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高中物理力学竞赛随谈


高中物理力学竞赛随谈

2009.7.19.

力学

★对高中物理竞赛辅导工作的看法
立足实际、保护兴趣 训练适度、益于高考 组织安排、教学相长

力学

★高中物理力学竞赛涉及的主要内容
▼运动学

参照系,质点运动的位移和路程,速度

,加速度。 相对速度。 矢量和标量。矢量的合成和分解。 匀速及匀速直线运动及其图象。运动的合成。 抛体运动。圆周运动。 刚体的平动和绕定轴的转动。 ▼牛顿运动定律 力学中常见的几种力 牛顿第一、二、三运动定律。非惯性参照系。 万有引力定律。均匀球壳对壳内和壳外质点的引力 公式 。开普勒定律。行星和人造卫星的运动。

力学
▼物体的平衡

共点力作用下物体的平衡。力矩。刚体的平衡。 重心。物体平衡的种类。 ▼动量 冲量。动量。动量定理。 动量守恒定律。 反冲运动及火箭。
▼机械能

功和功率。动能和动能定理。 重力势能。引力势能。质点及均匀球壳壳内和 壳外的引力势能公式。 弹簧的弹性势能。 功能原理。机械能守恒定律。 碰撞。

力学
▼流体静力学

静止流体中的压强。
▼机械振动

浮力。

简揩振动。振幅。频率和周期。位相。 振动的图象。 参考圆。振动的速度和加速度。 由动力学方程确定简谐振动的频率。 阻尼振动。受迫振动和共振(定性了解)。
▼波和声

横波和纵波。波长、频率和波速的关系。 波的图象。 波的干涉和衍射(定性)。 声波。声音的响度、音调和音品。声音的共鸣。

力学

★高中物理力学竞赛要点拾零

物系相关(连接体)的速度求解
非惯性系和惯性力的意义

费马原理、追及和相遇模型
有关天体运动的处理 关于质量均匀分布的球壳(球体)内引力计算 关于简谐运动问题

力学

话题1 物系相关(连接体)速度求解方法
[材料1]质量分别为m1,m2和m3的三个质点A、B、C位 于光滑水平桌面上,用已经拉直的不可伸长的柔软轻 绳AB和BC连接。其中∟ABC为 ? ?? ,其中 ? 为锐角。 今有一冲量I沿BC方向作用于质点C,求质点A开始运 动时的速度。 I C
A B

?

力学

[材料2]绳子一端固定,另一端缠在圆筒上,圆筒半径为 R,放在与水平面成 ? 角的光滑斜面上,如图所示。当 绳子变为竖直方向时,圆筒转动角速度为? (此时绳子未 松弛),试求此刻圆筒轴O的速度、圆筒与斜面切点C的 速度。(全俄中学奥赛试题)

O C

?

力学 [材料3]直线AB以大小为的速度沿垂直于AB方向向上移动, 而直线CD以大小的速度沿垂直于CD的方向向左上方移动, ? 两条直线夹角为 ,如图。求他们交点P的速度大小与方 向。 是否为v1和v2的矢量合成呢?

? v1
A
C

? v2

D B

?

P

力学 (1)由杆或绳约束的物系各点速度
同一时刻必须具有相同的沿杆或绳的分速度

(2)接触物系接触点的速度
沿接触物法向的分速度必须相同, 无相对滑动时,切向分速度也相同

(3)相交物系交叉点的速度
相交双方沿对方直线方向运动的合运动

力学

【例1】质量分别为m1,m2和m3的三个质点A、B、C位
于光滑水平桌面上,用已经拉直的不可伸长的柔软轻 绳AB和BC连接。其中∟BC为 ? ?? ,其中? 为锐角。 今有一冲量I沿BC方向作用于质点C,求质点A开始运 动时的速度。
【分析】 设质点A开始运动时运动 速度为v′,AB绳中的冲量为I2, BC 绳中的冲量为I1, 对A球,I2=m1v′ 对B球,I1cosα-I2=m2v′ 设质点C开始运动时运动速度为v, 对B球,I1-I2cosα=m2v 对C球,I-I1=m3v

v? ?

Im2 cos? m2 (m1 ? m2 ? m3 ) ? m1m3 sin 2 ?

力学 【演变】在光滑水平面上有四个等质量小球A、B、C、D, 以质量不计、不可伸长的1、2、3三条细线相连。最初,细 线刚好张直,如图所示,其中∟ABC=∟BCD=120°。今对 A球施以一个沿着BA方向的瞬时冲量,使A球获得瞬时速度u 后,四球同时开始运动,试求开始运动时球D的速度。
【分析】 设四球开始运动时球D的速度为v,

v

则细线3中的冲量为mv, 分析CD整体,细线2中的冲量为4mv 设球C球沿着CB方向运动速度为v′, 则对C球,4mv-mv/2=m v′, v′=7v/2. 设细线1中的冲量为I,则
对BC整体 对B球
0 Icos60 - mvcos600 ? 2mv? I ? 15 mv v=u/13. I - 4mvcos600 ? mu

力学 【例2】一平面内有二根细杆 l1 和 l 2 ,各自以垂直于自己 ? ? v 的速度 v1 和 2 在该平面内运动,试求交点相对于纸平面 的速率及交点相对于每根杆的速率。 b

? v1
?

a

? v2

力学
参考图(b) ,经过时间 ?t 之后,l1 移动到了 l ? 的位置, l 2
1

移动到了 l ? 的位置,l ? 和 l 2 的原位置交于 O ? 点,l ? 和 l ? 交于 O ?? 点。 / A
2
1

1

2

OO? = v1?t / sin ?

O?

l1

O?O?? ? v2 ?t / sin ?

在 ?OO ?O ?? 中:
OO?? 2 ? OO? ? O?O?? ? 2OO? ? O?O?? cos?
2 2

O??

? ?
B

l1

O

l2

l 2/

力学

因为 ? 角和? 角互补,所以 cos? ? ? cos?
2 OO ?? ? v12 ? v 2 ? 2v1v 2 cos ?

?t sin ?

因此两杆交点相对于纸平面的速度
OO ?? v0 ? ?t
1 ? v ? v ? 2v1v 2 cos ? sin ?
2 1 2 2

O?

A

l1/
?
l1

O??

?

O

l2

B

l 2/

力学
不难看出,经过 ?t 时间后,原交点在 l1 上的位置移 动到了 A 位置,因此交点相对 l1 的位移就是 AO?? ,交 点相对 l1 的速度就是:
v1? ? ( AO? ? O?O??) / ?t
v ?t ? ? ? v1?t ? ctg? ? 2 ? / ?t sin ? ? =?

O?

A

l1/
?
l1

O??

?

O

l2

? (v1 cos? ? v2 ) / sin ?

B
2

用同样的方法可以求出交点相对 l 的速度
v? ? (v1 ? v2 cos? ) / sin ? 2

l 2/

因为 ?t 可以取得无限小, 因此上述讨论与 v1 , v2 是否为 常量无关。如果 v1 , v 2 是变量,上述表达式仍然可以表 达二杆交点某一时刻的瞬时速度。

力学 【例3】图(a)中的AC、BD两杆均以角速度 ? 绕A、 B两固定轴在同一竖直面内转动,转动方向如图所示。 当t=0时,a ? ? ? 60?,试求t时刻两棒交点M点的速度 和加速度。
D C

M
A

B

图(a)

力学
t=0 时,△ABM 为等边三角形,因此 AM=BM= l ,它的外接 圆半径 R=OM=
3 l 3 ,图(b) 。二杆旋转过程中,

a 角增大

的角度一直等于 ? 角减小的角度,所以 M 角的大小始终 不变(等于 60?) ,因此 M 点既不能偏向圆内也不能偏向 圆外,只能沿着圆周移动,因为∟ MO M ? 和∟ MA M ? 是对 着同一段圆弧 M M ? ) ( 的圆心角和圆周角, 所以∟ MO M ? =2 ∟ MA M ? ,即 M 以 2 ? 的角速度绕 O 点做匀速圆周运动, 任意时刻 t 的速度大小恒为
v ? R(2? ) ? 2 3 ?l 3

