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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学北师大版必修二【配套备课资源】空间直角坐标系


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3.1-3.2

3.1 3.2
[学习要求]
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空间直角坐标系的建立 空间直角坐标系中点的坐标

1.理解空间直角坐标系的概念; 2.理解空间中点的坐标表示; 3.通过数轴与数,平面直角坐标系与一对有序实数,引申出 建立空间直角坐标系的必要性. [学法指导] 通过类比的数学思想方法探索空间直角坐标系的建立方法 和空间直角坐标系中点的坐标表示, 进一步体会数学概念、 方法产生和发展的过程,学会科学的思维方法,进一步培 养空间想象能力.

填一填·知识要点、记下疑难点

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1.通常在平面直角坐标系的基础上,通过原点 O,再增加一条与 xOy 平面垂直的 z 轴,这样就建立了三个维度的空间直角坐标 系;在空间直角坐标系中,O 叫作原点,x,y,z 轴统称为 坐标轴. 由坐标轴确定的平面叫作 坐标平面 ,x,y 轴确定的平面记作
xOy 平面 ,y,z 轴确定的平面记作 yOz 平面 ,x,z 轴确定的

平面记作 xOz 平面 . 2.确定点的坐标方法: (1)当点 P 在 xOy 平面上,如果点 P 在 xOy 平面中的坐标为(x, y),那么点 P 的空间坐标为 (x,y,0) .

填一填·知识要点、记下疑难点

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(2)当点 P 不在 xOy 平面上,过 P 点作 xOy 平面的垂线,垂足为 Q,此时 Q 的坐标为(x,y,0),定义实数 z 为 P 的 z 坐标,那么
本 课 时 的 z 坐标为线段 PQ 的长度的 相反数 . 栏 目 3.在空间直角坐标系中,对于空间任意一点 P,都可以用一个三元 开 关 有序数组 (x,y,z)来表示; 反之, 任何一个三元有序数组都可以

规定:当点 P 与 z 轴正半轴在 xOy 平面的同侧,点 P 的 z 坐标 为 线段 PQ 的长度;当点 P 与 z 轴正半轴在 xOy 平面的异侧,P

确定空间中的 一个点 .这样,在空间直角坐标系中,点与三元有 序数组之间建立了 一一对应 的关系.

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[问题情境]
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数轴上的点 M 可用一个实数 x 表示,它是一维坐标;平 面上的点 M 可用一对有序实数(x,y)表示,它是二维坐 标.对于空间中的点能不能也用有序实数表示?如何表 示?本节我们就来探讨这个问题.

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探究点一 问题 1 空间直角坐标系

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为了确定一架正在飞行的飞机的位置,我们不仅

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需要经度和纬度,还需要确定什么? 答 需要确定飞机距离地面的高度. 问题 2 如下图怎样确切地表示室内灯泡的位置?确定灯泡
的位置需要几个量?

图1


图2

从图 2 中看出,N 点可以用两个有序实数表示,P 比 N

点的不同在于竖直方向上与 N 有段距离. 所以要表示灯泡的位置需要三个不同方向上的实数.

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问题 3

描述地面上某物体的位置可以用平面直角坐标系中的

点的坐标表示,设想描述空间物体的位置怎样建立坐标系来
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表示? 答 描述空间物体的位置时,仅有二维的平面直角坐标系是不
够的,为此,通常在平面直角坐标系的基础上,通过原点 O, 再增加一条与 xOy 平面垂直的 z 轴,这样就建立了三个维度的 空间直角坐标系.

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问题 4

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在空间直角坐标系中,对三条数轴的方向作如下约定:

伸出右手, 让四指与大拇指垂直, 并使四指先指向 x 轴正方向, 然后让四指沿握拳方向旋转 90° 指向 y 轴正方向,此时大拇指
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的指向即为 z 轴正向,并称这样的坐标系为右手系.那么下列 空间直角坐标系中哪些是右手系?



利用右手法则比较容易得出(1)、(4)是右手系.

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小结 在空间直角坐标系中,O 叫作原点,x,y,z 轴统称 为坐标轴.由坐标轴确定的平面叫作坐标平面,x,y 轴确 定的平面记作 xOy 平面, z 轴确定的平面记作 yOz 平面, y, x,z 轴确定的平面记作 xOz 平面.

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问题 5

在空间直角坐标系 Oxyz 中,三个坐标平面的位置关系

如何?它们将空间分成几个部分? 答 三个坐标平面的位置关系是两两互相垂直,它们把空
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间分成 8 部分.

