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2013高中数学精讲精练(新人教A版)第07章 立体几何初步


2013 高中数学精讲精练 第七章 立体几何初步
【知识图解】 构成几何体 的基本元素 空间几何体 柱、锥、台、 球的特征 直 观 认识 线 面 平 行与 垂 直 表 面 积与 体 积 中 心 投影 与 平行投影

直 观 图与 三 视图的画法

平面的基本性质 点 、 线、 面 之 间 的位 置 关系

确定

平面的位置关系 直线与直线的平行关系

空间中的平行关系

直线与平面平行的判断及性质 平面与平面平行的判断及性质 直线与直线的垂直关系

空间中的垂直关系

直线与平面垂直的判断及性质 平面与平面垂直的判断及性质

【方法点拨】 立体几何研究的是现实空间,认识空间图形,可以培养学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图 形语言进行交流的能力以及几何直观能力。空间的元素是点、线、面、体,对于线线、线面、面面的位置 关系着重研究它们之间的平行与垂直关系,几何体着重研究棱柱、棱锥和球。在复习时我们要以下几点: 1.注意提高空间想象能力。在复习过程中要注意:将文字语言转化为图形,并明确已知元素之间的位置 关系及度量关系;借助图形来反映并思考未知的空间形状与位置关系;能从复杂图形中逻辑的分析出基本 图形和位置关系,并借助直观感觉展开联想与猜想,进行推理与计算。 2.归纳总结,分门别类。从知识上可以分为:平面的基本性质、线线、线面、面面的平行与垂直、空间 中角与距离的计算。 3.抓主线,攻重点。针对一些重点内容加以训练,平行和垂直是位置关系的核心,而线面垂直又是核心 的核心,角与距离的计算已经降低要求。 4.复习中要加强数学思想方法的总结与提炼。立体几何中蕴含着丰富的思想方法,如:将空间问题转化 成平面图形来解决、线线、线面与面面关系的相互转化、空间位置关系的判断及角与距离的求解转化成空 间向量的运算。

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第 1 课 空间几何体
【考点导读】 1.观察认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的 结构; 2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述的三视 图所表示的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图; 3.通过观察用两种方法(平行投影与中心投影)画出的视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式; 4.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式。 【基础练习】 1.一个凸多面体有 8 个顶点,①如果它是棱锥,那么它有 14 条棱, 8 个面;②如果它是棱柱, 那么它有 12 条棱 6 个面。 2.(1)如图,在正四面体 A-BCD 中,E、F、G 分别是三角形 ADC、ABD、BCD 的中心,则△EFG 在该正四 面体各个面上的射影所有可能的序号是 ③④ 。

A

B

F?

G?

?

E

C

D









(2)如图,E、F 分别为正方体的面 ADD1A1、面 BCC1B1 的中心,则四边形 BFD1E 在该正方体的面上的射影可 能是图的 ②③ (要求:把可能的图的序号都 填上). .

【范例导析】 例 1.下列命题中,假命题是 (1) (3) 。 (选出所有可能的答案) (1)有两个面互相平行,其余各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 (2)四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 (3)有两个面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台 (4)若一个几何体的三视图都是矩形,则这个几何体是长方体 分析:准确理解几何体的定义,真正把握几何体的结构特征是解决概念题的关键。 (1)中将两个斜棱柱对接在一起就是反例。 (3)中是不是棱台还要看侧棱的延长线是否交于一点。 例 2. ?A?B ?C ? 是正△ABC 的斜二测画法的水平放置图形的直观图,若 ?A?B ?C ? 的面积为 3 ,那么△ABC 的面积为_______________。
第 2 页 【精讲精练】共 13 页

解析: 2 6 。 点评:该题属于斜二测画法的应用,解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素之间的对应关系。特别 底和高的对应关系。 例 3. (1)画出下列几何体的三视图

(2)某物体的三视图如下,试判断该几何体的形状

( 2 )
分析:三视图是从三个不同的方向看同一物体得到的三个视图。 解析: (1)这两个几何体的三视图分别如下:

(2)该几何体为一个正四棱锥。 点评:画三视图之前,应把几何体的结构弄清楚,选择一个合适的主视方向。一般先画主视图,其次画俯 视图,最后画左视图。画的时候把轮廓线要画出来,被遮住的轮廓线要画成虚线。物体上每一组成部分的 三视图都应符合三条投射规律。主视图反映物体的主要形状特征,主要体现物体的长和高,不反映物体的 宽。而俯视图和主视图共同反映物体的长要相等。左视图和 俯视图共同反映物体的宽要相等。据此就不 难得出该几何体的形状。 【反馈演练】 1.一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是

1 ? 2? 。 2?