M?
A

M

向心加速度的大小恒为
O

4 3 2 a ? (2? ) R ? ? l 3
2

B
图(b)

力学 【例4】合页构件由三个菱形组成。其边长之比为3:2: 1,顶点A3以速度v沿水平方向向右运动,求当构件所有 角都为直角时,顶点B2的速度vB2是多少?
B1
B2 B3

A0

v
A1 A2 A3

v B2

vA1:vA2:vA3 ? 3:6(v A3 5:
v B2 17 ? v 6

2 2 2 2 ? v ?v ? ( v A1) ? ( v A2) 2 2
2 1 2 2

? v)

力学

话题2

非惯性系和惯性力的意义

(1)惯性参照系:牛顿第一定律实际上定义了一种参 照系,在这个参照系中观察,一个不受力作用的物体将 保持静止或匀速直线运动状态,这样的参照系就叫做惯 性参照系,简称惯性系。由于地球在自转的同时又绕太 阳公转,所以严格地讲,地面不是一个惯性系。在一般 情况下,我们可不考虑地球的转动,且在研究较短时间 内物体的运动,我们可以把地面参照系看作一个足够精 确的惯性系。 (2)非惯性参照系:凡牛顿第一定律不成立的参照系 统称为非惯性参性系,一切相对于惯性参照系做加速运 动的参照系都是非惯性参照系。在考虑地球转动时,地 球就是非惯性系。在非惯性系中,物体运动不遵循牛顿 第二定律,但在引入“惯性力”的概念以后,就可以利 用牛顿第二定律的形式来解决动力学问题了。

力学

在非惯性系中,为了能得到形式上与牛顿第二定律一致的 动力学方程,引入惯性力的概念,引入的惯性力必须满足

? ? 式中 F 是质点受到的真实合力,a ? 是质点相对非惯性系的 加速度。真实力与参照系的选取无关,惯性力是虚构的力, 不是真实力。惯性力不是自然界中物质间的相互作用,因 此不属于牛顿第三定律涉及的范围之内,它没有施力物体, 不存在与之对应的反作用力.

? ? ? F ? F惯 ? ma ?

力学

◇平动非惯性系相对于惯性系的加速度为

? ? F惯 ? ?ma0

? a。 0

平动非惯性系中,惯性力由非惯性系相对惯性系的加速 度及质点的质量确定,与质点的位置及质点相对于非惯 性系速度无关

力学 ◇匀速转动系中的惯性力 如图,圆盘以角速度 ? 绕竖直轴匀速转动,在圆盘上 用长为r的细线把质量为m的点系于盘心且质点相对圆盘 静止,即随盘一起作匀速圆周运动,以惯性系观察,质 ? 点在线拉力 F 作用下做匀速圆周运动,符合牛顿第二 ? 定律.以圆盘为参照系观察,质点受到拉力 F 作用而保 持静止,不符合牛顿定律.要在这种非惯性系中保持牛 顿第二定律形式不变,在质点静止于此参照系的情况下, 引入惯性力 ? ? ? F ? F惯 ? ma? ? 0

? ? 2? F惯 ? ?T ? m? r

力学

力的方向沿半径背离圆心,通常称为惯性离心力.由此得 出:若质点静于匀速转动的非惯性参照系中,则作用于此 质点的真实力与惯性离心力的合力等于零. 惯性离心力的大小,除与转动系统的角速度和质点的 质量有关外,还与质点的位置有关(半径),必须指出的 是,如果质点相对于匀速转动的系统在运动,则若想在形 式上用牛顿第二定律来分析质点的运动,仅加惯性离心力 是不够的,还须加其他惯性力。如科里奥里力,科里奥利 力是以地球这个转动物体为参照系所加入的惯性力,它的 水平分量总是指向运动的右侧,即指向相对速度的右侧。 例如速度自北向南,科里奥利力则指向西方。

? r为转轴向质点所引矢量,与转轴垂直,由于这个惯性

力学

这种长年累月的作用,使得北半球河流右岸的冲刷甚于左 岸,因而比较陡峭。双轨铁路的情形也是这样。在北半球, 由于右轨所受压力大于左轨,因而磨损较甚。南半球的情 况与此相反,河流左岸冲刷较甚,而双线铁路的左轨磨损 较甚。

力学 【例5】如图所示,与水平面成θ角的AB棒上有一滑套C , 可以无摩擦地在棒上滑动,开始时与棒的A端相距b ,相对 棒静止。当棒保持倾角θ不变地沿水平面匀加速运动,加 速度为a(且a>gtgθ)时,求滑套C从棒的A端滑出所经历 的时间。 【分析】 这是一个比较特殊的“连接体问题”,寻求运动 学参量的关系似乎比动力学分析更加重要。动力学方面, 只需要隔离滑套C就行了。

力学 【常规解析】定性绘出符合题意的运动过程图,如图所示: S表示棒的位移,S1表示滑套的位移。沿棒与垂直棒建直 角坐标后,S1x表示S1在x方向上的分量。不难看出: S1x + b = S cosθ ① 设全程时间为t ,则有:
S = S1x =
1 2

at
1 2

2


2

a1xt



而隔离滑套,受力图如图所示, 显然:mgsinθ= ma1x ④ 解①②③④式即可。

t =

2b a cos? ? g sin ?

力学 【另解】如果引进动力学在非惯性系中的惯性力,此 题极简单。过程如下: 以棒为参照,隔离滑套,分析受力,如图所示。 滑套相对棒的加速度a相是沿棒向上的,故动力学方程为: F*cosθ- mgsinθ= ma相 (1) 其中F* = ma (2) 而且,以棒为参照,滑套的相对位移S相就是b ,即: b = S 相 = 1 a相 t2
2

(3)

解(1)(2)(3)式就可以了。

力学 【例6】一个质量为M、斜面倾角为θ的劈A放在水平地面 上,斜面上放上一块质量为m的滑块B。现将系统由静止 释放,求释放后劈A对物块B的压力、劈A相对地面的加速 度各是多少?(不计一切摩擦)

B A θ

力学 方法1: ———隔离法

M: N

? N’

m: N mg

ax

ay

a2
?

m M a1

Mg

假设m相对M的加速度为a2,方向沿斜面向下。

a x ? a 2 cos? ? a1 a y ? a 2 sin ?

N sin ? ? m(a 2 cos? ? a1 ) m g ? N cos? ? m a2 sin ?

m g sin ? cos? a1 ? M ? m sin 2 ?

N ? sin ? ? Ma1

Mmg cos ? N? M ? m sin 2 ?

力学 方法2: -牵连加速度 对A, Nsinθ=Ma A 对B, Nsinθ=maBx, mg-Ncosθ=maBy,

aBx aBy

N

B

A aA

θmg N

A、B加速度关联, aBy = (aBx+aA)tanθ(接触物系法向加速度相等)
解之得
mg sin ? cos ? aA ? M ? m sin 2 ? Mmg cos ? N? M ? m sin 2 ?

aA

aBx θ aBy

力学 方法3: -引入惯性力

对A, Nsinθ=MaA,

以A为参照系,对B物引入惯性力F=maA (方向向左) ,
在以A的坐标系中,物块B沿斜面加速 下滑,垂直斜面方向加速度为零。 (在地面参考系中并非如此)

F=maA

N

B A

aA

mg θ

N

N+Fsinθ=mgcosθ,

F=maA,
解之得
aA ?

mg sin ? cos ? M ? m sin 2 ?

N?

Mmg cos ? M ? m sin 2 ?

