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2014乌市一模文科数学试题参考答案及评分标准


乌鲁木齐地区 2014 年高三年级第一次诊断性测验

文科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 题号 选项 1 B 2 B 3 D 4 C 5 A 6 C 7 A 8 B 9 A 10 D 11 A 12 A

1.选 B.【解析】∵ A ? x ?1 ? x ? 1 , ?R B

? x x ? 0 ,∴ A ? ?R B ? x 0 ? x ? 1 . 2.选 B.【解析】∵

?

?

?

?

?

? ?

?

2i ?1 ? i ? 2i 2i 的实部为 ?1 . ? ? ?1 ? i ,∴ 1? i 1 ? i ?1 ? i ??1 ? i ?

3.选 D.【解析】∵ S5 ?

a1 ?1 ? q5 ? 1? q

?

S 31 31 1 a1 , a3 ? a1 , ∴ 5 ? . a3 4 16 4
x

4.选 C.【解析】由函数奇偶性定义得 y ? x3 , y ? tan x 是奇函数, y ? 2 是偶函数, ∵ y ? lg x 的定义域为 ? 0, ??? ,∴ y ? lg x 既不是奇函数,又不是偶函数. 5.选 A.【解析】由图可知, zmin ? 2 ?1 ? 1 ? 3 .

6.选 C.【解析】该几何体的直观图,如图所示 可知, ?PAB, ?PBC, ?PAD 是直角三角形, ∵ PC ? PA ? AC ? 9 , PD ? PA ? AD ? 8 ,
2 2 2 2 2 2

CD 2 ? 5 , PD2 ? PC 2 ? CD2 , ?PCD 不是直角三角形.
7.选 A.【解析】∵图象经过点 P 1 ? ?1,0? , P 2 ? 0,1? ,

?? ? ? ? k1? ? ?sin ? ?? ? ? ? ? 0 ? ∴? ,解得 ? ?, ? ? 2 k ? ? sin ? ? 1 ? ? 2 ? ? 2
由 ? ? 0, ? ?

?
2

及函数在区间 ?0,1? 上是单调函数,可得 ? ? ? ?

?
2

,∴ T ? 4

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8. 选 B.【解析】记两件正品分别为 a , b ,次品为 c ,由题意,取两件产品的所有可能为

? a, a? , ? a, b? , ? a, c ? , ?b, a? , ?b, b? , ?b, c? , ?c, a? , ?c, b? , ?c, c? ,共 9 种情形,符合条件
的共有 ? a, c ? , ? b, c ? ? c, a ? , ? c, b ? 4 种情形,故,所求概率为 9.选 A.【解析】执行第一次运算时: a ? 2014, b ? ?

4 . 9

1 ,i ? 1 2013

1 2013 ,b ? ,i ? 2 2013 2014 2013 , b ? 2014, i ? 3 执行第三次运算时: a ? 2014 ∴输出 i ? 3
执行第二次运算时: a ? ? 10.选 D.【解析】设抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,准线为 l0 ,分别过点 A, B 作直线 l0 的
2

垂线,垂足分别为 M , N ,由抛物线定义,得 AB ? AF ? BF ? AM ? BN ?

xA ?

p p ? xB ? ? xA ? xB ? p ? 2 xC ? p ? 8 .( C 是 AB 的中点) 2 2

11.选 A.【解析】设 AB, AC 中点分别为 M , N , 则 OM ? AM ? AO ?

???? ?

???? ? ????

? ??? ? ??? ? ? 1 ? ??? ? ??? ? 1 ??? AB ? s ? AB ? t ? AC ? ? ? s ? AB ? t AC 2 ?2 ?

?

?

???? ???? ???? 1 ???? ??? ? ???? ? 1 ? ???? ??? ? ON ? AN ? AO ? AC ? s ? AB ? t ? AC ? ? ? t ? AC ? s AB 2 ?2 ?

?

?

由外心 O 的定义知, OM ? AB, ON ? AC ,因此, OM ? AB ? 0 , ON ? AC ? 0

???? ?

??? ? ????

??? ?

???? ? ??? ?

???? ??? ?

? ???? ? ??? ? ? 2 ???? ??? ? ?? 1 ? ??? ? 1 ? ??? ?? 2 ? s ? AB ? t AC ? ? AB ? 0 ,∴ ? 2 ? s ? AB ? t AC ? AB ? 0 ?① ? ? ? ?? ?
同理: ?

? ? 1 ? ???? 2 ???? ??? ? t ? AC ? s AC ? AB ? 0 ?② ?2 ?

∵ BC ? AC ? AB ,∴ BC ? AC ? AB

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?2

?

??? ? ??? ?

?

2

??? ? 2 ??? ? ??? ? ??? ?2 ? AC ? 2 AC ? AB ? AB

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AC 2 ? AB 2 ? BC 2 1 ∴ AC ? AB ? ? ? ?③ 2 2
把③代入①②得 ?

?1 ? 2s ? t ? 0 4 3 ,解得 s ? , t ? . 5 5 ?4 ? s ? 8t ? 0

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x 12.选 A.【解析】易知, f ? x ? ? ln e ? 1

?

? ? x ? 0 ? 为增函数,

∴若 0 ? a ? b ,则有 f ? a? ? f ? b? ,又 2a ? 2b ? 3b ,∴ f ? a ? ? 2a ? f ?b ? ? 3b , 即 f ? a ? ? 2a ? f ?b ? ? 3b 成立, ∴它的逆否命题:若 f ? a ? ? 2a ? f ?b ? ? 3b ,则 a ? b 成立;

g ? x ? ? ln ? e x ? 1? ? 2 x 在 ? 0,ln 2? 递增,在 ? ln 2, ??? 递减,

g ? x ?max ? g ? ln 2? ? ?2ln 2 ; g ? x ? ? ? ??, ?2ln 2?
3? ? ? 3 ? ? ? x ? ? ln ? e x ? 1? ? 3x 在 ? 0, ln ? 递增,在 ? ln , ?? ? 递减, 2? ? ? 2 ?

? ? x ?max ? ? ? ln ? ? 2ln 2 ? 3ln 3 , ? ? x ? ? ? ??,2ln 2 ? 3ln3? ; 2
?
当 y0 ? 2ln 2 ? 3ln 3 时,方程 g ? x ? ? y0 有两解 x1 , x4 ,不妨设 x1 ? x4 ; 方程 ? ? x ? ? y0 也有两解 x2 , x3 ,不妨设 x2 ? x3 ; 又当 x ? 0 时, g ? x ? ? ? ? x ? ,∴ x1 ? x2 ? x3 ? x4 , 这样当 f ? a ? ? 2a ? f ?b? ? 3b ? y0 时,就有 a ? b ,或 a ? b ,故,C. D.不正确. 二、填空题 :共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.填 2 .【解析】∵ f ? ?1? ? ?1 ? 2 ? 1 ,∴ f

? ?

3?

? f ? ?1?? ? 2

1

? 2.

14.填

1 b 1 5 5 .【解析】根据题意此双曲线的渐近线方程为 y ? ? x ,∴ ? ∴ e ? . 2 a 2 2 2

15.填 1 .【解析】 ∵ ? ∴ an ?

? 1 ? 1 1 ? ? ? n ? 1? ?1 ? n , ? 是公差为 1 的等差数列,∴ an ? 1 a1 ? 1 ? an ? 1 ?

1 n ?1 n ?1 ?1 ? ? lg ? n ? 1? ? lg n ,∴ lg an ? lg n n n

∴数列 ?lg an ? 的前 9 项和为 S9 ? ? lg 2 ? lg1? ? ? lg3 ? lg 2? ??? ? lg10 ? lg9? ? 1.

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16.填

3 .【解析】如图,设 P ? ABCD 的外接球的球心为 G , 4

∵ A, B, C , D 在球面上,∴球心在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 上下底面中心连线 O1O 上,点 P 也在球上,∴ GP ? GA ? R ∵棱长为 1 ,∴ OA ?

