-x0+y0=y.

x-y ? ?x0= 2 , 解得? x+y ? ?y0= 2 . 因为 P(x0,y0)在曲线 C:xy=1 上,所以 x0y0=1. x-y x+y 所以 2 × 2 =1,即 x2-y2=4. 所以所求曲线 C1 的方程为 x2-y2=4. ?1 2.已知矩阵 A=? ?0 ?1 解 AB=? ?0 0? ? 2? 0? ?0 -1? ?,B=? ?,求(AB)-1. 2? 0? ?1 ?0 ? ?1 -1? ?0 ?=? 0? ?2 -1? ?. 0?

?a b? ?, 设(AB)-1=? ?c d ? ?1 则由(AB)· (AB)-1=? ?0 ?0 得? ?2 -1? ? 0? ?a b? ?1 ? ?=? ?c d ? ?0 0? ?, 1? 0? ?-c -d ? ?1 ?,即? ?=? 1? 2b? ?0 ?2a 0? ?, 1?

?-d=0, 所以? 2a=0, ?2b=1,
-c=1,

? ?b=1 2, 解得? c=-1, ? ?d=0.
a=0,

1 ? ? 0 ? 2 ?. 故(AB) =? ? ?-1 0?
-1

?a 0? ?(其中 a>0,b>0). 3.(2011· 福建卷)设矩阵 M=? ?0 b? (1)若 a=2,b=3,求矩阵 M 的逆矩阵 M-1; x2 (2)若曲线 C:x2+y2=1 在矩阵 M 所对应的线性变换作用下得到曲线 C′: 4 +y2=1,求 a、b 的值. ?x1 y1? ?, 解 (1)设矩阵 M 的逆矩阵 M-1=? ?x2 y2? ?1 则 MM-1=? ?0 ?2 又 M=? ?0 0? ?. 1? 0? ?x1 ? ? 3? ?x2 y1? ?1 ?=? y2? ?0 0? ?. 1?

0? ?2 ?.∴? 3? ?0

∴2x1=1,2y1=0,3x2=0,3y2=1, 1 1 即 x1=2,y1=0,x2=0,y2=3,

故所求的逆矩阵 M



?1 2 1 ? = ?0 ?

0? ?. 1? 3?

(2)设曲线 C 上任意一点 P(x,y),它在矩阵 M 所对应的线性变换作用下得到 ?a 点 P′(x′,y′),则? ?0 在曲线 C′上, x′2 a2x2 ∴ 4 +y′2=1.则 4 +b2y2=1 为曲线 C 的方程.
2 ?a =4, 又已知曲线 C 的方程为 x +y =1,故? 2 ?b =1. 2 2

0? ? b?

?ax=x′, ?x? ?x′? ? ?=? ?,即? 又点 P′(x′,y′) ?y? ?y′? ?by=y′,

?a=2, 又 a>0,b>0,∴? ?b=1.

?2 4.(2012· 南通调研)已知矩阵 M=? ?2 的变换下得到点 P′(-4,0),求: (1)实数 a 的值;

a? ?,其中 a∈R,若点 P(1,-2)在矩阵 M 1?

(2)矩阵 M 的特征值及其对应的特征向量. ?2 解 (1)由? ?2 a? ? 1? ? 1? ?-4? ? ?=? ?, ?-2? ? 0?

所以 2-2a=-4.所以 a=3. ?2 (2)由(1)知 M=? ?2 3? ?,则矩阵 M 的特征多项式为 1?

-3? ?λ-2 ?=(λ-2)(λ-1)-6=λ2-3λ-4. f(λ)=? ?-2 λ-1 ? 令 f(λ)=0,得矩阵 M 的特征值为-1 与 4. ??λ-2?x-3y=0, 当 λ=-1 时,? ?x+y=0. ?-2x+?λ-1?y=0 ? 1? 所以矩阵 M 的属于特征值-1 的一个特征向量为? ?. ?-1? ??λ-2?x-3y=0, 当 λ=4 时,? ?2x-3y=0. ?-2x+?λ-1?y=0 ?3? 所以矩阵 M 的属于特征值 4 的一个特征向量为? ?. ?2? ?1? 5.已知二阶矩阵 M 有特征值 λ=8 及对应的一个特征向量 e1=? ?,并且矩阵 M ?1? 对应的变换将点(-1,2)变换成(-2,4). (1)求矩阵 M; (2)求矩阵 M 的另一个特征值,及对应的一个特征向量 e2 的坐标之间的关系; (3)求直线 l:x-y+1=0 在矩阵 M 的作用下的直线 l′的方程. ?a b? ?a b? ?1? ?1? ?8? ?,则? ? ? ?=8? ?=? ?, 解 (1)设 M=? ?c d ? ?c d ? ?1? ?1? ?8? ?a+b=8, ?-a+2b=-2, ?a b? ?-1? ?-2? ? ? ?=? ?,故? 故? 因? ?c d ? ? 2? ? 4? ?c+d=8. ?-c+2d=4. 联立以上两方程组解得 a=6,b=2,c=4,d=4,

?6 故 M=? ?4

2? ?. 4?

