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高中数学竞赛讲义十五


高中数学竞赛讲义(十五)
──复数

一、基础知识

1.复数的定义:设 i 为方程 x2=-1 的根,i 称为虚数单位,由 i 与实数进行 加、减、乘、除等运算。便产生形如 a+bi(a,b∈R)的数,称为复数。所有复 数构成的集合称复数集。通常用 C 来表示。

2.复数的几种形式。对任意复数 z=a+bi

(a,b∈R),a 称实部记作 Re(z),b 称虚部记作 Im(z). z=ai 称为代数形式, 它由实部、 虚部两部分构成; 若将(a,b) 作为坐标平面内点的坐标, 那么 z 与坐标平面唯一一个点相对应,从而可以建立 复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。 因此复数可以用点来 表示,表示复数的平面称为复平面,x 轴称为实轴,y 轴去掉原点称为虚轴,点 称为复数的几何形式;如果将(a,b)作为向量的坐标,复数 z 又对应唯一一个向 量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式,称为向量形式;另外设 z 对应复平面内的点 Z,见图 15-1,连接 OZ,设∠xOZ=θ ,|OZ|=r,则 a=rcos θ ,b=rsinθ ,所以 z=r(cosθ +isinθ ),这种形式叫做三角形式。若 z=r(cosθ +isinθ ),则θ 称为 z 的辐角。若 0≤θ <2π ,则θ 称为 z 的辐角主值,记作θ =Arg(z). r 称为 z 的模,也记作|z|,由勾股定理知|z|= 示 cosθ +isinθ ,则 z=reiθ ,称为复数的指数形式。 .如果用 eiθ 表

3.共轭与模,若 z=a+bi,(a,b∈R),则 共轭的性质有:(1) ;(2)

a-bi 称为 z 的共轭复数。模与 ;(3) ;

(4) ; (5 ) ;(6) ;(7)||z1|-|z2|| 2 2 2 2 ≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|;(8)|z1+z2| +|z1-z2| =2|z1| +2|z2| ;(9)若|z|=1,则 。

4.复数的运算法则:(1)按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数 范围内一致,运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数;(2)按向量形

式,加、减法满足平行四边形和三角形法则;(3)按三角形式,若 z1=r1(cosθ 1+isinθ 1), z2=r2(cosθ 2+isinθ 2),则 z1??z2=r1r2[cos(θ 1+θ 2)+isin(θ 1+θ 2)]; [cos(θ 1-θ 2)+isin(θ 1-θ 2)],用指数形式记为 z1z2=r1r2ei(θ 1+



θ 2)

,

5.棣莫弗定理:[r(cosθ +isinθ )]n=rn(cosnθ +isinnθ ).

6.开方:若 k=0,1,2,?,n-1。

r(cosθ +isinθ ),则



7.单位根:若 wn=1,则称 w 为 1 的一个 n 次单位根,简称单位根,记 Z1= 质有(这里记 ,则全部单位根可表示为 1, , .单位根的基本性

,k=1,2,?,n-1): (1)对任意整数 k,若 k=nq+r,q∈Z,0

≤r≤n-1,有 Znq+r=Zr; (2)对任意整数 m,当 n≥2 时,有

=

特别 1+Z1+Z2+?+Zn-1=0;(3)xn-1+xn-2+?+x+1=(x-Z1)(x-Z2)? )?(x).

(x-Zn-1)=(x-Z1)(x-

8.复数相等的充要条件:(1)两个复数实部和虚部分别对应相等;(2)两 个复数的模和辐角主值分别相等。

9.复数 z 是实数的充要条件是 z= ;z 是纯虚数的充要条件是:z+ =0(且 z≠0).

10.代数基本定理:在复数范围内,一元 n 次方程至少有一个根。

11.实系数方程虚根成对定理:实系数一元 n 次方程的虚根成对出现,即若 z=a+bi(b≠0)是方程的一个根,则 =a-bi 也是一个根。

12.若 a,b,c∈R,a≠0,则关于 x 的方程 ax2+bx+c=0,当Δ =b2-4ac<0 时方程 的根为

二、方法与例题

1.模的应用。

例1

求证:当 n∈N+时,方程(z+1) +(z-1) =0 只有纯虚根。

2n

2n

[证明] 若 z 是方程的根,则(z+1)2n=-(z-1)2n,所以|(z+1)2n|=|-(z-1)2n|, 即|z+1|2=|z-1|2,即(z+1)( +1)=(z-1)( -1),化简得 z+ =0,又 z=0 不是方程 的根,所以 z 是纯虚数。

例2 值。

设 f(z)=z2+az+b,a,b 为复数,对一切|z|=1,有|f(z)|=1,求 a,b 的

[解]

因为 4=(1+a+b)+(1-a+b)-(-1+ai+b)-(-1-ai+b)

=|f(1)+f(-1)-f(i)-f(-i)|

≥|f(1)|+|f(-1)|+|f(i)|+|f(-i)|=4,其中等号成立。

所以 f(1),f(-1),-f(i),-f(-i)四个向量方向相同,且模相等。

所以 f(1)=f(-1)=-f(i)=-f(-i),解得 a=b=0.

