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2、概率定义和古典概型


1.3 频率与概率

对于一个随机事件来说, 对于一个随机事件来说,在一次试

验中可能发生, 验中可能发生,也可能不发生, 也可能不发生,我们希

望有一个能刻划随机事件发生的可能性

大小的数量指标, 大小的数量指标,即概率, 即概率,以 P ( A)表示

事件A 事件A的概率 。

一、频率

1、频率: 频率:设事件A在 n 次试验中
NA f n ( A) = n

出现了N A 次,则称



n 次试验中事件A出现的频率。 出现的频率。

频率能反映事件A发生的可能

性大小, 性大小, 因此在大量重复试验中 常用频率作为概率的近似值. 常用频率作为概率的近似值 .

2、频率的性质

1)非负性

即对任一随机事件A,有 0 ≤ f n ( A) ≤ 1

2)规范性

即S是必然事件, 是必然事件,则

fn (S) = 1

3)有限可加性: 有限可加性:
k k

则 f n ( U A i )= ∑ f n ( A i)
i=1

A 1 , A 2 , L A k 为两两互不相容的事件

i=1

3、概率的统计定义 的增大, n 的增大,

如果随着试验次数

事件A发生的频率在区间 [0,1] 上某

个数字p附近摆动, 附近摆动,则称事件A发

生的概率为p。

二、概率的公理化定义

由于统计定义试验次数的不确 定性, 定性,使用现代数学工具的不便 性,限制了概率论的发展, 限制了概率论的发展,这就产 生了概率的公理化定义。 生了概率的公理化定义。

(一)公理化定义: 公理化定义:设 E 是随机试

验, S 是 E 的样本空间, 的样本空间,对于

E的每一事件A,赋于一实数, 赋于一实数,

称为事件A的概率, 的概率,记为 P ( A)

并规定 P ( A) 必须满足下列三条 必须满足下列三条

公理: 公理:

1)非负性: 非负性:P ( A ) ≥ 0 2)规范性: 规范性: P (S ) = 1

3)可列可加性: 可列可加性:若事件 A1 , A2 L 两两互不相容即

Ai A j = φ (i ≠ j )
∞ i=1 ∞

(i , j = 1,2L)



? = P? A ?U i ? ? i=1 ?

∑ P (Ai )

(二) 基本 性质 1)

P (φ ) = 0

Q S = S ∪φ ∪L

由公理3) ? P (φ ) = 0

2) 有限可加性:若 A1 , A2 ,L An

两两互不相容, 两两互不相容, 即

Ai Aj = φ (i ≠ j )
n n ? P ? U Ai ? = ? ? i=1 ?

(i , j = 1,2Ln)
∑ P (Ai )
i=1



令 An+1 = L = φ

由公理3)及1) 可得 有限可加性

3)对任何事件A有
AA = φ

P ( A) = 1 ? P ( A)

QA∪ A = S
= P(S ) = 1

P ( A U A) = P ( A ) + P ( A )

∴ P ( A) = 1 ? P ( A)

4)若 B ? A ,

则 P ( A ? B ) = P ( A) ? P ( B )

且 P ( A) ≥ P ( B ) 证:由 B ? A ? A = B U ( A ? B ) 而 B ? ( A ? B) = φ 故 P ( A) = P ( B ) + P ( A ? B )

S

A B

移项即得:
P ( A ? B ) = P ( A) ? P ( B )

又 故
P ( A) ≥ P ( B )

Q P( A ? B) ≥ 0

5)对任意 对任意两事件 A与 B 有

P ( A U B ) = P ( A) + P ( B ) ? P ( AB )

证: Q A U B = A U ( B ? AB ) 且 A( B ? AB ) = φ , AB ? B
= P ( A) + P ( B ) ? P ( AB )

∴ P ( A U B ) = P ( A) + P ( B ? AB )
A

S

B

推广到三个事件的情形

P( A U B U C )