2 ,设 O1P ? x, O1G ? y , 2

则 OG ? 1 ? y ,在 Rt ?GO1P 中,有 R2 ? x 2 ? y 2 ?①,

? 2? 3 2 2 在 Rt ?GOA 中, R ? ? ?②,将①代入②,得 x ? ? 2 y , ? 1 ? y ? ? ? ? 2 ? 2 ? ?
2

2

∵0 ? x ?

1 3 2 3 9 3 ? 2 1 ? 2 2 , ∴ ? y? , ∴ R ?x ? y 2 ? ?y2 y?2 y ?? ? 1 ? ? ?? , ? , 2 4 2 2 2 1 6 ? 4 ?

于是 R 的最小值为 三、解答题 17.(12 分)

3 . 4

(Ⅰ)∵ a ? b ? c ,∴ cos C ?
2 2 2

? a 2 ? b2 ? c 2 ? 0 ,∴ ? C ? ? ,故 ? ? 2C ? 2? 2 2ab
?6 分

由 sin ? 2C ?

? ?

??

1 4? 2? 1 ? ? ,得 cos2 C ? ? 2 ,∴ 2C ? 3 ,即 C ? 3 ; 2? 2

?? ? sin A ? sin ? ? A ? 1 sin A ? 3 cos A a ? b sin A ? sin B ?3 ??2 2 ? ? (Ⅱ) 2 ? c sin C 3 sin 3 2

?

2 ?? ? sin ? A ? ? 3? 3 ?
2? ? ? ? 2? 3 ?? ? ,知 0 ? A ? ,故 ? A ? ? ,∴ ? sin ? A ? ? ? 1 3 3 3 3 3 2 3? ?
?12 分

由C ?



a?b 2 2 3 a?b 2 ? 3 ,即 1 ? ? ? ? c 3 c 3 2 3

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18.(12 分) (Ⅰ)取 B1D 的中点 O ,连接 OE, OP , 在 ?B1CD 中, P 是 B1C 的中点, O 是 B1D 的中点,

1 CD , 2 正方形 ABCD 中, E 是 AB 的中点, 1 ∴ BE ∥ CD ,且 BE ? CD , 2
∴ OP ∥ CD ,且 OP ? ∴ OP ∥ BE 且 OP ? BE ,∴ PB ∥ OE ,又 PB ? 平面 B1ED , OE ? 平面 B1ED ∴ PB ∥平面 B1ED ; (Ⅱ)∵ PB ∥平面 B1ED , ∴点 P 到平面 B1ED 的距离等于点 B 到平面 B1ED 的距离,设其为 h ∵ S ?BED ? ?6 分

1 1 1 1 BE ? AD ? , VB1 ? BED ? S ?BED ? B1 B ? 2 4 3 12

在 ?B1 ED 中, B1 E ? DE ?

5 , B1D ? 3 2 2 1 6 ,∴ S?B1ED ? B1D ? EO ? 2 2 4

在 ?EOD 中,可得 EO ?

DE 2 ? DO 2 ?

1 6 6 1 6 VB ? B1ED ? S?B1ED ? h ? h ,由 VB? B1ED ? VB1 ?BED 得, h ? ,∴ h ? 3 12 12 12 6
∴点 P 到平面 B1ED 的距离等于 19.(12 分) (Ⅰ)工资薪金所得的 5 组区间的中点值依次为 3 000,5 000,7 000,9 000,11 000 , x 取这 些值的概率依次为 0.15, 0.3, 0.4, 0.1, 0.05 , 算得与其相对应的 “全月应纳税所得额” 依次为 0,1500,3500,5500, 7500(元) ,按工资个税的计算公式,相应的工资个税分 别为: 0 (元) ,

6 . 6

?12 分

1500 ? 3% ? 0 ? 45 (元) , 3500 ?10% ? 105 ? 245 (元) , 5500 ? 20% ? 555 ? 545 (元) , 7500 ? 20% ? 555 ? 945 (元) ;
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∴该市居民每月在工资薪金个人所得税总收入为 ; ? 45? 0.3 ? 245? 0.4 ? 545? 0.1? 945? 0.05? ?106 ? 2.1325?108 (元) (Ⅱ)这 5 组居民月可支配额 y 取的值分别是 y1 , y2 , y3 , y4 , y5 ; y1 ? 3000 (元) ; y2 ? 5000 ? 45 ? 4955 (元) ; y3 ? 7000 ? 245 ? 6755 (元) ; y4 ? 9000 ? 545 ? 8455 (元) ; y5 ? 11000 ? 945 ? 10055 (元) 可看出 y ? 7000 的有 y1 , y2 , y3 , P ? y ? 7000? ? 0.15 ? 0.3 ? 0.4 ? 0.85 20.(12 分) ?12 分 ?6 分

x2 y 2 (Ⅰ)已知直线直线 x ? y ? 1 ? 0 经过椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的短轴端点 ? 0, b ? a b
和右焦点 F ? c,0? ,可得 b ? c ? 1 ,∴ a ? b ? c ? 2
2 2 2

故椭圆 C 的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1; 2

?5 分

(Ⅱ)由椭圆 C 的方程可得右焦点为 F ?1,0 ? ,因为直线 AB 的斜率为 k ,且直线经过右焦 点 F ,所以直线 AB 的方程为 y ? k ? x ?1? , 设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则点 D 的坐标为 ? x1 , ? y1 ? ⑴当 k ? 0 时,因为点 B, D 在椭圆 C 上,∴
2 x2 x2 2 2 ? y2 ? 1, 1 ? ? ? y1 ? ? 1 ?① 2 2

∴?

2 x12 ? x2 2 ? ? y12 ? y2 ? ? 0 ,依题意知 x1 ? x2 2

∴直线 BD 的斜率 kBD ?

y2 ? ? ? y1 ? 1 x1 ? x2 ? x2 ? x1 2 y1 ? y2
1 x1 ? x2 ? x ? x2 ? ?② 2 y1 ? y2

则直线 BD 的方程为 y ? y2 ?

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由①②得

? x1 ? x2 ? x ?
2

? y2 ? y1 ? y ?

x1 x2 ? y1 y2 ? 1 ?③ 2
2 x2 ?? k ? x ? 1? ? ? 1, ? ? 2

把直线 AB 的方程代入椭圆 C 的方程得

2 2 2 2 即 1 ? 2k x ? 4k x ? 2k ? 2 ? 0 ?④

?

?

4k 2 2k 2 ? 2 ∵ x1 , x2 是方程④的两个实数解,∴ x1 ? x2 ? , x1 x2 ? ?⑤ 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
又 y1 ? k ? x1 ?1? , y2 ? k ? x2 ?1? ,
2 ∴ y1 y2 ? k ? x1 ? 1? k ? x2 ? 1? ? k ? ? x1 x2 ? ? x1 ? x2 ? ? 1? ? ?⑥

? 2k 2 ? 2 ? 4k 2 ?k 2 把⑤代入⑥得, y1 y2 ? k ? ?⑦ ? ? 1? ? 2 2 2 ? 1 ? 2k 1 ? 2 k ? 1 ? 2k
2

4k 2 x 2k 2 ? 2 1 ?k 2 ? ? ? y2 ? y1 ? y ? ? ? ?1 把⑤⑦代入③得, 1 ? 2k 2 2 1 ? 2k 2 2 1 ? 2k 2


2k 2 4k 2 x ? y ? y y ? ,令 y ? 0 ,解得 x ? 2 ? 2 1? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

此时,直线 BD 过定点 ? 2, 0 ? ⑵当 k ? 0 时, 点 A, B 为椭圆 C 的长轴端点, 故点 D 与点 A 重合, 此时直线 BD 即为 x 轴,而 x 轴过点 ? 2, 0 ? ,则直线 BD 也过点 ? 2, 0 ? 综上所述, 直线直线 BD 过定点 ? 2, 0 ? . 21.(12 分)
x (Ⅰ)∵ f ? x ? ? e ? ln ? x ? 1? ,∴ f ? ? x ? ? e ?
x

?12 分

1 ,则 f ? ? 0? ? 2 x ?1

又 f ? 0? ? e ? ln1 ? 1
0

∴函数 y ? f ? x ? 图象在点 0, f ? 0? 处的切线方程为: y ? f ? 0? ? f ? ? 0? x , 即函数 y ? f ? x ? 图象在点 0, f ? 0? 处的切线方程为 y ? 2 x ? 1 ; (Ⅱ)当 a ? 2 时,则 2 ? a ? 0 ?① 令 g ? x ? ? f ? x ? ? ax ?1
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?