2.如图,一个底面半径为 R 的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为 r 的实心铁球,水面高度恰 好升高 r,则

R 2 3 = 。 3 r

第 3 页 【精讲精练】共 13 页

解析:水面高度升高 r,则圆柱体积增加π R ·r。恰好是半径为 r 的实心铁球的体积,因此有

2

4 3 π r =π 3

R2r。故

R 2 3 2 3 。答案为 。 ? 3 r 3

点评:本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。 3.在△ABC 中,AB=2,BC=1.5,∠ABC=120°(如图所示) ,若将△ABC 绕直线 BC 旋转 一周,则所形成的旋转体的体积是

3 ?。 2

BC 、 CD 、 DA F、 G、 H 分别是 AB 、 4.空间四边形 ABCD 中, AC ? 8 , BD ? 12 , E 、
边上的点,且 EFGH 为平行四边形,则四边形 EFGH 的周长的取值范围是 _
(16 , 24 )

_。

5.三棱锥 P ? ABC 中, PC ? x ,其余棱长均为 1。 (1)求证: PC ? AB ; (2)求三棱锥 P ? ABC 的体积的最大值。 解: (1)取 AB 中点 M ,∵ ?PAB 与 ?CAB 均为正三角形, ∴ AB ? PM , AB ? CM , ∴ AB ? 平面 PCM 。 ∴ AB ? PC (2)当 PM ? 平面 ABC 时,三棱锥的高为 PM , 此时 Vmax ? S ?ABC ? PM ? ?
1 3 1 3 3 4

P

A M B

C

?

3 2

?

1 8

6.已知圆锥的侧面展开图是一个半圆,它被过底面中心 O1 且平行于母线 AB 的平面所截,若截面与圆锥侧 面的交线是焦参数(焦点到准线的距离)为 p 的抛物线. (1)求圆锥的母线与底面所成的角; (2)求圆锥的全面积. 解: (1)设圆锥的底面半径为 R,母线长为 l, 由题意得: ?l ? 2?R , R 1 即 cos ACO1 ? ? , l 2 0 所以母线和底面所成的角为 60 . (2)设截面与圆锥侧面的交线为 MON, 其中 O 为截面与 AC 的交点,则 OO1//AB 且 OO1 ? 1 AB.
2

在截面 MON 内,以 OO1 所在有向直线为 y 轴,O 为原点,建立坐标系, 2 则 O 为抛物线的顶点,所以抛物线方程为 x =-2py, 2 点 N 的坐标为(R,-R) ,代入方程得:R =-2p(-R) , 得:R=2p,l=2R=4p. ∴圆锥的全面积为 ?Rl ? ?R
2

? 8?p2 ? 4?p2 ? 12?p2 .

说明:将立体几何与解析几何相链接, 颇具新意, 预示了高考命题的新动向.

第 4 页 【精讲精练】共 13 页

第2课
【考点导读】

平面的性质与直线的位置关系

1.掌握平面的基本性质,能够画出空间两条直线的各种位置关系,能够根据图形想象它们之间的位置关 系。 2.掌握两条直线之间的平行与垂直的有关问题,并能进行解决和证明相关问题。 3.理解反证法证明的思路,会用反证法进行相关问题的证明。 【基础练习】 1 下面是一些命题的叙述语,其中命题和叙述方法都正确的是 (3) 。 (1)∵ A ? ? , B ? ? ,∴ AB ? ? . (2)∵ a ? ? , a ? ? ,∴ ? ? ? ? a . (3)∵ A ? a, a ? ? ,∴ A ? ? . 2.下列推断中,错误的是 (4) 。 (1) A ? l , A ? ? , B ? l , B ? ? ? l ? ?
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(4)∵ A ? a, a ? ? ,∴ A ? ? .

