当前位置:首页 >> 数学 >>

2014届高三数学(理)一轮专题复习课件 函数的单调性与最值


§2.3

函数的单调性与最值

[高考调研
考纲解读

明确考向]
考情分析

?利用函数的单调性求单调区间、比较大小、 ?理解函数的单调 性、最大值、最小 值及其几何意义. ?会运用函数的图像 理解和研究函数的 性质. 解不等式、求变量的取值是历年高考考查的 热点. ?利用函

数的单调性求最值,及利用它们求参 数取值范围问题是重点,也是难点. ?题型以选择题和填空题为主,与导数交汇命 题则会以解答题的形式出现.

知识梳理 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义:
增函数 减函数 一般地,设函数f?x?的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的 任意两个自变量的值x1,x2 定义
1 当x1<x2时,都有□__________, 2 当x1<x2时,都有□_______,

那么就说函数f(x)在区间D上是增函 那么就说函数f(x)在区间D上是 数 减函数

图像 描述
3 自左向右看图像是□____ 4 自左向右看图像是□____

(2)单调区间的定义:
5 6 若函数f(x)在区间D上是□ ________或□ __________,则

称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做f(x) 的单调区间.

(3)判断函数单调性的方法: ①根据定义;②根据图像;③利用已知函数的增减性;④ 利用导数;⑤复合函数单调性判定方法:在复合函数y=f(g(x)) 中,若u=g(x)在区间[a,b]上是单调增(减)函数,y=f(u)在区间 [g(a),g(b)]上(或在区间[g(b),g(a)]上)是单调增(减)函数,那么 复合函数y=f(g(x)) 在区间[a,b]上一定是单调函数,它的增减 性如下表

u=g(x) 增函数 增函数 减函数 减函数

y=f(u) 增函数 减函数 增函数 减函数

y=f(g(x)) 增函数 减函数 减函数 增函数

规律:“同增异减”.

2.函数的最值
前提 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 (1)对于任意x∈I,都有 条件
7 □________________; 8 (2)存在x0∈I,使得□ 9 (1)对于任意x∈I,都有□

________________;
10 (2)存在x0∈I,使得□

________________. 结论 M为最大值

________________. M为最小值

1 答案: □ f(x1)<f(x2) 下降的

2 3 4 □ f(x1)>f(x2) □ 上升的 □

5 6 7 8 □增函数 □减函数 □f(x)≤M □f(x0)=M

9 10 □f(x)≥M □f(x0)=M

名师微博 ●一个防范 函数的单调性是对某个区间而言的,所以要受到区间的 1 限制.例如函数y=x 分别在(-∞,0),(0,+∞)内都是单调 递减的,但不能说它在整个定义域即(-∞,0)∪(0,+∞) 内单调递减,只能分开写,即函数的单调减区间为(-∞,0) 和(0,+∞),不能用“∪”连接.

●两种形式 设任意x1,x2∈[a,b]且x1<x2,那么 f?x1?-f?x2? f?x1?-f?x2? ① >0?f(x)在[a,b]上是增函数; x1-x2 x1-x2 <0?f(x)在[a,b]上是减函数.

②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0?f(x)在[a,b]上是增函数;(x1 -x2)[f(x1)-f(x2)]<0?f(x)在[a,b]上是减函数.

●两条结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函 数在闭区间上单调时最值一定在端点取到. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.

●四种方法 函数单调性的判断方法 (1)定义法:取值、作差、变形、定号、下结论. (2)复合法:同增异减,即内外函数的单调性相同时,为 增函数,不同时为减函数. (3)导数法:利用导数研究函数的单调性. (4)图像法:利用图像研究函数的单调性.

基础自测 1.下列四个函数中,在(0,1)上为增函数的是( A.y=sinx
? 1? C.y=?2?x ? ?

)

B.y=-log2x D.y=x
- 1 2

? π π? 解析:∵y=sinx在?-2,2?上是增函数, ? ?

∴y=sinx在(0,1)上是增函数.

答案:A

2.已知函数f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3.若有f(a)= g(b),则b的取值范围为( A.[2- 2,2+ 2] C.[1,3] ) B.(2- 2,2+ 2) D.(1,3)

解析:函数f(x)的值域是(-1,+∞),要使得f(a)= g(b),必须使得-x2+4x-3>-1,即x2-4x+2<0,解得2 - 2<x<2+ 2.