2.复数相等。

例3 设λ ∈R, 若二次方程(1-i)x2+(λ +i)x+1+λ i=0 有两个虚根,求λ 满 足的充要条件。

[解]

若方程有实根,则方程组
2

有实根,由方程组得(λ

+1)x+λ +1=0.若λ =-1, 则方程 x -x+1=0 中Δ <0 无实根, 所以λ ≠-1。 所以 x=-1, λ =2.所以当λ ≠2 时,方程无实根。所以方程有两个虚根的充要条件为λ ≠2。

3.三角形式的应用。

例4 设 n≤2000,n∈N,且存在θ 满足(sinθ +icosθ )n=sinnθ +icosnθ , 那么这样的 n 有多少个?

[解]

由题设得

,所以 n=4k+1.又因为 0≤n≤2000,所以 1≤k≤500,所以这样的 n 有 500 个。

4.二项式定理的应用。

例5

计算: (1)

; (2)

[解]

(1+i)100=[(1+i)2]50=(2i)50=-250,由二项式定理(1+i)100=

= 得

)+( =-250,

)i,比较实部和虚部, =0。

5.复数乘法的几何意义。

例6 以定长线段 BC 为一边任作Δ ABC,分别以 AB,AC 为腰,B,C 为直角 顶点向外作等腰直角Δ ABM、等腰直角Δ ACN。求证:MN 的中点为定点。

[证明] 设|BC|=2a,以 BC 中点 O 为原点,BC 为 x 轴,建立直角坐标系, 确定复平面,则 B,C 对应的复数为-a,a,点 A,M,N 对应的复数为 z1,z2,z3, ,① ,由复数乘法的几何意义得: ,②由①+②得

z2+z3=i(z1+a)-i(z1-a)=2ai.设 MN 的中点为 P,对应的复数 z= 值,所以 MN 的中点 P 为定点。

,为定

例7

设 A,B,C,D 为平面上任意四点,求证:AB?AD+BC?AD≥AC?BD。

[证明] 用 A,B,C,D 表示它们对应的复数,则 (A-B)(C-D)+(B-C)(A-D)=(A-C)(B-D),因为|A-B|?|C-D|+|B-C|?|A-D|≥ (A-B)(C-D)+(B-C)(A-D).

所以|A-B|?|C-D|+|B-C|?|A-D|≥|A-C|?|B-D|, “=”成立当且仅当 ,即 圆时成立。不等式得证。 =π ,即 A,B,C,D 共

6.复数与轨迹。

例8 Δ ABC 的顶点 A 表示的复数为 3i,底边 BC 在实轴上滑动,且|BC|=2, 求Δ ABC 的外心轨迹。

[解]设外心 M 对应的复数为 z=x+yi(x,y∈R), B, C 点对应的复数分别是 b,b+2. 因为外心 M 是三边垂直平分线的交点, 而 AB 的垂直平分线方程为|z-b|=|z-3i|,

BC 的垂直平分线的方程为|z-b|=|z-b-2|,所以点 M 对应的复数 z 满足 |z-b|=|z-3i|=|z-b-2|,消去 b 解得

所以Δ ABC 的外心轨迹是轨物线。

7.复数与三角。

例9 已知 cosα +cosβ +cosγ =sinα +sinβ +sinγ =0, 求证: cos2α +cos2 β +cos2γ =0。

[证明]

令 z1=cosα +isinα ,z2=cosβ +isinβ ,z3=cosγ +isinγ ,则

z1+z2+z3=0。所以

又因为|zi|=1,i=1,2,3.

所以 zi?

=1,即

由 z1+z2+z3=0 得





所以

所以 cos2α +cos2β +cos2γ +i(sin2α +sin2β +sin2γ )=0.

所以 cos2α +cos2β +cos2γ =0。

例 10

求和:S=cos200+2cos400+?+18cos18×200.

[解] 令 w=cos200+isin200,则 w18=1, 令 P=sin200+2sin400+?+18sin18×200, 则 S+iP=w+2w2+?+18w18. ①由①×w 得 w(S+iP)=w2+2w3+?+17w18+18w19,②由①②得(1-w)(S+iP)=w+w2+?+w18-18w19= ,所以

S+iP=

,所以

8.复数与多项式。

例 11

已知 f(z)=c0z +c1z +?+cn-1z+cn 是 n 次复系数多项式(c0≠0).

n

n-1

求证:一定存在一个复数 z0,|z0|≤1,并且|f(z0)|≥|c0|+|cn|.

