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3.一元二次不等式解法问题


高考数学考点—不等式

一元二次不等式的解法
一. 知识要点: 1. 一元二次不等式的相关概念 (1) 定义: 只含有一个未知数, 并且未知数最高次数是 2 的整式不等 式.
? c ? 0 ( 或 ax2 ? bx ? c ? 0 或 ax2 ? bx ? c ? 0 或 (2) 一 般 式 : 形 如 a x2 ? b x
a

x2 ? bx ? c ? 0 )( a ? 0 ), 其中 a, b, c 为常数.

(3) 解与解集 使一元二次不等式成立的 x 的值叫做一元二次不等式的解, 所有 的解所组成的集合叫做一元二次不等式的解集. 2. 一元二次不等式的解法 在 a ? 0 的条件下,把一元二次不等式的解与相应的二次函数及一 元二次方程结合起来讨论,相关结果如下表:
判别式 ?

? b2 ? 4ac

??0

??0

??0

二次函数

y ? ax2 ? bx ? c

( a ? 0 )的图像
一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 没有实数根

ax2 ? bx ? c ? 0

x1 , x2
( x1 ? x2 )

x1 ? x2 ? ?

b 2a

( a ? 0 )的根
一元二次不等式

? x x ? x or x ? x ?
1 2

? x x ? x1?

?x x ? ? ?

ax ? bx ? c ? 0
2

( a ? 0 )的解集
1

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一元二次不等式

?x x

1

? x ? x2 ?

?

?

ax2 ? bx ? c ? 0

( a ? 0 )的解集 强调: 对于 a ? 0 情况, 可以类似讨论得出对应的结论。也可以将原不 等式两边同乘 ?1 转化为上面大于零的情形来分析求解。 此外, 题目往 往隐含此类问题的条件,比如 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集为 ? x m ? x ? n? , 此时 必有条件 a ? 0 成立。

3. 分式不等式的解法 (1) (2) (3) (4)
f ( x) ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0. g ( x) f ( x) ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0. g ( x)

? f ( x) g ( x) ? 0, f ( x) ?0?? ? f ( x) g ( x) ? 0 or f ( x) ? 0. g ( x) ? g ( x) ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0, f ( x) ?0?? ? f ( x) g ( x) ? 0 or f ( x) ? 0. g ( x) ? g ( x) ? 0

二. 解题思路: 解一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 or ax2 ? bx ? c ? 0 : 当 a ? 0 时, 结合判别式的情况, 且画出草图可直接写出解集,具体参 考上表. 当 a ? 0 时, 情况类似,或把系数化为正的情形来看. 此类问题关键,学会快速准确画出草图,分析相关问题.

2

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三.求解步骤 ① 将不等式化为右边为 0, 左边为二次项系数大于 0 的不等式
ax2 ? bx ? c ? 0 or ax2 ? bx ? c ? 0 , 其中 a ? 0.

② 求出对应一元二次方程的根. ③ 结合二次函数的图像与 x 轴的交点确定一元二次不等式的解集. 另外, 对于分式不等式, 则应该先把其化为整式不等式, 再按上述方 法求解.

四. 高考题演练 1. (重庆高考) 不等式 A. (1, ??)
x ?1 ? 0 的解集为( x?2

). 提示 1 D. (??, ?2)?(1, ??)

B. (??, ?2)

C. (?2,1)

2. ( 江 苏 高 考 ) 已 知 f ( x) 是 定 义 在 ? 上 的 奇 函 数 . 当 x ? 0 时 ,
f ( x) ? x2 ? 4x , 则不等式 f ( x) ? x 的解集用区间表示为

.

提示 2 3. (广东高考) 不等式 2 x 2 ? x ? 1 ? 0 的解集是( A. ( ? ,1)
1 2

). 提示 3 D. (??, ? )? (1, ??)
1 2

B. (1, ??)

C. (??,1)?(2, ??)

4. (广东高考) 不等式 A.

x?3 ? 0 的解集是( x?2

). 提示 4

? x ?2 ? x ? 3?

B. ? x x ? ?2? D. ? x x ? 3?
x ?1 ? 3 的解集是 x
3

C. ? x x ? ?2 or x ? 3? 5. (广东高考) 不等式

. 提示 5

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6. (湖南高考) 不等式 x 2 ? 5x ? 6 ? 0 的解集为 7. (上海高考) 不等式 ? 1 的解为 8. (上海高考) 不等式
2? x ? 0 的解集是 x?4 1 x

. 提示 6 . 提示 7 . 提示 8 . 提示 9

9. (广东高考) 不等式 x2 ? x ? 2 ? 0 的解集为

4

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参考答案: 提示 1:(等价转化)
x ?1 ? 0 ? ( x ? 1)( x ? 2) ? 0 ? 答案选 C. x?2
? x 2 ? 4 x, 提示 2:奇函数延拓 f ( x) ? ? ?0, ? ? x 2 ? 4 x, ? x?0 x ? 0 , 故分别解三种情况下的 x?0

目标不等式, 可知解集 (?5,0)?(5, ??) . 提示 3: (2 x ? 1)( x ? 1) ? 0 ? x ? 1 or x ? ? ? 选 D. 提示 4: 提示 5:
x ?3 ? 0 ? ( x ? 2)( x ? 3) ? 0 ? ?2 ? x ? 3. x?2 1 2

? x(1 ? 2 x) ? 0 x ?1 x ? 1 ? 3x 1? 2x 1 ?3? ?0? ?0?? ? x ? 0 or x ? . x x x 2 ?x ? 0

提示 6: x2 ? 5x ? 6 ? 0 ? ( x ? 2)( x ? 3) ? 0 ? 2 ? x ? 3. 提示 7: 提示 8:
1 1 1? x ? 1 ? ?1 ? 0 ? ? 0 ? x( x ? 1) ? 0 ? x ? 0 or x ? 1. x x x 2? x x?2 ?0? ? 0 ? ( x ? 2)( x ? 4) ? 0 ? ?4 ? x ? 2. x?4 x?4

提示 9: x 2 ? x ? 2 ? 0 ? ( x ? 2)( x ? 1) ? 0 ? 原不等式的解集 ? x - 2< x ? 1?.

5


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