答案:B

3.已知f(x)为R上的减函数,则满足f 的取值范围是( A.(-1,1) C.(-1,0)∪(0,1) ) B.(0,1)

??1?? ?? ?? ?? x ??

<f(1)的实数x

D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

?|x|<1, ?1? ? ? ? >1,不等式等价于 ? 解析:由已知条件: x ?x≠0, ? ? ?



得-1<x<1,且x≠0.

答案:C

4.函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是__________.

解析:要使y=log5(2x+1)有意义,则2x+1>0,即x> 1 1 - ,而y=log5u为(0,+∞)上的增函数,当x>- 时,u= 2 2
? 1 ? 2x+1也为增函数,故原函数的单调增区间是?-2,+∞?. ? ?

? 1 ? 答案:?-2,+∞? ? ?

2 5.若x>0,则x+ x的最小值为__________.

2 解析:∵x>0,则x+ x ≥2

2 x· =2 2 ,当且仅当x= x

2 2 x,即x= 2时,等号成立,因此x+x的最小值为2 2.

答案:2 2

考点一

判断函数的单调性

[例1]

x 试讨论函数f(x)= 2 的单调性. x +1

解析:方法一:f(x)的定义域为R,在定义域内任取x1< ?x1-x2??1-x1x2? x1 x2 x2,都有f(x1)-f(x2)= 2 - = 2 ,其中 x1+1 x2+1 ?x1+1??x2+1? 2 2
2 x1-x2<0,x2+1>0,x2+1>0. 1

①当x1,x2∈(-1,1)时,即|x1|<1,|x2|<1,∴|x1x2|<1, 则x1x2<1,1-x1x2>0,f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2), ∴f(x)为增函数.

②当x1,x2∈(-∞,-1]或[1,+∞)时,1-x1x2<0, f(x1)>f(x2),∴f(x)为减函数. 综上所述,f(x)在[-1,1]上是增函数,在(-∞,-1]和 [1,+∞)上是减函数.

? x ? x2+1-x?x2+1?′ 方法二:∵f′(x)=?x2+1?′= ? ? ?x2+1?2 ? ?

x2+1-2x2 1-x2 = 2 = 2 , ?x +1?2 ?x +1?2 ∴由f′(x)>0解得-1<x<1. 由f′(x)<0解得x<-1或x>1, ∴f(x)在[-1,1]上是增函数,在(-∞,-1]和[1,+∞) 上是减函数.

方法点睛

判断(或证明)函数单调性的主要方法有:①

函数单调性的定义;②观察函数的图像;③利用函数和、 差、积、商和复合函数单调性的判断法则;④利用函数的导 数等.

变式训练1 调性.

ax 讨论函数f(x)= (a≠0)在(-1,1)上的单 x-1

解析:设-1<x1<x2<1,f(x)=a
? 1 ? ? a?1+x-1?, ? ? ? ? 1 ? ? 1 ? ? ? ? f(x1)-f(x2)=a?1+x -1?-a?1+x -1? ? 1 2 ? ? ? ?

x-1+1 x-1



x2-x1 =a ?x1-1??x2-1?

当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),函数f(x)在(- 1,1)上递减; 当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),函数f(x)在(- 1,1)上递增.

考点二

利用已知函数的单调区间求参数的范围

[例2]

x2+a 已知函数f(x)= x (a>0)在(2,+∞)上递增,求

实数a的取值范围.

解析:方法一:设2<x1<x2,由已知条件f(x1)-f(x2)= x2+a x2+a x2-x1 x1x2-a 1 2 - =(x1-x2)+a =(x1-x2) <0恒成 x1 x2 x1x2 x1x2 立.即当2<x1<x2时,x1x2>a恒成立.又x1x2>4,则0< a≤4.

a a 方法二:f(x)=x+ x ,f′(x)=1- x2 >0得f(x)的递增区间 是(-∞,- a),( a,+∞),根据已知条件 a≤2,解得0 <a≤4.

方法点睛

已知函数的解析式,能够判断函数的单调

性,确定函数的单调区间;反之已知函数的单调区间可确定 函数解析式中参数的取值范围,可通过列不等式或解决不等 式恒成立问题进行求解.

变式训练2
?-x+3a ? ? x ?a ?