(2) A, B, C ? ? , A, B, C ? ? ,A,B,C 不共线 ? ? , ? 重合 (3) A ? ? , A ? ? , B ? ? , B ? ? ? ? ? ? ? AB (4) l ? ? , A ? l ? A ? ?

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3.判断下列命题的真假,真的打“√” ,假的打“×” (1)空间三点可以确定一个平面 ( ) (2)两个平面若有不同的三个公共点,则两个平面重合( (3)两条直线可以确定一个平面( ) (4)若四点不共面,那么每三个点一定不共线( ) (5)两条相交直线可以确定一个平面( ) (6)三条平行直线可以确定三个平面( ) (7)一条直线和一个点可以确定一个平面( ) (8)两两相交的三条直线确定一个平面( ) ⑴×⑵×⑶×⑷√⑸√⑹×⑺×⑻×



A1 B1 A B C

D1 C1 E D

AB 和 B1C1 都相交的直线 4.如右图,点 E 是正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱 DD 1 的中点,则过点 E 与直线
的条数是: 1 条 5.完成下列证明,已知直线 a、b、c 不共面,它们相交于点 P,A?a,D?a,B?b,E?c 求证:BD 和 AE 是异面直线 证明:假设__ 共面于?,则点 A、E、B、D 都在平面_ _内
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?A?a,D?a,∴__?γ . ?P?a,∴P?__. ?P?b,B?b,P?c,E?c ∴_ _??, __??,这与____矛盾 ∴BD、AE__________ 答案:假设 BD、AE 共面于?,则点 A、E、B、D 都在平面 ? 内。 ∵A?a,D?a,∴ a ??. ∵P?a,P? ? . ∵P?b,B?b,P?c,E?c. ∴ b ??,c ??,这与 a、b、c 不共面矛盾 ∴BD、AE 是异面直线
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【范例导析】 例 1.已知 ABCD ,从平面 AC 外一点 O 引向量

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? ???? ? ???? OE ? kOA, OF ? KOB, OG ? kOC, OH ? kOD ,
A
(1)求证:四点 E , F , G, H 共面; (2)平面 AC // 平面 EG . 分析 :证明四点共面可以采用平面向量中的平面向量基本定理证明, 也可以转化为直线共面的条件即几何证法。 解:法一: (1)∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AC ? AB ? AD , ∵ EG ? OG ? OE ,

?

O
D B

C G
F

H
E

??? ?

??? ? ????

??? ?

???? ??? ?

???? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ???? ? k ? OC ? k ? OA ? k (OC ? OA) ? k AC ? k ( AB ? AD) ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ? ??? ? ? k (OB ? OA ? OD ? OA) ? OF ? OE ? OH ? OE ??? ? ???? ? EF ? EH
∴ E , F , G, H 共面; (2)∵ EF ? OF ? OE ? k (OB ? OA) ? k ? AB ,又∵ EG ? k ? AC , ∴ EF // AB, EG // AC 所以,平面 AC // 平面 EG . 法二: (1)? EF ? OF ? OE OE ? kOA, OF ? KOB, ∴ EF ? k (OB ? OA) ? k AB ∴ EF // AB 同理 HG // DC 又 AB // DC ∴ EF // HG

??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

∴ E , F , G, H 共面; (2)由(1)知: EF // AB ,从而可证 EF // 面ABCD 同理可证 FG // 面ABCD ,所以,平面 AC // 平面 EG . 点评:熟练掌握定理是证明的关键,要学会灵活运用。 例 2.已知空间四边形 ABCD. (1)求证:对角线 AC 与 BD 是异面直线; (2)若 AC⊥BD,E,F,G,H 分别这四条边 AB,BC,CD,DA 的中点,试判断四边形 EFGH 的形状; (3)若 AB=BC=CD=DA,作出异面直线 AC 与 BD 的公垂线段. 分析:证明两条直线异面通常采用反证法。 证明:(1)(反证法)假设 AC 与 BD 不是异面直线,则 AC 与 BD 共面, 所以 A、B、C、D 四点共面 这与空间四边形 ABCD 的定义矛盾 所以对角线 AC 与 BD 是异面直线