?

?

?

?6 分

则 g? ? x? ? f ? ? x ? ? a ? e ?
x

1 ?a x ?1

令 ? ? x ? ? ex ? x ?1 ? x ? R ? ,则 ?? ? x ? ? ex ?1 ? x ? R? ,由 ?? ? x ? ? 0 ,得 x ? 0 当 x ? 0 时, e ? 1 ,即 e ? 1 ? 0 ;当 x ? 0 时, e ? 1 ,即 e ? 1 ? 0
x x x x

∴函数 ? ? x ? ? ex ? x ?1 在 ? ??,0? 为减函数,在 ? 0, ??? 为增函数 ∴ ? ? x ?min ? ? ? 0? ? 0 ,即 ? ? x ? ? 0 ∴对 ?x ? R ,都有 e ? x ? 1
x

故,当 x ? 0 时, x ? 1 ? 0 , e ?
x

1 1 ? x ?1? ?2 x ?1 x ?1

? x ? 1? ?

1 ?2 x ?1

∴e ?
x

1 ? a ? 2 ? a ? 0 ,∴ g? ? x ? ? 0 , x ?1

∴若 a ? 2 ,函数 y ? g ? x ? ,在 ?0, ??? 为增函数,∴当 x ? 0 时, g ? x ? ? g ? 0? ? 0 ∴当 a ? 2 时, x ? 0 ,有 f ? x ? ? ax ? 1 成立. 22.(10 分) (Ⅰ)∵ ?CDE ? ?ODB ? ?OBD 又∵ AC 与 ? O 切于点 A , AD 是弦,∴ ?DAE ? ?OBD ∴ ?CDE ? ?DAE ; ?5 分 (Ⅱ)∵ ?CDE ? ?CAD , ?C ? ?C ,∴ ?CDE ∽ ?CAD ?12 分

CD DE DE ? ,∴ CD ? AC ? ?① AC AD AD DE AE ? 而 ?ADE ∽ ?BAE ,∴ ?② AD AB AE 由①②得 CD ? AC ? AB 又∵ AC ? AB ,∴ AE ? CD .
∴ 23.(10 分) (Ⅰ)曲线 C 的参数方程为 ?

?10 分

? x ? 2cos ? ,设 P ? 2cos? , 2sin ? ? , M ? x, y ? ? y ? 2sin ?

2 cos ? ? 2 ? x? ? cos ? ? 1 ? 2 ? 2 2 则? ,即 ? x ? 1? ? y ? 1 ? x ? 2 ? ; 2sin ? ?y ? ? sin ? ? ? 2

?5 分

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(Ⅱ)设 M ? cos? ?1,sin ? ? ,



ME MF

?

3? ? 2 ? cos ? ? 1 ? ? ? sin ? 2? ?

5 ? cos ? 1 4 ? ? . 2 5 ? 4cos ? 2 ? cos? ? 1 ? 3? ? sin 2 ?

2

?10 分

24.(10 分)

?7 ? 2 x ? x ? 3 ? ? (Ⅰ)设函数 y ? x ? 3 ? x ? 4 ,则 y ? ?1 ?3 ? x ? 4 ? ,画出其图象,可知 ymin ? 1 , ? ?2 x ? 7 ? x ? 4 ?
要使不等式 x ? 3 ? x ? 4 ? m 的解集不是空集,需且只需 m ? 1 ∴ m 的取值范围的集合 M ? ?1, ??? ; (Ⅱ)∵ a, b ? M ,∴ a ? 1, b ? 1 ∵ a ? b ? ? ab ?1? ? ? a ? ab ? ? ?b ?1? ? ? a ?1??1 ? b ? ∵ a ? 1 ? 0,1 ? b ? 0 ,∴ ? a ?1??1 ? b? ?0 , ∴ a ? b ? ab ? 1 . 以上各题的其他解法,限于篇幅从略,请相应评分. ?10 分 ?5 分

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