(1)(2013· 安庆检测)函数f(x)= (a>0且a≠1)是R上的减函数,则a的取

?x<0?, ?x≥0?, )

值范围是( A.(0,1)
? 1? C.?0,3? ? ?

?1 ? B.?3,1? ? ? ? 2? D.?0,3? ? ?

ax+1 (2)函数f(x)= 在区间(-2,+∞)上是递增的,求实 x+2 数a的取值范围.

解析:(1)据单调性定义,f(x)为减函数应满足
?0<a<1, ? ? ?3a≥a0, ?

1 即3≤a<1.

ax+1 a?x+2?+1-2a 1-2a (2)方法一:f(x)= = = +a.任 x+2 x+2 x+2 取x1,x2∈(-2,+∞),且x1<x2, 1-2a 1-2a ?1-2a??x2-x1? 则f(x1)-f(x2)= - = . x1+2 x2+2 ?x1+2??x2+2?

ax+1 ∵函数f(x)= 在区间(-2,+∞)上为增函数, x+2 ∴f(x1)-f(x2)<0. 1 ∵x2-x1>0,x1+2>0,x2+2>0,∴1-2a<0,a> . 2
?1 ? 即实数a的取值范围是?2,+∞?. ? ?

2a-1 方法二:f′(x)= . ?x+2?2 ∵f(x)在区间(-2,+∞)上递增, 2a-1 ∴f′(x)= >0(x∈(-2,+∞)). ?x+2?2
?1 ? ∴2a-1>0,即a∈?2,+∞?. ? ?

答案:(1)B

?1 ? (2)?2,+∞? ? ?

考点三

求函数的单调区间

[例3]

求出下列函数的单调区间:

(1)f(x)=x2-4|x|+3; (2)f(x)=|x2-4x+3|; (3)f(x)=log2(x2-1).

解析:(1)f(x)=x2-4|x|+3=

?x2-4x+3,x≥0, ? ? 2 ?x +4x+3,x<0, ?

于是

可得函数f(x)=x2-4|x|+3的图像,如图①所示. 由图①可知,函数的增区间为[-2,0),(2,+∞),减区 间为(-∞,-2),[0,2].

(2)先作出函数y=x2-4x+3的图像,由于绝对值的作 用,把x轴下方的部分翻折到上方,可得函数的图像.如图 ②所示. 由图可知,函数的增区间为[1,2],(3,+∞),减区间为 (-∞,1),(2,3]. (3)由x2-1>0,得函数的定义域为{x|x>1或x<-1}.

令u(x)=x2-1,则u(x)的图像如图③所示.

由图像知,u(x)在(-∞,-1)上是减函数,在(1,+∞) 上是增函数. 而f(u)=log2u是增函数. 故f(x)=log2(x2-1)的单调增区间是(1,+∞), 单调减区间是(-∞ ,-1).

方法点睛

函数的单调区间的求法:求函数的单调区间

首先应注意函数的定义域,函数的增减区间都是其定义域的 子集;其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调 区间.常用方法:根据定义、利用图像和单调函数的性质, 还可以利用导数.

变式训练3

(1)(2013· 温州月考)函数f(x)=ln(4+3x-x2) )
?3 ? B.?2,+∞? ? ? ?3 ? D.?2,4? ? ?

的单调递减区间是(
? 3? A.?-∞,2? ? ? ? 3? C.?-1,2? ? ?

(2)(2012· 长沙模拟)设函数y=f(x)在(-∞,+∞)内有定 义.对于给定的正数k,定义函数fk(x)= 函数f(x)=2
-|x|

?f?x?,f?x?≤k, ? ? ?k,f?x?>k ?

取 )

1 .当k=2时,函数fk(x)的单调递增区间为( B.(0,+∞) D.(1,+∞)

A.(-∞,0) C.(-∞,-1)

解析:(1)函数f(x)的定义域是(-1,4),u(x)=-x2+3x+4
? ?3 ? 3?2 25 =-?x-2? + 的减区间为?2,4?. 4 ? ? ? ? ?3 ? ∵e>1,∴函数f(x)的单调减区间为?2,4?. ? ?

??1?|x| ??2? ,?x≤-1或x≥1?, 1 ? ? (2)f 2 (x)= ? ?1,?-1<x<1?. ?2 如图所示.