力学 【例7】如图设 m1、m2、m3 通过滑轮组相 连接,所有摩擦不计。滑轮及绳子质量不 计。求 m1 的加速度和两根绳子的张力。
B m1 m3

A

m2

力学

话题3

费马原理、追及和相遇问题

力学 【例8】如图所示,A船从港口P出发,拦截正以速度v1 沿BC方向做匀速直线运动的B船,港口P与B所在航线的 距离为a,B与港口P的距离为b(b>a),A船的速度为 v2,A船一启航就可认为是匀速航行。为了使A到B的航 线上能与B迎上,问: (1)A船应取什么方向? (2)需要多长时间才能拦住B船? (3)若其它条件不变,A船从P开始匀速航行时,A船 可以拦截B船的最小航行速度是多少?

力学 【分析】选择B船为参考系,则可认为A船一直向着B 船做匀速直线运动,即合成速度沿着AB方向。 【解析】设A船对地的速度v2与AB的夹角为α,作出 速度关系矢量图如图 v2 v1 a B v ? sin ? ? sin ? sin ? b
3

v2

av1 ? ? arcsin bv2
v3 v2 ? sin ? sin(1800 ? ? ? ? )

?

?

v1

b sin ? b sin ? t? ?b ? v3 v2 sin(? ? ? ) v2 sin(? ? ? )

力学 选取B船为参考系,只要A相对于B的速度方向沿BP指向B, A船就可以拦截B船,如图,v=v1+v2,在这个矢量三角 形中,要使v2最小,v2应与v垂直,所以
v2 v

v 2 min

a ? v1 sin ? ? v1 b
?

【思考】在求A船从P开始匀速航行,拦 截B船的最小航行速度时,用矢量三角形 求解非常方便。即合矢量方向一定,其 中一个分矢量已经确定时,另一个分矢 量的最小值就是从已知分矢量末端向合 矢量方向引出的垂线为最短。

v1

P

力学 【例9】有一只狐狸以不变速率v1沿直线逃跑,一猎犬 以不变的速率v2追击,其追击方向始终对准狐狸。某 时狐狸在F处,猎犬在D处,FD⊥AB,FD ? L 如图所示。 假设v2>v1,问猎犬追上狐狸还需多长时间?

力学
【分析】根据运动的合成原理,以狐狸为参考系,猎犬将以 DF 方向的速度 v ? 向 F 追击,所以,追击时间

t?

L
2 v 2 ? v12

按照这种解法,设想把整个系统全部外加速度v1的话, 即狐狸又回到了地面参考系中,此时猎犬的速度还是v2, 然后猎犬沿速度v2所在的直线到达AB上追及狐狸。而题 中的要求,猎犬的追击方向始终对着狐狸,此解违反题意。

力学 【解析】由于猎犬在追击狐狸的过程中始终指向狐狸,而 狐狸又在向AB方向逃跑,猎犬将沿着一条曲线运动。这与 沿直线运动追击不同。但稍加考虑,我们可以对猎犬和狐 狸的相对距离给予关注。所谓追上狐狸,就是相对距离为 零。 设在追击过程中某一时刻, D到达D’,F到达F’。连0、F, 此刻猎犬在D’的速度指向F’, 狐狸在F’的速度仍指向B端。 可以很自然地考虑到,此时沿 相对位置方向的相互接近速度 为:

v2 ? v1 cos ?i

力学
只是速度方向是变化的。为了对付这一困难,我们把整个追逐时间分 成 n 段相等的时间段,每段时间间隔为 ?t 。当 n ?? 时, ?t

?0 。

在第 i 段这样短的时间段 ?t 内,可以近似地认为 D’F’方向没有改 变(n 越大, ?t 越小,这一近似越精确)。因此,可以写出在 ?t 时间内 相对距离缩短的数值 ?li 为
?li ? (v2 ? v1 cos ?i )?t
其中 ? i 为第 i 段时间间隔 ?t 内猎犬 和狐狸的联线方向与 AB 的夹角。当 i 取 1,2,?,n 时均可得到上述公式, 再把左右两边分别相加,得到

? ?l ? ?(v
i ?1 i i ?1

n

n

2

? v1 cos?i )?t

力学
等式左边是每个时间段内追上的距离之和,如果追上,其和必为初始时 相距的 L。

L ? v2 ? ?t ? ? v1 cos?i ?t ? v2? ? v1 ? cos?i ?t

(1)

其中 ? 为猎犬追上狐狸所需时间。 由于右式第二项中的求和表达式下有一 个随 i 变化的因子 cos ?i ,无法直接得到结果,应另想办法。 以上分析, 事实上同样适用于沿 x 方向(即 AB 方向)和沿 y 方向的 情况。 x 方向相互接近距离写出。 选 (当不知道哪个式子可以解决问题前, 可以把 x、y 两个方向都试一下。)第 i 个 ?t ,沿 x 方向相互接近距离为
(?li ) x ? (v2 cos ?i ? v1 )?t

其中右式括号内为 x 方向的相互接近速度。再对全部时间求和,左边相 加后为零,原因是初始时直到追上时,猎犬和狐狸 x 方向的相对距离均 为零。所以有
0 ? v2 ? cos?i ?t ? v1 ? ?t ? v2 ? cos?i ?t ? v1?

(2)

力学
v1 ? cos ?i ?t ? v ? 2



代入得到
2 2 2 1

v1 v ?v L ? v2? ? v1 ? ? ? ? v2 v2
所以猎犬追上狐狸的时间 ? 为

v2 L ?? 2 2 v2 ? v1

力学 【例10】两两相距均为l的三个质点A、B、C, 同时分别以相同的匀速率v运动,运动过程中A 的运动速度方向始终指着当时B所在的位置、B 始终指着当时C所在的位置、C始终指着当时A所 在的位置。试问经过多少时间三个质点相遇?
A
A1 A2 C2 C1 C l2 l l1 B2 B1 B

【解析】三质点均做等速率曲线运动,而且任意时刻三个质点

的位置分别在正三角形的三个顶点,但这个正三角形的边长不 断缩小,现把从开始到追上的时间t分成n个微小时间间隔△t (△t→0),在每个微小时间间隔△t内,质点运动近似为直 线运动。于是,第一个△t三者的位置A1、B1、C1如图。这样可 依次作出以后每经△t,以三个质点为顶点组成的正三角形 A2B2C2、A3B3C3、?设每个正三角形的边长依次为l1、l2、?ln。 显然,当ln→0时,三个质点相遇。

力学 解法一:由前面分析,结合小量近似有:
3 l1 ? l ? A A1 ? B B1 cos 60 0 ? l ? v?t. 2

A A1 A2

3 3 l 2 ? l1 ? v?t ? l ? 2 ? v?t. 2 2
3 3 l 3 ? l 2 ? v?t ? l ? 3 ? v?t. 2 2

C2 C1 C l2 l l1 B2 B1 B

??

3 l n ? l ? n ? v?t. 2 3 ? vn ?t ? l ? l n . 2

由△t→0,n→∞,并有n△t =t,ln→0(三人相遇)。 三个质点运动到原正三角形ABC的中心,需时间为 2l t ? n?t ? . 3v

力学 解法二:设t时刻三角形边长为x,经极短时间△t后边长变为 x′。根据图中的几何关系,应用三角形的余弦定理可得 2

x / ? (v?t ) 2 ? ( x ? v?t ) 2 ? 2(v?t )(x ? v?t ) cos600
在△t→0时,可略去二阶小量△t
2项,因此

? x 2 ? 3xv?t ? 3v 2 ?t 2 .

A A1 A2

C2 C1 C l2 l l1 B2 B1 B

x / ? x 2 ? 3xv?t
2

?x? x ?

3v 3v?t / 2 x ? x ? 3xv?t ? x 1 ? ?t ? x(1 ? ) x 2x 3 /

这表明等边三角形边长的收缩率为3v/2。 l 2l 从初始边长l缩短到0需时间为

2

v?t.

t?

3v 2

?

