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高中数学选修2-2推理与证明复数部分复习题模板教师版王斌


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高中数学选修 2-2 推理与证明复数部分复习题汇编
一、选择题 1、已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n an(n≥2),而 a1=1,通过计算 a2,a3,a4,猜想 an 等于( )
2

[解析] 观察特例的规律知:位臵相同的数字都是以 4 为公差的等差数列,由 234 可 知从 2010 到 2012 为↑→,故应选 C. 3、观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cosx)′=-sinx,由归纳推理可得:若定义在 R 上 的函数 f(x)满足 f(-x)=f(x),记 g(x)为 f(x)的导函数,则 g(-x)=( A.f(x) B.-f(x) C.g(x) D.-g(x) [答案] D [解析] 本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容,由例子可看出偶函数求导后都变 成了奇函数, ∴g(-x)=-g(x),选 D,体现了对学生观察能力,概括归纳推理的能力的考查. )

学号_____________

2 A. (n+1)2 2 B. n(n+1) 2 C. n 2 -1 2 D. 2n-1 [答案] B [解析] 因为 Sn=n an,a1=1, 1 2 所以 S2=4a2=a1+a2?a2= = , 3 3×2 a1+a2 1 2 S3=9a3=a1+a2+a3?a3= = = , 8 6 4×3 S4=16a4=a1+a2+a3+a4 a1+a2+a3 1 2 ?a4= = = . 15 10 5×4 2 所以猜想 an= ,故应选 B. n(n+1) 2、n 个连续自然数按规律排列下表:
2

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2013 年 3 月

4.根据给出的数塔猜测 123456×9+7 等于( 1×9+2=11

)

12×9+3=111 123×9+4=1111 1234×9+5=11111 12345×9+6=111111 ? A.1111110 B.1111111 C.1111112 D.1111113 [答案] B

班级

姓名

根据规律,从 2010 到 2012 箭头的方向依次为( A.↓→ B.→↑ C.↑→ D.→↓ [答案] C

)

[解析] 根据规律应为 7 个 1,故应选 B. 5、把 1、3、6、10、15、21、?这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点子可 以排成一个正三角形(如下图),

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1 B.V= Sh 3 1 C.V= (S1+S2+S3+S4)r,(S1、S2、S3、S4 分别为四面体四个面的面积,r 为四面体 3 内切球的半径) 试求第七个三角形数是( A.27 B.28 C.29 D.30 [答案] B n(n+1) [解析] 观察归纳可知第 n 个三角形数共有点数:1+2+3+4+?+n= 个, 2 7×(7+1) ∴第七个三角形数为 =28. 2 6、下面几种推理是合情推理的是( ①由圆的性质类比出球的有关性质 ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是 180° ,归纳出所有三角形的内 角和都是 180° ③教室内有一把椅子坏了,则该教室内的所有椅子都坏了 ④三角形内角和是 180° ,四边形内角和是 360° ,五边形内角和是 540° ,由此得出凸 多边形的内角和是(n-2)· 180° A.①② B.①③④ C.①②④ D.②④ [答案] C [解析] ①是类比推理;②④都是归纳推理,都是合情推理. 1 7、三角形的面积为 S= (a+b+c)· r,a、b、c 为三角形的边长,r 为三角形内切圆的 2 半径,利用类比推理,可以得到四面体的体积为( 1 A.V= abc 3
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)

学号_____________

1 D.V= (ab+bc+ac)h(h 为四面体的高) 3 [答案] C [解析] 边长对应表面积,内切圆半径应对应内切球半径.故应选 C. 8、类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推知正四面体的下 列哪些性质,你认为比较恰当的是( )

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①各棱长相等,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 ②各个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二面角都相等 ③各个面都是全等的正三角形,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 A.①

)

B.①② C.①②③ D.③ [答案] C [解析] 正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比,正四面体的相邻两面成的二面

姓名

角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比,故①②③都对. 9、类比三角形中的性质: (1)两边之和大于第三边 (2)中位线长等于底边的一半 (3)三内角平分线交于一点 可得四面体的对应性质: (1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积 1 (2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于第四个面面积的 4 (3)四面体的六个二面角的平分面交于一点 其中类比推理方法正确的有( A.(1)
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班级

