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江苏省无锡市2015届高三上学期期末考试数学试题


江苏省无锡市 2015 届高三上学期期末考试数学试题
一、填空题 1.已知复数 z 满足 (1 - i ) z = 1 + i ,则 z 的模为 2. 已 知 集 合 .

A = {x | x = 2k - 1 ,k
.

Z} , B = {x | - 1 #x

3} , 则

AI B =

3.已知角 a 的终边经过点 P (x, - 6) ,且 t an a = -

3 ,则 x 的值为 5

.

4.根据如图所示的流程图,则输出的结果为 . 5.将 2 本不同的数学书和本语文书在书架上随机排成一行,则 2 本数学书 相邻的概率为 .

, 9 的平均数为 10 ,则该组样本数据的方差 6.若一组样本数据 8, x, 10, 11
为 .

7.已知焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程为 y = 的离心率为 .

1 x ,则该双曲线 3

8. 三 棱 锥 P - A B C 中 , D , E 分 别 为 P B, P C的 中 点 , 记 三 棱 锥

D - A BE 的 体 积 为 V1 , P - ABC 的 体 积 为 V2 , 则

V1 = V2
9. 将 函 数 y =

.

3 c ox s+

s( x i nx ?

)

的 图 像 向 左 平 移 个

m (m > 0) 单位长度后,所得的图像关于 y 轴对称,则 m 的最小值
是 .

10. 已 知 菱 形 ABCD 的 边 长 为 2 , ? BAD

120o , 点 E , F 分 别 在 边 B C, D C 上 ,
. .

r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu .若 AE ? BF BE = l BC , CF= l CD
11.已知正实数 a, b 满足 9a + b = 1,则
2 2

- 1,则 l =
ab 的最大值为 3a + b

12.已知数列 {an } 的首项 a1 = 1,前 n 项和为 Sn ,且满足 2an + 1 + Sn = 2 n 则满足

(

? * ),

1001 S2n 11 的 n 的最大值为 < < 1000 Sn 10

.

13.已知点 A (0, 2) 位圆 M : x 2 + y2 - 2ax - 2ay = 0(a > 0) 外一点,圆 M 上存在点

T 使得 ? MAT

45o ,则实数 a 的取值范围是

.

3 ?1 ? a ? 1

14. 已 知 函 数 y =

f ( )x 是 定 义 域 为 ?

的 偶 函 数 , 当 x ? 0 时 ,

ì 1 2 ? ? x , # 0x 2 ? ? 2 4 7a ? f x + af ( x ) + = 0, a f (x ) = í , 若关于 x 的方程 轾 ( ) x 犏 臌 ? 骣 16 1 3 ? ÷ - ? ÷ ? ? ÷ - 4, x > 2 ? ? 桫 2 ? ? 仅有 8 个不同实数根,则实数 a 的取值范围是 .
二、解答题 15.(本小题满分 14 分) 已知向量 a = ( sin x, ) , b = ( cos x, - 1) .

? 有且

r

3 r 4

p ) 的值; 4 r r r 轾p (2)设函数 f (x ) = 2( a + b) b ,当 x ? 犏 0, 时,求 f (x ) 的值域. 犏 臌2
(1)当 时,求 t an( x 16. (本小题满分 14 分) 如图,过四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 形木块上底面内的一点 P 和下底面 的对角线 BD 将木块锯开,得到截面 BDEF . (1)请在木块的上表面作出过 P 的锯线 EF ,并说明理由; (2) 若该四棱柱的底面为菱形,四边形时矩形 BB1D1D ,试证明:平面

BDEF ^ 平面 AC1CA1 .
17. (本小题满分 14 分) 某公司生产的某批产品的销售量 P 万件(生产量与销售量相等)与促销费用 x 万元满足

P =

x+ 2 (其中 0 # x 4

a, a 为正常数).已知生产该批产品还要投入成本 6( P +

1 ) P

万元(不包含促销费用) ,产品的销售价格定为 (4 +

20 ) 元/件. P

(1)将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数; (2)当促销费用投入多少万元时,该公司的利润最大? 18. (本小题满分 16 分)

已知椭圆 C :

x2 y2 + = 1 的上顶点为 A ,直线 l : y = kx + m 交椭圆于 P , Q 两点, 4 2

设直线 AP , AQ 的斜率分别为 k1, k2 . (1)若 m = 0 时,求 k1 ×k2 的值; (2)若 k1 ?k2

- 1 时,证明直线 l : y = kx + m 过定点.

19. (本小题满分 16 分) 在数列 {an }、 {bn }中,已知 a1 = 0, a2 = 1, b1 = 1,b2 =

1 ,数列 {an } 的前 n 项和 2

为 Sn ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,且满足 Sn + Sn + 1 = n 2 , 2Tn + 2 = 3Tn + 1 - Tn , 其中 n 为正整数. (1)求数列 {an }、 {bn }的通项公式; (2)问是否存在正整数 m , n ,使

Tn + 1 - m > 1 + bm + 2 成立?若存在,求出所有符合条 Tn - m

件的有序实数对 (m, n ) ,若不存在,请说明理由. 20. (本小题满分 16 分)
2 2 设函数 f (x) = x ln x- ax + b 在点 x 0, f (x 0 ) 处的切线方程为 y = - x + b .

(

)

(1)求实数 a 及 x0 的值; (2)求证:对任意实数 ,函数 f (x ) 有且仅有两个零点.

21、A(10 分)选修 4-1 几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形,AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E,且 CB=CE。 (1)证明:∠D=∠E;

(2)设 AD 不是圆 O 的直径,AD 的中点为 M,且 MB=MC,证明:△ADE 为等边 三角形。

21、B(10 分)选修 4-2,矩阵与变换 已知矩阵 M= ,试求
-1

(I)矩阵 M 的逆矩阵 M ; (II)直线 y=2x 在矩阵 M-1 对应的变换作用下的曲线方程。 21、C(10 分)选修 4-4,坐标系与参数方程 已知半圆 C 的参数方程为 (I)在直角坐标系 xoy 中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, 求半圆 C 的极坐标方程; (II)在(I)的条件下,设 T 是半圆 C 上的一点,且 OT= 3 ,试写出 T 点的极坐标。 21、D(10 分)选修 4-5,不等式选讲 已知函数 f(x)=|x-1|+|x-a|、 (I)当 a=2 时,解不等式 f(x)≥4; (II)若不等式 f(x)≥a 恒成立,求实数 a 的取值范围。

22、如图,抛物线关于 y 轴对称,它的顶点在坐标原点,点 P(2,1) , 在抛物线上。 (I)求抛物线的方程; (II)若∠APB 的平分线垂直于 y 轴,证明直线 AB 的斜率为定值。



23 、 已 知 整 数 设

,集合

的所有含有 3 个元素的子集记为

中所有元素之和为


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