3v

力学 解法三:因为每一时刻三个质点总在正三角形的顶点上,且 运动过程中A的运动速度方向始终指着当时B所在的位置,所 以此时质点A速度方向与AO连线的夹角恒为30°(O为中心 点),即A的运动速度沿AO方向的分量vcos30°。质点B、C也 是如此。在下一时刻,因为三质点队形如初,质点运动方向 条件如初,所以质点A、B、C 的运动速度在质点与中心O连线 方向的分量仍为vcos30°,且为定值。最终三质点相遇在O点, 所以每个质点在质点与中心O的连线方向上运动了

2lsin600 3
2 l sin 60? 2l 3 t? ? . v cos30? 3v

A A1 A2 l

C2

C1

C

· O
l2 l1 B B2 B1

力学 解法四:以B为参照系,在两者连线方向上A对B的相对速率 恒为v+vcos60°。最终相遇,相对运动距离为l,所 用时间为

l 2l t? ? 3v 3v 2

A A1 A2

C2

C1 C

l

l2 l1 B

B2 B1

力学 演变1:如四个质点从正方形顶点出发,已知正方形边长为 l,结果如何? (答案:t=l/v) 演变2:有五个花样滑冰运动员表演一种节目,表演的动作规 定为:开始时五人分别从正五边形ABCDE的五个顶点出发, 以相同速率v运动,如图所示。运动中A始终朝着C,C始终朝 着E,E始终朝着B,B始终朝着D,D始终朝着A,问经过多长 时间五人相聚?(已知圆半径为R) (答案:t=1.05R/v)

A

B C D

E

力学 【例11】在非洲有一种竞速运动,从某一点出发奔向 同一个目的地。途中要经历两块不同的场地,一块是 沼泽地,另一块是普通陆地。已知某运动员在普通陆 地上奔跑速度为4m/s,在沼泽地上奔跑速度为3m/s, 要求从A点跑到沼泽地中B点时间最短,请你为他设计 一条合理的路线。 A
2

?

陆地
1

30m 40m

3

?
B

sin ? v陆地 ? sin ? v沼泽

沼泽地

70m

力学 费马原理 光在任意介质中从一点传播到另一点时,沿所需时间最 短的路径传播。又称最小时间原理或费马原理,法国数 学家费马于1657年首先提出。

sin ? n沼泽 v陆地 ? ? sin ? n陆地 v沼泽

力学

【演变】游泳池ABCD长50m,宽34.6m,某运动员在水中游 速为3m/s,在岸边奔跑速度为6m/s。现从游泳池正中央 的P点出发,设法到达岸边的B点,要求时间最短该如何 选择路线? A
B

3 1 sin ? ? ? 6 2

?
P C D

力学 【例12】设想有一只老鼠在圆湖边碰上猫,它想回洞已 来不及,只好跳入湖中企图逃走.已知猫在岸上跑的速 率是鼠在湖中游的速度的4倍,湖边周围有很多鼠洞.问 老鼠能否逃脱猫的捕抓. 【分析】鼠、猫分别用S、M代表.如图所 示,A、B、C是鼠逃命的三个方案,A/、B/、 C/是猫根据老鼠的逃命方案所制订的追踪 方案,由v猫=4v鼠,及圆中弦与弧的关系,易 知老鼠到达上岸点时, 猫已在那里恭候多 时了.说明上述三个方案都不能使老鼠逃 脱厄运.但实际上只要老鼠想点办法是可 以逃脱的.方法是老鼠可以先在湖内绕湖 心转圈,一旦老鼠、湖心、猫三点连成一 条直线后再沿半径方向向外游就能顺利脱 逃.

力学 设圆湖半径为R,作R/4同心圆K,如果这样来构造老 鼠的运动过程: 鼠下水后沿半径方向向湖心游去,到 达R/4圆K内,然后转圈游, 老鼠可以游到和猫不在同 一半径而在同一直径的圆K的边界点P的位置上去,然 后沿此直径游向湖岸,即可逃命.
因为 P 到岸的最短距离是 R, 鼠到岸边需时间
3R ,由于猫 4v鼠
3 4

到鼠上岸点需运动半圆周,需 时间
?R 3 R ?R ,而 v 猫=4v 鼠,所以有 < .鼠有时间逃进洞 v猫 4v鼠 v 猫

力学

话题4

有关万有引力与天体运动

力学 1、天体运动中机械能守恒 天体运动中的机械能E为系统的引力势能与各天体的动 能之和。仅有一个天体在运动时,则E为系统的引力势 v2 能与其动能之和。由于没有其他 v1 外力作用,系统内万有引力属于 r2 保守力,故机械能守恒,E为恒 r1 M 量,如图所示,设M天体不动, m天体绕M天体转动,则由机械动 能守恒,有
E? ? GMm 1 ? GMm 1 2 2 ? m v1 ? ? ? m v2 r1 2 r2 2

力学

当运动天体背离不动天体运动时, E P 不断增大,而 E K 将不断减小, 可达无穷远处,此时 E P ? 0 而 E K ≥0,则应满足 E≥0,即
? GMm 1 ? mv 2 ? 0 r 2

例如从地球发射人造卫星要挣脱地球束缚必有
? GMm 1 ? mv 2 ? 0 R 2

2GM v? ? 2Rg ? 11.2 km s R

力学
另外在上面的二体系统中,由于万有引力属于有心力, 所以对 m 而言,遵循角动量守
? ? mv ? r ? 恒量
r1
v1 r2
M

v2

或 mvr? sin ? ? 恒量

?是v与r 方向的夹角。它实质为开普勒第二定律,
即行星与恒星连线在相等时间内扫过面积等。

力学 2、天体运动的轨道 若M天体固定,m天体在万有引力作用下运动,其 圆锥曲线可能是椭圆(包括圆)、抛物线或双曲 y 线。 b i)椭圆轨道 如图所示,设椭圆轨道方程为
x2 y2 ? 2 ?1 2 a b
?a v2
O

v1 M (? ,0) a x

?b

则椭圆长,短半轴为

c ? a 2 ? b2 a、b,焦距



近地点速度 v1 ,远地点速度 v2 ,则有
E? 1 GMm 1 GMm 2 2 mv1 ? ? mv 2 ? 2 a?c 2 a?c

mv1 (a ? c) ? mv2 (a ? c)

力学

或由开普勒第二定律:
1 1 v1 (a ? c) ? v 2 (a ? c) 2 2

可解得
?v1 ? (a ? c)GM /(a ? c) ? a ? ? ?v2 ? (a ? c)GM /(a ? c) ? a ?

代入 E 得
GMm E?? ?0 2a

力学

y ? Ax2 ii)抛物线 1

太阳在其焦点(
E?

0,

4 A )处,则

m 在抛物线顶点处能量为

1 GMm 1 2 2 mv0 ? ? mv0 ? 4 AGMm 1 2 2 ( ) 4A
v1

1 ?? 2A , 可以证明抛物线顶点处曲率半径
r1

v2
r2

则有

mv 0

2

1 / ? ? GMm /( ) 2 4A

M

得到 v0 ? 8 AGM 抛物线轨道能量
E? 1 m ? (8 AGM ) ? 4 AGM ? 0 2

力学 iii)双曲线
c ? a 2 ? b2 焦距

,太阳位于焦点(C,0) ,星体 m 在双曲线正

x2 y2 ? 2 ?1 2 a b

半支上运动。如图所示,其渐近线 OE 方程为 y=bx/a,考虑 m 在 D 处与无穷远处关系,有
1 GMm 1 2 2 E ? mv 0 ? ? mv ? 2 c?x 2

y

C

考虑到当 r ? ? ,运动方向逼 近渐近线,焦点与渐近线距
FC ? cb / a 2 ? b 2 ? b

b c
O

D

a F (c,0)

x

力学
1 1 v D (c ? a ) ? v ? ? b 2 2





mvD (c ? a) ? mv? ? b

联解得
?v? ? GM / a ? ? b GM vD ? ? c?a a ?

