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高中数学竞赛标准教材3人教版 函数【讲义】


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第三章 函数
一,基础知识
定义 1 映射,对于任意两个集合 A,B,依对应法则 f,若对 A 中的任意一个元素 x,在 B 中都有唯一一个元素与之对应,则称 f: A→B 为一个映射. 定义 2 单射,若 f: A→B 是一个映射且对任意 x, y∈A, x ≠ y, 都有 f(x) ≠ f(y)则称之为 单射. 定义 3 满射,若 f: A→B 是映射且对任意 y∈B,都有一个 x∈A 使得 f(x)=y,则称 f: A→B 是 A 到 B 上的满射. 定义 4 一一映射,若 f: A→B 既是单射又是满射,则叫做一一映射,只有一一映射存在逆 映射,即从 B 到 A 由相反的对应法则 f-1 构成的映射,记作 f-1: A→B. 定义 5 函数,映射 f: A→B 中,若 A,B 都是非空数集,则这个映射为函数.A 称为它的定 义域,若 x∈A, y∈B,且 f(x)=y(即 x 对应 B 中的 y) ,则 y 叫做 x 的象,x 叫 y 的原象.集 合{f(x)|x∈A}叫函数的值域.通常函数由解析式给出,此时函数定义域就是使解析式有意义 的未知数的取值范围,如函数 y=3 x -1 的定义域为{x|x≥0,x∈R}. 定义 6 反函数,若函数 f: A→B(通常记作 y=f(x))是一一映射,则它的逆映射 f-1: A→B 叫原函数的反函数,通常写作 y=f-1(x). 这里求反函数的过程是:在解析式 y=f(x)中反解 x 得 x=f-1(y),然后将 x, y 互换得 y=f-1(x),最后指出反函数的定义域即原函数的值域.例如:函 数 y=

1 1 的反函数是 y=1- (x ≠ 0). 1 x x

定理 1 互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x 对称. 定理 2 在定义域上为增(减)函数的函数,其反函数必为增(减)函数. 定义 7 函数的性质. (1)单调性:设函数 f(x)在区间 I 上满足对任意的 x1, x2∈I 并且 x1< x2,总有 f(x1)<f(x2)(f(x)>f(x2)),则称 f(x)在区间 I 上是增(减)函数,区间 I 称为单调增(减)区间. (2) 奇偶性: 设函数 y=f(x)的定义域为 D, D 是关于原点对称的数集, 且 若对于任意的 x∈D, 都有 f(-x)=-f(x), 则称 f(x)是奇函数; 若对任意的 x∈D, 都有 f(-x)=f(x), 则称 f(x)是偶函数. 奇 函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称. (3)周期性:对于函数 f(x),如果存在一个不为零的常数 T,使得当 x 取定义域内每一个数 时,f(x+T)=f(x)总成立,则称 f(x)为周期函数,T 称为这个函数的周期,如果周期中存在最小 的正数 T0,则这个正数叫做函数 f(x)的最小正周期. 定义 8 如果实数 a<b,则数集{x|a<x<b, x∈R}叫做开区间,记作(a,b) ,集合{x|a≤x ≤b,x∈R}记作闭区间[a,b],集合{x|a<x≤b}记作半开半闭区间(a,b],集合{x|a≤x<b} 记作半闭半开区间[a, b),集合{x|x>a}记作开区间(a, +∞) ,集合{x|x≤a}记作半开半闭 区间(-∞,a]. 定义 9 函数的图象,点集{(x,y)|y=f(x), x∈D}称为函数 y=f(x)的图象,其中 D 为 f(x)的定 义域.通过画图不难得出函数 y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a,b>0); (1)向右 平移 a 个单位得到 y=f(x-a)的图象; (2)向左平移 a 个单位得到 y=f(x+a)的图象; (3)向下 平移 b 个单位得到 y=f(x)-b 的图象;4) ( 与函数 y=f(-x)的图象关于 y 轴对称;5) ( 与函数 y=-f(-x) 的图象关于原点成中心对称; 与函数 y=f-1(x)的图象关于直线 y=x 对称; 与函数 y=-f(x) (6) (7) 的图象关于 x 轴对称. 定理 3 复合函数 y=f[g(x)]的单调性,记住四个字: "同增异减" .例如 y= (-∞,2)上是减函数,y=