第 6 页 【精讲精练】共 13 页

(2)解:∵E,F 分别为 AB,BC 的中点,∴EF//AC,且 EF= 同理 HG//AC,且 HG=

1 AC. 2

1 AC.∴EF 平行且相等 HG,∴EFGH 是平行四边形. 2

又∵F,G 分别为 BC,CD 的中点,∴FG//BD,∴∠EFG 是异面直线 AC 与 BD 所成的角. o ∵AC⊥BD,∴∠EFG=90 .∴EFGH 是矩形. (3)作法取 BD 中点 E,AC 中点 F,连 EF,则 EF 即为所求. 点评:在空间四边形中我们通常会遇到上述类似的问题,取中点往往是很有效的方法,特别是遇到等腰三 角形的时候。 例 3.如图,已知 E,F 分别是正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱 AA 1 和棱 CC1 上的点,且 AE ? C1 F ,求证: 四边形 EBFD1 是平行四边形 简证:由 AE ? C1F 可以证得 ?ABE ≌ ?C1D1F 所以 BE ? D1F 又可以由正方体的性质证明 BE // D1F

D1

A1
E A D

B1

C1 F

C
B

所以四边形 EBFD1 是平行四边形

例 4:如图,已知平面 ? , ? ,且 ? ? ? ? AB, PC ? ? , PD ? ? , C, D 是垂足. (Ⅰ)求证: AB ? 平面 PCD ; (Ⅱ)若 PC ? PD ? 1, CD ? 2 ,试判断平面 ? 与平面 ? 的位置关系,并证明你的结论. 解: (Ⅰ)因为 PC ? ? , AB ? ? ,所以 PC ? AB . 同理 PD ? AB . 又 PC ? PD ? P ,故 AB ? 平面 PCD . (Ⅱ)平面 ? ? 平面 ? 。证明如下:设 AB 与平面 PCD 的交点为 H , 连结 CH 、 DH .因为 AB ? 平面 PCD ,所以 AB ? CH , AB ? DH , 所以 ?CHD 是二面角 C ? AB ? D 的平面角. 又 PC ? PD ? 1, CD ? 2 ,所以 CD ? PC ? PD ? 2 ,即 ?CPD ? 90 .
2 2 2 0

?
C
B

P

?
D A

在平面四边形 PCHD 中, ?PCH ? ?PDH ? ?CPD ? 90 ,
0
0 所以 ?CHD ? 90 .故平面 ? ? 平面 ? .

【反馈演练】 1.判断题(对的打“√” ,错的打“×” ) (1)垂直于两条异面直线的直线有且只有一条 ( ) (2)两线段 AB、CD 不在同一平面内,如果 AC=BD,AD=BC,则 AB⊥CD( ) (3)在正方体中,相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为 60? ( ) (4)四边形的一边不可能既和它的邻边垂直,又和它的对边垂直 ( )
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答案: (1)× (2)× (3)√ (4)× 2.定点 P 不在△ABC 所在平面内,过 P 作平面α ,使△ABC 的三个顶点到α 的距离相等,这样的平面共有 4 个。 3.给出以下四个命题: (1)若空间四点不共面,则其中无三点共线; (2)若直线上有一点在平面外,则 该直线在平面外; (3)若直线 a,b,c 中,a 与 b 共面且 b 与 c 共面,则 a 与 c 共面; (4)两两相交的三条 直线共面。其中所有正确命题的序号是 (1)(2) 。 C 4.如图,已知 ? ? ? ? l , A ? l , B ? l , (A,B 不重合) B β

A

l

过 A 在平面α 内作直线 AC,过 B 在平面β 内作直线 BD。 D 求证:AC 和 BD 是异面直线。 α 证明: (反证法)若 AC 和 BD 不是异面直线, 设确定平面γ ,则由题意可知:平面α 和γ 都过 AC 和 AC 外一点 B,所以两平面重合。 同理可证平面β 和γ 也重合,所以平面α 和β 也重合。 这与已知条件平面α 和β 相交矛盾。 所以 AC 和 BD 是异面直线。

第3课
【考点导读】

空间中的平行关系

1.掌握直线和平面平行、两个平面平行的判定定理和性质定理。 2.明确定义与定理的不同,定义是可逆的,既是判定也是性质,而判定定理与性质定理多是不可逆的。 3.要能灵活的对“线线平行” 、 “线面平行”和“面面平行”进行转化。 【基础练习】 1.若 a、 b 为异面直线,直线 c∥a,则 c 与 b 的位置关系是 2.给出下列四个命题: ①垂直于同一直线的两条直线互相平行. ②垂直于同一平面的两个平面互相平行. ③若直线 l1 , l2 与同一平面所成的角相等,则 l1 , l2 互相平行. ④若直线 l1 , l2 是异面直线,则与 l1 , l2 都相交的两条直线是异面直线. 其中假 命题的个数是 4 个。 . 3.对于任意的直线 l 与平面 a,在平面 a 内必有直线 m,使 m 与 l 异面或相交 。

垂直



4. 已知 a、b、c 是三条不重合的直线,α 、β 、r 是三个不重合的平面,下面六个命题: ①a∥c,b∥c ? a∥b;②a∥r,b∥r ? a∥b;③α ∥c,β ∥c ? α ∥β ; ④α ∥r,β ∥r ? α ∥β ;⑤a∥c,α ∥c ? a∥α ;⑥a∥r,α ∥r ? a∥α . 其中正确的命题是 ①④ 。
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【范例导析】 例 1.如图,在四面体 ABCD 中,截面 EFGH 是平行四边形. 求证:AB∥平面 EFG. 证明 :∵面 EFGH 是截面. ∴点 E,F,G,H 分别在 BC,BD,DA,AC 上. ∴EH 面 ABC,GF 面 ABD, 由已知,EH∥GF.∴EH∥面 ABD. 又 ∵EH 面 BAC,面 ABC∩面 ABD=AB ∴EH∥AB. ∴AB∥面 EFG. 例 2. 如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,点 N 在 BD 上,点 M 在 B1C 上,并且 CM=DN. 求证:MN∥平面 AA1B1B. 分析: “线线平行” 、 “线面平行” 、 “面面平行”是可以互相转化的。本题可以采用任何一种转化方式。 简证:法 1:把证“线面平行”转化为证“线线平行” 。 即在平面 ABB1A1 内找一条直线与 MN 平行,如图所示作平行线即可。 法 2:把证“线面平行”转化为证“线线平行” 。连 CN 并延长交直线 BA 于点 P, 连 B1P,就是所找直线,然后再设法证明 MN∥B1P. 法 3:把证“线面平行”转化为证“面面平行” 。 过 M 作 MQ//BB1 交 BC 于 B1,连 NQ,则平面 MNQ 与平面 ABB1A1 平行, 从而证得 MN∥平面 ABB1A1. 点评:证明线面或面面平行的时候一定要注意相互的转化,非常灵活。 A 【反馈演练】 1.对于平面 ? 和共面的直线 m 、 n, 下列命题中真命题是(3) 。 (1)若 m ? ? , m ? n, 则 n∥ ? (3)若 m ? ? , n∥? ,则 m∥ n (2)若 m∥? ,n∥? ,则 m∥ n (4)若 m 、 n 与 ? 所成的角相等,则 m∥ n E A1 1 D N D1 1 B1 1 F B C1 1 M C

2. 设 a、b 是两条异面直线,那么下列四个命题中的假命题是 (2) 。 (1)经过直线 a 有且只有一个平面平行于直线 b (2)经过直线 a 有且只有一个平面垂直于直线 b (3)存在分别经过直线 a 和 b 的两个互相平行的平面 (4)存在分别经过直线 a 和 b 的两个互相垂直的平面 3.关于直线 a、b、l 及平面 M、N,下列命题中正确的是(4) 。 (1)若 a∥M,b∥M,则 a∥b (2)若 a∥M,b⊥a,则 b⊥M (3)若 a M,b M,且 l⊥a,l⊥b,则 l⊥M (4)若 a⊥M,a∥N,则 M⊥N
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4. “任意的 a ? ? ,均有 a // ? ”是“任意 b ? ? ,均有 b // ? ”的