双曲线轨道能量
E? GMm ?0 2a

力学

小结
GMm E?? ?0 2a

椭圆轨道 抛物线轨道 双曲线轨道

E?0
GMm E? ?0 2a

力学 【例13】质量为m的宇宙飞船绕地球中心0作圆周运动,已 知地球半径为R,飞船轨道半径为2R。现要将飞船转移到另 一个半径为4R的新轨道上,如图所示,求 (1)转移所需的最少能量; (2)如果转移是沿半椭圆双切轨道进行的,如图中的ACB 所示,则飞船在两条轨道的交接处A和B的速度变化各为多 少?
4R
A

2R R O

B

C
图4-10-4

力学
宇宙飞船在 2R 轨道上绕地球运动时,万有引力提供向 心力,令其速度为 v1 ,乃有
GMm mv1 ? 2 2R ( 2 R)
2

故得

v1 ?

GM 2R

此时飞船的动能和引力势能分别为
E k1 ? E p1 1 GMm 2 mv1 ? 2 4R GMm ?? 2R

力学
飞船在 2R 轨道上的机械能为
E1 ? E k1 ? E p1 ? ? GMm 4R

同理可得飞船在 4R 轨道上的机械能为
GMm E2 ? ? 8R

以两轨道上飞船所具有的机械能比较,知其机械能的增量 即为实现轨道转移所需的最少能量,即
?E ? E 2 ? E1 ? GMm 8R

力学
(2)由(1)已得飞船在 2R 轨道上运行的速度为
v1 ? GM 2R

同样可得飞船 4R 轨道上运行的速度为
v2 ? GM 4R

设飞船沿图示半椭圆轨道 ACB 运行时,在 A、B 两点的速度
? ? v1 和v 2 。则由开普勒第二定律可得 分别为
? ? v1 ? 2R ? v2 ? 4R

力学
又由于飞船沿此椭圆轨道的一半运行中机械能守恒,故 应有
1 GMm 1 GMm ?2 ?2 mv1 ? ? mv 2 ? 2 2R 2 4R

联立以上两式解之可得
? v1 ? 2GMm 3R ? v2 ? 1 2GMm 2 3R

故得飞船在 A、B 两轨道交接处的速度变化量分别为
? 4 ? GM ? ?v A ? v1 ? v1 ? ? ? 1? ? 3 ? 2R ? ? ? 2 ? GM ?1 ? ? ? ?v B ? v 2 ? v 2 ? ? 3 ? 4R ? ?

力学 【例14】 设想万有引力的大小与两质点间距离的α次方成正比,
即质量分别为 M、m 且相距 r 的两质点 P、Q 间万有引力的大小可 表述为 F ? G* ? Mmr 2 (式中 G 为恒量). 再设 P 固定不动,那么 Q 相对 P 的运动轨道仍为一平面曲线.开普 勒第二定律(面积定律)仍成立.如果 Q 的诸多运动轨道中存在—种 半长轴 A 不等于半短轴 B 的椭圆曲线,试就下面两种情况求α值. (1)P 在椭圆的一个焦点上; (2)P 在椭圆内的中心点上.
A2 B2 数学参考知识:椭圆两顶点曲率半径分别为 和 · B A

力学
【分析】此题阐明了这样一个事实,万有引力定律为什么与两 质点间距离平方反比. 万有引力定律是建立在开普勒行星运动三定律上的,若太阳是 在地球椭圆轨道中心上的话,则万有引力将与质点间的距离成 正比. 解: 椭圆轨道如图所示,其中
C ? A2 ? B2 ? 0

4-4

力学
(1) 设 P 在焦点 F 上,轨道 1、2 两,两处的曲率半

径分别记为ρ1、ρ2,将 Q 在这两点附近的运动处理 为圆运动,便有
mv12

?1

? G * Mm( A ? C )? , ? G * Mm( A ? C )? .

2 mv2

?2

v1 、 v 2 为

A 在 1、2 两点处的轨道速度.因 ?1 ? ?2
v12 ( A ? C )? ? 2 v2 ( A ? C )?

即有



力学

由开普勒第二定律,可得
v1 ( A ? C ) ? v2 ( A ? C )

即有
2 v12 / v2 ? ( A ? C )2 /( A ? C )2 .

于是要求
( A ? C)? ?2 ? ( A ? C)? ?2

因 C≠0,上式成立的条件为
? ? ?2

力学
(2)设 P 在椭圆中心 O 处,轨道 3 点处的曲率半径记为ρ3,便有
2 mv1

?1

? G * MmA? , ? G * MnB? .

2 mv3

?3

题文已给椭圆两顶点曲率半径公式,显然ρ 3>/ρl,因此必 定是

B2 A2 ?1 ? , ?3 ? . A B

于是可得

v A? ?3 ? ? ?3 v B
2 1 2 3

力学

由开普勒第二定律,有
v1 A ? v3 B.

代入上式,便得
A? ?1 ? B? ?1

因 A≠B,此式成立的条件为
? ?1

力学 【例15】火箭从地面上以第一宇宙速度竖直向上发射, 返回时落回力发射场不远处。空气阻力不计,试估算 火箭飞行时间。地球半径取R=6400m。 【分析】火箭向上发射又落回地 面,它在地心力作用下的运动轨 道是一个椭圆的一部分。其中地 心为焦点,最高处为远地点。由 于返回点和发射点很近,说明这 个椭圆很“扁”。其焦点即地心 离轨道近地点很近。则可以认为 O、P两点为椭圆长轴的两个端点。
O R P

力学 设椭圆长轴为r,根据机械能守恒( v1 ? gR )

1 2 GMm GMm mv 1 ? (? ) ? 0 ? (? ) 2 R r

r ? 2R
再设火箭在长轴为2R的扁椭圆轨道运动周期为T0,椭圆 面积为S0而在空中运动时间为t
S0 S ? T0 t

其中, S0是椭圆轨道面积, S是火箭飞行时间t内,矢径 扫过的阴影部分面积。

力学

1 1 ?Rb 2 ?Rb ? 2 R 2b ? T0 t

? ?2 t? T0 2?

由开普勒第三定律,该半长轴与近地轨道半径相同,故周 期也相同。

2?R R T0 ? ? 2? g Rg

? ?2 t? T0 ? 4110 s 2?

力学

话题5

质量均匀球壳(体)内的引力

力学 质量均匀球壳(体)内的引力 对处于球体内部的质点m而言 兰色部分:不贡献引力

红色部分:贡献引力,恰如位于球心的一个
质点M’(M’是红色部分的总质量) M r3 M? ?V? ?M 3 V R GM ?m GMm r F? ? 2 F r R3 ? GMm (r ? R) ? r2 ? ?F ? ? ? GMm r (r ? R) ? R3 ? O

R m r M’

R

r

力学 【例16】一质量分布均匀的球壳对球壳内任一质点的万有引力 为零。 △s 【解析】设想在球壳内任一点A处置一质量为m的 1 · r1 质点,在球面上取一极小的面元△s1,以r1表示 A △s1与A点的距离。设此均匀球面每单位面积的 r2 质量为σ,则面元△s1的质量△m1= σ △s1,它△s 2 对A点的吸引力为 Gm?m1 G?m?S1

?F1 ?

又设想将△s1边界上各点与A点的连线延长分别与△s1对面的 球壳相交而围成面元△s2,设A与△s2的距离为r2,由于△s1 和△s2都很小,可以把它们看作是一个平面图形,显然它们 ?S 1 r12 是相似图形,因而面元面积比例关系为 . ? 2
Gm?m2 G?m?S 2 ? 面元△s2对A处质点的吸引力为 ?F2 ? 2 r2 r22 △F1 = △F 2 .
?S 2 r2

r

2 1

?

r12

力学 【例17】假设地球半径为R,质量分布均匀,一隧道沿某条直 径穿越地球。现在隧道一个端口从静止释放质量为m的小球, 求小球穿越地球所需的时间。小球运动中的阻力不计。 设质点m位于r处,它受到的引力 3
r Mm 3 Mm F=G R 2 ? G 3 r r R

m ●
r ·O

F∝r(方向相反)

小球做简谐运动。 F是小球受到的回复力,r为小球离开 平衡位置O 的位移大小,O为小球的平衡位置。

m ? 2? 周期 T=2? K

T R3 ?t ? ? ? 2 GM

m R3 ? 2? Mm GM G 3 R

力学 【例18】 (第20届全国物理竞赛复赛试卷) 有人提出了一种不用火箭发射人造地球卫 星的设想.其设想如下:沿地球的一条弦 挖一通道,如图所示.在通道的两个出口 处A和B,分别将质量M为的物体和质量为m的待发射卫星同时 自由释放,只要M比m足够大,碰撞后,质量为m的物体,即 待发射的卫星就会从通道口B冲出通道;设待发卫星上有一 种装置,在待发卫星刚离开出口B时,立即把待发卫星的速 度方向变为沿该处地球切线的方向,但不改变速度的大 小.这样待发卫星便有可能绕地心运动,成为一个人造卫 星.若人造卫星正好沿地球表面绕地心做圆周运动,则地心 到该通道的距离为多少?己知M=20m,地球半径=6400 km.假定地球是质量均匀分布的球体,通道是光滑的,两物 体间的碰撞是弹性的.

