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空间几何体例题


如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是矩形 PA⊥平面 ABCD,AP=AB,BP=BC=2,E,F 分别是 PB,PC 的中 点. (Ⅰ)证明:EF∥平面 PAD (Ⅱ)求三棱锥 E—ABC 的体积 V.

解 (Ⅰ)在△PBC 中,E,F 分别是 PB,PC 的中点,∴EF∥BC. 又 BC∥AD,∴EF∥AD, 又∵AD ? 平面 PAD,

EF ? 平面 PAD, ∴EF∥平面 PAD. (Ⅱ)连接 AE,AC,EC,过 E 作 EG∥PA 交 AB 于点 G, 则 BG⊥平面 ABCD,且 EG=

1 PA. 2

在△PAB 中,AD=AB, ? PAB°,BP=2,∴AP=AB= 2 ,EG= ∴S△ABC=

2 . 2

1 1 AB·BC= × 2 ×2= 2 , 2 2
1 1 2 1 S△ABC·EG= × 2 × = . 3 3 2 3

∴VE-ABC=

如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°,BF=FC,H 为 BC 的中点, (Ⅰ)求证:FH∥平面 EDB
D C E F

(Ⅱ)求证:AC⊥平面 EDB (Ⅲ)求四面体 B—DEF 的体积
A B H

【命题意图】本题考查空间线面平行、线面垂直、面 面垂直的判断与证明,考查体积的计算等基础知识, 同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力. 【解题指导】 (1)设底面对角线交点为 G,则可以通 过证明 EG∥FH,得 FH ∥平面 EDB ; (2)利用线线、 线面的平行与垂直关系,证明 FH⊥平面 ABCD,得 FH ⊥BC,FH⊥AC,进而得 EG⊥AC, AC ? 平面 EDB ; (3)证明 BF⊥平面 CDEF,得 BF 为四面体 B-DEF 的高, 进而求体积.
(1)证:设AC与BD交于点G,则G为AC的中点,连EG , GH,由于H 为BC的中点,故 1 GH / / AB, 2 1 又EF / / AB,?四边形EFGH 为平行四边形 2 ? EG / / FH,而EG ? 平面EDB, ? FH / / 平面EDB

【规律总结】本题是典型的空间几何问题,图形不是规则的空间几何体,所求的结论是线面平行与垂直以 及体积,考查平行关系的判断与性质.解决这类问题,通常利用线线平行证明线面平行,利用线线垂直证明 线面垂直,通过求高和底面积求四面体体积.

如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,ABCD 是矩形, PA ? 平面ABCD , PA ? AD ? 1, AB ? 3 ,点 F 是 PD 的中点,点 E 在 CD 上移动。 ⑴求三棱锥 E ? PAB 体积; ⑵当点 E 为 CD 的中点时,试判断 EF 与平面 PAC 的关系,并说明理由; ⑶求证: PE ? AF 。 解: (1)? PA ? 平面ABCD ,

P F

A D E B

?VE ? PAB ? VP ? ABE

1 1 1 3 ? S ?ABE ? PA ? ? ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 3 2 6

C

(2)当点 E 为 BC 的中点时, EF || 平面PAC 。 理由如下:? 点 E , F 分别为 CD 、PD 的中点,? EF || PC 。

? PC ? 平面PAC , EF ? 平面PAC ? EF || 平面PAC
(3)? PA ? 平面ABCD , CD ? 平面ABCD

? CD ? PA

? ABCD是矩矩形,? CD ? AD ? AF ? 平面PAD ? AF ? DC

? PA ? AD ? A ,? CD ? 平面PAD

? PA ? AD ,点 F 是 PD 的中点 ? AF ? PD
又 CD ? PD ? D

? AF ? 平面PDC
? PE ? AF

? PE ? 平面PDC,

如图, 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 已知 BC ? 1, BB1 ? 2, ?BCC1 ? (1)求直线 C1B 与底面 ABC 所成角正切值;

? 3

AB ? 侧面 BB1C1C ,
学, , , , ,网 ,

A

A1

(2)在棱 CC1 (不包含端点 C, C1 ) 上确定一点 E 的位置,使得 EA ? EB1 (说明理由). (3)在(2)的条件下,若 AB ? 2 ,求二面角 A ? EB1 ? A1 的大小. 解: ( 1 )在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, C1C ? 平面 ABC ?C1B 在平面
C B B1 E C1

ABC 上的射影为 CB .

??C1BC 为直线 C1B 与底面 ABC 所成角.
CC1 ? BB1 ? 2, BC ? 1,? tan ?C1BC ? 2
即直线 C1B 与底面 ABC 所成角正切值为 2. (2)当 E 为中点时, EA ? EB1 .

CE ? EC1 ? 1, BC ? B1C1 ? 1 ??BEC ? ?B1EC1 ? 45

??BEB1 ? 90 ,即 B1E ? BE


AB ? 平面BB1C1C , EB1 ? 平面BB1C1C ? AB ? EB1
BE AB ? B ? EB1 ? 平面ABE , EA ? 平面ABE, EA ? EB1

F ,则 FG ∥ A1B1 ,且 FG ? (3)取 EB1 的中点 G , A 1E 的中点
连结 A1B, AB1 ,设 A 1B

1 A1 B1 , 2
A

A1B1 ? EB1 ? FG ? EB1
A1 O

AB1 ? O ,连结 OF , OG, FG , AE ? EB1 ?OG ? EB1

1 则 OG ∥ AE ,且 OG ? AE 2

??OGF 为二面角 A ? EB1 ? A1 的平面角.
C

B E

F G C1

B1

1 1 2 1 2 OG ? AE ? 1, FG ? A1B1 ? , OF ? BE ? , ??OGF ? 45 2 2 2 2 2
∴二面角 A ? EB1 ? A1 的大小为 45°


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