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人教版九年级数学《24.2.2直线与圆有关的位置关系》优质课教案


24.2.2 直线与圆有关的位置关系
教学内容:
1.直线和圆的三种位置关系相交、相切、相离和割线、切线、切点、交点 等有关概念。 2.理解和掌握直线和圆的位置关系判别方法: (1)利用直线与圆的公共点的个数(定义)判别。 (2)利用圆的半径 r 和圆心到直线的距离 d 的大小判别。 3.直线和圆的位置关系的综合应用.

教学目标:
(1)了解直线和圆的位置关系和有关概念。 (2)理解和掌握直线和圆的位置关系判别方法。 (3)通过实物和课件演示,让学生体验数形结合的数学思想。从而提高学 生的画图、识图能力。 (4)由点和圆的位置关系归纳、类比出直线和圆的位置关系,从而提高学 生的知识迁移能力。

重难点、关键点、易错点:
1、重点:直线和圆的三种位置关系和两种判别方法。 2、 难点与关键: ?由上节课点和圆的位置关系迁移并运动直线导出直线和圆的位置关系 的三个对应等价。 3、易错点:学生应用基本知识解题时三种位置关系的表示方法和步骤的书

写。

教具电教手段:手制圆形纸片(师生共有)、多媒体课件、刻度尺、圆规。 教学过程: 一、课前复习
(老师口答,学生口答,老师并在黑板上板书)同学们,我们前一节课已经 学到点和圆的位置关系.设⊙O 的半径为 r,点 P 到圆心的距离 OP=d,

O d r

r O d P

O

r d P

P (a)

(b)

(c)

则有:点 P 在圆外 ? d>r,如图(a)所示; 点 P 在圆上 ? d=r,如图(b)所示;
1

点 P 在圆内 ? d<r,如图(c)所示. (幻灯片 2)

二、引入新知:
1、圆形纸片演示和多媒体课件演示引入,给学生直线和圆的位置关系认识初步 的。 2、学生预习课本第 93 页至 94 页(5 分钟) ,并画出重点知识点、记下不理解的 内容。

三、探索新知
活动 1:P93 页思考:把海平面看作一条直线,太阳看作一个圆,由此你能 得出直线与圆的位置关系吗? 由此你能归纳出直线和圆有几种位置关系吗?

l 相交 (a) 相切 (b)

l

相离 (c)

l

如图(a) ,直线 L 和圆有两个公共点,这时我们就说这条直线和圆相交,这 条直线叫做圆的割线. 如图(b) ,直线和圆有一个公共点,这时我们说这条直线和圆相切,?这条 直线叫做圆的切线,这个点叫做切点. 如图(c) ,直线和圆没有公共点,这时我们说这条直线和圆相离. (幻灯片 3—幻灯片 7) 活动 2:判断正误: 1、 直线与圆最多有两个公共点 。…………………( ) 2、 若 C 为⊙O 上的一点,则过点 C 的直线与⊙O 相切。… … … …( ) 3、 若 A、B 是⊙O 外两点, 则直线 AB 与⊙O 相离。… … … … …( ) 4、 若 C 为⊙O 内一点,则过点 C 的直线与⊙O 相交。 ( ) (幻灯片 8—幻灯片 11) 活动 3:思考:如何判断直线与圆的位置关系? 老师点评直线 L 和⊙O 相交 ? d<r,如图(a)所示;

l (a) (b)

l

(c)

l

直线 L 和⊙O 相切 ? d=r,如图(b)所示; 直线 L 和⊙O 相离 ? d>r,如图(c)所示. (幻灯片 12、幻灯片 13) 思考:在相切的情形下,意味着切点即为垂足,为什么呢?
2