充要条件



5.在正方体 AC1 中,过 A1C 且平行于 AB 的截面是 面 A1B1CD . 6. 在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,经过其对角线 BD1 的平面分别与棱 AA1,CC1 相交于 E,F 两点, 则四边形 EBFD! 的形状为 平行四边形 。 7. 已知P为平行四边形ABCD所在平面外一点,M为PB的中点, 求证:PD∥平面MAC. 证明 连AC交BD于O,连MO, 则MO为△PBD的中位线, ∴PD∥MO,∵PD ? 平面MAC,MO平面MAC, ∴PD∥平面MAC. 8. 如图, 已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,M 、N 分别是 AB 、PC 的中点(1) 求证:MN //
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平面 PAD ; (2)若 MN ? BC ? 4 , PA ? 4 3 , 求异面直线 PA 与 MN 所成的角的大小 略证: (1)取 PD 的中点 H,连接 AH,

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1 ? NH // DC , NH ? DC 2

P H N

? NH // AM , NH ? AM ? AMNH 为平行四边形 ? MN // AH, MN ? PAD, AH ? PAD ? MN // PAD
A

D B

C

M

(2): 连接 AC 并取其中点为 O,连接 OM、ON,则 OM 平行且等于 BC 的一半,ON 平行且等于 PA 的一半, 所以 ?ONM 就是异面直线 PA 与 MN 所成的角,由 MN ? BC ? 4 , PA ? 4 3 得,OM=2,ON= 2 3 所以 ?ONM ? 30 ,即异面直线 PA 与 MN 成 30 的角
0 0
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9.两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 所在平面相交于 AB,M∈AC,N∈FB,且 AM=FN,求证:MN∥平面 BCE。 证法一:作 MP⊥BC,NQ⊥BE,P、Q 为垂足, 则 MP∥AB,NQ∥AB。 C D ∴MP∥NQ,又 AM=NF,AC=BF, M P ∴MC=NB,∠MCP=∠NBQ=45° ∴Rt△MCP≌Rt△NBQ A B ∴MP=NQ,故四边形 MPQN 为平行四边形 N Q ∴MN∥PQ F E ∵PQ ? 平面 BCE,MN 在平面 BCE 外, ∴MN∥平面 BCE。 证法二:如图过 M 作 MH⊥AB 于 H,则 MH∥BC, ∴

AM AH ? AC AB

FN AH 连结 NH,由 BF=AC,FN=AM,得 ? BF AB
∴ NH//AF//BE 由 MH//BC, NH//BE 得:平面 MNH//平面 BCE ∴MN∥平面 BCE 。
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D M