)

)

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B.(1)(2) C.(1)(2)(3) D.都不对 [答案] C [解析] 以上类比推理方法都正确,需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比 推理方法是否正确并不等价,方法正确结论也不一定正确. 10、六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体.如图甲,在平行四边形 ABD 中,有 AC2+BD2=2(AB2+AD2),那么在图乙中所示的平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中, AC2+BD2+CA2+DB2等于( 1 1 1 1 )

[解析] 结合实数的运算知 C 是正确的. 12、 “∵四边形 ABCD 是矩形,∴四边形 ABCD 的对角线相等” ,补充以上推理的大前 提是( )

A.正方形都是对角线相等的四边形 B.矩形都是对角线相等的四边形 C.等腰梯形都是对角线相等的四边形 D.矩形都是对边平行且相等的四边形 [答案] B [解析] 由大前提、小前提、结论三者的关系,知大前提是:矩形是对角线相等的四 边形.故应选 B. 1 13、 “因对数函数 y=logax(x>0)是增函数(大前提),而 y=log x 是对数函数(小前提), 3 1 所以 y=log x 是增函数(结论)” .上面推理的错误是( 3 )

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2 A.2(AB2+AD2+AA1)

A.大前提错导致结论错 B.小前提错导致结论错 C.推理形式错导致结论错 D.大前提和小前提都错导致结论错 [答案] A [解析] 对数函数 y=logax 不是增函数,只有当 a>1 时,才是增函数,所以大前提是 错误的. 14、 “10 是 5 的倍数,15 是 5 的倍数,所以 15 是 10 的倍数”上述推理( A.大前提错 C. ) B.小前提错 C.推论过程错 D.正确 [答案] C [解析] 大小前提正确,结论错误,那么推论过程错.故应选 C. 15、命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数” 是假命题,推理错误的原因是( A.使用了归纳推理
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B.3(AB2+AD2+AA2) 1 C.4(AB +AD
2 2 2

+AA2) 1

D.4(AB +AD ) [答案] C [解析]
2 AC2+BD2+CA1+DB2 1 1 1

2

姓名

2 =(AC1+CA2)+(BD2+DB2) 1 1 1 2 =2(AA2+AC2)+2(BB1+BD2) 1

)

=4AA2+2(AC2+BD2) 1 =4AA2+4AB2+4AD2,故应选 1 11、下面类比推理中恰当的是(

班级

A.若“a· 3=b· 3,则 a=b”类比推出“若 a· 0=b· 0,则 a=b” B. “(a+b)c=ac+bc”类比推出“(a· b)c=ac· bc” a+b a b C. “(a+b)c=ac+bc”类比推出“ = + (c≠0)” c c c D. “(ab)n=anbn”类比推出“(a+b)n=an+bn” [答案] C

)

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B.使用了类比推理 C.使用了“三段论” ,但大前提使用错误 D.使用了“三段论” ,但小前提使用错误 [答案] D [解析] 应用了“三段论”推理,小前提与大前提不对应,小前提使用错误导致结论 错误. 1 16、证明命题“f(x)=ex+ x在(0,+∞)上是增函数” ,一个同学给出的证法如下: e 1 1 ∵f(x)=ex+ x,∴f′(x)=ex- x. e e 1 ∵x>0,∴e >1,0< x<1 e
x

(

) A.假设三内角都不大于 60° B.假设三内角都大于 60° C.假设三内角至多有一个大于 60° D.假设三内角至多有两个大于 60° [答案] B [解析] “至少有一个不大于”的否定是“都大于 60° .故应选 B. ” 1 1 1 19、设 a,b,c?(-∞,0),则三数 a+ ,c+ ,b+ 中( b a c A.都不大于-2 B.都不小于-2 C.至少有一个不大于-2 D.至少有一个不小于-2 )

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1 ∴ex- x>0,即 f′(x)>0, e ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数,他使用的证明方法是( A.综合法 C.反证法 [答案] A [解析] 该证明方法符合综合法的定义,应为综合法.故应选 A. 17、分析法又叫执果索因法,若使用分析法证明:设 a>b>c,且 a+b+c=0,求证: b -ac< 3a 索的因应是( A.a-b>0 C.(a-b)(a-c)>0 [答案] C [解析] 要证 b2-ac< 3a 只需证 b2-ac<3a2 只需证 b2-a(-b-a)<3a2 只需证 2a2-ab-b2>0. 只需证(2a+b)(a-b)>0, 只需证(a-c)(a-b)>0. 故索的因应为 C. 18、用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于 60° ”时,反设正确的是
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2

)

[答案] C 1 1 1 [解析] ?a+b?+?c+a?+?b+c? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 =?a+a?+?b+b?+?c+c? ? ? ? ? ? ? ∵a,b,c∈(-∞,0), 1 1 ∴a+ =-?-a+?-a??≤-2 ? ? ?? a 1 1 b+ =-?-b+?-b??≤-2 ? ? ?? b 1 1 c+ =-?-c+?-c??≤-2 ? ? ?? c 1 1 1 ∴?a+b?+?c+a?+?b+c?≤-6 ? ? ? ? ? ? 1 1 1 ∴三数 a+ 、c+ 、b+ 中至少有一个不大于-2,故应选 C. b a c 1 1 1 20、用数学归纳法证明 1+ + +?+ n <n(n?N*,n>1)时,第一步应验证不等式 2 3 2 -1 ( ) 1 A.1+ <2 2
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B.分析法 D.以上都不是

姓名

) B.a-c>0 D.(a-b)(a-c)<0

班级

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1 1 B.1+ + <2 2 3 1 1 C.1+ + <3 2 3 1 1 1 D.1+ + + <3 2 3 4 [答案] B 1 1 [解析] ∵n∈N*,n>1,∴n 取第一个自然数为 2,左端分母最大的项为 2 = , 2 -1 3 故选 B. 1 1 1 21、设 f(n)= + +?+ (n?N*),那么 f(n+1)-f(n)等于( 2n n+1 n+2 1 1 A. B. 2n+1 2n+2 1 1 1 1 C. + D. - 2n+1 2n+2 2n+1 2n+2 [答案] D [解析] f(n+1)-f(n) 1 1 1 1 1 =?(n+1)+1+(n+1)+2+?+2n+2n+1+2(n+1)? ) C.

A.假设 n=k(k?N*),证明 n=k+1 时命题也成立 B.假设 n=k(k 是正奇数),证明 n=k+1 时命题也成立 C.假设 n=k(k 是正奇数),证明 n=k+2 时命题也成立 D.假设 n=2k+1(k?N),证明 n=k+1 时命题也成立 [答案] C [解析] ∵n 为正奇数,当 n=k 时,k 下面第一个正奇数应为 k+2,而非 k+1.故应选

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24、已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2an(n≥2),而 a1=1,通过计算 a2、a3、a4,猜想 an=( )

2 A. (n+1)2 2 B. n(n+1) 2 C. n 2 -1 2 D. 2n-1

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?

?

[答案] B [解析] 由 Sn=n2an 知 Sn+1=(n+1)2an+1 ∴Sn+1-Sn=(n+1)2an+1-n2an ∴an+1=(n+1)2an+1-n2an

姓名

1 1 1 1 1 1 -?n+1+n+2+?+2n?= ? ? 2n+1+2(n+1)-n+1 1 1 = - . 2n+1 2n+2 22、某个命题与自然数 n 有关,若 n=k(k?N )时,该命题成立,那么可推得 n=k+1 时该命题也成立.现在已知当 n=5 时,该命题不成立,那么可推得( A.当 n=6 时该命题不成立 B.当 n=6 时该命题成立 C.当 n=4 时该命题不成立 D.当 n=4 时该命题成立 [答案] C [解析] 原命题正确,则逆否命题正确.故应选 C. 23、用数学归纳法证明命题“当 n 是正奇数时,x +y 能被 x+y 整除” ,在第二步的 证明时,正确的证法是( )
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n n *

n ∴an+1= a n+2 n

(n≥2).

)

a1 1 当 n=2 时,S2=4a2,又 S2=a1+a2,∴a2= = 3 3 2 1 3 1 a3= a2= ,a4= a3= . 4 6 5 10 1 1 1 由 a1=1,a2= ,a3= ,a4= 3 6 10 2 猜想 an= ,故选 B. n(n+1) 25、对于不等式 n2+n≤n+1(n?N+),某学生的证明过程如下: (1)当 n=1 时, 12+1≤1+1,不等式成立.
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班级

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(2)假设 n=k(k?N+)时, 不等式成立, k2+k<k+1, n=k+1 时, (k+1)2+(k+1) 即 则 = k2+3k+2< (k2+3k+2)+(k+2)= (k+2)2=(k+1)+1, ∴当 n=k+1 时,不等式成立,上述证法( A.过程全都正确 B.n=1 验证不正确 C.归纳假设不正确 D.从 n=k 到 n=k+1 的推理不正确 [答案] D [解析] n=1 的验证及归纳假设都正确,但从 n=k 到 n=k+1 的推理中没有使用归 纳假设,而通过不等式的放缩法直接证明,不符合数学归纳法的证题要求.故应选 D. 26、用数学归纳法证明(n+1)(n+2)(n+3)?(n+n)=2n· 3· (2n-1)(n?N*)时,从 n 1· ?· =k 到 n=k+1,左端需要增加的代数式为( A.2k+1 B.2(2k+1) 2k+1 C. k+1 2k+3 D. k+1 [答案] B [解析] 当 n=k 时上式为(k+1)(k+2)?(k+k)=2k· 3?· 1· (2k-1), 当 n=k+1 时原式左边为[(k+1)+1][(k+1)+2]?[(k+1)+(k+1)] =(k+2)(k+3)?(k+k)(2k+1)(2k+2) =2(k+1)(k+2)(k+3)?(k+k)(2k+1) 所以由 k 增加到 k+1 时,可两边同乘以 2(2k+1).故应选 B. 27、下列命题中: ①若 a?R,则(a+1)i 是纯虚数; ②若 a,b?R 且 a>b,则 a+i3>b+i2; ③若(x2-1)+(x2+3x+2)i 是纯虚数,则实数 x=± 1; ④两个虚数不能比较大小. 其中,正确命题的序号是( ) ) )

A.① B.② C.③ D.④ [答案] D [分析] 由复数的有关概念逐个判定. [解析] 对于复数 a+bi(a,b∈R),当 a=0,且 b≠0 时为纯虚数.在①中,若 a=- 1,则(a+1)i 不是纯虚数,故①错误;在③中,若 x=-1,也不是纯虚数,故③错误;a +i3=a-i,b+i2=b-1,复数 a-i 与实数 b-1 不能比较大小,故②错误;④正确.故 应选 D. 28、若复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a?R)不是纯虚数,则( A.a=-1 B.a≠-1 且 a≠2 C.a≠-1 D.a≠2 [答案] C [解析] 若复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i 不是纯虚数,则有 a2-a-2≠0 或|a-1|-1 =0,解得 a≠-1.故应选 C. 29、下列命题中假命题是( A.复数的模是非负实数 B.复数等于零的充要条件是它的模等于零 C.两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件 D.复数 z1>z2 的充要条件是|z1|>|z2| [答案] D [解析] ①任意复数 z=a+bi(a、b∈R)的模|z|= a2+b2≥0 总成立.∴A 正确;
? ?a=0 ②由复数相等的条件 z=0?? .?|z|=0,故 B 正确; ?b=0 ?

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)

姓名

)

班级

③若 z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1、b1、a2、b2∈R) 若 z1=z2,则有 a1=a2,b1=b2,∴|z1|=|z2| 反之由|z1|=|z2|,推不出 z1=z2,
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如 z1=1+3i,z2=1-3i 时|z1|=|z2|,故 C 正确; ④不全为零的两个复数不能比较大小,但任意两个复数的模总能比较大小,∴D 错. 30、已知复数 z=(x-1)+(2x-1)i 的模小于 10,则实数 x 的取值范围是( 4 A.- <x<2 5 B.x<2 4 C.x>- 5 4 D.x=- 或 x=2 5 [答案] A [解析] 由题意知(x-1) +(2x-1) <10, 4 解之得- <x<2.故应选 A. 5 31、如果一个复数与它的模的和为 5+ 3i,那么这个复数是( 11 A. 5 B. 3i 11 C. + 3i 5 11 D. +2 3i 5 [答案] C [解析] 设这个复数为 a+bi(a,b∈R), 则|a+bi|= a +b . 由题意知 a+bi+ a2+b2=5+ 3i 即 a+ a2+b2+bi=5+ 3i
2 2 2 2

B.4+8i C.4-8i D.1+4i [答案] C [解析] 对应的复数为(3+4i)-(4+i)=(3-4)+(4-1)i=-1+3i, 设点 D 对应的复数为 z,则对应的复数为(3-5i)-z. 由平行四边形法则知=, ∴-1+3i=(3-5i)-z, ∴z=(3-5i)-(-1+3i)=(3+1)+(-5-3)i=4-8i.故应选 C. 33、i 是虚数单位, 1 3 A. - i 4 12 ) 1 3 B. + i 4 12 1 3 C. + i 2 6 1 3 D. - i 2 6 [答案] B [解析] i( 3-3i) i = 3+3i ( 3+3i)( 3-3i) i =( 3+3i )

)

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姓名

学号_____________

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3+ 3i 1 3 = = + i,故选 B. 12 4 12 z+2 34、已知 z 是纯虚数, 是实数,那么 z 等于( 1-i A.2i B.i C.-i D.-2i [答案] D ) [解析] 本小题主要考查复数的运算.
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)

班级

?a+ a +b =5 11 ∴? ,解得 a= ,b= 3. 5 ?b= 3
2 2

11 ∴所求复数为 + 3i.故应选 C. 5 32、 ?ABCD 中, A, C 分别对应复数 4+i,3+4i,3-5i, 点 B, 则点 D 对应的复数是( A.2-3i
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z+2 2+bi 2-b b+2 设 z=bi(b∈R),则 = = + i, 2 2 1-i 1-i ∴ b+2 =0,∴b=-2, 2

C.± 1 D.± i [答案] D [解析] 本题主要考查复数的运算. 设 z=a+bi(a,b∈R),则 z =a-bi, )
? ? ?2a=4 ?a=2 由 z+ z =4,z z =8 得? 2 ∴? 2 ?a +b =8 ?b=± 2 ? ?

∴z=-2i,故选 D. 1+7i 35、i 是虚数单位,若 =a+bi(a,b?R),则乘积 ab 的值是( 2-i A.-15 B.-3 C.3 D.15 [答案] B [解析] 本题考查复数的概念及其简单运算. 1+7i (1+7i)(2+i) -5+15i = = =-1+3i=a+bi, 5 2-i (2-i)(2+i) ∴a=-1,b=3,∴ab=-3. 5i 36、已知复数 z 的实部为-1,虚部为 2,则 =( z A.2-i B.2+i C.-2-i D.-2+i [答案] A [解析] 考查复数的运算. 5i(-1-2i) 5i z=-1+2i,则 = -1+2i (-1+2i)(-1-2i) 10-5i = =2-i. 5 37、设 z 的共轭复数是 z ,若 z+ z =4,z·z =8,则 A.i B.-i
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学号_____________

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z 2-2i z 2+2i z ∴z=2+2i,z =2-2i 或 z=2-2i,z =2+2i, = =-i 或 = =i.∴ z 2+2i z 2-2i z =± i,故选 D. 3+i 38、已知复数 z= ,是 z 的共轭复数,则 z· =( (1- 3i)2 1 A. 4 1 B. 2 ) C.1 D.2 [答案] A 3+i 3+i 3+i [解析] ∵z= = 2= (1- 3i) 1-2 3i-3 -2-2 3i = 3+i ( 3+i)(1- 3i) = -2×(1+3) -2(1+ 3i) 3-3i+i+ 3 2 3-2i 3-i 3+i = = ,∴= , -8 -8 -4 -4 )

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姓名



班级

1 ∴z· 2= ,故选 A. =|z| 4 z z i 39、复数 z= 在复平面上对应的点位于( ) 1+i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 [答案] A i 1 1 [解析] z= = + i,对应点在第一象限. 1+i 2 2
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等于(