小结:直线与圆的位置关系(幻灯片 14)
直线与圆的 位置关系 图 形 相交 相切 相离

公共点个数 公共点名称 直线名称 圆心到直线距离 d 与半径 r 的关系 活动 4、练习 1

1、已知⊙O 的半径为 5cm,O 到直线 a 的距离为 3cm,则⊙O 与直线 a 的位 置关系是_____。直线 a 与⊙O 的公共点个数是____。 2、已知⊙O 的半径是 4cm,O 到直线 a 的距离是 4cm,则⊙O 与直线 a 的 位置关系是 ___ _。 3、已知⊙O 的半径为 6cm,O 到直线 a 的距离为 7cm,则直线 a 与⊙O 的公 共点个数是____。 4、已知⊙O 的直径是 6cm,O 到直线 a 的距离是 4cm,则⊙O 与直线 a 的 位置关系是 ___ _。 练习 2 1、设⊙O 的半径为 4,点 O 到直线 a 的距离为 d,若⊙O 与直线 a 至多只有 一个公共点,则 d 为( ) A、d≤4 B、d<4 C、d≥4 D、d=4 2、设⊙p 的半径为 4cm,直线 l 上一点 A 到圆心的距离为 4cm,则直线 l 与 ⊙O 的位置关系是……………………………………………( ) A、相交 B、相切 C、相离 D、相切或相交 (幻灯片 15—幻灯片 17) 补充例题: (幻灯片 18—幻灯片 21) 例 1:如图,∠ABC=45°⊙O 的圆心在 BC 上运动,设 OB=x,⊙O 的半径为 r, 当⊙O 与 AB 相离、相切、相交时,分别求出与之间应满足的数量关系。

B

O

A
3

C

例 2、如图,已知矩形 ABCD 的边 AB=3,AD=4. (1) 以 A 为圆心, r 为半径的作⊙A,则点 B、C、 D 与⊙A 的位置关系如何? (2)若以点 A 为圆心作⊙A,使 B、C、D 三点中至少有一点在圆内,且至少有 一点在圆外,则的半径的取值范围是什么?

A

D

B
四、归纳总结: (学生总结,老师补充) 1、直线与圆的位置关系 3 种:相离、相切和相交。 2、识别直线与圆的位置关系的方法: (1)一种是根据定义进行识别:

C

直线 L 与⊙ o 没有公共点 直线 L 与⊙o 相离。 直线 L 与⊙o 只有一个公共点 直线 L 与⊙o 相切。 直线 L 与⊙ o 有两个公共点 直线 L 与⊙o 相交。 (2)另一种是根据圆心到直线的距离 d 与圆半径 r 数量 比较来进行识别: d>r 直线 L 与⊙o 相离; 直线 L 与⊙o 相切; d=r 直线 L 与⊙o 相交。 d<r 五、布置作业: 练习:第 94 页 1、2 作业:P101 习题 24.2 复习巩固 1、2 六、课后反思: 用反证法证明“ d=r 直线 L 与⊙o 相切”学生很难理解:①为什么要 证这时候垂足即为切点?②如何用反证法证明“垂足即为切点”?这个问题弄清 楚之后,对下节课讲解切线的性质大有好处。

4

第二课时 一、复习引入:直线与圆的三中位置关系中(幻灯片 2) ,最重要的是直线与圆相切, 本节课重点研究这一种位置关系。 在证明“直线与圆相切 d=r” ,其实证明了“垂直于切线的直径必过切点” ,反之 “经过切点且垂直于切线 的直线必过圆心” 也同样成立。 (板书以上两条切线的性 质) 探讨:过圆心且过切点的直线,是否垂直于切线呢? 二、探索新知: 活动 1、已知直线 l 是⊙O 的切线,切点为 A,连接 0A,你发现了什么? O (幻灯片 3、幻灯片 4)结论:圆的切线垂直于过切点的半径。 A 综合以上三条切线的性质,可总结为:一条直线若满足①过圆心,②过切点,③垂直 于切线这三条中的任意两条,就必然满足第三条。 (板书) 活动 2、画⊙O 及半径 OA,画一条直线 l 过半径 OA 的外端 点, 且垂直于 OA。 你发现直线 l 与⊙O 有怎样的位置关系?为什么? O . (幻灯片 5) 因为 d=r ? 直线 L 和⊙O 相切,这里的 d 是圆心 O 到直线 距离,即垂直,并由 d=r 就可得到 L 经过半径 r 的外端,即半径
l A

L的 OA

的 A 点,因此,很明显的,?我们可以得到切线的判定定理: (幻灯片 6) 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. (板书) 判断下图直线 L 是否是⊙O 的切线?并说明为什么。 (幻灯片 7) 例 1(P95 例 1)直线 AB 经过⊙O 上的点 C,并且 OA=OB,CA=CB, 求证:直线 AB 是⊙O 的切线.(幻灯片 8)略 (学生分组讨论) :根据上面的判定定理,如果你要证明一条直线是⊙O 的切线,你应该 如何证明? (老师点评) :应分为两步: (1)说明这个点是圆上的点, (2)?过这点的半径垂直于 直线. 练习:1.已知:如图,A 是⊙O 外一点,AO 的延长线交 ⊙O 于点 C,点 B 在圆上,且 AB=BC, ∠A=30.求证:直线 AB 是⊙ O的 O C A 切线. (幻灯片 9) 小结:辅助线:有点连圆心,证垂直 2.如图,点 D 是∠AOB 的平分线 OC 上任意一点, 过D A
C