[证明]

记 c0zn+c1zn-1+?+cn-1z=g(z),令 =Arg(cn)-Arg(z0),则方程

g(Z)-c0eiθ =0 为 n 次方程,其必有 n 个根,设为 z1,z2,?,zn,从而 g(z)-c0eiθ =(z-z1)(z-z2)???(z-zn)c0, 令 z=0 得-c0eiθ =(-1)nz1z2?znc0, 取模得|z1z2?zn|=1。 所以 z1,z2,?,zn 中必有一个 zi 使得|zi|≤1,从而 f(zi)=g(zi)+cn=c0eiθ =cn,所以 |f(zi)|=|c0eiθ +cn|=|c0|+|cn|.

9.单位根的应用。

例 12 证明: 自⊙O 上任意一点 p 到正多边形 A1A2?An 各个顶点的距离的平 方和为定值。

[证明]

取此圆为单位圆,O 为原点,射线 OAn 为实轴正半轴,建立复平面,

顶点 A1 对应复数设为 ,则顶点 A2A3?An 对应复数分别为ε 2,ε 3,?,ε n .设点 p 对应复数 z,则|z|=1,且 =2n-

=2n-

命题得证。

10.复数与几何。

例 13 如图 15-2 所示,在四边形 ABCD 内存在一点 P,使得Δ PAB,Δ PCD 都是以 P 为直角顶点的等腰直角三角形。求证:必存在另一点 Q,使得Δ QBC, Δ QDA 也都是以 Q 为直角顶点的等腰直角三角形。

[证明]

以 P 为原点建立复平面,并用 A,B,C,D,P,Q 表示它们对应的 , 则 C-Q=i(B-Q),

复数, 由题设及复数乘法的几何意义知 D=iC,B=iA; 取

则Δ BCQ 为等腰直角三角形;又由 C-Q=i(B-Q)得

,即

A-Q=i(D-Q), 所以Δ ADQ 也为等腰直角三角形且以 Q 为直角顶点。 综上命题得证。

例 14 平面上给定Δ A1A2A3 及点 p0, 定义 As=As-3,s≥4, 构造点列 p0,p1,p2,?, 0 使得 pk+1 为绕中心 Ak+1 顺时针旋转 120 时 pk 所到达的位置, k=0,1,2,?,若 p1986=p0. 证明:Δ A1A2A3 为等边三角形。

[证明] 令 u= ,由题设,约定用点同时表示它们对应的复数,取给定平 面为复平面,则 p1=(1+u)A1-up0,

p2=(1+u)A2-up1,

p3=(1+u)A3-up2,

①×u2+②×(-u)得 p3=(1+u)(A3-uA2+u2A1)+p0=w+p0,w 为与 p0 无关的常数。同 理得 p6=w+p3=2w+p0,?,p1986=662w+p0=p0,所以 w=0,从而 A3-uA2+u2A1=0.由 u2=u-1 得 A3-A1=(A2-A1)u,这说明Δ A1A2A3 为正三角形。

三、基础训练题

1.满足(2x2+5x+2)+(y2-y-2)i=0 的有序实数对(x,y)有__________组。

2.若 z∈C 且 z2=8+6i,且 z3-16z-

=__________。

3.复数 z 满足|z|=5,且(3+4i)?z 是纯虚数,则

__________。

4.已知

,则 1+z+z2+?+z1992=__________。

5.设复数 z 使得 是__________。

的一个辐角的绝对值为

,则 z 辐角主值的取值范围

6.设 z,w,λ ∈C,|λ |≠1,则关于 z 的方程 -Λ z=w 的解为 z=__________。

7.设 0<x<1,则 2arctan

__________。

8.若α ,β 是方程 ax2+bx+c=0(a,b,c∈R)的两个虚根且 __________。

,则

9.若 a,b,c∈C,则 a2+b2>c2 是 a2+b2-c2>0 成立的__________条件。

10.已知关于 x 的实系数方程 x2-2x+2=0 和 x2+2mx+1=0 的四个不同的根在复 平面上对应的点共圆,则 m 取值的集合是__________。

11.二次方程 ax2+x+1=0 的两根的模都小于 2,求实数 a 的取值范围。

12.复平面上定点 Z0,动点 Z1 对应的复数分别为 z0,z1,其中 z0≠0,且满足 方程|z1-z0|=|z1|, ①另一个动点 Z 对应的复数 z 满足 z1?z=-1, ②求点 Z 的轨迹, 并指出它在复平面上的形状和位置。

13.N 个复数 z1,z2,?,zn 成等比数列,其中|z1|≠1,公比为 q,|q|=1 且 q≠ ±1,复数 w1,w2,?,wn 满足条件:wk=zk+ +h,其中 k=1,2,?,n,h 为已知实数,