1 画出f 2 (x)的图像,

1 由图像可知,f (x)的单调增区间为(-∞,-1). 2

答案:(1)D (2)C

考点四

利用函数的单调性求最值

[例4]

x2+2x+a 已知函数f(x)= ,x∈[1,+∞). x

(1)当a=4时,求f(x)的最小值; 1 (2)当a=2时,求f(x)的最小值; (3)若a为正常数时,求f(x)的最小值.

4 解析:(1)当a=4时,f(x)=x+ x+2.
2 4 x -4 ∵f′(x)=1-x2= x2 ,

∴f(x)在[1,2]上是减函数,在(2,+∞)上是增函数. ∴f(x)min=f(2)=6.

1 1 (2)当a=2时,f(x)=x+2x+2. 易知,f(x)在[1,+∞)上为增函数. 7 ∴f(x)min=f(1)=2. a (3)函数f(x)=x+ x+2在(0, a]上是减函数, 在[ a,+∞)上是增函数.

若 a>1,即a>1时,f(x)在区间[1,+∞)上先减后增, f(x)min=f( a)=2 a+2. 若 a ≤1,即0<a≤1时,f(x)在区间[1,+∞)上是增函 数, ∴f(x)min=f(1)=a+3.

方法点睛 求函数最值的常用方法:①单调性法:先定 函数的单调性,再由单调性求最值.②图像法:先作出函数 在给定区间上的图像,再观察其最高、最低点,求出最 值.③基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二 定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.④导数法:先 求导,然后求在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出 最值.⑤换元法:对较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的 函数,再用相应的方法求最值.

变式训练4 ( ) A.1 25 C. 12

4x2+8x+13 (1)函数y= (x>-1)的最小值是 6?1+x?

B.2 13 D. 6

(2)(2013· 邵武月考)定义新运算⊕:当a≥b时,a⊕b= a;当a<b时,a⊕b=b2,则函数f(x)=(1⊕x)x-(2⊕x),x∈ [-2,2]的最大值等于( A.-1 C.6 ) B.1 D.12

4t2+9 2 3 解析:(1)令x+1=t,则原式化为y= 6t = 3 t+ 2t ≥2. 3 1 当且仅当t=2,即x=2时,ymin=2.故应选B. (2)由题意知,当-2≤x≤1时,f(x)=x-2; 当1<x≤2时,f(x)=x3-2. 又∵f(x)=x-2,f(x)=x3-2在定义域上都为增函数, ∴f(x)在[-2,2]上的最大值为f(2)=23-2=6.
答案:(1)B (2)C

考点五

抽象函数的单调性与最值

[例5]

已知函数f(x)对于任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x

2 +y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-3. (1)求证:f(x)在R上是减函数; (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.

解析:(1)证明: 方法一:∵函数f(x)对于任意x,y∈R总有f(x)+f(y)=f(x +y),∴令x=y=0,得f(0)=0. 再令y=-x,得f(-x)=-f(x). 在R上任取x1>x2,则x1-x2>0,f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(- x2)=f(x1-x2). 又∵x>0时,f(x)<0,而x1-x2>0, ∴f(x1-x2)<0,即f(x1)<f(x2). 因此,f(x)在R上是减函数.

方法二:设x1>x2,则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)= f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2). 又∵x>0时,f(x)<0,而x1-x2>0, ∴f(x1-x2)<0,即f(x1)<f(x2), ∴f(x)在R上为减函数.

(2)∵f(x)在R上是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上也是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值分别为f(-3)与f(3). ∵f(3)=3f(1)=-2,f(-3)=-f(3)=2. ∴f(x)在[-3,3]上的最大值为2,最小值为-2.

方法点睛

对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单

调性的定义,结合题目所给性质和相应的条件,对任意x1, f?x1? x2在所给区间内比较f(x1)-f(x2)与0的大小,或 与1的大 f?x2? x1 小.有时根据需要,需作适当的变形:如x1=x2· 或x1=x2+ x2 x1-x2等.

变式训练5

已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足

?x1? f?x ?=f(x1)-f(x2),且当x>1时,f(x)<0. ? 2?

(1)求f(1)的值; (2)判断f(x)的单调性; (3)若f(3)=-1,求f(x)在[2,9]上的最小值.

解析:(1)令x1=x2>0,代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故 f(1)=0. x1 (2)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,则 >1. x2 由于当x>1时,f(x)<0,所以f 0,因此f(x1)<f(x2), 所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数.
?x1? ? ? ?x2?