= P ( A) + P ( B U C ) ? P[ A( B U C )] = P ( A) + P ( B) + P(C ) ? P ( BC )

?[ P( AB ) + P( AC ) ? P ( ABC )]

= P ( A) + P ( B ) + P (C ) ? P ( BC ) ? P ( AB ) ? P ( AC ) + P ( ABC )

推广到n个事件: 个事件:
n

? ? P?U Ai ? = ∑ P( Ai ) ? ∑ P( Ai Aj ) + L ? i=1 ? i=1 1≤i ≤ j≤n + (? 1) P( A1 LAn )
n?1

n

1 例1:设P ( A ) = 3

1 ,P (B ) = 2

1) 若 AB = φ ,求 P (B A)

解: Q AB = φ

1 P B A = P ( B ? AB ) = P( B) ? P( AB) = P( B) = 2

( )

1 例1:设P ( A ) = 3

2)若 A ? B ,求 P (B A)

1 ,P (B ) = 2

解: Q A ? B

∴ P (B A)= P ( B ? A) = P ( B ) ? P ( A) 1 1 1 = ? = 2 3 6

1 例1:设P ( A ) = 3

1 3)若 P ( AB ) = ,求P (B A) 8 解: P (B A) = P ( B ? AB )
= P ( B ) ? P ( AB )

1 ,P (B ) = 2

1 1 3 = ? = 2 8 8

1.4 1.4

等可能概型( 等可能概型(古典概型) 古典概型)

1、定义: 定义:满足以下两个特征的随机

试验称为古典概型。 (1)有限性: 有限性:试验E 试验E的样本空间

中只有有限个样本点 如: s = {e1 , e2 ,L, en }

(2)等可能性: 等可能性:每个基本事件出现

的可能性相同 的可能性相同, 性相同,即: 1 P (e1 ) = P (e2 ) = L = P (en ) = n

这种试验是概率论发展早期

研究对象, 研究对象,称古典概型。 古典概型。

古典概型的 古典概型的计算公式: 计算公式:

A 包含的基本事件数 P (A ) = 基本事件总数 r = n

计算事件A的概率, 的概率,关键在于弄

清楚什么是样本点, 清楚什么是样本点,样本空间中包含 样本空间中包含 样本点的总数以及A所包含的样本点

数,当样本点较多时, 当样本点较多时,很难将它们一

一列出, 一列出,需用排列、 需用排列、组合的知识进行

分析。 分析。

2 、排列组合公式

1)从n 个不同元素中取出r 个元素

且考虑其顺 序称为排列 序称为排列, 排列,其排列总

数为: 数为:

A = n( n ? 1)L(n ? r + 1)

r n

2) 从 n个元素中取出 r个元素, 个元素,而 不考虑其顺序, 不考虑其顺序,称为组合 称为组合, 组合,其组合 的总数为: 的总数为:
r n r n r n

C =
n r

()
r n

A n! = = r! r!(n ? r )!

Q A = C ? r!

3)加法原理

设完成一件事有m种方式, 种方式,

第一种方式有n1种方法, 种方法, 第二种方式有n2种方法,

则完成这件事总共 …; 第m种方式有nm种方法, 有n1 + n2 + … + nm 种方法 . 无论通过哪种方式都可 以完成这件事, 以完成这件事,

4) 乘法原理

设完成一件事有m个步骤, 个步骤, 第一个步骤有n1种方法, 种方法, 第二个步骤有n2种方法, 则完成这件事共 …; 第m个步骤有nm种方法,

n1 × n2 ×L× nm

必须通过每一步骤,

种不同的方法 .

才算完成这件事, 才算完成这件事,

3、举 例

例1 有一号码锁上有6个拨盘, 个拨盘,每个

拨盘有 0 ,1, 2 , L , 9 十个数字, 十个数字,给定

一个6位数字暗码, 位数字暗码,只有拨对号码

时,才能将锁打开。 才能将锁打开。 问:“一次就能打开”的概率是多

少?