5

D

O

E

B

作 DE⊥OB 于 E,以 DE 为半径作⊙D,判断⊙D 与 OA 的位置关系, 并证明你的结论。 (幻 灯片 10) 小结:辅助线:无点做垂线,证相等 例 2、小红家的锅盖坏了,为了配一个锅盖,需要测量锅盖的直径(锅边所形成的圆的直径),而 小红家只有一把长 20cm 的直尺,根本不够长,怎么办呢?小 红 想了想 , 采取以下方法 : 首先把锅平放到墙根 ,锅边刚好靠到 两 墙,用直尺紧贴墙面量得 MA 的长,即可求出墙的直径,请你利 用 下图,说明她这样做的道理. (幻灯片 11)

练习: (幻灯片 12、幻灯片 13) 三、归纳小结:1、切线的性质定理;2、切线的三条判定定理;3、常见辅助线。 四、布置作业:P101 习题 24.2 复习巩固 4、5; 五、课后反思:本节课内容较多,由于安排得当,课堂完成情况较好;但是从作业中反映 出的问题看,仍然存在着书写证明过程不规范、不严谨的问题。今后在教学中还是要坚持学 习了新的定理之后,要带着学生在课堂上书写证明过程。

第三课时
教学内容 1.切线长的概念. 2.切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,?这一点和圆心 的连线平分两条切线的夹角. 3.三角形的内切圆及三角形内心的概念. 教学目标 了解切线长的概念. 理解切线长定理,了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念,熟练掌握它的应用. 复习圆与直线的位置关系和切线的判定定理、 性质定理知识迁移到切长线的概念和切线 长定理, 然后根据所学三角形角平分线的性质给出三角形的内切圆和三角形的内心概念, 最 后应用它们解决一些实际问题. 重难点、关键 1.重点:切线长定理及其运用. 2.?难点与关键:切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题.
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教学过程 一、复习引入 1.问题 1、经过平面上一个已知点,作已知圆的切线会有怎样的情形? 2.问题 2、经过圆外一点 P,如何准确地作已知⊙O 的切线? (幻灯片 2、幻灯片 3) 二、探索新知 从上面的复习,我们可以知道,过⊙O 上任一点 A 都可以作一条切线,?并且只有一条, 根据下面提出的问题操作思考并解决这个问题. 问题:在你手中的纸上画出⊙O,并画出过 A 点的唯一切线 PA,?连结 PO,?沿着直线 PO 将纸对折,设圆上与点 A 重合的点为 B,这时,OB 是⊙O 的一条半径吗?PB 是⊙O 的切 线吗?利用图形的轴对称性,说明圆中的 PA 与 PB,∠APO 与∠BPO 有什么关系? 学生分组讨论,老师抽取 3~4 位同学回答这个问题. 老师点评:OB 与 OA 重叠,OA 是半径,OB 也就是半径了.又因为 OB 是半径,PB 为 OB?的外端,又根据折叠后的角不变,所以 PB 是⊙O 的又一条切线,根据轴对称性质,?我 们很容易得到 PA=PB,∠APO=∠BPO. 我们把 PA 或 PB 的长,即经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,? 叫做这点到圆的切线长. 注意切线与切线长的区别(幻灯片 4) 从上面的操作几何我们可以得到: 从圆外一点可以引圆的两条切线, 它们的切线长相等, 这一点和圆心的连线平分两条切 线的夹角. 下面,我们给予逻辑证明. 例 1.如图,已知 PA、PB 是⊙O 的两条切线. A 求证:PA=PB,∠OPA=∠OPB. 证明:∵PA、PB 是⊙O 的两条切线. P O ∴OA⊥AP,OB⊥BP 又 OA=OB,OP=OP, B www.czsx.com.cn ∴Rt△AOP≌Rt△BOP ∴PA=PB,∠OPA=∠OPB 因此,我们得到切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条 切线的夹角. (幻灯片 5、幻灯片 6) 小结:切线常用的 6 条性质:1、切线和圆只有一个公共点; 2、切线和圆心的距离等于圆的半径; 3、切线垂直于过切点的半径; 4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点; 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。 6、从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的 夹角。 (幻灯片 7) 例 1、PA、PB 是⊙O 的两条切线,A、B 为切点,直线 OP 交于⊙O 于点 D、E,交 AB 于 C。 (幻灯片 8) (1)写出图中所有的垂直关系 (2)写出图中与∠OAC 相等的角
7