<0,即f(x1)-f(x2)<

(3)∵f(x)在(0,+∞)上是单调递减函数, ∴f(x)在[2,9]上的最小值为f(9).
?x1? ?9? 由f?x ?=f(x1)-f(x2)得,f?3?=f(9)-f(3), ? 2? ? ?

而f(3)=-1,所以f(9)=-2, ∴f(x)在[2,9]上的最小值为-2.

易错矫正(六) [试题]

忽视隐含条件致误 是(-∞,+

??3a-1?x+4a,x<1, ? 已知f(x)= ? ?logax,x≥1 ?

∞)上的减函数,那么a的取值范围是( A.(0,1)
? 1? B.?0,3? ? ? ?1 1? C.?7,3? ? ?

)
?1 ? D.?7,1? ? ?

错解:选B 错因:误选B项的原因只是考虑到了使得各段函数在相 应定义域内为减函数的条件,要知道函数在R上为减函数, 还需使得f(x)=(3a-1)x+4a在x<1上的最小值不小于f(x)= logax在x≥1上的最大值,多数考生易漏掉这一限制条件而造 成失误.

正解:据题意使原函数在定义域R上为减函数,只需满 足: ?3a-1<0, ? ?0<a<1, ??3a-1?×1+4a≥log 1 ? a 1 1 ? ≤a< .故选C. 7 3

答案:C

点评:一般地,若函数f(x)在区间[a,b)上为增函数,在 区间[b,c]上为增函数,则不一定说明函数f(x)在[a,c]为增

函数,如图:

,由图像可知函数f(x)在[a,c]

上整体不呈上升趋势,故此时不能说f(x)在[a,c]上为增函

数,若图像满足如图:

,即可说明函数在

[a,c]上为增函数,即只需f(x)在[a,b)上的最大值不大于f(x) 在[b,c]上的最小值即可,同理减函数的情况依据上述思路 也可推得相应结论.


相关文章:
2014届高三数学一轮复习《函数的单调性与最值》理 新人...
搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 ...2014届高三数学一轮复习函数的单调性与最值》理 新人教B版_数学_高中教育_...
2014届高考数学(理)一轮复习专题集训:函数的单调性与最值
搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 ...2014届高考数学(理)一轮复习专题集训:函数的单调性与最值_数学_高中教育_教育...
2014届高三数学(理)一轮复习课后作业(六) 函数的单调性...
2014届高三数学(理)一轮复习课后作业(六) 函数的单调性与最大(小)值 隐藏>> 课后作业(六) 函数的单调性与最大(小) 值 一、选择题 1 1.(2013· 汕头模...
...数学一轮复习检测:《函数的单调性与最值》
一轮效果监测】2014届高考数学一轮复习检测:《函数的单调性与最值》_数学_高中...(- , +2), 所以 =-a,得 a=2;如右图所示,同理可求得 a=-2.综上...
高三数学一轮复习:函数的单调性与最值(或值域)
高三数学一轮复习分类汇编 3:函数的单调性与最值(或值域)一、填空题 1 . (...3 . (江苏省阜宁中学 2014 届高三第一次调研考试数学 (理) 试题) 若函数 ...
2014届高考数学(理)第一轮复习学案——函数的单调性与...
搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 ...2014届高考数学(理)一轮复习学案——函数的单调性与最值_学科竞赛_高中教育...
2014届高三数学一轮复习教案(函数)
搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...2014届高三数学一轮复习教案(函数)_数学_高中教育_...4.理解函数的单调性,会讨论和证明一些简单的函数的...
2014届高三数学(理科)第一轮复习计划
2014届高三数学(理科)第一轮复习计划_数学_高中教育...结合上一年的新课改区高考数 学评价报告,对《课程...函数的单调性与最值 2014 年第1周 9月1日 至7...
2015级高考第一轮复习数学函数的单调性与最值
2015级高考第一轮复习数学函数的单调性与最值_高三数学_数学_高中教育_教育专区...[A 组 基础演练· 能力提升] 一、选择题 1.(2014 年威海模拟)下列函数中既...
2017届高三一轮复习---2.2 函数的单调性与最值
2017届高三一轮复习---2.2 函数的单调性与最值_数学_高中教育_教育专区。2...1, 练习: (1) 【2015 新课标 II 理-5】设函数 f ( x) ? ? x ?1 ...
更多相关标签: