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2016届云南省高三第二次统一检测文数试题 含解析


一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.)
1.已知集合 S ? ?1, 2? , T ? x | x 2 ? 4 x ? 3 ,则 S ? T ? ( A. ?1? 【答案】B 【解析】 试题分析:因 T ? {x | 1 ? x ? 3} ,故 S ? T ? {2} ,应选 B. 考点

:集合的交集运算. 2.函数 f ? x ? ? cos ? x ? A.原点对称 C.直线 x ? 【答案】A B. ?2?

?

?

) C. 1 D. 2

? ?

5? ? ? 的图象关于( 2 ?

) B. y 轴对称 D.直线 x ? ?

5? 对称 2

5? 对称 2

考点:三角函数的图象和性质的运用. 3.已知 i 为虚数单位,复数 z ? 1 ? 在复平面内对应的点位于( A.第一象限 C.第三象限 【答案】D 【解析】 试题分析:因 z ? 1 ? i ,故对应的点在第四象限,应选 D. 考点:复数的概念和运算. 4.已知平面向量 a 与 b 的夹角等于 A. B.第二象限 D.第四象限

1 i



?

?

? ? ? ? 5? ,如果 a ? 4, b ? 3 ,那么 2a ? b ? ( 6
B.9
-1-

) D.10

55

C.

91

【答案】C 【解析】 试题分析:因 (2a ? b) 2 ? 4 ? 4 2 ? 4 ? 4 3 ? (? 考点:向量的数量积公式及运用. 5.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , S11 ? 22, a4 ? ?12 ,若 am ? 30 , 则 m ? ( A.9 【答案】B B.10 C.11 ) D.15

? ? 3 ) ? 3 ? 91 ,故 2a ? b ? 91 ,应选 C. 2

考点:等差数列的前 n 项和的性质及运用. 6.若运行如图所示程序框图,则输出结果 S 的值为( )

A.

3 7

B.

4 9

C.

9 20

D.

5 11

【答案】D

考点:算法流程图的识读和理解.
-2-

7.下图是一个空间几何体的三视图(注:正视图也称主视图,侧视图也称左视图)正视图、侧视 图、俯视图都是等腰直角三角形,如果这三个等腰直角三角形的斜边长都为 3 2 ,那么这个几何体的表 面 积为( )

A.

9 3 2

B.

27 2

C.

9 3 ? 27 2

D.9 3 ?

27 2

【答案】C 【解析】 试题分析: 由三视图所提供的图形信息和数据信息可知该几何体是一个棱长均为 3 的正三棱锥,故其表面积 为 S ? 3?

1 3 27 ? 9 3 ,故应选 C. ? 3? 3 ? ? (3 2 ) 2 ? 2 4 2

考点:三视图的识读和理解. 8.甲、乙两名学生在 5 次数学考试中的成缋统计如下面的茎叶图所示,若 x甲 、 x乙 分别表示甲、乙 两人的平均成绩,则下列结论,正确的是( )

A. x甲 > x乙 ,乙比甲稳定 C. x甲 < x乙 ,乙比甲稳定 【答案】A 【解析】 试题分析: 因 x甲 ?

B. x甲 > x乙 ,甲比乙稳定 D. x甲 < x乙 ,甲比乙稳定

74 ? 82 ? 88 ? 91 ? 95 77 ? 77 ? 78 ? 86 ? 92 ? 86 , x乙 ? ? 82 ,故 x甲 > x乙 .而甲的方 5 5
-3-

差 , s1

2

12 2 ? 4 2 ? 2 2 ? 5 2 ? 9 2 5 2 ? 5 2 ? 4 2 ? 4 2 ? 10 2 2 2 ? ? 54 , 乙的方差 s 2 ? ? 36.2 , 显然 s 2 ? s12 , 5 5

即乙比甲稳定.所以应选 A. 考点:平均数和方差的运用. 9.设 F1 , F2 是椭圆 E 的两个焦点, P 为椭圆 E 上的点,以 PF1 为直径的圆经过 F2 ,若

tan ?PF1 F2 ? 5 6

2 5 ,则椭圆 E 的离心率为( 15
B.



A.

5 5

C.

5 4

D.

5 3

【答案】D

考点:椭圆的几何性质及运用. 【易错点晴】椭圆是圆锥曲线的重要代表曲线之一,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时 要充分利用题设中提供的有关信息,运用椭圆的几何性质和题设中的条件将问题转化为求点 | PF1 |, | PF2 | 的 值 的 问 题 . 解 答 时 充 分 运 用 题 设 条 件 tan ?PF1 F2 ?