C

A N F

H E

B

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第4课
【考点导读】

空间中的垂直关系

1.掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理,并能用它们证明和解决有关问题。 2.线面垂直是线线垂直与面面垂直的枢纽,要理清楚它们之间的关系,学会互相转化,善于利用转化思 想。 【基础练习】 1. “直线 l 垂直于平面 ? 内的无数条直线”是“ l⊥ ? ”的 必要 条件。 2.如果两个平面同时垂直于第三个平面,则这两个平面的位置关系是 平行或相交 。 3.在正方体中,与正方体的一条对角线垂直的面对角线的条数是 6 。 4.两个平面互相垂直,一条直线和其中一个平面平行,则这条直线和另一个平面的位置关系是平行、相 交或在另一个平面内 。 5.在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,写出过顶点 A 的一个平面__AB1D1_____,使该平面与正方体的 12 条棱 所在的直线所成的角均相等(注:填上你认为正确的一个平面即可,不必考虑所有可能的情况)。 【范例导析】 例 1.如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中点,作 EF⊥ PB 交 PB 于点 F. (1)证明 PA//平面 EDB; (2)证明 PB⊥平面 EFD. 解析:本小题考查直线与平面平行,直线与平面垂直基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力. 证明: (1)连结 AC,AC 交 BD 于 O,连结 EO. ∵底面 ABCD 是正方形,∴点 O 是 AC 的中点 P 在 ?PAC 中,EO 是中位线,∴PA // EO 而 EO ? 平面 EDB 且 PA ? 平面 EDB, E 所以,PA // 平面 EDB F (2)∵PD⊥底面 ABCD 且 DC ? 底面 ABCD,∴ PD ? DC D ∵PD=DC,可知 ?PDC 是等腰直角三角形,而 DE 是斜边 PC 的中线, C ∴ DE ? PC . ① 同样由 PD⊥底面 ABCD,得 PD⊥BC. ∵底面 ABCD 是正方形,有 DC⊥BC,∴BC⊥平面 PDC. 而 DE ? 平面 PDC,∴ BC ? DE . ② 由①和②推得 DE ? 平面 PBC. 而 PB ? 平面 PBC,∴ DE ? PB 又 EF ? PB 且 DE ? EF ? E ,所以 PB⊥平面 EFD.

A

B

例 2. 如图, △ABC 为正三角形, EC ⊥平面 ABC ,BD ∥CE , CE =CA =2 BD ,

M 是 EA 的中点,
求证: (1)DE =DA ; (2)平面 BDM ⊥平面 ECA ; (3)平面 DEA ⊥平面 ECA。 分析: (1)证明 DE =DA ,可以通过图形分割,证明△DEF ≌△DBA。 (2)证 明面面垂直的关键在于寻找平面内一直线垂直于另一平面。 由 (1) 知 DM ⊥EA , 取 AC 中点 N , 连结 MN 、

NB ,易得四边形 MNBD 是矩形。从而证明 DM ⊥平面 ECA。

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证明: (1)如图,取 EC 中点 F ,连结 DF。 ∵ ∴ ∵

EC ⊥平面 ABC ,BD ∥CE ,得 DB ⊥平面 ABC 。 DB ⊥AB ,EC ⊥BC。 BD ∥CE ,BD =

1 CE =FC , 2

则四边形 FCBD 是矩形,DF ⊥EC。 又 BA =BC =DF ,∴ Rt△DEF ≌Rt△ABD ,所以 DE =DA。 (2)取 AC 中点 N ,连结 MN 、NB , ∵

M 是 EA 的中点,∴ MN

1 EC。 2

由 BD ∵ ∴

1 EC ,且 BD ⊥平面 ABC ,可得四边形 MNBD 是矩形,于是 DM ⊥MN。 2

DE =DA ,M 是 EA 的中点,∴ DM ⊥EA .又 EA ? MN =M , DM ⊥平面 ECA ,而 DM ? 平面 BDM ,则平面 ECA ⊥平面 BDM。

(3)∵ DM ⊥平面 ECA ,DM ? 平面 DEA , ∴ 平面 DEA ⊥平面 ECA。

点评:面面垂直的问题常常转化为线面垂直、线线垂直的问题解决。 例 3.如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AC =BC =1, ∠ACB =90°,AA1 = 2 ,D 是 A1B1 中点. (1) 求证 C1D ⊥平面 A1B ; (2)当点 F 在 BB1 上什么位置时, 会使得 AB1 ⊥平面 C1DF ?并证明你的结论。 分析: (1)由于 C1D 所在平面 A1B1C1 垂直平面 A1B ,只要证明 C1D 垂直交线 A1B1 ,由直线与平面垂直判定 定理可得 C1D ⊥平面 A1B。 (2)由(1)得 C1D ⊥AB1 ,只要过 D 作 AB1 的垂线,它与 BB1 的交点即为所求 的 F 点位置。 证明: (1)如图,∵ ABC—A1B1C1 是直三棱柱, ∴ ∴ ∴