解:样本空间中样本点总数为 样本空间中样本点总数为

n = 10
6

设 A=“一次就把锁打开”

A所含样本点数

r =1

1 ∴ P (A ) = 10 6

例2 袋中装有n 个球, 个球,其中有 n 1 个 个, 白球和 n2 个黑球, 个黑球,从中任取 m 问所取的球中恰含有 m 1 个白球

和 m 2 个黑球的概率。 个黑球的概率。

(n = n1 +n2 , m = m1 + m2 )

解:设

A=“所取的球中恰含有 m1 个白球 和 m 2 个黑球”
m1 n1

A事件的取法为: 事件的取法为: C
C C
m1 n1

?C

m2 n2

样本空间的基本事件总数为 :
C
m n m2 n2

C

m n

所以

P (A ) =

称此为超几何分布公式 称此为超几何分布公式

此例可推广到

n1 + n2 + L nk = n

m1 + m 2 + L m k = m
m m Cm C L C n n n
1 2 1 2 k k

P (A ) =

Cm n

例3 将 n只球随机地放入 N ( N ≥ n )

个盒子中去, 个盒子中去,每球放入各盒等可能, 每球放入各盒等可能, 试求下列事件的概率: 试求下列事件的概率:

① A =" 指定 n个盒子各含一个球 "

② B =" 每个盒子至多一个球 "

③ C ="某指定盒恰含m个球"

解: 这是一个古典概型问题,由 于每个球可落 入 N 个盒子中的任

一个盒子, 一个盒子,故有

N × N ×L× N = N

n

种不同放法(重复排列) 重复排列)

① A =" 指定 n个盒子各含一个球 "

事件A中样本点数取决于n个球 个盒子中的顺序, 放入n个盒子中的顺序 ,故A包

含的样本点数为: 含的样本点数为:n! n! P ( A) = n 所以 N

② B =" 每个盒子至多一个球 "

事件B与事件A的差异仅在于各含 有指定, 一球的n个盒子没有指定 ,所以 B

的样本点数为: 的样本点数为:

C ? n! = A
n N

n N

所以

A P (B ) = N

n N n

③ C ="某指定盒恰含m个球"

下面我们来求 事件 C所含样 本点数, 本点数 ,我们先取m个球放入指
m n

定盒中, 定盒中,共有 C 种取法, 种取法,然 下的( 后再把剩下的 (n-m)个球任意

放入其余(N-1)个盒中,放法有 n?m ( N ? 1) 种,

根据乘法原理可得C的样本点数为: 的样本点数为:

C ( N ? 1)
m n
m n n? m

n? m

C ( N ? 1) 所以 P (C ) = n N

注:有不少实际问题与(2)有相同模型

② B =" 每个盒子至多一个球 "

例如: 例如:假设每人的生日在一年365

天中的任一天是等可能的, 是等可能的,即都 1 为: 365 ,则随机选取 n ≤ (365)

个人,它们的生日各不相同的概

率问题,可以将365天看作盒子

N = 365 , 个球。 n 个人看作 n个球。

设A=“n个人生日各不相同”
A P ( A) = 365
n 365 n

所求概率为: 所求概率为:

(即生日各不相同的概率) 各不相同的概率)

于是 n 个人中至少有两人生日
A P (A ) = 1 ? 365
n 365 n

相同的概率为: 相同的概率为:

经计算可得下述结果:

n P

20 30 40 50 64 100 0.41 0.71 0.89 0.97 0.997 0.9999997

从表中可看出,在仅有64人的班 级里“至少有两人生日相同”这事 件的概率与1相差无几。

例4 公平抽签问题:

袋中有 a 个白球, 个白球,b 个彩球, 从中逐一摸出,试求第 k 次摸得彩

球的概率。 球的概率。

解:将 a 只白球和 b只彩球都看作

不同的( 不同的(设想将其编号)若把摸出 的球依次排列在 a + b 个空格内,

则可能的排列法相当于把 a + b 个 排列, 元素进行全排列 ,总数为 (a + b )!

(1 ≤ k ≤ a + b) 又设 Ak =“第 k 次摸得彩球”

则第 k 个空格内可以是 b 个彩球中 1 的任一个, 的任一个,共有 C b 种结果,其余 a + b ? 1个球在余下的 a + b ? 1 个空 格内进行任意排列,共有 (a + b ? 1)!

种排列。 种排列。

所以事件 Ak 包含的样本点数为

r = C ? (a + b ? 1)!
1 b
1 b

所以

C ? (a + b ? 1 )! b P ( Ak ) = = (a + b )! a+b k = 1, 2 , L a + b

结果表明, 结果表明,P ( Ak ) 与 k 无关, 无关,说明无论第几次取

球,取得彩球的概率都相同, 取得彩球的概率都相同,这正好和我们日常生活

经验相符, 经验相符,如体育比赛中进行抽签与抽签的先后次序

无关。 无关。

例5:一口袋6只球, 只球,其中4只白球, 只白球,2只红球, 只红球,

从袋中取球两次, 从袋中取球两次,每次随机取一只, 每次随机取一只,考虑两种 取球方式: 取球方式:a)有放回 b)无放回 试就 a)、b) 两种情况求 两种情况求下列事件的概率 情况求下列事件的概率: 下列事件的概率:

1)取到两只球都是白球; 取到两只球都是白球;

2)取到两只球颜色相同; 3)取到两只球至少有一只是白球

解:a) 有放回

设:A=“取到两只球都是白球” B=“取到两只球都是红球”

C=“取到两只球至少有一只 是白球”

4×4 4 2×2 1 = P (B ) = = 1) P ( A ) = 6×6 9 6×6 9

2) “取到两只球颜色相同”即等价 于事件 A U B
Q AB = φ

5 ∴P ( A U B ) = P ( A ) + P ( B ) = 9

8 3) P (C ) = P (B )= 1 ? P ( B ) = 9

b)无放回

4×3 2 2 ×1 1 1) P ( A) = = P(B) = = 6×5 5 6 × 5 15

2) Q AB = φ

7 ∴P ( A U B ) = P ( A ) + P ( B ) = 15

14 3) P (C ) = P (B ) = 1 ? P ( B ) = 15

例 6 将15名新生随机的平均分配到三个班 级中去, 名是优秀生。 级中去 ,这15名新生中有3名是优秀生 。

(1)每一个班级各分配到一名优秀生的概

率是多少? 率是多少?

(2)3名优秀生分配在同一个班级的概率

是多少? 是多少?

15名新生平均分配到三个班级中的分法总数为 解:
?10 ? ? ? ?5 ? ? 5? 15! ? ?= ? 5 ? 5!5!5!

?15 ? ? ? ?5 ?

每种分配方法为一个基本事件,且由于对称性 知每个基本事件发生的可能性相同。

设A=“每一个班级各分配到一名优秀生”

B=“3名优秀生分配在同一个班级”

(1)A事件中基本事件数为: 事件中基本事件数为:

? 12 ? ? 8 ? ? 4 ? 3!×12 ! 3!× ? ?4 ? ?? ? 4? ?? ? 4? ? = 4! 4! 4! ? ?? ?? ?

所以

3 !×12 ! 15 ! 25 / = P ( A) = 4 ! 4 ! 4 ! 5 ! 5 ! 5! 91

(2)B事件中基本事件数为: 事件中基本事件数为:

? 12 ? ? 7 ? ? 2 ? 3 × 12 ! 3×? ?5 ? ?? ?5? ?? ? 2? ? = 5! 5! 2! ? ?? ?? ?

所以

3 × 12 ! 15 ! 6 P( B) = / = 5 ! 5 ! 2 ! 5 ! 5 ! 5 ! 91


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