力学 位于通道内、质量为m的物体距地心为r时,它受到地球的 引力可以表示为 GM ?m F? 2 (1) r 式中 M ? 是以地心为球心、以r为半径的 球体所对应的那部分地球的质量,若以 ? 表示地球的密度,此质量可以表示为 4 (2) M ? ? ?? r 3
3

于是,质量m为的物体所受地球的引力可以改写为
4 F ? ? G ? mr 3

作用于质量为m的物体的引力在通道方向的分力的大小 x sin? ? f ? F sin ? (4) 为 (5) r x为物体位置到通道中点C的距离,力的方向指向通道 的中点C。在地面上物体的重力可以表示为 mg ? GM20 m
R0

力学

式中 M 0是地球的质量。由上式可以得到
4 g ? ? G ? R0 3

(7)

由以上各式可以求得 mg f ? x R0 (8) 可见,f与弹簧的弹力有同样的性质,相应的“劲度系 数”为 mg k? R0 (9) 物体将以C为平衡位置作简谐运动,振动周期为
T ? 2? R0 / g



力学 取x=0处为“弹性势能”的零点,设位于通道出口处的质 量为m的静止物体到达x=0处的速度为v0,则根据能量守 恒,有 1 1 2 2 2

mv0 ? k ( R0 ? h ) 2 2

式中h表示地心到通道的距离。解以上有关各式,得
2 R0 ? h 2 2 (11) v0 ? g R0 可见,到达通道中点C的速度与物体的质量无关。

力学 设想让质量为M的物体静止于出口A处,质量为m的物体静止于 出口B处,现将它们同时释放,因为它们的振动周期相同,故 它们将同时到达通道中点C处,并发生弹性碰撞。碰撞前,两 物体速度的大小都是v0,方向相反,刚碰撞后,质量为M的物 体的速度为V,质量为m的物体的速度为v,若规定速度方向由 A向B为正,则有

Mv0 ? mv0 ? MV ? mv
1 2 1 2 1 1 2 2 Mv0 ? mv0 ? MV ? mv 2 2 2 2

3M ? m v? v0 M ?m

质量为m的物体是待发射的卫星,令它回到通道出口B处 时的速度为u,则有 2 1 1 2 1 2 8M ( M ? m) R0 ? h2 2 2 k ( R0 ? h ) ? mu ? mv u2 ? g 2 R0 ( M ? m) 2 2 2

力学 u的方向沿着通道。根据题意,卫星上的装置可使u的方 向改变成沿地球B处的切线方向,如果u的大小恰能使小 卫星绕地球作圆周运动,则有
M 0m u2 G 2 ?m R0 R0
R0 h? 2 7 M 2 ? 10Mm ? m2 2M ( M ? m)

已知M=20m,则得

h ? 0.925R0 ? 5920 km

力学 【例19】假定巴黎和伦敦之间由一条笔直的地下铁道连接着。 在两城市之间有一列火车飞驶,仅仅由地球的引力作动力。试计 算火车的最大速度和巴黎到伦敦的时间。设两城市之间的直线距 离为300km, 地球的半径为6400km,忽略摩擦力。 解析:火车在巴黎和伦敦的地下铁道中作简谐运动。

巴黎到伦敦的时间
T R 6400? 103 t ? ?? =? =800? ( s) 2 g 10



在铁道中点C处速度最大。
1 2 1 2 mv 0 ? kA 2 2
v0 ? k 2? 2? A ? ?A ? A? ? 150? 103 ? 187.5(m / s) m T 1600 ?

力学

话题6

关于简谐运动

判定运动模型是否为简谐运动

求解非典型简谐运动的周期 求解与简谐运动相关的时间 求解与简谐运动相关的能量
描写振子作简谐运动的振动方程

力学

一.简谐运动的定义 如果物体所受的回复力大小总与位移大小成 正比,方向总于位移相反,物体的运动叫做简 谐运动。 简谐运动的运动学特征 F ? ? kx

简谐运动的动力学方程

a??

k x m

其中的F为简谐运动中物体所受的回复力,x k 为振动物体相对于其平衡位置的位移, 为 F 与 x 间的比例系数,负号表示回复力的方向与位 移的方向相反,a为振动物体在位移时的加速度。

力学

二.简谐运动的方程描述
k ? ?2 令 m

k 由 a?? x m

解微分方程易得:

x ? A cos(?t ? ? )

v ? ?? A sin(?t ? ? )

a ? ?? A cos(?t ? ? ) 2 ? ?? x
2

三.简谐运动与参考圆

v
m

力学 t

? an t 回避高等数学工具,我们 ? 0 t=0 A 可以将简谐运动看成匀速圆 x O x 周运动在某一条直线上的投 影运动(以下均看在x方向的 投影),圆周运动的半径即为简谐运动的振幅A 。
参考圆的圆心就是简谐运动的平衡位置,半径 是简谐运动的振幅,圆周运动的周期和简谐运动 的周期相同,圆周运动的角速度 ? ? 2? ? 2?f 在 T 简谐运动中称为圆频率

?

力学

【例20】质点以角速度? 沿半径为A的圆轨道做 匀速圆周运动,试证明 质点在某直径上投影的 运动为简谐运动。

Fn ? m? 2 A
x Fx ? ?m? A ? ? ?m? 2 x A
2

显然,满足 F ? ? kx 形式。

在图中,
x ? A cos(?t ? ? ) v ? ?? A sin(?t ? ? ) a ? ?? 2 A cos(?t ? ? )

力学

同时得到:

y ? A cos(?t ? ? ? ) 2 ? 2 a y ? ?? A cos(?t ? ? ? ) ?2 v y ? ?? A sin(?t ? ? ? ) 2

?

其中:(ωt +φ)称相位,φ称初相。

力学

v0 (需要注意的是 ? ? 0 时, φ0可在Ⅰ、Ⅲ象限, ? x0 v0 ? ? 0 时,φ 可在Ⅱ、Ⅳ象限, 0 ? x0

因此还需结合x0或v0的正、 负才能确定φ0所在的象 限.)

力学

由公式可得
a ? ?? 2 x

由牛顿第二定律简谐振动的加速度为
a? F k ?? x m m
k m

因此有 (4) 简谐振动的周期 T 也就是参考圆上质点的运动周期,所以
T? 2? m ? 2? ? w k

?2 ?

力学
四、简谐振动的判据 物体的受力或运动,满足下列三条件之一者,其运动即为 简谐运动: ①物体运动中所受回复力应满足 ②物体的运动加速度满足 ③物体的运动方程可以表示为

F ? ? kx ;
a ? ?? 2 x ;
x ? A cos(?t ? ?0 ) 。
1 2 kx 2

④能量法:如果质点在运动过程中具有形式为 的势能,且 1 kx 2 ? 1 mv 2 ? 1 kA2 其中v= lim ?x
2 2 2
?t ?0

?t

以上各判定简谐运动的方法是完全等价的. 以上各表达式中x既可以是线量(线位移),又可以是角量 (角位移),对应的速度相应的是线速度和角速度,对 应的加速度可以是线加速度和角加速度.

力学 五、关于弹簧振子弹簧振子
(1)恒力对弹簧振子作用 比较一个在光滑水平面上振动 和另一个竖直悬挂振动的弹簧 振子,如果 m 和 k 都相同,则 它们的振动周期 T 是相同的,
?l

2?l

?l
O
?

T

2?

t

也就是说,一个振动方向上的恒力不会改变振动的周期。如果 在电梯中竖直悬挂一个弹簧振子,弹簧原长 l ,振子的质量为
0

m=1.0kg,电梯静止时弹簧伸长 ?l =0.10m,从 t=0 时,开始电 梯以 g/2 的加速度加速下降 t

? ?s ,然后又以 g/2 加速减速下

降直至停止试画出弹簧的伸长 ?l 随时间 t 变化图线。

力学

由于弹簧振子是相对电梯做简谐运动,而电梯是一个有 加速度的非惯性系,因此要考虑弹簧振子所受到的惯性力 f。在匀速运动中,惯性力是一个恒力,不会改变振子的 振动周期,振动周期

T ? 2? / ? ? 2? / k m
因为 k ? mg / ?l ,所以
T ? 2? ?l g ? 0.2? (s)

因此在电梯向下加速或减速运动的过程中,振动的次数都 为 n ? t / T ? ? / 0.2? ? 5(次)

力学
当电梯向下加速运动时,振子受到向上的惯性力 mg/2, 在此力和重力 mg 的共同作用下,振子的平衡位置在
?l1 ? 1 mg / k ? ?l / 2 2

的地方,同样,当电梯向下减速运动时,振子的平衡位置 在
?l2 ? 3 mg / k ? 3?l / 2 2

的地方。在电梯向下加速运动期间,振子正好完成 5 次全 振动,因此两个阶段内振子的振幅都是 ?l / 2 。弹簧的伸长 随时间变化的规律如图所示.如果电梯第二阶段的匀减速 运动不是从 5T 时刻而是从 4.5T 时刻开始的,那么 ?l ~ t 图 线将是怎样的?

力学
(2) 弹簧的组合

k 设有几个劲度系数分别为 k1 、 2 ?? kn 的
x ? ? xi
i ?1 n

轻弹簧串联起来,组成一个新弹簧组,当这个新弹簧组在 F 力 作用下伸长时,各弹簧的伸长为 x ,那么总伸长
1

各弹簧受的拉力也是 F,所以有 故
1 x ? F? i ?1 ki
n

xi ? F / ki

根据劲度系数的定义,弹簧组的劲度系数

k ?F/x
即得
1/ k ? ?
i ?1 n

1 ki

力学
如果上述几个弹簧并联在一起构成一个新的弹簧组,那么 各弹簧的伸长是相同的。要使各弹簧都伸长 x ,需 要的外力
n n

F ? ? ki x ? x ? ki
i ?1 i ?1

根据劲度系数的定义,弹簧组的劲度系数
n F k ? ? ? ki x i ?1

m

导出了弹簧串、 并联的等效劲度系数后, 在解题中要灵活地应 用,如图所示的一个振动装置,两根弹簧到底是并联还是串 联?这里我们必须抓住弹簧串并联的本质特征: 串联的本质特 征是每根弹簧受力相同;并联的本质特征是每根弹簧形变相 同。由此可见图中两根弹簧是串联。

力学
当 m 向下偏离平衡位置 ?x 时,弹簧组伸长了 2 力为
?x ,增加的弹

F ? 2?xk ? 2?x

k1k2 k1 ? k2

m 受到的合外力(弹簧和动滑轮质量都忽略)
?F ? 2 ? 2?x k1k2 4k k ? 1 2 ?x k1 ? k2 k1 ? k2

所以 m 的振动周期
T ? 2? m( k1 ? k 2 ) 4k1k 2

?
=

m( k1 ? k 2 ) k1k 2

力学
再看如图所示的装置,当弹簧 1 由平衡状态伸长 ?l 时,弹簧 2
1

由平衡位置伸长了 ?l ,那么,由杆的平衡条件一定有(忽略杆
2

的质量)

k1 ? ?l1a ? k2 ?l2b
?l2 ? k1 a ? ? ?l1 k2 b
a
1 2

k2

b

由于弹簧 2 的伸长,使弹簧 1 悬点下降
a k1 a 2 ?x? ? ?l2 ? ? 2 ? ?l1 b k2 b

k1

m

因此物体 m 总的由平衡位置下降了
? k1 a 2 ? ?x1 ? ?l1 ? ?x? ? ? ? 2 ? 1??l2 ?k b ? ? 2 ?

力学

此时 m 所受的合外力
k1k2b 2 ?F ? k1?l1 ? ?x1 k1a 2 ? k2b 2

所以系统的振动周期
m(k1a 2 ? k 2b 2 ) T ? 2? k1k 2b 2

力学
(3) 没有固定悬点的弹簧振子 质量分别为 m A 和 m B 的两

木块 A 和 B,用一根劲度系数为 k 的轻弹簧联接起来,放在 光滑的水平桌面上。 现在让两木块将弹簧压缩后由静止释放, 求系统振动的周期。 想象两端各用一个大小为 F、方向相反的力将弹簧压缩, 假设某时刻 A、B 各偏离了原来的平衡位置 x A 和 x B ,因为系统 受的合力始终是零,所以应该有

mA xA ? mB xB
A、B 两物体受的力的大小



FA ? FB ? ( xA ? xB )k



力学
由①、②两式可解得
mA ? mB FA ? k xA mB
FB ? k mA ? mB xB mB
A B

由此可见 A、B 两物体都做简谐运动,周期都是
T ? 2? m A mB k ( m A ? mB )

力学
此问题也可用另一种观点来解释: 因为两物体质 心处的弹簧是不动的,所以可以将弹簧看成两段。
mB l0 m A ? mB , 如果弹簧总长为 l , 左边一段原长为 劲度
0

m A ? mB mA k l0 mB m A ? mB ,劲度系 系数为 ;右边一段原长为
m A ? mB k mB 数为 ,这样处理所得结果与上述结果是相

同的,有兴趣的同学可以讨论,如果将弹簧压缩之 后,不是同时释放两个物体,而是先释放一个,再 释放另一个, 这样两个物体将做什么运动?系统的 质心做什么运动?

力学 【例20】三根长度均为l=2.00m,质量均匀的直杆,构成 一正三角形框架ABC.C点悬挂在一光滑水平转轴上,整个 框架可绕转轴转动.杆AB是一导轨,一电动玩具松鼠可在 导轨上运动,如图所示.现观察到松鼠正在导轨上运动, 而框架却静止不动,试论证松鼠的运动是—种什么样的运 动. 分析: (1)框架静止不动的条件分析. 松鼠对它的压力及沿杆方向作 用力的合力必通过悬点C. (2)根据(1)中两个力满足的条 件分析得出松鼠沿杆方向受到 的外力特征,从而确定松鼠的 运动为简谐运动这一结论.

力学 解: 先以刚性框架为研究对象.当框架处于静止状态时, 作用于框架的各个力对转轴C的力矩之和在任何时刻;郎应 等于零.设在某一时刻,松鼠离杆AB的中点O的距离为x, 如图所示.松鼠在竖直方向对导轨的作用力等于松鼠受到 的重力mg,m为松鼠的质量.此重力 对转轴C的力矩的大小为mgx,方向沿 顺时针方向.为使框架平衡,松鼠必 须另对杆AB施一水平方向的力F,且F 对转轴C的力矩应与竖直方向的重力 产生的力矩大小相等,方向相反.即 当表示松鼠位置的坐标x为正时,F沿 x的正方向.当x为负时,F沿x的负方 向,如图所示,并满足平衡条件

力学

mgx ? Fl sin 60? ? 3Fl / 2
式中 l 为杆的长度,所以
F ? 2mgx /( 3l )

① ②

即松鼠在水平方向上作用于杆 AB 的力要因松鼠所在的 位置不同而进行调整,保证②式得到满足. 再以松鼠为研究对象.松鼠在运动过程中,沿竖直方向受 到的合力为零,在水平方向受到杆 AB 的作用力为 F’,根 据牛顿第三定律,此力即 F 的反作用力,即 F ' ? ?2mgx /( 3l ) , 可见,松鼠在水平方向受到的作用力 F’作用下的运动应是 以 O 点为平衡位置的简谐运动,其振动的周期为
T ? 2? m / k ? 2? 3l /(2 g ) ? 2.64s 。

力学

当松鼠运动到杆AB的两端时,它应反向运动,按简谐运 动规律,速度必须为零,所以松鼠做简谐运动的振幅应 小于或等于l/2=1.00m.(振幅等于1.00m与把松鼠视做 质点相对应) 由以上论证可知:松鼠在导轨AB上的运动是以AB的 中点O为平衡位置,振幅不大于lm,周期为2.64s的简谐 运动.

力学

【例21】如图所示,一个倔强系数为k、竖直放置的轻质弹 簧,下端固连于地面,上端连一质量为M的物块A,处于平 衡状态。另有一质量为m的小物块B自物块A上方h高度处自 由下落,并与A作完全非弹性碰撞,然后A和B在弹力和重力 的共同作用下,作简谐振动。若把新的平衡位置作为坐标 原点,竖直向上为x轴正向,试写出这个简谐振动的振动方 程。设B和A碰后瞬间作为时间起点,即t=0。
分析:当B落在A上作完全非弹 性碰撞,然后B和A共同参与简 谐振动。根据能量、动量关系 可求出两物体共同运动的初速 度、位移(相对平衡位置)及 共同振动的振幅,从而求出振 动方程。

力学 B和A碰后的共同速度就是简谐振动的初速度。当m下落h 高度,则速度为 vm ? 2gh

mvm ? ( M ? m)v0
m v0 ? ? 2gh M ?m

考虑竖直向上为x轴正向。

B和A成为一个整体后,新的平衡位置作为坐标原点,那么 初始位移的大小就是B和A相碰处(即M的初始位置)离新平 衡位置的距离。这个距离x0满足 mg mg ? kx0 x0 ? k 在x轴正向取为竖直向上,初位移就是一个正值。根 据前面分析,初相位可以写成
? ? arctan ? ?
? v0 ? 2hk ? arc tan ? ? x0 ? (M ? m) g ?

力学
2m2 gh ? v0 ? ? mg ? 2 A ? x0 ? ? ? ? ? ? ? ? k ? k (M ? m) ?? ?
k 其中已利用 ? 2 ? M ? m
2 2

,系统谐振动方程为

x ? A cos(?t ? ? )
2 ? ? 2m 2 gh k 2hk ? mg ? ? ? cos ? t ? arctan ? ? ? k ? k ( M ? m) M ?m ( M ? m) g ? ? ?

力学 【例22】一根弹性轻绳AB自然长度为L0,A端固定,B端 挂质量为m=0.2kg的小球。则小球的平衡位置在B的下方O 点,BO=L/=1m,现把小球托到A点,然后放手任其下落, 问经过多长时间,小球返回A点。 解:本题可以分两个过程解。 第一阶段:物体A到B段作自由落体运动 第二阶段:物体在BC段作简谐运动 A到B
t1 ? 2l0 ? 0.477s g

A
B O

B到C,以O为原点,取向下为X轴,当 小球坐标为x时,
F ? mg ? k (l ? ? x) ? ?kx

x

C

显然,小球在B点以下以O为平衡位置做简谐运动,其 中,k=2N/m

力学

x ? A cos(?t ? ? )
v0 ? 2 gl0

??

由初始条件,确定A和 ? ,小球落到B时,

k ? 10 m

x0 ? ?l?
A ? l ?2 ? 2 gl0 m ? 3 k

2 gl0 m / k tan ? ? ? 2 l?

有正余弦值,容易确定初相位在第三象限。

? ? arctan 2 ? ?

力学 由B到C,相位由

arctan 2 ? ?

2?

2? ? (arctan 2 ? ? ) t2 ? ? 0.691s k/m
则,小球由A到C,再返回到A。所用时间为

t ? 2(t1 ? t2 ) ? 2.276s

力学 【例23】如图质量为M的匀质细棒置于两只相同的水平转动 的圆柱上,两圆柱转动的速率相等,但方向相反,设圆柱 与棒的动摩擦因数为μ。开始时,棒的重心C偏离两轴连线 的中点O的距离为L,两圆柱中心相距为2d。(1)证明棒的 运动为简谐运动,(2)求棒的运动周期(3)求棒的最大 速度(4)如在棒上放一质量为m的小物体(m <<M),为使 小物体不致在棒上滑动,求物体与棒间最小的动摩擦因数 L C o A d d B

力学 (1)取o为坐标原点,水平向左为x轴。设A、B两轮对棒的 正压力和摩擦力分别为N1、N2 和 f1、f2,如图所示。若 棒在水平方向向左的位移为x,分别以A、B两轮与棒的接触 点为支点,由力矩平衡有:

?M A ? N2 ? 2d ? Mg (d ? x) ? 0 ?M B ? Mg (d ? x) ? N1 ? 2d ? 0

f 2 ? ?N 2

1 x f1 ? f ?Mg (N? ) ? ?1 1 d 21 1 x f 2 ? ?Mg (1 ? ) 2 d

L C o

F ? f 2 ? f1 ? ?

?Mg
d

x ? ?kx

A d d

B

力学

(2)

F ? f 2 ? f1 ? ?

?Mg
d

x ? ?kx

M d 因此其振动周期:T ? 2? ? 2? k ?g
(3)设棒运动的最大速度为v,由于棒的最 大位 移为L,由机械能守恒有

1 2 1 2 Mv ? kA 2 2

k ?g v? A? L M d

力学 (4)由于m <<M, 所以无论小物体棒上的 什 么位置, 对振动的影响都可忽略,棒在振动中的最大加速度为: a = kL/M =μgL/d 设物体与棒间的摩擦因数为μs,为使小物体不在 棒上滑动,必须有ma ≤ μsmg,从而求得: μs≥ a/g =μL/d 所以物体与棒间的最小摩擦因数为

μsmix= μL/d

力学

力学

力学

力学

力学

【例4】 如图所示,两根平行金属棒与两金属 弹簧构成回路,放在光滑绝缘水平面上。已知 棒长为L,质量为m。弹簧的劲度系数为K,原 长为L0(L0《L),设以某种方式使回路有恒定 的电流I,并设电磁感应可以忽略。试求两棒 围绕平衡位置作小振动的周期。

力学 解:两棒中通有等值反向的电流,彼此间有斥力作用, 当弹簧伸缩时又有弹力作用。先确定两棒的平衡位置。 设平衡时,弹簧伸长 ?l ,弹簧长度为 l ? l0 ? ?l ,则 ?0 I BIL ? IL ? 2k?l 2? (l 0 ? ?l )

4?k (?l ) ? 4?kl0 (?l ) ? ?0 I L ? 0
2 2

l0 ? 0I 2 L ?l ? ( 1 ? ? 1) 2 2 ?kl0

故平衡时两棒距离为

l0 ?0 I 2 L l ? l 0 ? ?l ? ( 1 ? ? 1) 2 2 ?kl0

取x轴如图所示,原点O设在右棒的平衡位置,设 右棒向右偏离小量x,同时左棒向左偏离小量x, 即当两棒相距(l ? 2 x) 时,右棒受力为

力学

?0 I 2 L Fx ? ? 2k (?l ? 2 x) 2? (l ? 2 x) ?0 I 2 L ?0 I 2 L 2 x ? ? ( ) ? 2k ?l ? 4kx 2? l 2? l l ?0 I 2 L ? ?( ? 4k ) x ? x 2 ?l 故两棒均作简谐运动,周期

T ? 2?l

?m ? 0 I L ? 4?kl
2 2


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