1 , u=2-x 在 2 x

1 1 在(0,+∞)上是减函数,所以 y= 在(-∞,2)上是增 u 2 x

函数. 注:复合函数单调性的判断方法为同增异减.这里不做严格论证,求导之后是显然的.

二,方法与例题
1.数形结合法.

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例 1 求方程|x-1|=

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1 的正根的个数. x
y 1

1

x

【解】 分别画出 y=|x-1|和 y=

1 的图象, 由图象可知两者有唯一交点, 所以方程有一个正根. x

例 2 求函数 f(x)= x 4 3 x 2 6 x + 13 【解】

x 4 x 2 + 1 的最大值.

f(x)= ( x 2 2) 2 + ( x 3) 2 ( x 2 1) 2 + ( x 0) 2 ,记点 P(x, x-2),A(3,2) ,

B(0,1) ,则 f(x)表示动点 P 到点 A 和 B 距离的差.

因为|PA|-|PA|≤|AB|= 3 + ( 2 1) = 10 ,当且仅当 P 为 AB 延长线与抛物线 y=x2 的交点
2 2

时等号成立. 所以 f(x)max= 10 . 2.函数性质的应用. 例 3 设 x, y∈R,且满足

( x 1) 2 + 1997( x 1) = 1 ,求 x+y. ( y 1) 3 + 1997( y 1) = 1

【解】 设 f(t)=t3+1997t,先证 f(t)在(-∞,+∞)上递增.事实上,若 a<b,则 f(b)-f(a)=b3-a3+1997(b-a)=(b-a)(b2+ba+a2+1997)>0,所以 f(t)递增. 由题设 f(x-1)=-1=f(1-y),所以 x-1=1-y,所以 x+y=2. 例 4 奇函数 f(x)在定义域(-1,1)内是减函数,又 f(1-a)+f(1-a2)<0,求 a 的取值范围. 【解】 因为 f(x) 是奇函数,所以 f(1-a2)=-f(a2-1),由题设 f(1-a)<f(a2-1). 又 f(x)在定义域(-1,1)上递减,所以-1<1-a<a2-1<1,解得 0<a<1. 例 5 设 f(x)是定义在 (-∞, +∞) 上以 2 为周期的函数, k∈Z,用 Ik 表示区间(2k-1,2k+1], 对 已知当 x∈I0 时,f(x)=x2,求 f(x)在 Ik 上的解析式. 【解】 设 x∈Ik,则 2k-1<x≤2k+1, 所以 f(x-2k)=(x-2k)2. 又因为 f(x)是以 2 为周期的函数, 所以当 x∈Ik 时,f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2. 例 6 解方程:(3x-1)( 9 x 6 x + 5 + 1 )+(2x-3)( 4 x 12 x + 13 +1)=0. 【解】 令 m=3x-1, n=2x-3,方程化为
2 2

m( m + 4 +1)+n( n + 4 +1)=0. ① 若 m=0,则由①得 n=0,但 m, n 不同时为 0,所以 m ≠ 0, n ≠ 0.
2 2

ⅰ)若 m>0, 则由①得 n<0, f(t)=t( t + 4 +1), f(t)在 设 则 (0, +∞) 上是增函数. f(m)=f(-n), 又
2

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所以 m=-n,所以 3x-1+2x-3=0,所以 x= .

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4 5 4 ⅱ)若 m<0,且 n>0.同理有 m+n=0,x= ,但与 m<0 矛盾. 5 4 综上,方程有唯一实数解 x= . 5
3.配方法. 例 7 求函数 y=x+ 2 x + 1 的值域.

1 [2x+1+2 2 x + 1 +1]-1 2 1 1 1 = ( 2 x + 1 +1)-1≥ -1=- . 2 2 2 1 1 1 当 x=- 时,y 取最小值- ,所以函数值域是[- ,+∞) . 2 2 2
【解】 y=x+ 2 x + 1 = 4.换元法. 例 8 求函数 y=( 1 + x + 1 x +2)( 1 x +1),x∈[0,1]的值域.
2

【解】令 1 + x + 1 x =u,因为 x∈[0,1],所以 2≤u2=2+2 1 x ≤4,所以 2 ≤u≤
2

2,所以

2+2 u+2 u2 u+2 ≤ ≤2,1≤ ≤2,所以 y= ,u2∈[ 2 +2,8]. 2 2 2 2 所以该函数值域为[2+ 2 ,8].

5.判别式法.

x 2 3x + 4 例 9 求函数 y= 2 的值域. x + 3x + 4

【解】由函数解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0. ① 当 y ≠ 1 时,①式是关于 x 的方程有实根. 所以△=9(y+1)2-16(y-1)2≥0,解得

1 ≤y≤1. 7

又当 y=1 时,存在 x=0 使解析式成立, 所以函数值域为[

1 ,7]. 7

6.关于反函数. 例 10 若函数 y=f(x)定义域,值域均为 R,且存在反函数.若 f(x)在(-∞,+ ∞)上递增,求 证:y=f-1(x)在(-∞,+ ∞)上也是增函数. 【证明】设 x1<x2, 且 y1=f-1(x1), y2=f-1(x2),则 x1=f(y1), x2=f(y2),若 y1≥y2,则因为 f(x) 在(-∞,+ ∞)上递增,所以 x1≥x2 与假设矛盾,所以 y1<y2. 即 y=f-1(x)在(-∞,+ ∞)递增.

4x + 1 ,解方程:f(x)=f-1(x). 3x + 2 2 1 【解】 首先 f(x)定义域为(-∞,- )∪[- ,+∞) ;其次,设 x1, x2 是定义域内变量, 3 4 5( x 2 x1 ) 2 4 x 2 + 1 4 x1 + 1 且 x1<x2<- ; = >0, 3 3 x 2 + 2 3 x1 + 2 (3 x 2 + 2)(3 x1 + 2) 2 1 所以 f(x)在(-∞,- )上递增,同理 f(x)在[- ,+∞)上递增. 3 4
例 11 设函数 f(x)= 4

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在方程 f(x)=f-1(x)中, f(x)=f-1(x)=y, y≥0, 记 则 又由 f-1(x)=y 得 f(y)=x, 所以 x≥0, 所以 x, y∈[+∞). 若 x ≠ y,设 x<y,则 f(x)=y<f(y)=x,矛盾. 同理若 x>y 也可得出矛盾.所以 x=y. 即 f(x)=x,化简得 3x5+2x4-4x-1=0, 即(x-1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)=0, 因为 x≥0,所以 3x4+5x3+5x2+5x+1>0,所以 x=1.

1 , 4

三,基础训练题
1.已知 X={-1, 0, 1}, Y={-2, -1, 0, 1, 2},映射 f:X→Y 满足:对任意的 x∈X, 它在 Y 中的象 f(x)使得 x+f(x)为偶数,这样的映射有_______个. 2.给定 A={1,2,3},B={-1,0,1}和映射 f:X→Y,若 f 为单射,则 f 有_______个;若 f 为满射,则 f 有_______个;满足 f[f(x)] =f(x)的映射有_______个. ,则图象与直线一共有_______个 3.若直线 y=k(x-2)与函数 y=x2+2x 图象相交于点(-1,-1) 交点. 4.函数 y=f(x)的值域为[ , 5.已知 f(x)=

3 4 ],则函数 g(x)=f(x)+ 1 2 f ( x) 的值域为_______. 8 9

1 ,则函数 g(x)=f[f(x)]的值域为_______. x +1 1 ,2)内是增函数,则 y=f(x2-1)的单调递减区间为_______. 2

6.已知 f(x)=|x+a|,当 x≥3 时 f(x)为增函数,则 a 的取值范围是_______. 7.设 y=f(x)在定义域(

8.若函数 y= (x)存在反函数 y= -1(x),则 y= -1(x)的图象与 y=- (-x)的图象关于直线 _______对称.

1 1 1 x 1 =1- + 2 ,则 f( )=_______. x x x x 10. 函数 y= x + 1 x 1 , x∈(1, +∞)的反函数是_______.
9.函数 f(x)满足 f 11.求下列函数的值域: (1)y= x 2 (3)y=x+2 x + 1 ; (4) y=

x 1 ; (2)y= x +

1 x

x+

1 +1 ; x

12. 已知 y = f (x ) 定义在 R 上,对任意 x∈R, f(x)=f(x+2),且 f(x)是偶函数,又当 x∈[2, 3]时,f(x)=x,则当 x∈[-2,0]时,求 f(x)的解析式.

x 1 . x2 + 2

四,高考水平训练题 1 1.已知 a∈ ,0 , f(x)定义域是(0,1],则 g(x)=f(x+a)+f(x-a)+f(x)的定义域为_______. 2
2.设 0≤a<1 时,f(x)=(a-1)x2-6ax+a+1 恒为正值.则 f(x)定义域为_______. 3.映射 f: {a, b, c, d}→{1,2,3}满足 10<f(a)f(b)f(c)f(d)<20,这样的映射 f 有 _______个. 4. 设函数 y=f(x)(x∈R)的值域为 R, 且为增函数, 若方程 f(x)=x 解集为 P, f[f(x)]=x 解集为 Q, 则 P,Q 的关系为:P_______Q(填=, , ) .
≠ ≠

5.下列函数是否为奇函数: (1)f(x)=(x-1)

1+ x ; (2)g(x)=|2x+1|-|2x-1| ; (3) 1 x

(x)= x 2 1 + 1 x 2 ; (4)y= x + 1 x 1. 6. 设函数 y=f(x)(x∈R 且 x ≠ 0), 对任意非零实数 x1, x2 满足 f(x1x2)=f(x1)+f(x2), f(x)在 又 (0,
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+∞)是增函数,则不等式 f(x)+f(x7.函数 f(x)=

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1 )≤0 的解集为_______. 2

x∈P ,其中 P,M 为 R 的两个非空子集,又规定 f(P)={y|y=f(x), x∈M x∈P}, f(M)={y|y=f(x), x∈M},给出如下判断:①若 P∩M= ,则 f(P) ∩f(M)= ;②若 P∩M ≠ ,则 f(P) ∩f(M) ≠ ;③若 P∪M=R, 则 f(P) ∪f(M)=R;④若 P∪M ≠ R,则 f(P) ∪f(M) ≠ R. 其中正确的判断是_______. x x
8.函数 y=f(x+1)的反函数是 y=f-1(x+1),并且 f(1)=3997,则 f(1998)= _______. 9.已知 y=f(x)是定义域为[-6,6]的奇函数,且当 x∈[0,3]时是一次函数,当 x∈[3,6]时是 二次函数,又 f(6)=2,当 x∈[3,6]时,f(x)≤f(5)=3.求 f(x)的解析式.

10.设 a>0,函数 f(x)定义域为 R,且 f(x+a)=

1 + 2

f ( x) [ f ( x)]2 ,求证:f(x)为周期函数. 4x t , 求 f(α), (1) x2 +1

11. 设关于 x 的方程 2x2-tx-2=0 的两根为α, (α<β) 已知函数 f(x)= β ,

f(β); (2)求证:f(x)在[α,β]上是增函数; (3)对任意正数 x1, x2,求证:

x α + x2 β f 1 x +x 2 1



x β + x2α f 1 x + x <2|α-β|. 2 1

五,联赛一试水平训练题
1.奇函数 f(x)存在函数 f-1(x),若把 y=f(x)的图象向上平移 3 个单位,然后向右平移 2 个单位 后,再关于直线 y=-x 对称,得到的曲线所对应的函数是________. 2.若 a>0,a ≠ 1,F(x)是奇函数,则 G(x)=F(x)

1 1 + 是________(奇偶性). x a 1 2 1 x 1 x 3. F 若 则下列等式中正确的有________.①F(-2-x)=-2-F(x); ②F(-x)= F =x, ; 1+ x 1+ x
③F(x-1)=F(x);④F(F(x))=-x. 4.设函数 f:R→R 满足 f(0)=1,且对任意 x,y∈R,都有 f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,则 f(x)=________. 5.已知 f(x)是定义在 R 上的函数,f(1)=1,且对任意 x∈R 都有 f(x+5)≥f(x)+5, f(x+1) ≤ f(x)+1.若 g(x)=f(x)+1-x,则 g(2002)= ________.

x 2 2x 3 x x 7. 函数 f(x)= 的奇偶性是:________奇函数,________偶函数(填是,非) . x 2 1 2
8. 函数 y=x+ x 3 x + 2 的值域为________.
2

6. 函数 f(x)=

1

的单调递增区间是________.

9.设 f(x)=

1 x 1

x ∈ [1,2]

x ∈ (2,3]

,对任意的 a∈R,记 V(a)=max{f(x)-ax|x∈[1,

3]}-min{f(x)-ax|x∈[1, 3]},试求 V(a)的最小值.

1 x 2 = y 2 10.解方程组: 1 y = z. (在实数范围内) 1 z 2 = x
11.设 k∈N+, f: N+→N+满足: (1)f(x)严格递增; (2)对任意 n∈N+, 有 f[f(n)]=kn,求 证:对任意 n∈N+, 都有

2k k +1 n≤f(n)≤ n. k +1 2

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六,联赛二试水平训练题

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1. 求证: 恰有一个定义在所有非零实数上的函数 f, 满足: (1) 对任意 x≠0, f(x)=x ; f (2)对所有的 x≠-y 且 xy≠0,有 f(x)+f(y)=1+f(x+y). 2.设 f(x)对一切 x>0 有定义,且满足: (ⅰ)f(x)在(0,+∞)是增函数;(ⅱ)任意 x>0, f(x)f f ( x ) +

1 x



1 =1,试求 f(1). x

3. f:[0,1]→R 满足: (1)任意 x∈[0, 1], f(x)≥0; (2)f(1)=1; (3)当 x, y, x+y∈[0, 1]时,f(x)+f(y)≤f(x+y),试求最小常数 c,对满足(1)(2)(3)的函数 f(x)都有 f(x)≤cx. , , 4. 试求 f(x,y)=6(x2+y2)(x+y)-4(x2+xy+y2)-3(x+y)+5(x>0, y>0)的最小值. 5. 对给定的正数 p, q∈(0,1), p+q>1≥p2+q2, 有 试求 f(x)=(1-x) 在[1-q,p]上的最大值.

p 2 x 2 + x q 2 (1 x) 2

x 6.已知 f: (0,1)→R 且 f(x)= p + 1 q
当 x∈ , 时,试求 f(x)的最大值.

xQ . p x , ( p, q ) = 1,0 < p < q q

7 8 8 9

7.函数 f(x)定义在整数集上,且满足 f(n)=

n 3 f [ f (n + 5)]

(n ≥ 1000) ,求 f(100)的值. (n < 1000)

8.函数 y=f(x)定义在整个实轴上,它的图象在围绕坐标原点旋转角 方程 f(x)=x 恰有一个解; (2)试给出一个具有上述性质的函数.

π
2

后不变. (1)求证:

9. Q+是正有理数的集合, 设 试构造一个函数 f: Q+→Q+, 满足这样的条件: f(xf(y))= y∈Q+.

f ( x) , x, y

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