)

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40、设复数 z=(a+i)2 在复平面上的对应点在虚轴负半轴上,则实数 a 的值是( A.-1 B.1 C. 2 D.- 3 [答案] A [解析] z=(a+i)2=(a2-1)+2ai,据条件有 ? 2 ?a -1=0 ? ,∴a=-1. ?2a<0 ? 二、填空题

)

f(-4)+?+f(0)+?+f(5)+f(6)的值为________. [答案] 3 2 [解析] 本题是“方法类比” .因等比数列前 n 项和公式的推导方法是倒序相加,亦即 首尾相加,那么经类比不难想到 f(-5)+f(-4)+?+f(0)+?+f(5)+f(6)=[f(-5)+f(6)] +[f(-4)+f(5)]+?+[f(0)+f(1)],

学号_____________

而当 x1+x2=1 时,有 f(x1)+f(x2)=
2, 2, 2

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1、 1=1 2+3+4=3 3+4+5+6+7=5 中, 从 可得一般规律是__________________. [答案] n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-2)=(2n-1)2 [解析] 第 1 式有 1 个数,第 2 式有 3 个数相加,第 3 式有 5 个数相加,故猜想第 n 个式子有 2n-1 个数相加,且第 n 个式子的第一个加数为 n,每数增加 1,共有 2n-1 个 数相加,故第 n 个式子为: n+(n+1)+(n+2)+?+{n+[(2n-1)-1]} =(2n-1)2, 即 n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-2)=(2n-1)2. 2、观察下列等式:
1 5 C5+C5=23-2, 1 5 9 C9+C9+C9=27+23, 1 C13+C5 +C9 +C13=211-25, 13 13 13 1 C17+C5 +C9 +C13+C17=215+27, 17 17 17 17

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1 2 2 = ,故所求答案为 6× =3 2. 2 2 2

1 4、 若数列{an}是等差数列, 对于 bn= (a1+a2+?+an), 则数列{bn}也是等差数列. 类 n 比上述性质,若数列{cn}是各项都为正数的等比数列,对于 dn>0,则 dn=________时,数 列{dn}也是等比数列. [答案] n c1·2· cn c ?·

姓名

?? 由以上等式推测到一个一般的结论:
1 对于 n?N*,C4n+1+C5 +1+C9 +1+?+C4n+1=__________________. 4n 4n 4n 1


[答案] 24n 1+(-1)n22n



-1

班级

[解析] 本小题主要考查归纳推理的能力 等式右端第一项指数 3,7,11,15,?构成的数列通项公式为 an=4n-1,第二项指数 1,3,5,7, ?的通项公式 bn=2n-1, 两项中间等号正、 负相间出现, ∴右端=24n 1+(-1)n22n
-1 -

. 3、设 f(x)= 1 ,利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法,可求得 f(-5)+ 2+ 2
x

5、在以原点为圆心,半径为 r 的圆上有一点 P(x0,y0),则过此点的圆的切线方程为 x2 y2 x0x+y0y=r ,而在椭圆 2+ 2=1(a>b>0)中,当离心率 e 趋近于 0 时,短半轴 b 就趋近于 a b
2

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???????????????????????????????????????????????????????????????? ○ ○ 密 ○ ○ 封 ○ ○ 线 ○ ○ ????????????????????????????????????????????????????????????????

长半轴 a,此时椭圆就趋近于圆.类比圆的面积公式,在椭圆中,S



=________.类比过

x2 y2 圆上一点 P(x0,y0)的圆的切线方程,则过椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上一点 P(x1,y1)的椭圆的 a b 切线方程为________. x1 y1 [答案] π·a· 2· 2· b; x+ y=1 a b [解析] 当椭圆的离心率 e 趋近于 0 时,椭圆趋近于圆,此时 a,b 都趋近于圆的半径 r, 故由圆的面积 S=πr2=π·r· 猜想椭圆面积 S 椭=π·a· 其严格证明可用定积分处理. r, b, 而 x0 y0 由切线方程 x0· 0· 2 变形得 2 · 2 · x+y y=r x+ y=1,则过椭圆上一点 P(x1,y1)的椭圆的切线方 r r x1 y1 程为 2· 2· x+ y=1,其严格证明可用导数求切线处理. a b 6、如果 a a+b b>a b+b a,则实数 a、b 应满足的条件是________. [答案] a≥0,b≥0 且 a≠b [解析] ∵a a+b b>a b+b a ?( a- b)2( a+ b)>0?a≥0,b≥0 且 a≠b. 7、给出下列不等式: b2 ①a>b>0,且 a2+ =1,则 ab>a2b2; 4 a2+b2 ②a,b?R,且 ab<0,则 ≤-2; ab a+m a ③a>b>0,m>0,则 > ; b+m b 4 ④?x+x?≥4(x≠0). ? ? 其中正确不等式的序号为________. [答案] ①②④ b [解析] ①a>b>0,∴a≠ 2 b2 ∴a + =1>2 4
2

a2+b2 ∵ab<0,(a+b)2≥0,∴ ≤-2,②正确; ab a+m a (b-a)m ③ - = b+m b b(b+m) ∵a>b>0,m>0, (b-a)m ∴b(b+m)>0,b-a<0,∴ <0, b(b+m) a+m a ∴ < ,③不正确. b+m b 4 4 ④?x+x?=|x|+ ≥4,④正确. ? ? |x| 8、如果复数 z=(m2+m-1)+(4m2-8m+3)i(m?R)对应的点在第一象限,则实数 m 的取值范围为________________. -1- 5? ?3 ? [答案] ?-∞, ?∪?2,+∞? ? 2 ? ? [解析] 复数 z 对应的点在第一象限
?m2+m-1>0 ? -1- 5 3 需? 2 解得:m< 或 m> . 2 2 ? ?4m -8m+3>0

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学号_____________

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z1 9、若 z1=a+2i,z2=3-4i,且 为纯虚数,则实数 a 的值为________. z2 [答案] 8 3

姓名

? ?a=4b z1 [解析] 设 =bi(b∈R 且 b≠0), 1=bi(z2), a+2i=bi(3-4i)=4b+3bi.∴? ∴z 即 z2 ?2=3b ?

8 ?a= . 3 三、解答题 1 1、已知 a,b,c?(0,1).求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不能同时大于 . 4 1 [证明] 证法 1:假设(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a 都大于 .∵a、b、c 都是小于 1 的正 4 (1-a)+b 数,∴1-a、1-b、1-c 都是正数. ≥ (1-a)b> 2 (1-b)+c 1 (1-c)+a 1 同理 > , > . 2 2 2 2 1 1 = , 4 2

班级

b2 a · =ab 4
2

∴1-ab>0,∴ab-a2b2=ab(1-ab)>0,∴ab>a2b2 正确. ② a2+b2 (a+b)2 +2= ab ab
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三式相加,得 (1-a)+b (1-b)+c (1-c)+a 3 + + > , 2 2 2 2 3 3 即 > ,矛盾. 2 2 1 所以(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a 不能都大于 . 4 1 1 1 1 证法 2:假设三个式子同时大于 ,即(1-a)b> ,(1-b)c> ,(1-c)a> ,三式相乘得 4 4 4 4 1 (1-a)b(1-b)c(1-c)a>?4?3① ? ? 因为 0<a<1,所以 0<a(1-a)≤? 1-a+a?2 1 ? 2 ? = 4.