2 5 和勾股定理,通过解直角三角形求得 15

| PF2 |?

2 5 7 5 5 .借助椭圆 ? (2c) , | PF12 |? ? (2c) ,然后运用椭圆的定义建立方程求得离心率 e ? 15 15 3

的定义建立方程是解答好本题的关键. 10.已知体积为 4 6 的长方体的八个顶点都在球 O 的球面上,在这个长方体经过同一个顶点的三 个面中,如果有两个面的面积分别为 2 3 、 4 3 ,那么球 O 的体积等于( )

A.

32? 3

B.

16 7? 3

C.

33? 2

D.

11 7? 2

【答案】A 【解析】 试 题 分 析 : 设 这 两 个 面 的 边 长 分 别 为 a, b, c , 则 不 妨 设 ab ? 2 3 , bc ? 4 3 , abc ? 4 6 , 则
-4-

a ? 2, b ? 6, c ? 2 2 , 则 该 长 方 体 的 外 接 球 的 直 径 d ? 2 ? 6 ? 8 ? 4 , 故 球 的 体 积 为

V ?

4 32 ? ? 2 3 ? ? ,应选 A. 3 3

考点:球与几何体的外接和体积的计算. 11.已知焦点在 y 轴上的双曲线 C 的中心是原点 O ,离心率等于

5 ,以双曲线 C 的一个焦点为圆 2


心, 1 为半径的圆与双曲线 C 的渐近线相切,则双曲线 C 的方程为(

x2 A. ? y2 ? 1 4
C. y ?
2

y2 B. ? x2 ? 1 4
D.

x2 ?1 4

y 2 x2 ? ?1 16 4

【答案】B

考点:双曲线的几何性质及运用. 【易错点晴】双曲线是圆锥曲线的重要代表曲线之一,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题 时要充分利用题设中提供的有关信息,运用双曲线的几何性质和题设中的条件运用点到直线的距离公式先 求出 b ? 1 .再借助题设中的离心率

c 5 求出 a, b 的值.求解时巧妙地运用设 c ? 5t , a ? 2t ,然后运用 ? a 2

b ? t ? 1 求出 a ? 2 .
12.设数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n 2 ? bn ,若数列 ?an ? 是单调递增数列,则实数 b 的取值范围为 ( ) B.? ?2, ?? ? C.? ?3, ?? ? D.? ?

A.?1, ?? ? 【答案】C 【解析】

? 9 ? , ?? ? ? 2 ?

试题分析:因该函数的对称轴 n ? ? C.

b b 3 ,结合二次函数的图象可知当 ? ? ,即 b ? ?3 时,单调递增,应选 2 2 2

考点:数列的单调性等有关知识的综合运用.
-5-

【易错点晴】数列是高中数学中的重要内容之一,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要 充分利用题设中提供的有关信息,借助二次函数的对称轴进行数形结合,合理准确地建立不等式是解答好本 题的关键.求解时很多学生可能会出现将对称轴 n ? ? 是极其容易出现的错误之一.

b b 放在 1 的左边而得 ? ? 1 ,而得 b ? ?2 的答案.这 2 2

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,满分 20 分. )
13.函数 f ? x ? ? 【答案】 ?2

3 sin x ? cos x 的最小值为



考点:三角函数的图象和性质. 14.某工厂生产的 A 、 B 、 C 三种不同型号的产品数量之比依次为 2 : 3 : 5 ,为研究这三种产品的质 量,现用分层抽样的方法从该工厂生产的 A 、 B 、C 三种产品中抽出样本容量为 n 的样本,若样本中 A 型产品有 16 件,则 n 的值为 【答案】 80 【解析】 试题分析:因 .

2 ? n ? 16 ,故 n ? 80 ,应填 80 . 2?3?5

考点:分层抽样的方法和计算.

?3 x ? 2 y ? 6 ? 0 ? 15.若 x, y 满足约束条件 ? x ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的取值范围是 ?y ? 0 ?
【答案】 ? ?4, 0?



-6-

考点:线性规划的知识及运用. 【易错点晴】本题考查的是线性规划的有关知识及综合运用 . 解答时先依据题设条件画出不等式组

?3 x ? 2 y ? 6 ? 0 ? 表示的平面区域如图, 借助题设条件搞清楚 ? z 的几何意义是动直线 y ? 2 x ? z 在 y 轴 ?x ? 0 ?y ? 0 ?
上的截距的取值范围问题.然后数形结合,平行移动动直线 y ? 2 x ? z ,通过观察可以看出当动直线经过坐 标原点 O (0,0) 时, z max ? 0 ; 当动直线 y ? 2 x ? z 经过坐标轴上的点 A(?2,0) 时, z min ? ?4 ,故其取值范围 是 (?4,0] . 16.已知 f ? x ? 的定义域为实数集 R, ?x ? R, f ? 3 ? 2 x ? ? f ? 7 ? 2 x ? ,若 f ? x ? ? 0 恰有 n 个不同实 数根,且这 n 个不同实数根之和等于 75 ,则 n ?
-7-



【答案】 15

考点:函数的零点、图象和性质的综合运用. 【易错点晴】本题考查的是函数的零点的个数等有关知识的综合运用 .解答时先依据题设条件搞清楚若

3 ? 2 x 是方程 f ? x ? ? 0 的根,则 7 ? 2 x 一定是方程 f ? x ? ? 0 的根.即它的根一定是成双对的出现,且满足
其 和 为 定 值 10 . 因 此 在 求 解 时 , 先 t1 ? 2 x1 ? 3 是 方 程 f ? x ? ? 0 的 一 个 根 , 则 t 2 ? 7 ? 2 x 2 也 是 方 程

f ? x ? ? 0 的一个根,再运用 t1 ? t 2 ? 10 求得 x1 ? x 2 ? 5 ,然后建立方程求得 n ? 15 .
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ?? 17.(本小题满分 12 分 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 对的边分别为 a 、 b 、 c , m ? ? sin B,5sin A ? 5sin C ?
与 n ? ? 5sin B ? 6sin C ,sin C ? sin A ? 垂直. (1)求 sin A 的值; (2)若 a ? 2 2 ,求 ?ABC 的面积 S 的最大值. 【答案】(1) 【解析】 试题分析:(1)借助题设条件运用向量的数量积公式及余弦定理的知识求解;(2)借助题设条件运用基本不 等式求解. 试题解析: (1)? m ? ? sin B,5sin A ? 5sin C ? 与 n ? ? 5sin B ? 6sin C ,sin C ? sin A ? 垂 直,? m?n ? 5sin B ? 6sin B sin C ? 5sin C ? 5sin A ? 0 , 即 sin 2 B ? sin 2 C ? sin 2 A ?
2 2 2

?

4 ;(2) 4 . 5

??

?

?? ?

6sin B sin C . 5

根据正弦定理得 b 2 ? c 2 ? a 2 ?

6bc . 5

由余弦定理得 cos A ?

b2 ? c2 ? a 2 3 ? . 2bc 5

? A 是 ?ABC 的内角,? sin A ? 1 ? cos 2 A ?
(2) 由 (1) 知 b2 ? c2 ? a2 ? 面积 S ?

4 . 5

6bc 6bc .? ? b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2bc ? a 2 .又? a ? 2 2,? bc ? 10.? ?ABC 的 5 5

bc sin A 2bc ? ? 4,??ABC 的面积 S 最大值为 4 . 2 5
-8-

考点:向量的数量积、余弦定理、基本不等式等有关知识的综合运用. 18.(本小题满分 12 分)一个盒子中装有四张卡片,每张卡片上写有一个数字,数字分别是 1, 2,3, 4 , 现从盒子中随机抽取卡片,每张卡片被抽到的概率相等. (1)若一次抽取三张卡片,求抽到的三张卡片上的数字之和大于 7 的概率; (2)若第一次抽一张卡片,放回后搅匀再抽取一张卡片,求两次抽取中至少有一次抽到写有数字 3 的卡 片 的概率. 【答案】(1)

1 7 ;(2) . 2 16

考点:列举法和古典概型的计算公式等有关知识的综合运用. 19.(本小题满分 12 分)如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, D 为 AA1 的中点, E 为 BC 的中点. (1)求证:直线 AE ? 平面 BDC1 ; (2)若三棱柱 ABC ? A1 B1C1 是正三棱柱, AB ? 2, AA1 ? 4 ,求 C 到平面 BDC1 的距离.

-9-

【答案】(1)证明见解析;(2)

4 5 . 5

- 10 -

考点:空间线面的位置关系和多面体的体积与面积等有关知识的综合运用. 20.(本小题满分 12 分)已知抛物线 x ? 4 y 的焦点为 F ,准线为 l ,经过 l 上任意一点 P 作抛物
2

线 x ? 4 y 的两条切线,切点分别为 A 、 B .
2

(1)求证: PA ? PB ; (2)求 AF ?FB ? PF 的值. 【答案】(1)证明见解析;(2) 0 .

??? ? ??? ? ??? ?2

- 11 -

考点:直线与抛物线的位置关系等有关知识的综合运用. 【易错点晴】 本题是一道考查直线与抛物线的位置关系的综合性问题.解答本题的第一问的证明垂直问题时, 直接依据题设条件将点 P, A, B 的坐标设出来,然后运用点 P, A, B 与抛物线的关系进行合理推证,进而获证. 第二问的求解过程中,先将向量 AF 与 BF 的数量积算出来,再用 A, B 的坐标表示算得 AF ? BF ? a ? 4 ,
2

最后求得 PF ? a ? 4 ,从而推得,进而推证得 AF ? BF ? PF .从而使得问题获解.
2

2

2

21.(本小题满分 12 分)已知 e 是自然对数的底数, F ? x ? ? 2e (1)求曲线 y ? F ? x ? 在点 1, F ?1? 处的切线方程; (2)当 a ? 4, x ? 1 时, 求证: F ? x ? ? f ? x ? . 【答案】(1) 4 x ? y ? 1 ? 0 ;(2)证明见解析.

x ?1

? x ? ln x, f ? x ? ? a ? x ? 1? ? 3 .

?

?

- 12 -

考点:导数在研究函数的单调性和最值极值等方面的综合运用. 【易错点晴】 导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数 a 的两个函 数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能 力.本题的第一问求解时借助导数的几何意义,从而求得函数 F ( x) 在 x ? 1 处的切线的斜率,进而求得切线 的方程为 4 x ? y ? 1 ? 0 ;第二问的推证中借助导数,运用导数与函数单调性的关系运用分类整合的数学思 想进行分类进行推证,从而使得问题简捷巧妙获证.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.解答时请 写清题号.
22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, ?ABC 是 ? O 的内接三角形, BT 是 ? O 的切线, P 是线段 AB 上一点,经过 P 作 BC 的平行直 线 与 BT 交于 E 点,与 AC 交于 F 点. (1)求证: PE ?PF ? PA?PB ; (2)若 AB ? 4 2, cos ?EBA ?

1 ,求 ? O 的面积. 3

- 13 -

【答案】(1)证明见解析;(2) 9? .

考点:相似三角形的性质、圆幂定理和正弦定理等有关知识的综合运用. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直用坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ?

? x ? 3t ? 3 (t 为参数〕.在以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为 ? y ? 4t ? 9
? ? ,圆 A 的半径为 3 . ?

极轴的极坐标系中,圆心 A 的极坐标为 ? 2,

? ?

2? 3

(1)直接写出直线 l 的直角坐标方程,圆 A 的极坐标方程; (2)设 B 是线 l 上的点, C 是圆 A 上的点,求 BC 的最小值.
- 14 -

【答案】(1) 4 x ? 3 y ? 15 ? 0 , ? 2 ? 2 ? cos ? ? 2 3? sin ? ? 5 ? 0 ;(2)

4?3 3 . 5

考点:极坐标、参数方程和圆的几何性质等有关知识的综合运用. 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知常数 a 是实数, f ? x ? ? x ? 2a , f ? x ? ? 4 ? 2a 的解集为 ? x | ?4 ? x ? 0? . (1)求实数 a 的值; (2)若 f ? x ? ? f ? ?2 x ? ? x ? m 对任意实数 x 都成立,求实数 m 的取值范围. 【答案】(1) a ? 1 ;(2) ? 2, ?? ? . 【解析】 试题分析:(1)借助题设条件运用绝对值不等式的几何意义求解;(2)借助题设条件运用分类整合的思想分 类讨论进行求解. 试题解析: (1)由 f ? x ? ? 4 ? 2a 得 x ? 2a ? 4 ? 2a .? 2a ? 4 ? x ? 2a ? 4 ? 2a ,即 ?4 ? x ? 4 ? 4a . 由已知得 4 ? 4a ? 0 ,解得 a ? 1,? a ? 1 . (2)由 f ? x ? ? f ? ?2 x ? ? x ? m 得 x ? 2 ? 2 x ? 1 ? x ? m ,设

- 15 -

考点:绝对值不等式和分类整合思想等有关知识的综合运用.

- 16 -

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