E

O

C D B

P

(3)写出图中所有的全等三角形 (4)写出图中所有的等腰三角形 (5)若 PA=4、PD=2,求半径 OA 及时归纳:在解决有关圆的切线长问题时,往往需要我们构 建基本图形。 (幻灯片 9) (1)分别连结圆心和切点 (2)连结两切点 (3)连结圆心和圆外一点
反思: 在解决有关 圆的切线长的问 题时, 往往需要我 。 O 们构建基本图形。

A

P

例 2.如图所示 PA、PB 分别切圆 O 于 A、B,并与圆 O 的切线分别相交于 C、D,?已知 PA=7cm, A (1)求△PCD 的周长. D (2) 如果∠P=46°,求∠COD 的度数(幻灯片 10) ? ¤ P
E C O B

选做题:如图,AB 是⊙O 的直径,AD、DC、BC 是切线,点 A、 D E、B 为切点,若 BC=9,AD=4,求 OE 的长.(幻灯片 11)

E

C F ·O B

A

三、归纳小结(学生归纳,老师点评) 本节课应掌握: 1.圆的切线长概念; 2.切线长定理; 3.三角形的内切圆及内心的概念. 切线长定理为证明线段相等,角相等,弧相等,垂直关系提供了理论依据。必须掌握并 能灵活应用。 四、布置作业:P101 习题 24.1 综合运用 11、12;P120 复习巩固 4 五、课后反思:

第四课时 教学内容 1、三角形的内切圆及三角形内心的概念. 2、定理及概念的运用。 教学目标 复习圆与直线的位置关系和切线的判定定理、 性质定理知识迁移到切长线的概念和切线 长定理, 然后根据所学三角形角平分线的性质给出三角形的内切圆和三角形的内心概念, 最 后应用它们解决一些实际问题. 教学过程: 一、复习引入:如图是一块三角形木料,木工师傅要从中裁下一块圆形用料,怎样才能使裁 下的圆的面积尽可能大呢?

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二、探索新知: 如图是一块三角形木料,木工师傅要从中裁下一块圆形用料,怎样 才能使裁下的圆的面积尽可能大呢?(幻灯片 2) 例 1 、作圆,使它和已知三角形的各边都相切 已知: △ABC(如图) A 求作:和△ABC 的各边都相切的圆 问题1:作圆的关键是什么? 问题2:怎样确定圆心的位置? B C 问题3:圆心的位置确定后怎样确定圆的半径? 问题4:在这块三角形材料上还能裁下更大的圆吗? (幻灯片 3、幻灯片 4) 三角形内切圆的圆心叫三角形的内心 三角形内心的性质:①三角形的内心是三角形角平分线的交点 ②三角形的内心到三边的距离相等 ③三角形的内心一定在三角形的内部 例 2、 如图, △ABC 的内切圆⊙O 与 BC, CA, AB 分别相切于点 D, E, F,且 AB=9cm, BC=14cm, CA=13cm,求 AF,BD,CE 的长。 (幻灯片 5) A (说明:此题为书上的例题,要让学生上黑板板书)
E F O

B

D

C

练习:1 如图,在△ABC 中,点 O 是内心, (1)若∠ABC=50°∠ACB=70°,求∠BOC 的度数。 (幻灯片 6) 2、已知△ABC 的三边 BC,AB,AC 分别为 a,b,c,I 为内心,内切圆半径为 r。求△ABC 的面 积。 (幻灯片 7) 归纳:三角形的内切圆与外接圆的异同比较(以表格的形式进行比较) 三、归纳小结: (学生尝试回忆,老师补充) (幻灯片 8) 四、布置作业:P102 第 6、7 题;P103 第 14 题。 五、课后反思:要注意内切圆与外切圆以及内心和外心的区别.

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