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探究点二 导引
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空间直角坐标系中点的坐标

有了空间直角坐标系,我们就能够建立空间内的任意

一点 P 与三个实数的有序数组(x,y,z)之间的一一对应关 系.那么如何确定点 P 的坐标? 问题 1 如果点 P 在 xOy 平面上,如何确定点 P 在空间中的 坐标?

答 当点 P 在 xOy 平面上,如果点 P 在 xOy 平面中的坐标 为(x,y),那么点 P 的空间坐标为(x,y,0).

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问题 2 如果点 P 不在 xOy 平面上,如何确定点 P 在空间 中的坐标?


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当点 P 不在 xOy 平面上,过 P 点作 xOy 平面的垂线,

垂足为 Q,此时 Q 的坐标为(x,y,0),定义实数 z 为 P 的 z 坐标,那么规定:当点 P 与 z 轴的正半轴在 xOy 平面的同 侧, P 的 z 坐标为线段 PQ 的长度; 点 当点 P 与 z 轴的正半 轴在 xOy 平面的异侧,点 P 的 z 坐标为线段 PQ 的长度的 相反数.

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问题 3

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对于任意给定三个实数的有序数组(x,y,z),如何

确定空间一个点的位置与之对应?
已知点 P(x,y,z),可以先确定点 P′(x,y,0)在 xOy 平 面上的位置,|P′P|=|z|,如果 z=0,则点 P 即点 P′;如果 z>0,则点 P 与 z 轴的正半轴在 xOy 平面的同侧;如果 z<0, 则点 P 与 z 轴的负半轴在 xOy 平面的同侧. 问题4 在平面上如何画空间直角坐标系?
答 如下图, 在平面上画空间直角坐标系 Oxyz 时, 一般使 ∠xOy=135° ,∠yOz=90° .

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问题 5 x 轴、y 轴、z 轴上的点的坐标有何特点?xOy 平面、 yOz 平面、xOz 平面上的点的坐标有何特点?
答 x 轴上的点(x,0,0);y 轴上的点(0,y,0);z 轴上的点(0,0,
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z);xOy 平面上的点(x,y,0);yOz 平面上的点(0,y,z);xOz 平面上的点(x,0,z).
小结 在空间直角坐标系中,对于空间任意一点 P,都可以 用一个三元有序数组(x,y,z)来表示;反之,任何一个三元 有序数组(x,y,z)都可以确定空间中的一个点.这样,在空 间直角坐标系中,点与三元有序数组之间建立了一一对应的 关系.

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例 1 如 图 , 在 长 方 体 OABC -

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D′A′B′C′中, |OA|=3, |OC|=4, |OD′| =2.写出四点 D′,C,A′,B′的坐标.
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解 点 D′在 z 轴上,且|OD′|=2,它的 z 坐标是 2;它的 x 坐标与 y 坐标都是零,所以点 D′的坐标是(0,0,2).点 C 在 y 轴上,且|OC|=4,它的 y 坐标是 4;它的 x 坐标与 z 坐 标都是零,所以点 C 的坐标是(0,4,0).同理,点 A′的坐标 是(3,0,2).点 B′在 xOy 平面上的射影是 B,因此它的 x 坐 标与 y 坐标与点 B 的 x 坐标与 y 坐标相同.在 xOy 平面上, 点 B 的 x 坐标为 3, 坐标为 4; B′在 z 轴上的射影是 D′, y 点 它的 z 坐标与点 D′的 z 坐标相同,点 D′的 z 坐标为 2.所 以点 B′的坐标是(3,4,2).

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小结 求空间一点 M 的坐标,常用方法是:过 M 做 MM1 垂直于 xOy 平面,垂足为 M1,求出 M1 的 x 坐标和 y 坐标,
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再求出点 M 的 z 坐标,于是得到 M 点的坐标(x,y,z),注 意 z 坐标的正负.

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跟踪训练 1 设有长方体 ABCD-A′B′C′D′,如图所示, 长,宽,高分别为|AB|=4 cm,|AD|=3 cm, |AA′|=5 cm,N 是线段 CC′的中点.分别 以 AB,AD,AA′所在的直线为 x 轴,y 轴,
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z 轴, 1 cm 为单位长, 以 建立空间直角坐标系. (1)求点 A,B,C,D,A′,B′,C′,D′ 的坐标; (2)求点 N 的坐标.

解 (1)A,B,C,D 都在平面 xOy 内,z 坐标都为 0,它们在 x 轴, 轴所组成的平面直角坐标系中的坐标分别是 A(0,0), y B(4,0), C(4,3), D(0,3). 因此空间坐标分别是 A(0,0,0), B(4,0,0), C(4,3,0), D(0,3,0).