1 1 +?+ k-1 - - 2k 1+1 2 +2k 1

k-2 1 1 k-2 1 1 1 > + k-1 +?+ k> + k+ k+?+ k 2 2 2 2 2 2 2 +1 k-2 2k 1 (k+1)-2 = + k = , 2 2 2 ∴当 n=k+1 时,不等式成立. 据①②可知,不等式对一切 n∈N*且 n≥2 时成立. 4、在平面内有 n 条直线,其中每两条直线相交于一点,并且每三条直线都不相交于 同一点. n2+n+2 求证:这 n 条直线将它们所在的平面分成 个区域. 2 [证明] (1)n=2 时,两条直线相交把平面分成 4 个区域,命题成立. k2+k+2 (2)假设当 n=k(k≥2)时,k 条直线将平面分成 块不同的区域,命题成立. 2 k2+k+2 当 n=k+1 时,设其中的一条直线为 l,其余 k 条直线将平面分成 块区域,直 2 线 l 与其余 k 条直线相交,得到 k 个不同的交点,这 k 个点将 l 分成 k+1 段,每段都将它 所在的区域分成两部分,故新增区域 k+1 块. k2+k+2 (k+1)2+(k+1)+2 从而 k+1 条直线将平面分成 +k+1= 块区域. 2 2 所以 n=k+1 时命题也成立. 由(1)(2)可知,原命题成立. 5、试比较 2n+2 与 n2 的大小(n?N*),并用数学归纳法证明你的结论. [分析] 由题目可获取以下主要信息: ①此题选用特殊值来找到 2n+2 与 n2 的大小关系; ②利用数学归纳法证明猜想的结论. 解答本题的关键是先利用特殊值猜想. [解析] 当 n=1 时,21+2=4>n2=1, 当 n=2 时,22+2=6>n2=4, 当 n=3 时,23+2=10>n2=9, 当 n=4 时,24+2=18>n2=16, 由此可以猜想,
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学号_____________

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1 1 同理,0<b(1-b)≤ ,0<c(1-c)≤ . 4 4 1 所以(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤?4?3.② ? ? 2、求证:12-22+32-42+?+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(n?N*). [证明] ①n=1 时,左边=12-22=-3,右边=-3,等式成立. ②假设 n=k 时,等式成立,即 12-22+32-42+?+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1)2. 当 n=k+1 时,12-22+32-42+?+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+ 1)+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)-(4k+3)=-(2k2+5k+3)=-(k+1)[2(k+1)+1],所 以 n=k+1 时,等式也成立. 由①②得,等式对任何 n∈N*都成立. 1 1 1 1 n-2 3、求证: + + +?+ n-1> (n≥2). 2 3 4 2 2 1 [证明] ①当 n=2 时,左= >0=右, 2 ∴不等式成立. ②假设当 n=k(k≥2,k∈N*)时,不等式成立. 1 1 1 k-2 即 + +?+ k-1> 成立. 2 3 2 2 1 1 1 那么 n=k+1 时, + +?+ k-1 2 3 2

班级

姓名

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???????????????????????????????????????????????????????????????? ○ ○ 密 ○ ○ 封 ○ ○ 线 ○ ○ ????????????????????????????????????????????????????????????????

2n+2>n2(n∈N*)成立 下面用数学归纳法证明: (1)当 n=1 时, 左边=21+2=4,右边=1, 所以左边>右边, 所以原不等式成立. 当 n=2 时,左边=22+2=6, 右边=22=4,所以左边>右边; 当 n=3 时,左边=23+2=10,右边=32=9, 所以左边>右边. (2)假设 n=k 时(k≥3 且 k∈N*)时,不等式成立, 即 2k+2>k2.那么 n=k+1 时, 2k 1+2=2·k+2=2(2k+2)-2>2·2-2. 2 k 又因:2k2-2-(k+1)2=k2-2k-3 =(k-3)(k+1)≥0, 即 2k2-2≥(k+1)2,故 2k 1+2>(k+1)2 成立. 根据(1)和(2),原不等式对于任何 n?N 都成立. 6、用数学归纳法证明:
- - n(n+1) 12-22+32-42+?+(-1)n 1n2=(-1)n 1· (n?N*). 2 * + +

k ? =(-1)k(k+1)·(k+1)-2? ? ? (k+1)[(k+1)+1] =(-1)k· . 2 ∴当 n=k+1 时,等式也成立, 根据(1)、(2)可知,对于任何 n?N 等式成立.
*

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姓名

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2013 年 3 月

[解析] (1)当 n=1 时,左边=12=1, 1×(1+1) 右边=(-1)0× =1, 2 左边=右边,等式成立. (2)假设 n=k(k∈N*)时,等式成立,即 12-22+32-42+?+(-1)k 1k2
- k(k+1) =(-1)k 1· . 2 -

班级

则当 n=k+1 时, 12-22+32-42+?+(-1)k 1k2+(-1)k(k+1)2
- k(k+1) =(-1)k 1· +(-1)k(k+1)2 2 -

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