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【优化方案】2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件:3.1 数列的概念(共34张PPT)


第三章

数 列

2014高考导航
考纲解读

1.理解数列的概念,了解数列通项公式的意义,了解递推
公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列 的前几项. 2.理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前n项 和公式,并能解决简单的实际问题. 3.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n项 和公式,并能解决简单的实际问题.

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§3.1 数列的概念

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

考 向 瞭 望 把 脉 高 考

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理 1.数列的概念 按一定次序排列的一列数叫做数列.数列中的每一个数叫做这 项 个数列的____.数列可以看作一个定义域为正整数集N*(或它

的有限子集{1,2,3,?,n})的函数,当自变量从小到大依次取 函数值 一群孤立的点 值时对应的一列________.它的图象是______________.
数列{an}的第n项an与项数n的关系若能用一个公式an=f(n)给 通项公式 出,则这个公式叫做这个数列的__________.

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2.数列的性质 (1)有界性:若存在正数A,使得|an|≤A,则称数列{an}是 有界数列. (2)单调性 an+1>an(n∈N*) 递增数列:数列{an}中,恒有__________________; an+1<an(n∈N*) 递减数列:数列{a }中,恒有__________________;
n

an>an+1 摆动数列:数列{an}中,有时________,有时an<an+1(n∈N*); an=an+1(n∈N*) 常数列:数列{an}中,恒有__________________.

(3)周期性:若存在正整数k,使得an+k=an,则{an}是周期数
列,且周期为k.

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3.数列的前 n 项和 数列的前 n 项和 Sn=a1+a2+?+an,且下列关系成立
?S1 ?n=1? ? an=? ?Sn-Sn-1 ?n≥2?. ?

4.递推公式 如果已知数列{an}的第 1 项(或前几项),且任一项 an 与它的前 一项 an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这

递推 个公式就叫做这个数列的_________公式.

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思考探究 1.{an}与an有何关系? 提示:{an}与an是两个不同的概念,{an}表示数列a1,a2,a3, ?,an,?,而an只表示数列{an}中的第n项.

2.一个数列的通项公式是否唯一?
提示:不一定,有的数列通项公式唯一,有的数列有多个通 项公式,有的数列没有通项公式.

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课前热身
3 8 15 24 1. (教材改编)数列 , , , - - , ?的一个通项公式是( 2 3 4 5 n2-1 A.an= n ?n+1?2-1 B.an= n+1 n2+2n + C.an=(-1)n 1 n+1 ?n+1?2-1 D.an=(-1)n n+1 答案:C )

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2.已知 a0=1,a1=3,a2 -an- 1·n+ 1=(-1)n(n∈N*),则 a3 等 a n 于( A.33 C.17 ) B.21 D.10

答案:A

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3.(2011· 高考江西卷)已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn+Sm

=Sn+m,且a1=1,那么a10=(
A.1 C.10 ∴S1=1. 可令m=1,得Sn+1=Sn+1, ∴Sn+1-Sn=1. 即当n≥1时,an+1=1,∴a10=1. B.9 D.55

)

解析:选A.∵Sn+Sm=Sn+m,且a1=1,

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4.如果数列{an}的前n项和为Sn=2n2+1,则an=__________.

?3 ?n=1? ? 答案:? ? ?4n-2 ?n≥2?

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5.在数列{an}中,a1=1,a2 -an+1-1=0,则此数列的前 2 014 n 项之和为________.

答案:-1 005

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考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 由数列的前几项写数列的通项公式 据所给数列的前几项求其通项公式时, 需仔细观察分析,抓 住以下几方面的特征: (1)分式中分子、分母的特征; (2)相邻项的变化特征; (3)拆项后的特征; (4)各项符号特征等,并对此进行归纳、联想.

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例1

根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式:

(1)0.8,0.88,0.888,?; 1 1 5 13 29 61 (2) , ,- , ,- , ,?; 2 4 8 16 32 64 3 7 9 (3) ,1, , ,?; 2 10 17 (4)0,1,0,1,?.

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【思路分析】

1 (1)循环数借助于 1- n来解决. 10
+1

(2)正负号交叉用(-1)n 或(-1)n 奇偶交错.

来调节,这是因为 n 和 n+1

(3)分式形式的数列,分子找通项,分母找通项,要充分借助分 子、分母的关系. (4)对于比较复杂的通项公式,要借助于等差数列、等比数列和 其他方法解决.

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8 8 8 【解】 (1)将数列变形为 (1-0.1), (1-0.01), (1-0.001), ?, 9 9 9 8 1 ∴an= (1- n). 9 10 (2)各项的分母分别为 21,22,23,24,?,易看出第 2,3,4 项的分子 2-3 分别比分母少 3.因此把第 1 项变为- ,至此原数列已化为 2 21-3 22-3 23-3 24-3 - 1 , 2 ,- 3 , 4 ,?, 2 2 2 2 2n-3 ∴an=(-1)n· n . 2

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3 5 7 9 (3)将数列统一为 , , , ,?,对于分子 3,5,7,9,?是序 2 5 10 17 号的 2 倍加 1,可得分子的通项公式为 bn=2n+1, 对于分母 2,5,10,17,?联想到数列 1,4,9,16,?,即数列{n2}, 可得分母的通项公式为 cn=n2+1, 2n+1 ∴可得它的一个通项公式为 an= 2 . n +1 ?0 ?n为奇数? ? 1 1 1 1 (4)an=? ,又 0= - ,1= + , 2 2 2 2 ? ?1 ?n为偶数? 1+?-1? n ∴也可为 an= . 2 若考虑到三角函数的特征,此数列的通项公式也可以写为 an= 1+cos nπ 2?n+1?π sin 或 an= (n∈N*). 2 2
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【领悟归纳】

(1)借助(-1)n 或(-1)n

+1

来解决项的符号问题.

(2)当项为分式时,可进行恰当的变形,寻找分子、分母各自的 规律以及分子、分母间的关系. (3)对较复杂的数列通项公式的探求,可借助熟知的数列,如 1 {n },{ },{2n},{(-1)n}等以及等差数列、等比数列和其他方 n
2

法来解决.

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考点2

由数列递推关系求通项公式

已知数列的递推关系式求数列的通项公式的方法大致分两类: 一类是根据前几项的特点归纳猜想出an的表达式,然后用数学 归纳法证明;另一类是将已知递推关系式,用代数的一些变 形技巧整理变形,然后采用累差法、累乘法、迭代法、换元

法或转化为基本数列(等差或等比数列)等方法求得通项.

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例2 根据下列条件,确定数列{an}的通项公式.
n-1 (1)a1=1,an= an- 1(n≥2); n (2)Sn=3n-2.

【思路分析】

(1)转化后利用累乘法求解.

(2)利用an=Sn-Sn-1(n≥2).

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n-1 【解】 (1)∵an= an- 1(n≥2), n n-2 1 ∴an- 1= a - ,?a2= a1.以上(n-1)个式子相乘得 2 n-1 n 2 n-1 a1 1 12 an=a1··· ?· = = . 23 n n n (2)∵Sn=3n-2, ∴当 n=1 时,a1=S1=1; - - 当 n≥2 时,an=Sn-Sn- 1=3n-2-(3n 1-2)=2×3n 1. 显然 n=1 时不适合上式.
?1 ? ∴an=? n-1 ? ?2×3

?n=1?, ?n≥2,且n∈N*?.
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【误区警示】

an 与Sn 的关系式an =Sn -Sn-1 的使用条件是

n≥2,求an时切勿漏掉n=1的情况.

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跟踪训练
求下列通项公式: (1)a1=1,an=an- 1+n-1(n≥2); 1 3 n+ 1 (2)Sn= ×3 - . 2 2

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解:(1)由 an-an-1=n-1(n≥2), 可得 a2-a1=1,a3-a2=2,a4-a3=3,?an-an-1=n-1, 以上 n-1 个等式相加得 an-a1=1+2+3+?+(n-1), n?n-1? ∴an=1+ (n∈N*). 2 1 3 n+1 (2)∵Sn= ×3 - , 2 2 1 3 当 n=1 时,S1=a1= ×9- =3. 2 2 1 3 1 3 n+ 1 n 当 n≥2 时,an=Sn-Sn- 1= ×3 - -( ×3 - )=3n,适合 2 2 2 2 n=1. ∴an=3n.
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考点3

数列的性质

数列可看成自变量为N*(或其有限子集{1,2,?,n})的函数, 函数的某些性质如单调性、最值等,数列同样适用.
2 2n- 2 2 n- 1 例3 若数列{an}的通项公式为 an=5· ) ( -4· ) , ( 数列的 5 5 最大项为第 x 项,最小项为第 y 项,求 x+y 的值.
2 2n-2 2 n- 1 【思路分析】 观察到( ) 与( ) 是平方关系,故考虑结 5 5 合二次函数的知识解决问题.

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2 2n- 2 2 n -1 2 n- 1 2 2 n -1 【解】 ∵an=5· ) ( -4· ) =5· ) ] -4· ) , ( [( ( 5 5 5 5 2 n- 1 ∴设 t=( ) , 5 22 4 2 ∵n-1≥0,∴0<t≤1.∴an=5t -4t=5(t- ) - , 5 5 2 4 2 ∴当 t= 时,5t -4t 有最小值- , 5 5 2 n-1 2 此时,t=( ) = ,n=2∈N*, 5 5 当 t=1 时,5t2-4t 有最大值. 2 n-1 此时,t=( ) =1,n=1∈N*, 5 ∴x=1,y=2,x+y=3.
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【思维总结】

由于数列可以视为一类特殊的函数,所以在

研究数列问题时,可以借助研究函数的许多方法进行求

解.本题正是利用了换元的思想,将数列的项的最值问题转
化为二次函数的最值问题,但必须注意的是,数列中的项, 即n的值只能取正整数,从而换元后变量t的取值范围也相应地 被限制.

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方法感悟
方法技巧
1.已知递推关系求通项 这类问题要求不高,主要掌握由 a1 和递推关系先求出前几项, 再归纳、猜想 an 的方法,以及“化归法”、“累加法”等. 常见的解题规律有: (1)an-an- 1=f(n)满足一定规律时,可有 an=(an-an-1)+(an- 1-an-2)+?+(a2-a1)+a1.

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an (2) =g(n)满足一定条件时,可有. an-1 an an-1 a2 an= · · ?· ·1. a a1 an-1 an-2 (3){an}为周期数列,则周期为 T(T 为正整数)时,an=an+ T,可 将 an 转化为 a1,a2,?,aT 处理. 2.数列是特殊的函数,研究数列性质时,可借用函数的性质.

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失误防范
1.数列中项的有序性是数列定义的灵魂,要注意辨析数列的 项和数集中元素的异同.数列可看作是一个定义域为正整数 集或它的有限子集{1,2,…,n}的函数,因此在研究数列问题 时,既要注意函数方法的普遍性,又要注意数列方法的特殊

性.切记,两者不能混为一谈.
2.数列由Sn求an时,要注意检验n=1的情况是否适合 an=Sn-Sn-1;a1由S1来求,不能由an=Sn-Sn-1来求.

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考向瞭望把脉高考
命题预测
数列的概念在高考试题中很少独立命题,但是,数列的递推 关系、归纳、猜想的数学推理思想会渗透在数列的试题之中,

如猜想通项公式、单调性、周期性,进一步求数列中的某些
项或和,近几年的高考中,涉及到数学史中的一些数列(数阵) 等,多数都用到Sn与an的递推关系.

2012年的高考中,上海卷是由递推关系结合周期性求特
定项的和. 预测2014年的高考中,以递推归纳为主,出现新的递推模型, 考查数列的性质及计算.
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典例透析
2 ? ? 例 (2011· ?n?n+4?? ?n? 中的最大项是第 高考浙江卷)若数列 ?3 ?
? ?

k 项,则 k=________.

【解析】

由题意知

?2 ?k≥?k-1??k+3??2 ?k-1, ?k?k+4??3 ? ?3 ?

? ?2 ? ≥?k+1??k+5??2 ? ?k?k+4??3 ? ?3 ?
k

k+ 1



解得 10≤k≤1+ 10.∵k∈N*,∴k=4.

【答案】

4

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【名师点评】

?ak≥ak- 1 ? 本题只要理解数列的最大项满足? , ?ak≥ak+ 1 ?

列出不等式组求解即可,该题给出了数列特殊项的求法, 难度较大.

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