(2)由(1)知,矩阵 M 的特征多项式为 f(λ)=(λ-6)(λ-4)-8=λ2-10λ+16, 故其另一个特征值为 λ=2. ?x? 设矩阵 M 的另一个特征向量是 e2=? ?, ?y? ?6x+2y? ?x? ?=2? ?,解得 2x+y=0. 则 Me2=? ?y? ?4x+4y? (3)设点(x,y)是直线 l 上的任一点,其在矩阵 M 的变换下对应的点的坐标为 ?6 (x′,y′),则? ?4 2??x? ?x′? ?? ?=? ?, 4??y? ?y′?

1 1 1 3 即 x=4x′-8y′, y=-4x′+8y′, 代入直线 l 的方程后并化简得 x′-y′ +2=0,即 x-y+2=0. ? 1 6.已知矩阵 A=? ?-1 (1)求矩阵 A; ?7? (2)若向量 β=? ?,计算 A5β 的值. ?4? ? 1 解 (1)A=? ?-1 2? ?. 4? a? ?2? ?,A 的一个特征值 λ=2,其对应的特征向量是 α1=? ?. ?1? b?

?λ-1 -2? 2 ?=λ -5λ+6=0,得 λ1=2,λ2= (2)矩阵 A 的特征多项式为 f(λ)=? ? 1 λ-4? ?2? 3,当 λ1=2 时,α1=? ?,当 λ2=3 时, ?1? ?1? 得 α2=? ?. ?1? ?2m+n=7, 由 β=mα1+nα2,得? 解得 m=3,n=1. ?m+n=4, 2 1 ?435? 5 5? ? 5? ? ?. ∴A5β=A5(3α1+α2)=3(A5α1)+A5α2=3(λ5 1α1)+λ2α2=3×2 ? ?+3 ? ?=? ?1? ?1? ?339? 特别提醒:教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设

计· 高考总复习》光盘中内容.


相关文章:
2014届高三苏教版数学(理)一轮复习创新能力提升 第十五章 第2讲 矩阵与变换 Word版含解析]
2014届高三苏教版数学(理)一轮复习创新能力提升 第十五章 第2讲 矩阵与变换 Word版含解析]_高中教育_教育专区。2014届高三苏教版数学(理)一轮复习创新能力提升...
2014届高三苏教版数学(理)一轮复习基础达标演练 第十五章 第2讲 矩阵与变换 Word版含解析]
2014届高三苏教版数学(理)一轮复习基础达标演练 第十五章 第2讲 矩阵与变换 Word版含解析]_高中教育_教育专区。2014届高三苏教版数学(理)一轮复习基础达标演练...
【创新设计】(江苏专用)2014届高考数学一轮复习 第十五章 第2讲 矩阵与变换配套训练 理 新人教A版
创新设计】(江苏专用)2014届高考数学一轮复习 第十五章 第2讲 矩阵与变换配套训练 理 新人教A版_数学_高中教育_教育专区。第2讲 矩阵与变换 分层训练 A 级...
高中数学 第十五章 第2讲 矩阵与变换
1/2 相关文档推荐 2014创新设计高中数学(苏教......第2讲 矩阵与变换 分层训练 A 3 1.(2009·...分层训练 B 创新能力提升 1? ? 1? ? 1 1...
【步步高】2015年高考数学(苏教版,理)一轮题库:选修4 第2讲 矩阵与变换
【步步高】2015高考数学(苏教版,理)一轮题库:选修4 第2讲 矩阵与变换_高中教育_教育专区。【步步高】2015高考数学(苏教版,理)一轮题库:选修4 第2讲 ...
2016高考数学大一轮复习 14.2矩阵与变换试题 理 苏教版
2016高考数学大一轮复习 14.2矩阵与变换试题 理 苏教版_数学_高中教育_教育专区。第2讲 1. 正如矩阵 A=? 矩阵与变换 ?1 1? ?1? ?,向量 β=? ?. ?...
【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题七 第2讲矩阵与变换
【步步高 江苏专用(理)2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题七 第2讲矩阵与变换_数学_高中教育_教育专区。第2讲 矩阵与变换 【高考考情解读】 本...
2016高考数学大一轮复习 14.2矩阵与变换教师用书 理 苏教版
2016高考数学大一轮复习 14.2矩阵与变换教师用书 理 苏教版_数学_高中教育_教育专区。§14.2 矩阵与变换 1.乘法规则 (1)行矩阵[a11 a12]与列矩阵? [a11 ...
高三数学(理)《选修4-2_矩阵与变换》专题练习
高三数学(理)《选修4-2_矩阵与变换》专题练习_数学_高中教育_教育专区。高三数学(理)矩阵与变换》专题练习 1、用矩阵与向量的乘法的形式表示方程组 ? ?2x...
更多相关标签: