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2015届高考数学(理)基础知识总复习课时精练:第2章 第10节 函数与方程]


第十节
x f(x)

函数与方程

1. 已知函数 f(x)的图象是连续不断的, 有如下对应值表: 1 2 3 4 5 6 7 23 9 -7 11 -5 -12 -26 那么函数在区间[1,6]上的零点至少有( ) A .5 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个
[]

解析:函数 f(x)在区

间[2,3],[3,4],[4,5]上至少各有一 个零点.故选 C. 答案:C 2. (2013·惠州一模)已知函数 f(x)=3 +x-9 的零点为 x0, 则 x0 所在区间为 ( ) ? 3 ? 1 1? 1? ? ? - ,- - , ? A.? B. ? 2 ? ? ? 2? ? ? 2 2? ?1 3? ?3 5? ? ? ? , C.? D. ?2 2? ?2,2? ? ? ? ? 解析: ∵函数 f(x)=3 +x-9 在 R 上连续, f? ?
x x

?

3? 3 ? = 27+ - ? 2 ?2 ?

5? 5 ? = 243 + -9>0, ? 2 ?2 ? ?3? ?5? ?3 5? ? ? ? ? , ? 所以 f? ?f? ?<0,故函数的零点 x0 所在区间为? ? ?,故 ?2 ? ?2 ? ?2 2? 选 D. 答案:D 9<0,f? ? 3. 利用计算器,列出自变量和函数值的对应值如下表: 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4 10.55 1.149 1.516 2.0 2.639 3.482 4.595 6.063 8.0 6 0.04 0. 36 1.0 1.96 3.24 4.84 6.76 9.0 11.56 x 2 那么方程 2 =x 的一个根位于下列哪个区间( )

?

x y=2x y=x2

… … …

A.(0.6,1.0) C.(1.8,2.2) 答案:C

B.(1.4,1.8) D.(2.6,3.0)

4. 设函数 f(x)=4sin(2x+1)-x, 则在下列区间中函数 f(x) 不存在零点的是( ) A.[-4,-2] B.[-2,0] C.[0,2] D.[2,4] 解析:对于 B,∵f(0)=4sin
? π 1>0,f? ?- 2 ? ? ? ?=4sin(-π ?



π π π π π 1)+ = -4sin 1< -4sin = -2<0,∴在该区间上存 2 2 2 6 2 在零点. 对于 C,∵f(2)=4sin 5-2=4sin(5-2π )-2<0,∴在 该区间上存在零点. 对于 D,∵f(3.5)=4sin 8-3.5=4sin(8-2π )-3.5>0, ∴在该区间上也存在零点.故选 A. 答案:A 5.方程|x|=cos x 在(-∞,+∞)内( ) A.没有根 B.有且仅有一个根 C.有两个根 D.有无穷多个根 解析:构造两个函数 y=|x|和 y=cos x,在同一个坐标系 内画出它们的图象,如图所示,观察知图象有两个公共点,所以 已知方程有且仅有两个根.故选 C.

答案:C 6.(2013·江门一模)设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶 2 函数,当 x∈[0,1]时,f(x)=x-2x ,则 f(x)在区间[0,2 013] 内零点的个数为( ) A.2 013 B.2 014 C.3 020 D.3 024 解析:

f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数,又 x∈[0,1]时, f(x)=x-2x2,要研究函数 y=f(x)在区间[0,2 013]零点个数, 可将问题转化为 y=f(x)与 x 轴在区间[0,2 013]有几个交点,
1 3 5 4 025 如图, f(x)在区间[0,2 013]内零点分别是: , , , …, . 2 2 2 2 共有 2 013 个零点.故选 A. 答案:A 7.已知函数 f(x)=x+2 ,g(x)=x+ln x 的零点分别为 x1, x2,则 x1,x2 的大小关系是________________. 解析:由 f(x)=x+2 =0 知其零点小于 0,∴x1<0.由 g(x) =x+ln x=0 知其零点大于 0,∴x2>0.∴x1<x2. 答案:x1<x2
[]

x

x

8.已知函数 f(x)=x +(1-k)x-k 的一个零点在(2,3)内, 则实数 k 的取值范围是________. 解析: ∵Δ =(1-k) +4k=(1+k) ≥0 对一切 k∈R 恒成立, 2 又 k=-1 时,f(x)的零点 x=-1?(2,3),故要使函数 f(x)=x
2 2

2

+(1-k)x-k 的一个零点在(2,3)内,则必有 f(2)·f(3)<0, 即(6-3k)·(12-4k)<0,解得 2<k<3,∴实数 k 的取值范围 是(2,3). 答案:(2,3)
x ? ?2 -1,x>0, f(x)=? 2 ? ?-x -2x,x≤0,

9. 已知函数

若函数 g(x)=f(x)

-m 有 3 个零点,则实数 m 的取值范围是______________.

解析:

在坐标系内作出函数

x ? ?2 -1,x>0, f(x)=? 2 ? ?-x -2x,x≤0

的图象,发

现当 0<m<1 时,函数 f(x)的图象与直线 y=m 有 3 个交点,即 函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零点. 答案:(0,1) 5 10.右图是用二分法求方程 x -16x+1=0 在[-2,2]的近 似解的程序框图,要求解的精确度为 0.000 1,①处填的内容是 __________,②处填的内容是____________________. 答案:f(a)·f(m)<0
x

|a-b|<0.000
x

1

11.已知函数 f(x)=4 +m·2 +1 有且仅有一个零点,求 m 的取值范围,并求出该零点. 解析: ∵f(x)=4 +m·2 +1 有且仅有一个零点,即方程 x 2 x (2 ) +m·2 +1=0 仅有一个实根. x 2 设 2 =t(t>0),则 t +mt+1=0. 2 ①若 Δ =0,即 m -4=0, 当 m=-2 时,t=1;当 m=2 时,t=-1 不合题意,舍去. x ∴2 =1,x=0 符合题意. ②若 Δ >0,即 m>2 或 m<-2, t2+mt+1=0 有一正一负两根, 即 t1t2<0,这与 t1t2>0 矛盾. ∴这种情况不可能. 综上可知,m=-2 时,f(x)有唯一零点,该零点为 x=0. 12.(2013·广州二模)巳知 a>0,设命题 p:函数 f(x)=
x x

x2-2ax+1-2a 在区间[0,1]上与 x 轴有两个不同的交点;命题 q:g(x)=|x-a|-ax 在区间(0,+∞)上有最小值.若(¬p)∧q 是真命题,求实数 a 的取值范围.
解析:函数 f(x)=x -2ax+1-2a 在区间[0,1]上与 x 轴有 两个不同的交点,
2

f(0)≥0, ? ?f(1)≥0, 必须? 0<a<1, ? ?△>0.
1-2a≥0, ? ?2-4a≥0, ?0<a<1, ? ?(-2a) -4(1-2a)>0,
2



1 2-1<a≤ . 2 1 2 所以当 2-1<a≤ 时,函数 f(x)=x -2ax+1-2a 在区 2 间[0,1]上与 x 轴有两个不同的交点; 由 题 意 可 得 g(x) = |x - a| - ax = 解得
? ?(1-a)x-a, x≥a, ? ? ?-(1+a)x+a, x<a.

因为 a>0, 所以-(1+a)<0, 所以函数 y1=-(1+a)x+a 是单调递减的,要使 g(x)在区 间(0,+∞)上有最小值,必须使 y2=(1-a)x-a 在[a,+∞) 上单调递增或为常数,即 1-a≥0,解得 a≤1, 所以当 0<a≤1 时,函数 g(x)使在区间(0,+∞)上有最小 值. 若(¬p)∧q 是真命题,则 p 是假命题且 q 是真命题,

1 ? ? 0<a≤ 2-1,或a> , 2 所以? ? ?0<a≤1. 1 解得 0<a≤ 2-1,或 <a≤1 , 2
?1 ? ? , 1 故实数 a 的取值范围为:(0, 2-1]∪? ?2 ?. ? ?


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