A1C1 =B1C1 =1,且∠A1C1B1 =90°。又 D 是 A1B1 的中点, C1D ⊥A1B1 .∵ AA1 ⊥平面 A1B1C1 ,C1D ? 平面 A1B1C1 , AA1 ⊥C1D ,∴ C1D ⊥平面 AA1B1B。

(2) 解: 作 DE ⊥AB1 交 AB1 于 E , 延长 DE 交 BB1 于 F , 连结 C1F , 则 AB1 ⊥ 平面 C1DF ,点 F 即为所求。 ∵ ∴

C1D ⊥平面 AA1BB ,AB1 ? 平面 AA1B1B , C1D ⊥AB1 .又 AB1 ⊥DF ,DF ? C1D =D ,∴ AB1 ⊥平面 C1DF 。
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点评:本题(1)的证明中,证得 C1D ⊥A1B1 后,由 ABC—A1B1C1 是直三棱柱知平面 C1A1B1 ⊥平面 AA1B1B , 立得 C1D ⊥平面 AA1B1B。 (2)是开放性探索问题,注意采用逆向思维的方法分析问题。 【反馈演练】 1.下列命题中错误的是 (3) 。 (1)若一直线垂直于一平面,则此直线必垂直于这一平面内所有直线 (2)若一平面经过另一平面的垂线,则两个平面互相垂直 (3)若一条直线垂直于平面内的一条直线,则此直线垂直于这一平面 (4)若平面内的一条直线和这一平面的一条斜线的射影垂直,则它也和这条斜线垂直 2.设 x, y , z 是空间的不同直线或不同平面,且直线不在平面内,下列条件中能保证“若 (填所有正确条件的代号) x ? z ,且 y ? z, 则x // y ”为真命题的是 ①③④ ①x 为直线,y,z 为平面 ②x,y,z 为平面 ③x,y 为直线,z 为平面 ④x,y 为平面,z 为直线 ⑤x,y,z 为直线 3.在三棱锥的四个面中,直角三角形最多可以有___4__个。 4.若 AB 的中点 M 到平面 ? 的距离为 4 cm ,点 A 到平面 ? 的距离为 6 cm ,则点 B 到平面 ? 的距离为_2 或 14________ cm 。 5.命题 A:底面为正三角形,且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥。 命题 A 的等价命题 B 可以是:底面为正三角形,且 的三棱锥是正三棱锥。 答案:侧棱相等(或侧棱与底面所成角相等??) 6.α 、β 是两个不同的平面,m、n 是平面α 及β 之外的两条不同直线.给出四个论断: ①m⊥n ②α ⊥β ③n⊥β ④m⊥α 以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个 命题: .. 答案:m⊥α ,n⊥β ,α ⊥β



?m⊥n 或 m⊥n,m⊥α

,n⊥β



⊥β

7.在直角梯形 ABCD 中,∠A=∠D=90°,AB<CD,SD⊥平面 ABCD,AB=AD=a,S D= 2a ,在线段 SA 上取 一点 E(不含端点)使 EC=AC,截面 CDE 与 SB 交于点 F。 (1)求证:四边形 EFCD 为直角梯形;

CD 的值是多少时,能使△DMC 为直角三角形?请给出证明. AB 解: (1)∵ CD∥AB,AB ? 平面 SAB ∴CD∥平面 SAB
(2)设 SB 的中点为 M,当 面 EFCD∩面 SAB=EF, ∴CD∥EF ∵ ?D ? 900 ,?CD ? AD, 又 SD ? 面 ABCD ∴ SD ? CD ? CD ? 平面 SAD,∴ CD ? ED 又 EF ? AB ? CD ? EFCD 为直角梯形 (2)当

S F M D A B C

CD ? 2 时, ?DMC 为直角三角形 . AB
.

E

? AB ? a,? CD ? 2a, BD ? AB2 ? AD2 ? 2a, ?BDC ? 450 ? BC ? 2a, BC ? BD ,
? SD ? 平面 ABCD,? SD ? BC,? BC ? 平面 SBD

在 ?SBD 中, SD ? DB, M 为 SB 中点,? MD ? SB . ? MD ? 平面 SBC, MC ? 平面 SBC , ? MD ? MC ??DMC 为直角三角形。

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