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A′,B′,C′,D′同在一个垂直于 z 轴的平面内,这个平面 与 z 轴的交点 A′在 z 轴上的代表数是 5,故这四个点的 z 坐标 都是 5,从这四点作 xOy 平面的垂线交 xOy 平面于 A,B,C,
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D 四点,故 A′,B′,C′,D′的 x,y 坐标分别与 A,B,C, D 相同, 由此可知它们的空间坐标分别是 A′(0,0,5), B′(4,0,5), C′(4,3,5),D′(0,3,5).
(2)N 是线段 CC′的中点,有向线段 CN 的方向是与 z 轴正方向 相同,|CN|=2.5,因此 N 的 z 坐标为 2.5,C 在 xOy 平面内的平 面坐标为(4,3), 这就是 N 的 x, 坐标, N 的空间坐标为(4,3,2.5). y 故

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探究点三 么特点?
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空间中点的对称问题

问题 1 在空间直角坐标系中,关于哪个平面对称的点有什

问题 2

关于哪个平面的对称点在哪个平面上的坐标不变,另外
在空间直角坐标系中,关于哪条坐标轴对称的点有什么

的坐标变成原来的相反数.
特点?



关于哪条坐标轴的对称点哪个坐标不变, 另两个坐标变为原

来的相反数. 问题 3 在空间直角坐标系中,关于原点对称的点的坐标有什么 特点? 答 三个坐标分别互为相反数.

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例 2 如图所示,长方体 ABCD-A1B1C1D1

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的对称中心为坐标原点 O, 交于同一顶点的 三 个 面分 别平 行于 三个 坐 标平 面, 顶点
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A(-2, -3, -1), 求其它 7 个顶点的坐标.



长方体的对称中心为坐标原点 O,因为顶点坐标为

A(-2,-3,-1),所以 A 关于原点的对称点 C1 的坐标为 (2,3,1). 又因为 C 与 C1 关于坐标平面 xOy 对称, 所以 C(2,3, -1).而 A1 与 C 关于原点对称,所以 A1(-2,-3,1).又因 为 C 与 D 关于坐标平面 yOz 对称,所以 D(-2,3,-1).

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因为B与C关于坐标平面xOz对称,所以B(2,-3,-1). B1与B关于坐标平面xOy对称,所以B1(2,-3,1).同理 D1(-2,3,1).综上可知长方体的其它7个顶点坐标分别为:
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C1(2,3,1),C(2,3,-1),A1(-2,-3,1),B(2,-3,-1), B1(2,-3,1),D(-2,3,-1),D1(-2,3,1).

小结

这类题要利用空间点的对称性来解,对空间点的对称

性记忆如下:“关于谁对称,谁不变,其余的相反”.如关 于 x 轴对称,x 坐标不变,其余坐标变成相反数;关于平面 xOy 对称,x 坐标与 y 坐标不变,z 坐标变成相反数.

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跟踪训练 2 已知点 P(2,-5,8),分别写出点 P 关于原点, x 轴,y 轴,z 轴和 xOz 平面的对称点.
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解 点 P(2,-5,8)关于原点的对称点为(-2,5,-8).
点 P 关于 x 轴,y 轴,z 轴的对称点分别为:(2,5,-8), (-2,-5,-8),(-2,5,8). 点 P 关于 xOz 平面的对称点为(2,5,8).

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1.点 P(-2,0,3)位于 A.y 轴上 C.xOz 平面内 解析 B.z 轴上 D.yOz 平面内

( C )

由点 P 的 y 坐标为零知点 P 在 xOz 平面内.

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2.点 P(-3,2,1)关于 Q(1,2,-3)的对称点 M 的坐标是______.

解析 设 M 坐标为(x,y,z),
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x-3 2+y 1+z 则有 1= 2 ,2= 2 ,-3= 2 , 解得 x=5,y=2,z=-7,∴M(5,2,-7).

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3.求点 M(2,-3,1)分别关于 xOy 平面、y 轴和原点的对 称点.


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点 M 关于 xOy 平面的对称点是第三个分量变号, 即(2,

-3,-1),关于 y 轴的对称点是第一、第三个分量变号, 即(-2,-3,-1),关于原点的对称点是三个分量都变号, 即(-2,3,-1).

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1.结合长方体的长、宽、高,理解点的坐标(x,y,z),培养立体 思维,增强空间想象能力.
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2.建立适当的空间直角坐标系,并会求相应点的坐标. 3.空间中两点 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则 AB 中点坐标为 ?x1+x2 y1+y2 z1+z2? ? ? . , , ? 2 2 2 ? ? ? 4.空间直角坐标系中的点关于坐标轴、坐标平面对称点的坐标求 法,可用口诀“关于谁谁不变,其余的相反”.


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