求证:复平面内表示 w1,w2,?,wn 的点 p1,p2,?,pn 都在一个焦距为 4 的椭圆上。

四、高考水平训练题

1.复数 z 和 cosθ +isinθ 对应的点关于直线|iz+1|=|z+i|对称,则 z=__________。

2.设复数 z 满足 z+|z|=2+i,那么 z=__________。

3.有一个人在草原上漫步,开始时从 O 出发,向东行走,每走 1 千米后, 便向左转 角度,他走过 n 千米后,首次回到原出发点,则 n=__________。

4.若

,则|z|=__________。

5.若 ak≥0,k=1,2,?,n,并规定 an+1=a1,使不等式 恒成立的实数λ 的最大值为__________。

6. 已知点 P 为椭圆

上任意一点, 以 OP 为边逆时针作正方形 OPQR,

则动点 R 的轨迹方程为__________。

7.已知 P 为直线 x-y+1=0 上的动点,以 OP 为边作正Δ OPQ(O,P,Q 按顺时 针方向排列)。则点 Q 的轨迹方程为__________。

8.已知 z∈C,则命题“z 是纯虚数”是命题“ 件。

”的__________条

9. 若 n∈N, 且 n≥3,则方程 z +z -1=0 的模为 1 的虚根的个数为__________。

n+1

n

10.设(x2006+x2008+3)2007=a0+a1x+a2x2+?+anxn,则

+?

+a3k-

__________。

11.设复数 z1,z2 满足 z1?

,其中 A≠0,A∈C。证明:

(1)|z1+A|?|z2+A|=|A|2;

(2)

12.若 z∈C,且|z|=1,u=z4-z3-3z2i-z+1.求|u|的最大值和最小值,并求取得 最大值、最小值时的复数 z.

13.给定实数 a,b,c,已知复数 z1,z2,z3 满足



|az1+bz2+cz3|的值。

五、联赛一试水平训练题

1.已知复数 z 满足

则 z 的辐角主值的取值范围是__________。

2.设复数 z=cosθ +isinθ (0≤θ ≤π ),复数 z,(1+i)z,2 在复平面上对 应的三个点分别是 P,Q,R,当 P,Q,R 不共线时,以 PQ,PR 为两边的平行四 边形第四个顶点为 S,则 S 到原点距离的最大值为__________。

3.设复平面上单位圆内接正 20 边形的 20 个顶点所对应的复数依次为 z1,z2,?,z20,则复数 所对应的不同点的个数是__________。

4.已知复数 z 满足|z|=1,则|z+iz+1|的最小值为__________。

5.设
0

,z1=w-z,z2=w+z,z1,z2 对应复平面上的点 A,B,点 O 为

原点,∠AOB=90 ,|AO|=|BO|,则Δ OAB 面积是__________。

6. 设

, 则(x-w)(x-w3)(x-w7)(x-w9)的展开式为__________。

7.已知(

)m=(1+i)n(m,n∈N+),则 mn 的最小值是__________。

8.复平面上,非零复数 z1,z2 在以 i 为圆心,1 为半径的圆上,

?z2 的实

部为零,z1 的辐角主值为

,则 z2=__________。

9.当 n∈N,且 1≤n≤100 时,

的值中有实数__________个。

10.已知复数 z1,z2 满足

,且









的值是__________。

11.集合 A={z|z18=1},B={w|w48=1},C={zw|z∈A,w∈B},问:集合 C 中有多少 个不同的元素?

12.证明:如果复数 A 的模为 1,那么方程 的实根(n∈N+).

的所有根都是不相等

13.对于适合|z|≤1 的每一个复数 z,要使 0<|α z+β |<2 总能成立,试问: 复数α ,β 应满足什么条件?

六、联赛二试水平训练题

1.设非零复数 a1,a2,a3,a4,a5 满足

其中 S 为实数且|S|≤2,求证:复数 a1,a2,a3,a4,a5 在复平面上所对应的点位 于同一圆周上。

2.求证:



3. 已知 p(z)=zn+c1zn-1+c2zn-2+?+cn 是复变量 z 的实系数多项式, 且|p(i)|<1, 2 2 2 2 求证:存在实数 a,b,使得 p(a+bi)=0 且(a +b +1) <4b +1.

4.运用复数证明:任给 8 个非零实数 a1,a2,?,a8,证明六个数 a1a3+a2a4, a1a5+a2a6, a1a7+a2a8, a3a5+a4a6, a3a7+a4a8,a5a7+a6a8 中至少有一个是非负数。

5.已知复数 z 满足 11z10+10iz9+10iz-11=0,求证:|z|=1.

6.设 z1,z2,z3 为复数,求证:

|z1|+|z2|+|z3|+|z1+z2+z3|≥|z1+z2|+|z2+z3|+|z3+z1|。


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