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2014年江苏省各市一模试卷及答案Word版(完整)


江苏省南通市 2014 届高三年级数学第一次模拟考试试题
(总分 160 分 考试时间 120 分钟)

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.复数 z ?
i (其中 i 是虚数单位)的虚部为 2?i

▲ . 6 7 8 556 34 01

2.某同学在 7 天内

每天参加体育锻炼的时间(单位:分钟)用茎叶图表示如 图,图中左列表示时间的十位数,右列表示时间的个位数.则这 7 天该同学每 天参加体育锻炼时间(单位:分钟)的平均数为 ▲ 3.函数 f ( x) ? 1 4 .

? ?

x2 ? 2 x

的值域为 ▲ .
开始

4.分别在集合 A ? {1,2,3,4}和集合 B ? {5,6,7,8}中各取一个数相乘,则 积为偶数的概率为 ▲ . 5.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C 的中心在原点,焦点在 y 轴上,一条 渐近线方程为 x ? 3 y ? 0 ,则双曲线 C 的离心率为 ▲ . 6.如图是计算 ?
1 的值的一个流程图,则常数 a 的取值范围是 2 k ?1 k ?1
3
10

S ? 0, n ?1

n<a
▲ . Y

N

7.函数 y= sin 2 x ? π 的图象可由函数 y=sinx 的图象作两次变换得到,第一 次变换是针对函数 y=sinx 的图象而言的,第二次变换是针对第一次变换所 得图象而言的.现给出下列四个变换: A. 图象上所有点向右平移 π 个单位; 6 B. 图象上所有点向右平移 π 个单位; 3

?

?

S ?S ? 1 n
n?n?2

输出 S

结束

C. 图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变) ;D. 图象上所有点的横坐标变为原 来的 1 倍(纵坐标不变).请按顺序写出两次变换的代表字母: ▲ .(只要填写一组) 2 8.记 max{a, b}为 a 和 b 两数中的较大数. 设函数 f ( x) 和 g ( x) 的定义域都是 R, 则 “ f ( x) 和 g ( x) 都是偶函数”是“函数 F ( x) ? max ? f ( x) ,g ( x)? 为偶函数”的 ▲ 条件. (在“充分不必

要” “必要不充分” “充分必要”和“既不充分也不必要”中选填一个) 9.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C1: x2 ? y 2 ? 4 x ? 8 y ? 19 ? 0 关于直线 l: x ? 2 y ? 5 ? 0 对称的 圆 C2 的方程为 ▲ . 10.给出以下三个关于 x 的不等式:① x2 ? 4x ? 3 ? 0 ,② 3 ? 1 ,③ 2x2 ? m2 x ? m ? 0 .若③ x ?1 的解集非空,且满足③的 x 至少满足①和②中的一个,则 m 的取值范围是 ▲ . 11.设 0 ? ? ? ? ? π ,且 cos ? ? 1 , cos(? ? ? ) ? 13 ,则 tan ? 的值为 ▲ . 2 7 14

12.设平面向量 a,b 满足 a ? 3b ≤ 2 ,则 a·b 的最小值为 ▲ . 13.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 4 ? 9 ? 1 上的点到原点 O 的最短距离为 ▲ . x2 y 2 14.设函数 y ? f ( x) 是定义域为 R,周期为 2 的周期函数,且当 x ? ? ?1, 1? 时, f ( x) ? 1 ? x 2 ;
? ?lg | x | ,x ? 0 , 已知函数 g ( x ) ? ? 则函数 f ( x) 和 g ( x) 的图象在区间 ? ?5 , 10? 内公共点的个数 1 , x ? 0 . ? ?

为 ▲ . 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 15.设向量 a ? (cos ? , sin ? ) ,b ? (cos ? , sin ? ) ,其中 0 ? ? ? ? ? π . (1)若 a ? b ,求 a ? 3b 的值; (2)设向量 c ? 0 , 3 ,且 a + b = c,求 ? ,? 的值.

?

?

16.如图,在三棱锥 P—ABC 中,平面 PAC ? 平面 ABC, ?BAC ? 60? ,E,F 分别是 AP,AC 的中 点,点 D 在棱 AB 上,且 AD ? AC . 求证: (1) EF // 平面 PBC; (2)平面 DEF ? 平面 PAC.

P

E F D

A

C

B

17.如图,港口 A 在港口 O 的正东 120 海里处,小岛 B 在港口 O 的北偏东 60? 的方向,且在港 口 A 北偏西 30? 的方向上.一艘科学考察船从港口 O 出发,沿北偏东 30? 的 OD 方向以 20 海里 /小时的速度驶离港口 O.一艘给养快艇从港口 A 以 60 海里/小时的速度驶向小岛 B,在 B 岛 转运补给物资后以相同的航速送往科考船.已知两船同时出发,补给装船时间为 1 小时. (1)求给养快艇从港口 A 到小岛 B 的航行时间; (2)给养快艇驶离港口 A 后,最少经过多少时间能和科考船相遇? 北

D C B

O

A



18 . 设 公 差 不 为 零 的 等 差 数 列 ?an ? 的 各 项 均 为 整 数 , Sn 为 其 前 n 项 和 , 且 满 足
a2 a3 ? ? 5 ,S7 ? 7 . a1 4

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)试求所有的正整数 m,使得
am +1am ? 2 为数列 ?an ? 中的项. am

19.在平面直角坐标系 xOy 中,设椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,短半轴长为 2,椭圆 C 上的点到右焦点的距离的最小值为 5 ? 1 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,且 ?AOB ? π . 2 ①求证:原点 O 到直线 AB 的距离为定值; ②求 AB 的最小值.

y l B A O x

20.设函数 f ? x ? ? a ln x ? bx 2 ,其图象在点 P ? 2 ,f ? 2 ? ? 处切线的斜率为 ?3 . (1)求函数 f ? x ? 的单调区间(用只含有 b 的式子表示) ; (2)当 a ? 2 时,令 g ? x ? ? f ? x ? ? kx ,设 x1 , x2 ? x1 ? x2 ? 是函数 g ? x ? ? 0 的两个根, x0 是 x1 , x2 的等差中项,求证: g' ( x0 ) ? 0 ( g' ( x) 为函数 g ? x ? 的导函数) .

21.【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题 ,并在相应的答题区域内作 ....... ........... 答 .若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . 21A. 如图,AB 是圆 O 的直径,D 为圆 O 上一点,过 D 作圆 O 的切线交 AB 的延长线于点 C.若

DA = DC,求证:AB = 2 BC.

D

A

·
O

B

C

?? 1 21B. 已知矩阵 A 的逆矩阵 A ? ? 4 ? 1 ? 2 ?
?1

3 ? 4 ? ,求矩阵 A 的特征值. ? 1? ? 2?

? ? x ? 5cos ?, 21C. 在平面直角坐标系 xOy 中,求过椭圆 ? ( ? 为参数)的左焦点,且与直线 ? ? y ? 3sin ?
? ? x ? 4 ? 2t, ? ? ?y ? 3? t

(t 为参数)平行的直线的普通方程.

21D.已知实数 x,y 满足:| x + y | ? 1 , | 2 x ? y | ? 1 ,求证:| y | ? 5 . 3 18 6

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解 ....... 答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.从棱长为 1 的正方体的 8 个顶点中任取不同 2 点,设随机变量 ξ 是这两点间的距离. (1)求概率 P ? ? 2 ; (2)求 ξ 的分布列,并求其数学期望 E(ξ ).

?

?

23.在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 C: y 2 ? 4 x ,F 为其焦点,点 E 的坐标为(2,0), 设M

为抛物线 C 上异于顶点的动点,直线 MF 交抛物线 C 于另一点 N,链接 ME,NE 并延长分别 交 抛物线 C 与点 P,Q. (1)当 MN ? Ox 时,求直线 PQ 与 x 轴的交点坐标; (2)当直线 MN,PQ 的斜率存在且分别记为 k1,k2 时,求证: k1 ? 2k2 .

江苏省南通市 2014 届高三年级第一次模拟考试数学试题
【填空题答案】 1. 2 5 4. 3 4 7. BD(DA) 10. ? ?1,0? 13. ? 1 6 2. 72 5. 2 8. 充分不必要 11. 14.
3

3.

? 0 ,4?

6. ?19 ,21? 9. x2 ? y 2 ? 1 12. 5

15

15、 【解】 (1)因为 a ? (cos ? , sin ? ) ,b ? (cos ? , sin ? ) ,所以 a ? 1, b ? 1 . ??2 分 因为 a ? b , 所以 a·b = 0. ?????????????????????? 4分





a ? 3b

2

? a 2 ? 3b 2 ? 2 3a ? b ? 4





a ? 3b ? 2 . ????????6 分

(2)因为 a + b ? ? cos ? ? cos ? ,sin ? ? sin ? ? ? 0 , 3 , 所
? ?c ? ? ? ? ?s ? ?

?

?



?? , o ????????????????????????8 分 ?? . i
由此得 cos ? ? cos ? π ? ? ? ,由 0 ? ? ? π ,得 0 ? π ? ? ? π , 又

0 ?? ? π





? ? π ? ? . ?????????????????????10 分
代 入
s ??

? ?i
n


n



s得

i

s ??

12 分i ? ?i 3 .?????????????? n s

2



0 ? ? ?? ? π





? ? 2π ,? ? π .?????????????????14 分
3 3
16、 【证】 (1)在△PAC 中,因为 E,F 分别是 AP,

AC 的中点,所以 EF // PC.???2 分
又因为 EF ? 平面 PBC, PC ? 平面 PBC, 所以 EF // 平面 PBC.??????5 分 (2)连结 CD.因为 ?BAC ? 60? , AD ? AC ,所以△ACD 为正三角形. 因为 F 是 AC 的中点, 所以 DF ? AC . ??????????????? 7分 因为平面 PAC ? 平面 ABC, DF ? 平面 ABC,平面 PAC I 平面 ABC ? AC , 所 以

DF ?





PAC. ??????????????????????11 分
因为 DF ? 平面 DEF,所以平面 DEF ? 平面 PAC.??????????14 分 【解】 (1)由题意知,在△OAB 中,
?OAB ? 60o . OA=120, ?AOB ? 30o,

于是 AB ? 60 ,而快艇的速度为 60 海里/小时, 所 以 快 艇 从 港 口 时. ????????????5 分 (2)由(1)知,给养快艇从港口 A 驶离 2 小时后,从小岛 B 出发与科考船汇合.

A

到 小 岛

B

的 航 行 时 间 为

1



为使航行的时间最少,快艇从小岛 B 驶离后必须按直线方向航行,设 t 小时 后恰与 科 考 船 在

C





遇.?????????????????????????7 分 在△OAB 中,可计算得 OB ? 60 3 , 而
B ?6 , C 0 , ?


t
o



OCB


2 ?t


) B

,????????? 分( 2 ?O 0 C9 ?

由余弦定理,得 BC 2 ? OB2 ? OC 2 ? 2OB ? OC ? cos ?BOC , 即 (60t )2 ? 60 3

?

?

2

2 ? ? 20(2 ? t )? ? 2 ? 60 3 ? 20(2 ? t ) ? 3 , 2

亦即 8 t 2 ? 5 t ? 13 ? 0 , 解得 t ? 1 或 t ? ? 13 (舍去) . ??????????? 8 12 分 故 t ? 2 ? 3. 即给养快艇驶离港口 A 后,最少经过 3 小时能和科考船相遇? ?????????14 分 18、 【解】 (1) 因为 ?an ? 是等差数列, 且 S7 ? 7 , 而 S7 ? 2分 设 ?an ? 的公差为 d,则由
a2 a3 (1 ? 2d )(1 ? d ) ??5 得 ??5 , a1 4 1 ? 3d 4

7(a1 ? a7 ) 于是 a4 ? 1 . ??? ? 7a4 , 2

化简得 8d 2 ? 27d ? 9 ? 0 ,即 (d ? 3)(8d ? 3) ? 0 ,解得 d ? 3 或 d ? 3 , 8 但若 d ? 3 , 由 a4 ? 1 知不满足 “数列 ?an ? 的各项均为整数” , 故 d ? 3. ??? 8 5分 于
an ?
4

是 .????????????????????7a分 ?
4

(

(2) 因为 10 分

am +1am? 2 (am ? 3)(am ? 6) an ? 3n ? 11 ? 3(n ? 4) ? 1 , ?? ? ? am ? 9 ? 18 , am am am

所以要使

am +1am ? 2 为数列 ?an ? 中的项, 18 必须是 3 的倍数, am am

于是 am 在 ?1, ? 2, ? 3, ? 6 中取值, 但由于 am ? 1 是 3 的倍数,所以 am ? 1 或 am ? ?2 . 由
am ? 1



m?4





am ? ?2



m ? 3 . ????????????????13 分

当 m ? 4 时,

am +1am? 2 4 ? 7 a a ? ? a13 ;当 m ? 3 时, m +1 m? 2 ? 1 ? 4 ? a3 . am 1 am ?2

所以所求 m 的值为 3 和 4. ?????????????????????? 16 分 另解:因为
am +1am ? 2 (3m ? 8)(3m ? 5) (3m ? 11)2 ? 9(3m ? 11) ? 18 ? ? am 3m ? 11 3m ? 11

? 3m ? 2 ?
所以要使

18 ? 3m ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 , 3m ? 11 3(m ? 4) ? 1

am +1am ? 2 为数列 ?an ? 中的项, 2 ? 3 ? 3 必须是 3 的倍数, am 3(m ? 4) ? 1

于是 3(m ? 4) ? 1 只能取 1 或 ?2 . (后略)
2 y2 19、 【解】 (1)由题意,可设椭圆 C 的方程为 x 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,焦距为 2c,离心率为 a b

e.
于是 b ? 2 . 设椭圆的右焦点为 F,椭圆上点 P 到右准线距离为 d , 则 所
a ? c ? 5 ? 1 .??????????????????????????3 分
?a ? c ? 5 ? 1 , ?a ? 5 , ? ? ? ?b ? 2 , 因为 ?b ? 2 , ? 2 ?c ? 1 , 2 2 ?a ? b ? c ?

AF ? e ? AF ? e ? d ,于是当 d 最小即 P 为右顶点时,PF 取得最小值, d
















x2 y 2 ? ? 1 .?????????????????????5 分 5 4

(2)①设原点 O 到直线 AB 的距离为 h,则由题设及面积公式知 h ? OA ? OB . AB
?OA ? 5 , ? ? ?OB ? 5 , 当直线 OA 的斜率不存在或斜率为 0 时, ? 或? ? ? ?OB ? 2 ?OA ? 2 .


d? 2 4?5 ? 3 5 .????????????????????????7 分



? x2 y 2 2 k 2 x2 ? ? ? 1, x 当直线 OA 的斜率 k 存在且不为 0 时,则 ? 5 ? ? ?1, 4 5 4 ? ? y ? kx





?x 2 ? 1 , ? A 1 ? k2 ? ? 5 4 ? 2 ? y A2 ? k 2 . 1?k ? ? 5 4 ?





?x 2 ? ? B ? ? ? ? 2 ? yB ? ? ?

1 , 1? 1 5 4k 2 ???????????????9 分 1 2 k . 1? 1 2 5 4k

在 Rt△OAB 中, h2 ?

OA2 ? OB 2 OA2 ? OB 2 , ? AB 2 OA2 ? OB 2

1 k2 1 ? 1 1 k2 k2 1 ? ? ? 2 1 OA ? OB 1 1 5 4k 4 ? ? ?5 4 ? ?5 4 ? 5 2 则 2 ? 2 2 2 2 2 2 1 h OA ? OB OA OB 1? k 1 ? k 1 ? k 1? 2 k
2 2

1?1 k ? 1?1 ? ? 4 5 ? ? 1 ? 1 ? 9 ,所以 h ? 2 4 5? ?
2

5 3

1? k

2

4

5

20

. 离 为 定 值











O





线

AB





2 5 .??????????????11 分 3







1 ? 12 1? k2 ? k 1 ? k2 1 ? 1 ?1 ? k 2 ? 1 ? k12 2 2 5 4k 2 2 OA ? OB 5 4 h ? ? ? 1 OA2 ? OB 2 1 ? ? 1 ? 1 ? 12 ?1 ? k 2 ? 1 1? k2 ? k2 5 4k 2 k 1 ? k2 1 ? 1 5 4 5 4k 2

?

? ?

?

?

?k ?? 1 5 4?
2

1 ?2 9 2 5 k2 ? ? ,所以 h ? . 9 2 9 9 20 3 k ? ? 20 20k 2 10 k2 ?

②因为 h 为定值,于是求 AB 的最小值即求 OA ? OB 的最小值.
OA ? OB ?
2 2

1? 1 ?k ?1 5 4 ? ? 5 4k ?
2 2

?1 ? k ? ?
2

?1 ? k1 ?
2

k 2 ? 12 ? 2 k ? , 1 k 2 ? 1 ? 41 20 20k 2 400

令 t ? k2 ? 于

1 ,则 t≥2 , k2



OA2 ? OB2 ?

t?2 1 ? 20 ? 20t ? 40 ? 20 1 ? , ???????14 分 1 t ? 41 20t ? 41 20t ? 41 20 400

?

?

因为 t ≥ 2 ,所以 OA2 ? OB2≥20 ? 1 ? 1 ? 1600 , 81 81 当 且 仅 当 t ? 2 , 即 k ? ?1 , OA ? OB 取 得 最 小 值
40 4 5 ? 9 ? 3 2 5 3

?

?

40 , 因而 9

ABmin





AB











4 5 .??????????????????????16 分 3

20、 【解】 (1)函数 f ? x ? 的定义域为 ? 0 ,? ? ? .

f ?? x? ?

f ?? x? ? ?2b
2

a a ? 2bx ,则 f ? ? 2? ? ? 4b ? ?3 ,即 a ? 8b ? 6 . x 2


?? x

?

? .????????????????????2 分

x

8

①当 b ? 0 时, f ? ? x ? ?

?6 ? 0 , f ? x ? 在 ? 0 ,? ? ? 上是单调减函数; x
4b ? 3 (负舍) , b

②当 b ? 0 时,令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ?

所以 f ? x ? 在 0 , 4b ? 3 上是单调减函数,在 b 增函数;

?

?

?

4b ? 3 ,? ? 上是单调 b

?

3 ③当 b ? 0 时,若 0 ? b≤ ,则 f ? ? x ? ? 0 恒成立, f ? x ? 在 ? 0 ,? ? ? 上单调 4
减函数; 若b ?
4b ? 3 3 ,令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? (负舍) , b 4

所以 f ? x ? 在 0 , 4b ? 3 上单调增函数,在 b 数;

?

?

?

4b ? 3 ,? ? 上单调减函 b

?

综 上 , 若 b ? 0 , f ? x ? 的 单 调 减 区 间 为 0 , 4b ? 3 , 单 调 增 区 间 为 b

?

?

?

4b ? 3 ,? ? ; b

?

3 若 0≤b≤ , f ? x ? 的单调减区间为 ? 0 ,? ? ? ; 4

若b?

3 , f ? x ? 的 单 调 增 区 间 为 0 , 4b ? 3 , 单 调 减 区 间 为 b 4

?

?

?

4b ? 3 ,? ? . b
??????????????8 分 (2)因为 a ? 2,a ? 8b ? 6 ,所以 b ? 1 ,即 g ? x ? ? 2ln x ? x 2 ? kx .
?2 ln x1 ? x12 ? kx1 ? 0 , ? 因为 g ? x ? 的两零点为 x1 , x2 ,则 ? 2 ? ?2 ln x2 ? x2 ? kx2 ? 0 ,

?

相减得: 2 ? ln x1 ? ln x2 ? ? ? x12 ? x2 2 ? ? k ? x1 ? x2 ? ? 0 , 因为 x1 ? x2 ,所以 k ? 于是 g' ? x0 ? ?
2 ? ln x1 ? ln x2 ? ? ? x1 ? x2 ? , x1 ? x2

2 ? ln x1 ? ln x2 ? 2 4 ? 2 x0 ? k ? ? x0 x1 ? x2 x1 ? x2

? x1 ? 2 ?1 ? ? 2 x ? x ? ? ? ? x x 1 2 2 ? 2 ? ? ? ln x1 ? ln x2 ? ? ? 2 ? ? ln 1 ? . x1 ? x2 ? x1 ? x2 x2 ? ? x1 ? x2 ? x1 ? 1 x ? ? ? 2 ?

?

?

??????????????14 分 令t ?
2 ? t ? 1? x1 4 ? ln t ? 2 ? ? ln t , ,t ? ? 0, 1? , ? ? t ? ? t ?1 t ?1 x2
4

则 ?' ? t ? ?

? t ? 1?

2

1 ? ? t ? 1? ? ? ? 0 ,则 ? ? t ? 在 ? 0 , 1? 上单调递减, t t ? t ? 1?2
2

则 ? ? t ? ? ? ?1? ? 0 , 又 16 分 21A、 【证】连结 OD,BD,

2 'x 则g ?0, ? x1 ? x2

0

? ? 0 .命题得证.??????

因为 AB 是圆 O 的直径,所以 ?ADB ? 90o,AB ? 2OB . 因为 DC 是圆 O 的切线,所以 ?CDO ? 90o . 因为 AD = DC,所以 ?A ? ?C .于是△ADB ? △CDO,从而 AB = CO, 即 2 OB = OB + BC,得 OB = BC.故 AB = 2 BC.??????????????10 分 21B、 【解】因为 A
?1

A=E,所以 A =(A ?1 ) ?1 .
3 ? ?2 3? ?1 ?1 4 ?, 所以 A =(A ) ? ? ? . ????????????? ? 2 1? ? 1? 2? ?

因为 A ?1 ? ? 4
? 1 ? ? 2

?? 1

5分

于 是 矩 阵 A 的 特 征 多 项 式 为 f (λ ) ? 4, ?????????8 分

? ?2
?2

?3

? ?1

= λ

2

- 3λ -

令 f (λ ) = 0, 解得 A 的特征值 λ 1 = -1, λ 2 =4 . ??????????????? 10 分 21C 、 【 解 】 椭 圆 的 普 通 方 程 :
F (?4,0) ???????????????3 分

x2 y 2 ? ?1 25 9

, 左 焦 点



线













x ? 2 y ? 2 ? 0 . ??????????????????????6 分

设过焦点 F (?4,0) 且与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行的直线为 x ? 2 y ? ? ? 0 将 F (?4,0) 代入 x ? 2 y ? ? ? 0 , ? ? 4. 所 求 直 线 的 普 通 方 程 为

x ? 2 y ? 4 ? 0 .???????????????????10 分

21D









3 | y |? | 3 y |? 2( x ? y) ? (2 x ? y) ≤2 | x ? y | ? | 2 x ? y | .?????????????5 分

由题设知| x + y | ? 1 , | 2 x ? y | ? 1 , 3 6 从 而

3 y ≤ ?| 1 3

? | 1 6

. 2 ?5 6



|

y

| ? 5 .???????????????????10 分 18
2 22、 【解】 (1)从正方体的 8 个顶点中任取不同 2 点,共有 C8 ? 28 种.

因为正方体的棱长为 1,所以其面对角线长为 2 , 正方体每个面上均有两条对角线,所以共有 2 ? 6 ? 12 条. 因 此

P ?? 2

?

?

1 2



?????????????????3 分

? 2 8

(2)随机变量 ? 的取值共有 1, 2 , 3 三种情况. 正方体的棱长为 1, 而正方体共有 12 条棱, 于是 P ?? ? 1? ? 12 ? 3 . ????????? 28 7 5分 从 而

P ?? ? 3 ? ? 1 ? P ?? ? 1? ? P ?? ? 2 ? ? 1 ? 3 ? 3 ? 1 . ?????????????7 分 7 7 7
所以随机变量 ? 的分布列是

?

1

2

3

P( ? )

3 7

3 7

1 7

?????????????????????????8 分 因
E (? ? ? 3 ? 7 ? ? ? ? 3? ?

此 . ????????????????10 )分
3 7

23、 【解】 (1)抛物线 C: y 2 ? 4 x 的焦点 F(1,0) . 当 MN ? Ox 时,直线 MN 的方程为 x ? 1 . 将 x ? 1 代入抛物线方程 y 2 ? 4 x ,得 y ? ?2 . 不妨设 M (1,2) , N (?1, 2) , 则直线 ME 的方程为 y ? ?2 x + 4 ,
? y ? ?2 x ? 4 , 由? 2 解得 x ? 1 或 x ? 4 ,于是得 P(4 , ? 4) . ? y ? 4x

同理得 Q(4 , 4) ,所以直线 PQ 的方程为 x ? 4 . 故直线 PQ 与 x 轴的交点坐标(4, 0). ?????????????????? 4分 (2)设直线 MN 的方程为 x ? my ? 1 , 并设 M ( x1 ,y1 ),N ( x2 ,y2 ),P( x3 ,y3 ), Q( x4 ,y4 ) .
? x ? my ? 1, 2 由? 得y ? 4my ? 4 ? 0 , 2 ? y ? 4x

于是 y1 y2 ? ?4 ①,从而 x1 x2 ?

y12 y22 ? ? 1 ②. 4 4

设直线 MP 的方程为 x ? t y ? 2 ,
?x ? t y ? 2 , 2 由? 得y ? 4my ? 8 ? 0 , 2 y ? 4 x ?

所以 y1 y3 ? ?8 ③, x1 x3 ? 4 ④. 同理 y2 y4 ? ?8 ⑤, x2 x4 ? 4 ⑥. 由①②③④⑤⑥,得 y3 ? 2 y2 ,x3 ? 4 x2 ,y4 ? 2 y1 ,x4 ? 4 x1 .

k2 ?

y4 ? y3 2 y1 ? 2 y2 1 y1 ? y2 1 ? ? ? ? k, x4 ? x3 4 x1 ? 4 x2 2 x1 ? x2 2 1


k1 ? 2k2 .????????????????????????????10 分

南京市、盐城市 2014 届高三第一次模拟考试
一、填空题 1.已知集合 A ? {?3, ?1,1,2} ,集合 B ? [0, ??) ,则 A ? B ? 2.若复数 z ? (1 ? i)(3 ? ai) ( i 为虚数单位)为纯虚数,则实数 a ? 3.现从甲、乙、丙 3 人中随机选派 2 人参加某项活动,则甲被选中的概率为 4.根据如图所示的伪代码,最后输出的 S 的值为 . . . .

S ?0 For I From 1 To 10 S?S?I End For Pr int S
5.若一组样本数据 2 , 3 , 7 , 8 , a 的平均数为 5 ,则该组数据的方差 s 2 ? 6.在平面直角坐标系 xOy 中,若中心在坐标原点上的双曲线的一条准线方程为 x ? 的一个顶点与抛物线 y 2 ? ?4 x 的焦点重合,则该双曲线的渐进线方程为 7.在平面直角坐标系 xOy 中,若点 P(m,1) 到直线 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 的距离为 4 ,且点 P 在不 等式 2 x ? y ? 3 表示的平面区域内,则 m ? . 8.在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, ?BAD ? 60? ,侧棱 PA ? 底 面 ABCD , PA ? 2 , E 为 AB 的中点,则四面体 PBCE 的体积为 . 9.设函数 f ( x) ? cos(2 x ? ? ) ,则“ f ( x) 为奇函数”是“ ? ? ”的 2 填“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分也不必要” ) .

1 ,且它 2
.

?

条件.(选

10.在平面直角坐标系 xOy 中, 若圆 x 2 ? ( y ? 1)2 ? 4 上存在 A ,B 两点关于点 P(1,2) 成中心对 称,则直线 AB 的方程为 11.在 ?ABC 中, BC ? 2 , A ? .

2? ,则 AB ? AC 的最小值为 . 3 12. 若函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且在区间 [0. ? ?) 上是单调增函数 . 如果实数 t 满足 1 . f (ln t ) ? f (ln )? 2f (1)时,那么 t 的取值范围是 t 2a 13. 若关于 x 的不等式 (ax ? 20) lg ? 0 对任意的正实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围 x 是 .
14.已知等比数列 {an } 的首项为 恒成立,则 B ? A 的最小值为 二、解答题

4 1 1 , 公比为 ? , 其前 n 项和为 S n , 若 A ?S n? ? B 对 n ? N * Sn 3 3
.

15.在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别是 a , b , c ,已知 c ? 2 , C ?

?
3

.

(1)若 ?ABC 的面积等于 3 ,求 a , b ; (2)若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 ?ABC 的面积. 16.如图,在正三棱锥 ABC ? A1 B1C1 中, E , F 分别为 BB1 , AC 的中点. (1)求证: BF / / 平面 A1 EC ; (2)求证:平面 A1 EC ? 平面 ACC1 A1 .

17.如图,现要在边长为 100m 的正方形 ABCD 内建一个交通“环岛”.正方形的四个顶点为圆 心在四个角分别建半径为 xm ( x 不小于 9 )的扇形花坛,以正方形的中心为圆心建一个半

1 径为 x 2 m 的圆形草地.为了保证道路畅通,岛口宽不小于 60m ,绕岛行驶的路宽均不小于 5 10m .
(1)求 x 的取值范围; (运算中 2 取 1.4 )

4 12a 其余区域的造价为 ax 元 / m2 , 33 11 2 元 / m ,当 x 取何值时,可使“环岛”的整体造价最低?
(2) 若中间草地的造价为 a 元 / m2 , 四个花坛的造价为

3 x2 y 2 18.在平面直角坐标系 xOy 中,已知过点 (1, ) 的椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 a b 2 F (1,0) ,过焦点 F 且与 x 轴不重合的直线与椭圆 C 交于 A , B 两点,点 B 关于坐标原点的
对称点为 P ,直线 PA , PB 分别交椭圆 C 的右准线 l 于 M , N 两点. (1)求椭圆 C 的标准方程;

8 3 3 (2)若点 B 的坐标为 ( , ) ,试求直线 PA 的方程; 5 5
(3)记 M , N 两点的纵坐标分别为 yM , y N ,试问 yM ? yN 是否为定值? 若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.

19.已知函数 f ( x) ? e x , g ( x) ? ax 2 ? bx ? 1(a, b ? R) . (1)若 a ? 0 ,则 a , b 满足什么条件时,曲线 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 在 x ? 0 处总有相同的切 线? (2)当 a ? 1 时,求函数 h( x) ?

g ( x) 的单调减区间; f ( x)

(3)当 a ? 0 时,若 f ( x) ? g ( x) 对任意的 x ? R 恒成立,求 b 的取值的集合.

20.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知 a1 ? 2 , S6 ? 22 . (1)求 S n ; (2 )若从 {an } 中抽取一个公比为 q 的等比数列 {akn } ,其中 k1 ? 1 ,且 k1 ? k2 ? ? kn ? ? ,

kn ? N * .
①当 q 取最小值时,求 {kn } 的通项公式; ②若关于 n(n ? N * ) 的不等式 6Sn ? kn ?1 有解,试求 q 的值.

数学附加题 21.(选做题) (在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题) A .如图, AB , CD 是半径为 1 的圆 O 的两条弦,它们相交于 AB 的中点 P ,若 PC ?

9 , 8

OP ?

1 ,求 PD 的长. 2

? ? B.已知曲线 C : xy ? 1 ,若矩阵 M ? ? ? ? ?
线 C ? 的方程.

2 2 2 2

?

2? ? 2 ? 对应的变换将曲线 C 变为曲线 C ? ,求曲 2 ? ? 2 ?

C.在极坐标系中,圆 C 的方程为 ? ? 2a cos? ,以极点为坐标原点,极轴为 x 轴的正半轴建

? x ? 3t ? 2 立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,若直线 l 与圆 C 相切,求 ? y ? 4t ? 2
实数 a 的值.

D.已知 x1 , x2 , x3 为正实数,若 x1 ? x2 ? x3 ? 1 ,求证:

2 x2 x2 x2 ? 3 ? 1 ?1. x1 x2 x3

(必做题) 22.已知点 A(1,2) 在抛物线 ? : y 2 ? 2 px 上. (1) 若 ?ABC 的三个顶点都在抛物线 ? 上, 记三边 AB ,BC , CA 所在直线的斜率分别为 k1 ,

k 2 , k3 ,求

1 1 1 ? ? 的值; k1 k2 k3

(2)若四边形 ABCD 的四个顶点都在抛物线 ? 上,记四边 AB , BC , CD , DA 所在直线 的斜率分别为 k1 , k 2 , k3 , k 4 ,求

1 1 1 1 ? ? ? 的值. k1 k2 k3 k4

23.设 m 是给定的正整数,有序数组( a1 , a2 , a3 ,?a2 m )中 ai ? 2 或 ?2 (1 ? i ? 2m) . (1)求满足“对任意的 1 ? k ? m , k ? N * ,都有 的个数 A ;

a2 k ?1 ? ?1 ”的有序数组( a1 , a2 , a3 ,?a2 m ) a2 k

(2)若对任意的 1 ? k ? l ? m , k , l ? N * ,都有 |

i ? 2 k ?1

?

2l

ai |? 4 成立,求满足“存在 1 ? k ? m ,

使得

a2 k ?1 ? ?1 ”的有序数组( a1 , a2 , a3 ,?a2 m )的个数 B a2 k

南京市、盐城市 2014 届高三年级第一次模拟考试

数学参考答案
说明: 1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容 比照评分标准制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后 续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,填空题不给中间分数. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 1.{1,2} 2.-3 8. 3 3 9.必要不充分 2 3. 3 4.55 2 3 26 5. 5 1 12.[ ,e] 6.y=± 3x 13.{ 10} 7.6 14. 59 72

10.x+y-3=0 11.-.

e

二、解答题: 15 . 解 :( 1 ) 由 余 弦 定 理 及 已 知 条 件 得 , a2 + b2 - ab = 4. 因 为 △ ABC 4. 解 2. 方 程 组 ?????2 分 的 面 积 等 于 3 , 所 以 1 absinC = 2 3 , 即 ab =

?????4 分
?a2+b2-ab=4, ? ?ab=4,



a



2



b



?????7 分 (2)由题意,得 sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA,

所以 sinBcosA=2sinAcosA. π π 当 cosA=0 时,A= .所以 B= . 2 6 所 2 3 . 3 当 cosA≠0 时,得 sinB=2sinA,所以 b=2a. 解 方 程 组
?a2+b2-ab=4, ? ?b=2a,



a



4 3 3



b



?????10 分



a



2 3 3



b



4 3 . 3 所 2 3 . 3 以 △

?????13 分

ABC







S



1 2

absinC



?????14 分

16.证: (1)连结 AC1 交 A1C 于点 O,连结 OE,OF. 因为正三棱柱 ABC-A1B1C1 是正三棱柱,所以 OA 1=OC. 1 1 因为 F 为 AC 中点,所以 OF∥AA1∥CC1,OF= AA1= CC1. 2 2 1 因为 E 为 BB1 中点,所以 BE∥CC1,BE= CC1. 2 所以 OF=BE,OF∥BE.所以 BEOF 是平行四边形.所以 BF∥OE. 分 因为 BF? / 平面 A1EC,OE?平面 A1EC,所以 BF∥平面 A1EC. 分 (2) 因为 AB=CB,F 为 AC 中点,所以 BF⊥AC. 因为 AA1⊥平面 ABC,BF?平面 ABC,所以 AA1⊥BF. 9分 由(1)知 BF∥OE. 所以 OE⊥AC,OE⊥AA1. 而 AC,AA1?平面 ACC1A1,AC∩AA1=A, 所 以 ?????? ??????7 ??????4

OE



平 ??????12 分



ACC1A1.
因为 OE?平面 A1EC,所以平面 A1EC⊥平面 ACC1A1. 分

??????14

?100-2x≥60, 17. 解: (1) 由题意得, ? 1 ?100 2-2x-2×5x ≥20,
2

x≥9,

??????

4分 解得 9≤x≤15. 所 以

x













[9



15] . (2)记“环岛”的整体造价为 y 元.则由题意得 1 4 12a 1 y=a×π×( x2 )2+ ax×πx2 + [104-π×( x2 )2-πx2 ] 5 33 11 5

??????7 分

a 1 4 = [π(- x4+ x3-12 x2 )+12×104] . 11 25 3
10 分 1 4 4 令 f(x)=- x4+ x3-12 x2.则 f′(x)=- x3+4x2 -24x. 25 3 25 由 15. 列表如下:

??????

f′(x) = 0 , 解 得

x = 0( 舍 去 ) 或

x = 10



x =

??????12 分

x f′(x) f(x)

9

(9,10) - ↘

10 0 极小值

(10,15) + ↗

15 0

所以当 x=10,y 取最小值. 答: 当 x=10 m 时, 可使 “环岛” 的整体造价最低. 14 分 18.解: (1)由题意,得 2a= 2分 因为 c=1,所以 b2=3. 所 1. 以 椭 圆 3 (1-1)2 +( -0)2+ 2 3 (1+1)2 +( -0)2 =4,即 a=2.?????? 2 ??????

C













x2
4



y2
3



??????5 分 8 3 3 8 3 3 (2)因为 F(1,0),B( , ),所以 P(- ,- ). 5 5 5 5 所以直线 AB 的斜率为 3. 所 以 直 线

AB









y



3

(x



1). 解 3). 方 程 组

??????7 分

? ?x +y =1, ?4 3 ? y= 3(x-1), ?

2

2





A









(0





???????9 分

所 3.





线

PA









y





3 4

x



???????10 分

(3)当直线 AB 的斜率 k 不存在时,易得 yM·yN=-9. 当直线 AB 的斜率 k 存在时,设 A(x1,y1),B(x2 ,y2 ),则 B(-x2 ,-y2 ). 所以 + =1, + =1. 4 3 4 3 (x2 +x1)(x2 -x1) (y2 +y1)(y2 -y1) 两式相减, 得 + =0. 4 3 (y2 +y1)(y2 -y1) 3 所以 =- =kPAk. (x2 +x1)(x2 -x1) 4 所 3 . 4k 3 所以直线 PA 的方程为 y+y2=- (x+x2 ). 4k 3(x2 +4)(x2 -1) 3 所以 yM=- (4+x2 )-y2=- -y2 . 4k 4y2 直 4y2 线 以

x21 y21

x2 y2 2 2

kPA

= ???????12 分



PB









y



y2 x2

x







yN



x2



???????14 分 3(x2 +4)(x2 -1) 4y2 2 所以 yM·yN=- - .

x2

x2

2 因为 + =1,所以 4y2 2=12-3x2. 4 3 2 -3(x2 +4)(x2 -1)-12+3x2 所以 yM·yN= =-9.

x2 y2

2

2

x2

所 9.



yM

·

yN









???????16 分

19.解: (1)因为 f′(x)=ex,所以 f′(0)=1. 又 f(0)=1, 所以 y=f(x)在 x=0 处的切线方程为 y=x+1. 2分 因为 g′(x)=2ax+b,所以 g′(0)=b. 又 g(0)=1,所以 y=g(x)在 x=0 处的切线方程为 y=bx+1. 所以当 a∈R 且 b=1 时, 曲线 y=f(x)与 y=g(x)在 x=0 处总有相同的切线. ??????? 4分 ???????

x2 +bx+1 (2)当 a=1 时,h(x)= , ex h′(x)
(x-1)[x-(1-b)] . x = -x2 +(2-b)x+b-1

ex





e

???????7 分

由 h′(x)=0,得 x=1 或 x=1-b. 所以当 b>0 时,函数 y=h(x)的减区间为(-∞,1-b),(1,+∞). 当 b=0 时,函数 y=h(x)的减区间为(-∞,+∞). 当 b<0 时,函数 y=h(x)的减区间为(-∞,1),(1-b,+∞). 10 分 (3)当 a=0 时,则 φ (x)=f(x)-g(x)=ex-bx-1,φ ′(x)=ex-b. ①当 b≤0 时,φ ′(x)≥0,函数 φ (x)在 R 上是增函数. 因为 φ (0)=0, 所以 x<0 时, φ (x)<0, 与函数 f(x)≥g(x)矛盾. 12 分 ②当 b>0 时,由 φ ′(x)>0,得 x>lnb,φ ′(x)<0,得 x<lnb, 所以函数 φ (x)在(-∞,lnb)上是减函数,在(lnb,+∞)上是增函数. (Ⅰ)当 0<b<1 时,lnb<0,φ (0)=0,所以 φ (lnb)<0,与函数 f(x)≥g(x)矛盾. (Ⅱ)当 b>1 时,同理 φ (lnb)<0,与函数 f(x)≥g(x)矛盾. (Ⅲ)当 b=1 时,lnb=0,所以函数 φ (x)在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增 函数. 所以 φ (x)≥φ (0)=0.故 b=1 满足题意. 综上所述, b 的取值的集合为{1}. 16 分 2 (1)设等差数列的公差为 d,则 S6=6a1+15d=22,a1=2,所以 d=3.??????2 20.解: 分 所以 Sn= 4分 (2)因为数列{an}是正项递增等差数列,所以数列{ a k n} 的公比 q>1. 要使 q 最小,只需要 k2 最小即可. ??????? ??????? ???????

n(n+5)
3

2 . an=3(n+2)

??????

8 4 32 / {an}, 若 k2 =2,则由 a2 =3,得 q=3,此时 a k 3= 9 ∈ 所以 k2>2, 同理 k2>3. 6分 若 k2 =4,则由 a4=4,得 q=2,此时 a k n=2n. 2 因为 a k n=3(kn+2),所以 kn=3×2n-1-2. 10 分 2 - - (3)因为 a k n= (kn+2)=2qn 1,所以 kn=3qn 1-2(q>1). 3 当 q 不是自然数时,kn 不全是正整数,不合题意,所以 q≥2,q∈N*.. 2n(n+5)+2 不等式 6Sn>kn+1 有解,即 >1 有解. 3 qn 2n(n+5)+2 经检验,当 q=2,3,4 时,n=1 都是 >1 的解,适合题意. 3 qn 12 分 以下证明当 q≥5 时,不等式 2n(n+5)+2 设 bn= . 3 qn 2(n+1)(n+6)+2 + 3 qn 1 bn+1 n2+7n+7 则 = = 2 bn 2n(n+5)+2 3q(n +5n+1) 3 qn 2n+6 2(n+3) 1 1 = (1+ 2 )= (1+ ) 3q n +5n+1 3q (n+3)2 -(n+3)-5 1 = (1+ 3q 2 (n+3)- ). 5 -1 n+3 2n(n+5)+2 ≤1 恒成立. 3 qn ??????? ?????? ??????

因为 f(n)=(n+3)-

5 -1 在 n∈N*上是增函数, n+3

7 所以 f(1)≤f(n)<+∞,即 ≤f(n)<+∞. 4 所 5 . 7q 因为 q≥5,所以 以 1 3q <

bn+1 bn
????????14 分



bn+1 <1.所以数列{bn}是递减数列. bn

14 所以 bn≤b1= <1. 3q

综上所述, q 的取值为 2, 3, 4. 16 分

????????

南京市、盐城市 2014 届高三年级第一次模拟考试 数学附加题参考答案及评分标准 2014.01
说明: 1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容 比照评分标准制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后 续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,填空题不给中间分数. 21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答 卷 . . 纸 指定区域内 作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . ..... A.选修 4—1:几何证明选讲 解: 因为 P 为 AB 中点, 所以 OP⊥AB. 所以 PB= r2-OP2= 5分 3 . 2 ??????

9 因为 PC·PD=PA·PB=PB2 ,PC= , 8 所 2 . 3 B.选修 4—2:矩阵与变换 解:设曲线 C 上一点(x′,y′)对应于曲线 C′上一点(x,y). 以

PD

= ??????10 分

? 22 ? 由 ? 2 ?2
y.



2 2

2 2

? ? ? ?

?x′? = ?x? , 得 2 x′ - 2 y′ = x , 2 x′ + 2 y′ = ?y′? ?y? 2 2 2 2

???????5 分 所以 x′= 2 2 (x+y),y′= (y-x). 2 2

因为 x′y′=1,所以 y2 -x2=2. 所 2. C.选修 4—4:坐标系与参数方程 解 : 直 线 l 的 普 通 方 程 为 4x - 3y - 2 = 0 , 圆 C 的 直 角 坐 标 方 程 为 (x - a)2 + y2 = 以 曲 线

C′









y2



x2



???????10 分

a2. ???????5 分
由题意, 得 10 分 D.选修 4—5:不等式选讲 证: 因为 x1,x2 ,x3 为正实数, 所以 +x1+ +x2 + +x3≥2 即 1. 22. (本小题满分 10 分) 解: (1)由点 A(1,2)在抛物线 M∶y2=2px 上,得 p=2. 所 4x. 以 抛 物 线
2 x2 x1 2 x3 x2

|4a-2|
2

4 +(-3)

解得 2 =|a|,

a=-2 或 a= .

2 9

??????

x21 x3

x2 2 ·x +2 x1 1


2 x3 ·x +2 x2 2 2 x3 x2

x21 ·x =2(x1+x2 +x3)=2. x3 3


x2 2 x1

x21 x3
???????10 分



M









y2



???????3 分

设 B( ,y1),C( ,y2 ). 4 4 -1 - -1 4 4 4 y1+2 y2 +y1 y2 +2 1 1 1 4 所以 - + = - + = - + =1. k1 k2 k3 y1-2 y2 -y1 y2 -2 4 4 4 7分 (2)设 D( ,y3). 4 则 0. 1
2 y3

y21

y2 2

y21

2 y2 2 y1

y2 2

???????

k1



1

k2



1

k3



1

k4



y1+2
4



y2 +y1
4



y3+y2
4



y3+2
4



???????10 分

23.设 m 是给定的正整数,有序数组(a1,a2,a3,?,a2 m)中,ai=2 或-2(1≤i≤2m). (1)求满足“对任意的 1≤k≤m,都有
2l

a2 k-1 =-1”的有序数组(a1,a2 ,a3,?,a2 m)的个数 A; a2 k a2 k-1 ≠-1” a2 k

(2)若对任意的 1≤k≤l≤m,都有| ∑ ai|≤4 成立,求满足“存在 1≤k≤m,使得
i=2 k-1

的有序数组(a1,a2,a3,?,a2 m)的个数 B. 解: (1)因为对任意的 1≤k≤m,都有 a2 k =-1, 所以(a2 k-1,a2 k)=(2,-2)或(a2 k-1,a2 k)=(-2,2).共有 2 种情况. 由乘法原理, 得序数组(a1, ?, a2, a3, a2 m)的个数 A=2m. 5分
1 1 m (2)当存在一个 k 时,那么这一组有 2Cm 种,其余的由(1)知有 2m 1 种,所有共有 2Cm 2
- -1

a2 k-1

???????

种.
2l

2 当存在二个 k 时, 因为对任意的 1≤k≤l≤m, 都有| ∑ ai|≤4 成立, 所以这两组共有 2Cm 种,

i=2 k-1

2 m 2 其余的由(1)知有 2m 2 种,所有共有 2Cm 2 种.
- -

?
1 m 1 2 m 2 m 依次类推得: B=2Cm 2 +2Cm 2 +?+2Cm =2(3m-2m).
- -

???????

10 分

常州市教育学会学生学业水平监测
高三数学Ⅰ试题
参考公式: 样本数据 x1 , x2 ,? , xn 的方差 s 2 ?
1 n 1 n ( xi ? x)2 ,其中 x = ? xi . ? n i ?1 n i ?1

2014 年 1 月

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 . ........
,x ? R? , B ? ? x 0 ≤ x ≤ 2? ,则 A ? B = 1. 设集合 A ? ? x x 2 ? 1

▲ ▲

. . ▲ .

2. 若

1 ? mi ,则 mn 的值为 ? 1 ? ni ( m,n ? R ,i 为虚数单位) i

3. 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 的一条渐近线方程为 2 x ? y ? 0 ,则 a 的值为 a2 4

4. 某学校选修羽毛球课程的学生中,高一,高二年级分别有 80 名,50 名.现用分层抽样 的方法在这 130 名学生中抽取一个样本,已知在高一年级学生中抽取了 24 名,则在高 二年级学生中应抽取的人数为 ▲ .

5. 某市连续 5 天测得空气中 PM2.5(直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物)的数据(单位:
mg / m3 )分别为 115,125,132,128,125,则该组数据的方差为





6. 函数 y ? 2sin 2 x ? 3cos2 x ? 4 的最小正周期为





7. 已知 5 瓶饮料中有且仅有 2 瓶是果汁类饮料.从这 5 瓶饮料中随机取 2 瓶,则所取 2 瓶 中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为 ▲ . ▲ .

? x ? y ≥3, ? 8. 已知实数 x , y 满足约束条件 ? y ≤ 3, 则 z ? 5 ? x2 ? y 2 的最大值为 ? x ≤ 3, ?

9. 若曲线 C1 : y ? 3x 4 ? ax3 ? 6 x 2 与曲线 C2 : y ? e x 在 x ? 1 处的切线互相垂直,则实数 a 的值为 ▲ .

10.给出下列命题: (1)若两个平面平行,那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面; (2)若两个平面平行,那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面; (3)若两个平面垂直,那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面; (4)若两个平面垂直,那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面. 则其中所有真命题的序号为 ▲ .

3 ? p p? 11.已知 q ? ? ? , ? ,等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a4 ? tan 3 3q ,若数列 ?an ? 的前 2014 项 9 ? 6 6?

的和为 0,则 q 的值为





?? 1 ? x x ? 0, ?? ? , 12.已知函数 f(x)= ?? 若 f ( f (?2)) ? f (k ) ,则实数 k 的取值范围为 2? ? 2 ?( x ? 1) , x ≥ 0,

▲ .

13.在△ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 若n a t

n a A 7 t?

a 2 ? b2 则c ? ?3, B, c





14.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 O: x 2 ? y 2 ? 16 ,点 P(1,2) ,M,N 为圆 O 上不同的两 ??? ? ??? ? ???? ? ???? ???? ? ???? 点,且满足 PM ? PN ? 0 .若 PQ ? PM ? PN ,则 PQ 的最小值为 ▲ . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文 ....... 字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分)
?? ? 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.设向量 m ? (a, c) , n ? (cos C ,cos A) .

?? ? (1)若 m ∥ n , c ? 3a ,求角 A; ?? ? 4 (2)若 m ? n ? 3b sin B , cos A ? ,求 cos C 的值. 5

16. (本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中,AB⊥ E,F 分别是 A1 B , AC1 的中点. (1)求证:EF∥平面 ABC; (2)求证:平面 AEF ⊥平面 AA1 B1 B ; ( 3 )若 A1 A ? 2 AB ? 2 BC ? 2 a ,求三棱锥 的体积. 17. (本小题满分 14 分)

A?1

A E

BC ,

F
B?1

B
F ? ABC

C?1

(第 16 题)

C

设等差数列 {an } 的公差为 d,前 n 项和为 S n ,已知 S3 ? a5 , S5 ? 25 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 p , q 为互不相等的正整数,且等差数列 {bn } 满足 ba p ? p , baq ? q ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

y
18. (本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆
x2 y 2 E: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右准线为 a b

l

B

M
O

P

Q

A

x

(第 18 题)

直线 l,动直线 y ? kx ? m (k ? 0,m ? 0) 交椭圆于 A,B 两点,线段 AB 的中点为 M,射线

OM 分别交椭圆及直线 l 于 P,Q 两点,如图.若 A,B 两点分别是椭圆 E 的右顶点,上顶
1 点时,点 Q 的纵坐标为 (其中 e 为椭圆的离心率) ,且 OQ ? 5OM . e

(1)求椭圆 E 的标准方程; (2)如果 OP 是 OM,OQ 的等比中项,那么 请说明理由.

m 是否为常数?若是,求出该常数;若不是, k

19. (本小题满分 16 分) 几名大学毕业生合作开设 3D 打印店,生产并销售某种 3D 产品.已知该店每月生产的 产品当月都能销售完,每件产品的生产成本为 34 元,该店的月总成本由两部分组成: 第一部分是月销售产品的生产成本,第二部分是其它固定支出 20000 元.假设该产品 的月销售量 t ( x) (件)与销售价格 x (元 / 件) ( x ? N )之间满足如下关系:①当
2 ) ? a( ? x 5 )? 34 ≤ x ≤ 60 时 , t ( x?

?

; 0② 1 0当 5 0 6 ≤ 0 x≤

7时 0 ,

,月利润=月销售总额-月总成本. t ( x? ) ? 1 0x ? 0 .设该店月利润为 7 6 0 0 M (元) (1)求 M 关于销售价格 x 的函数关系式; (2)求该打印店月利润 M 的最大值及此时产品的销售价格.

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? x ?

a , a?R . x

(1)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的极大值; (2)求函数 f ( x) 的单调区间; (3)当 a ? 1 时,设函数 g ( x) ? f ( x ? 1) ? x ? 1 ?

a ,若实数 b 满足: b ? a 且 x ?1

? b ? ? a?b? g? ? ? g (a) , g (b) ? 2 g ? ? ,求证: 4 ? b ? 5 . ? b ?1 ? ? 2 ?

常州市教育学会学生学业水平监测
数学Ⅱ(附加题)
卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ..... A.选修 4—1:几何证明选讲 如图,等腰梯形 ABCD 内接于⊙ O ,AB∥CD.过 点 A 作⊙ O 的切线交 CD 的延长线于点 E. 求证:∠DAE=∠BAC. 2014 年 1 月 21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题 ,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题 ...... ..

B

A

O C

D
(第 21-A 题)

E

B.选修 4—2:矩阵与变换

?0 1 ? 已知直线 l : ax ? y ? 0 在矩阵 A ? ? ? 对应的变换作用下得到直线 l ? ,若直线 l ? 过点 ?1 2 ?

(1,1) ,求实数 a 的值.

C.选修 4—4:坐标系与参数方程
p p 在极坐标系中,已知点 P(2 3, ) ,直线 l : r cos(q ? ) ? 2 2 ,求点 P 到直线 l 的距离. 6 4

D.选修 4—5:不等式选讲 已知 x ≥1 , y ≥ 1 ,求证: x2 y ? xy 2 ? 1 ≤ x2 y 2 ? x ? y .

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答 ....... 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 如图,三棱锥 P-ABC 中,已知平面 PAB⊥平面 ABC,AC⊥BC,AC=BC=2a,点 O,D 分别是 AB,

PB 的中点,PO⊥AB,连结 CD.
(1)若 PA ? 2a ,求异面直线 PA 与 CD 所成角的余弦 值的大小; (2)若二面角 A-PB-C 的余弦值的大小为
5 ,求 5

P

D
O

PA.
A
23. (本小题满分 10 分) 设集合 A,B 是非空集合 M 的两个不同子集,满足:A 不 是 B 的子集,且 B 也不是 A 的子集.

B

C
(第 22 题)

(1)若 M= {a1 , a2 , a3 , a4 } ,直接写出所有不同的有序集合对(A,B)的个数; (2)若 M= {a1 , a2 , a3 , ???, an } ,求所有不同的有序集合对(A,B)的个数.

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高三数学Ⅰ试题参考答案及评分标准
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分 1. ? 0,1? 8.
1 2

2. ?1 9.
1 3e

3. 1

4. 15
p 9

5.31.6(写成

158 也对) 6. p 5

7.

7 10

10. (1) (2) 11. ?

12. (log 1 9, 4)
2

13.4

14. 3 3 ? 5

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ?? ? 15.解: (1)∵ m ∥ n ,∴ a cos A ? c cos C .由正弦定理,得 sin Acos A ? sin C cos C . 化简,得 sin 2 A ? sin 2C . ??????????????????2 分

∵ A, C ? (0, p ) ,∴ 2 A ? 2C 或 2 A ? 2C ? p , 从而 A ? C (舍)或 A ? C ? 在 Rt△ABC 中, tan A ?
p p .∴ B ? . 2 2

????????????4 分 ?????????????6 分

a 3 p ,A? . ? c 3 6

?? ? (2)∵ m ? n ? 3b cos B ,∴ a cos C ? c cos A ? 3b sin B .

由正弦定理,得 sin A cos C ? sin C cos A ? 3sin 2 B ,从而 sin( A ? C ) ? 3sin 2 B .
1 ∵ A ? B ? C ? p ,∴ sin( A ? C) ? sin B . 从而 sin B ? . 3

?????8 分 ????????10 分
2 2 . 3

∵ cos A ?

4 p 3 ? 0 , A ? (0, p ) ,∴ A ? (0, ) , sin A ? . 5 2 5

∵ sin A ? sin B ,∴ a ? b ,从而 A ? B ,B 为锐角, cos B ? ∴ cos C ? ? cos( A ? B) ? ? cos A cos B ? sin A sin B
4 2 2 3 1 3?8 2 =? ? . ? ? ? 5 3 5 3 15

???12 分

?????????????14 分

16.证明: (1)连结 A1C . ∵直三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中, AAC 1 1C 是矩形, ∴点 F 在 A1C 上,且为 A1C 的中点. 在△ A1 BC 中,∵E,F 分别是 A1 B , A1C 的中点, ∴EF∥BC. ?????2 分 ??????4 分

又∵BC ? 平面 ABC, EF ? 平面 ABC,所以 EF∥平面 ABC.

(2)∵直三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中, B1 B ? 平面 ABC,∴ B1 B ? BC.

∵EF∥BC,AB⊥BC,∴AB⊥EF, B1 B ? EF. ????????????6 分 ∵ B1 B ? AB ? B ,∴EF⊥平面 ABB1 A1 . ∵EF ? 平面 AEF,∴平面 AEF⊥平面 ABB1 A1 .
1 1 1 (3) VF ? ABC ? VA1 ? ABC ? ? ? S?ABC ? AA1 2 2 3
1 1 1 a3 = ? ? a 2 ? 2a ? . 2 3 2 6
?3a ? 3d ? a1 ? 4d, 17.解: (1)由已知,得 ? 1 ?5a1 ? 10d ? 25,

????????????8 分 ????????????10 分 ????????????12 分 ????????????14 分
?a ? 1, 解得 ? 1 ?d ? 2.

???????4 分

∴ an ? 2n ? 1 .

???????????????????????6 分

(2) p , q 为正整数, 由(1)得 a p ? 2 p ? 1 , aq ? 2q ? 1 . ???????8 分 进一步由已知,得 b2 p ?1 ? p , b2 q ?1 ? q . ???????????????10 分 ∵ {bn } 是等差数列, p ? q ,∴ {bn } 的公差 d ? ? 由 b2b?1 ? b1 ? (2 p ? 2)d ? ? p ,得 b1 ? 1 . ∴ Tn ? nb1 ?
n(n ? 1) n2 ? 3n . d? ? 2 4

q? p 1 ? . ??????12 分 2q ? 2 p 2

????????????????14 分

18. 解:当 A,B 两点分别是椭圆 E 的右顶点和上顶点时,则
a b A(a,0) , B(0, b) , M ( , ) . 2 2
1 b a2 1 ∵ Q( , ) ,∴由 O,M,Q 三点共线,得 ? e2 ,化简,得 b ? 1 .???2 分 a a c e c
a2 ∵ OQ ? 5OM ,∴ c ? 5 ,化简,得 2a ? 5c . a 2

?a 2 ? b 2 ? c 2, ? 由 ?b ? 1, ? ?2a ? 5c,

2 ? ?a ? 5, 解得 ? 2 ? ?c ? 4.

????????????????4 分

(1)椭圆 E 的标准方程为

x2 ? y2 ? 1 . 5

????????????????6 分

(2)把 y ? kx ? m(k ? 0, m ? 0) ,代入

x2 ? y 2 ? 1 ,得 5

(5k 2 ? 1) x2 ? 10mkx ? 5m2 ? 5 ? 0 .

?????????????????8 分
5mk m , yM ? 2 , 2 5k ? 1 5k ? 1

当△ ? 0 , 5k 2 ? m2 ? 1 ? 0 时, xM ? ? 从而点 M (?
5mk m , 2 ). 2 5k ? 1 5k ? 1 1 x. 5k

?????????????????10 分

所以直线 OM 的方程 y ? ?
1 ? y ? ? x, ? ? 5k 由? 2 x ? ? y 2 ? 1, ? ?5

得 xP 2 ?

25k 2 . 5k 2 ? 1

?????????????????12 分

∵OP 是 OM,OQ 的等比中项,∴ OP 2 ? OM ? OQ , 从而 xP 2 ? xM xQ ? ? 由 ∴
25mk . 2(5k 2 ? 1)

?????????????????14 分

25k 2 25mk m ,得 m ? ?2k ,从而 ? ?2 ,满足△ ? 0 . ?????15 分 ?? 2 2 5k ? 1 2(5k ? 1) k

m 为常数 ?2 . k

????????????????????????16 分

19.解: (1)当 x ? 60 时, t (60) ? 1600 ,代入 t ( x) ? ?a( x ? 5)2 ? 10050 , 解得 a ? 2 . ????????????????????????2 分

?(?2 x 2 ? 20 x ? 10000)( x ? 34) ? 20000,34 ≤ x ? 60, x ? Ν? , ? ∴ M ( x) ? ? ? ? ?(?100 x ? 7600)( x ? 34) ? 20000,60 ≤ x ≤ 70, x ? Ν .
3 2 ? ? ??2 x ? 48 x ? 10680 x ? 360000,34 ≤ x ? 60, x ? Ν , 即 M ( x) ? ? 2 ? ? ??100 x ? 1100 x ? 278400, 60 ≤ x ≤ 70, x ? Ν .

?????4 分

(注:写到上一步,不扣分. ) (2)设 g (u) ? (?2u 2 ? 20u ? 10000)( u ? 34) ? 20000 , 34 ≤ u ? 60 , u ? R ,则
g ?(u) ? ?6(u 2 ? 16u ? 1780) .

令 g ?(u ) ? 0 ,解得 u1 ? 8 ? 2 461 (舍去) , u2 ? 8 ? 2 461 ? (50,51) .?????7 分 当 34 ? u ? 50 时, g ?(u ) ? 0 , g (u ) 单调递增; 当 51 ? u ? 60 时, g ?(u ) ? 0 , g (u ) 单调递减. ? ????????????10 分

∵ x ? Ν? , M (50) ? 44000 , M (51) ? 44226 ,∴ M ( x) 的最大值为 44226 .???12 分 当 60 ≤ x ≤ 70 时, M ( x) ? 100(? x2 ? 110 x ? 2584) ? 20000 单调递减,

故此时 M ( x) 的最大值为 M (60) ? 216000 .

? ????????????14 分 ????????15 分

综上所述,当 x ? 51 时,月利润 M ( x) 有最大值 44226 元.

答:该打印店店月利润最大为 44226 元,此时产品的销售价格为 51 元/件. ??16 分 20.解:函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) . (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? ln x ? x , f ?( x) ? 列表:
1 ? 1 ,令 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 . x

???1 分

x
f ?( x) f ( x)

(0,1)

1
0 极大值

(1, ??)
?

+ ↗



所以 f ( x) 的极大值为 f (1) ? ?1 . (2) f ?( x) ?
1 a ? x2 ? x ? a . ?1 ? 2 ? x x x2

????????????????3 分

令 f ?( x) ? 0 ,得 ? x2 ? x ? a ? 0 ,记 ? ? 1 ? 4a .
1 (ⅰ)当 a ≤ ? 时, f ?( x) ≤ 0 ,所以 f ( x) 单调减区间为 (0, ??) ; ????5 分 4
1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a 1 (ⅱ)当 a ? ? 时,由 f ?( x) ? 0 得 x1 ? , , x2 ? 2 2 4 1 ①若 ? ? a ? 0 ,则 x1 ? x2 ? 0 , 4

由 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? x2 , x ? x1 ;由 f ?( x) ? 0 ,得 x2 ? x ? x1 .
1 ? 1? 4 a 1 ? 1 ? 4a 所 以 , f ( x) 的 单 调 减 区 间 为 ( 0, , ??) , 单 调 增 区 间为 ), ( 2 2
1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a ( , ); 2 2

??????????????????????7 分

②若 a ? 0 ,由(1)知 f ( x) 单调增区间为 (0,1) ,单调减区间为 (1, ??) ; ③若 a ? 0 ,则 x1 ? 0 ? x2 , 由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? x1 ;由 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? x1 .
1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a f ( x) 的单调减区间为 ( , ??) ,单调增区间为 (0, ) . ??9 分 2 2 1 综上所述:当 a ≤ ? 时, f ( x) 的单调减区间为 (0, ??) ; 4

1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a 1 当 ? ? a ? 0 时, f ( x) 的单调减区间为 (0, , ??) , ) ,( 2 2 4

1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a 单调增区间为 ( , ); 2 2 1 ? 1 ? 4a 当 a ≥ 0 时 , f ( x) 单 调 减 区 间 为 ( , ??) , 单 调 增 区 间 为 2

(0,

1 ? 1 ? 4a ). 2

?????????????????????10 分

(3) g ( x) ? ln( x ? 1) ( x ? 1 ) . 由 g(
1 b ? ln(a ? 1) . ) ? g (a) 得 ln b ?1 b ?1

∵1 ? a ? b ,

∴ b ? 1 ? a ? 1 (舍),或 (a ? 1)(b ?1) ? 1 . ?????????????12 分

∵ 1 ? (a ? 1)(b ? 1) ? (b ? 1)2 ,∴ b ? 2 . 由 g (b) ? 2 g (

a?b ) 得, 2 a?b 1 ln(b ? 1) ? 2 ln( ? 1) ? 2 ln [(a ? 1) ? (b ? 1)] , ? ? ? (*) 2 2 a ?1 ? b ?1 ≥ (a ? 1)(b ? 1)=1 , 2

因为

1 所以(*)式可化为 ln(b ? 1) ? 2ln [(a ? 1) ? (b ? 1)] , 2 1 1 即 b ?1 ? [ ( ? b ?1 ) ]2 . 2 b ?1

??????????????????14 分

1 1 令 b ? 1 ? t (t ? 1) ,则 t ? [ (t ? )]2 ,整理,得 t 4 ? 4t 3 ? 2t 2 ? 1 ? 0 , 2 t

从而 (t ? 1)(t 3 ? 3t 2 ? t ? 1) ? 0 ,即 t 3 ? 3t 2 ? t ? 1 ? 0 . 记 h(t ) ? t 3 ? 3t 2 ? t ? 1, t ? 1 . h?(t ) ? 3t 2 ? 6t ? 1 , 令 h?(t )? 0得 t ? 1 ?
t ?1? 2 3 ,列表: 3

2 3 (舍) , 3

t
h?(t )

(1,1 ?

2 3 ) 3

(1 ?

2 3 , ??) 3

?

+ ↗

h(t )



所以, h(t ) 在 (1,1 ?

2 3 2 3 ) 单调减,在 (1 ? , ??) 单调增,又因为 h(3) ? 0, h (4) ? 0 , 3 3

所以 3 ? t ? 4 ,从而 4 ? b ? 5 .

??????????????????16 分

常州市教育学会学生学业水平监测

高三数学Ⅱ(附加题) 参考答案
21、 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题 ,每小题 10 分,共计 20 分. ...... A.选修 4—1:几何证明选讲 证明:∵ABCD 是等腰梯形,AB∥CD, ∴∠ACD=∠BAC.

? . AD ? BC ∴AD=BC. 从而 ?

????????????????????4 分 ?????????????8 分

∵AE 为圆的切线,∴∠EAD=∠ACD. ∴∠DAE=∠BAC. B.选修 4—2:矩阵与变换

????????????????????10 分

解:设 P( x, y) 为直线 l 上任意一点,在矩阵 A 对应的变换下变为直线 l ? 上点 P?( x?, y?) ,则
? x? ? ? 0 1 ? ? x ? ? y ? ? ? ?1 2 ? ? y ? , ?? ? ? ? ? ? x ? ?2 x? ? y ?, 化简,得 ? ? y ? x?.

?????????????????4 分 ???????????8 分 ???????????10 分

代入 ax ? y ? 0 ,整理,得 ?(2a ? 1) x? ? ay? ? 0 . 将点(1,1)代入上述方程,解得 a=-1. C.选修 4—4:坐标系与参数方程 解:点 P 的直角坐标为 (3, 3) ,

???????????????????4 分 ???????????????8 分
? 2? 6 . 2

直线 l 的普通方程为 x ? y ? 4 ? 0 , 从而点 P 到直线 l 的距离为 D.选修 4—5:不等式选讲
3? 3 ?4 2

??????????10 分

证明:左边-右边= ( y ? y 2 ) x2 ? ( y 2 ? 1) x ? y ? 1 ? (1 ? y)[ yx 2 ? (1 ? y) x ? 1] ???4 分 = (1 ? y)( xy ? 1)( x ? 1) , ∵ x ≥1 , y ≥ 1 , ∴ 1 ? y ≤ 0, xy ? 1≥ 0, x ? 1≥ 0 . 从而左边-右边≤0, ∴ x2 y ? xy 2 ? 1 ≤ x2 y 2 ? x ? y . ??????????????????10 分 ??????????????????8 分 ?????????????????????6 分

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.

22.解:连结 OC. ∵平面 PAB⊥平面 ABC,PO⊥AB,∴PO⊥平面 ABC.从而 PO⊥AB,PO⊥OC. ∵ AC=BC , 点 O 是 AB 的 中 点 , ∴ OC⊥AB . 且
O A? O B ? OC ? 2 .a ?????2 分
P D A O B y C x z

如图,建立空间直角坐标系 O ? xyz . (1) PA ? 2a , PO ? 2a .
A(0, ? 2a,0) , B(0, 2a, 0) , C ( 2a, 0, 0) ,

P(0, 0, 2a) , D(0,

2a 2a , ) . ????4 分 2 2

??? ? ??? ? 2 2 从而 PA ? (0, ? 2a, ? 2a) , CD ? (? 2a, a, a) . 2 2
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? PA ? CD ?2a 2 3 ?? ∵ cos ? PA, CD ?? ??? , ? ??? ? ? 3 PA CD 2a ? 3a

∴异面直线 PA 与 CD 所成角的余弦值的大小为

3 . ???????????6 分 3

(2)设 PO ? h ,则 P(0,0, h) .∵ PO⊥OC,OC⊥AB,∴OC⊥平面 PAB.
???? 从而 OC ? ( 2a,0,0) 是平面 PAB 的一个法向量. ? 不妨设平面 PBC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,
? ??? ? ??? ? ??? ? ? ? n ? PB ? 0, ? 2a,0) , ? ? ??? ∵ PB ? (0,2a, ?h) , BC ? ( 2a, ? ? ? n ? BC ? 0.

? 2ay ? hz , ? ∴? ? ? x ? y.

不妨令 x=1,则 y=1, z ?

? 2a 2a ,则 n ? (1,1, ). h h
2a 2a 2 ? 2a h2
2

?????????8 分

???? ? 5 OC ? n ? ???? ? ? 由已知,得 5 OC n

,化简,得 h 2 ?

2 2 a . 3

∴ PA ? PO2 ? OA2 ? 23.解: (1)110;

2 2 2 6 a ? 2a 2 ? a. 3 3

?????????????10 分

????????????????????????3 分

(2)集合 M 有 2 n 个子集,不同的有序集合对(A,B)有 2n (2n ? 1) 个.
* 若A? ? B ,并设 B 中含有 k (1 ≤ k ≤ n, k ? N ) 个元素,则满足 A ? ? B 的有序

集合对 (A,B) 有

? Cnk (2k ? 1) ? ? Cnk 2k ? ? Cnk ? 3n ? 2n 个 . ???????6 分
k ?1 k ?0 k ?0

n

n

n

n n 同理,满足 B ? ? A 的有序集合对(A,B)有 3 ? 2 个.

???????8 分 (A,B) 的 个 数 为























2n (2n ? 1) ? 2(3n ? 2n ) ? 4n ? 2n ? 2 ? 3n ??????????????????10 分

苏 北 四 市 数 学 试 题
数学Ⅰ 必做题部分
(本部分满分 160 分,时间 120 分钟)

注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求 1.本试卷共 4 页,均为非选择题(第 1 题~第 20 题,共 20 题) 。本卷满分为 160 分,考试 时间为 120 分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷 及答题卡的规定位置。 3.作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其它位 置作答一律无效。 4.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等加黑、加粗。
1 参考公式:锥体的体积公式: V ? Sh ,其中 S 是锥体的底面面积, h 是高. 3 一、填空题:本题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡上 . ....

1.设复数 z1 ? 2 ? i , z2 ? m ? i (m ? R ,i 为虚数单位 ) ,若 z1 ? z2 为实数,则 m 的值为 ▲ . 2.已知集合 A ? {2 ? a , a} , B ? {?1,1, 3} ,且 A ? B ,则实数 a 的值是 ▲ . 3.某林场有树苗 3000 棵,其中松树苗 400 棵.为调查树苗的生长情况,采用分层抽样的方 法抽取一个容量为 150 的样本,则样本中松树苗的棵数为 ▲ . 4.在 ?ABC 的边 AB 上随机取一点 P , 记 ?CAP 和 ?CBP 的面积分别为 S1 和 S 2 ,则 S1 ? 2S2 的概率是 ▲ . 开始 x2 y 2 5.已知双曲线 2 ? 2 ? 1 的一条渐近线方程为 2 x ? y ? 0 , a b S ? 0, n ? 1 则该双曲线的离心率为 ▲ . 6.右图是一个算法流程图,则输出 S 的值是 ▲ . n ?n?2 7.函数 f ( x) ? lg(2x ? 3x ) 的定义域为 ▲ . 8.若正三棱锥的底面边长为 2 ,侧棱长为 1,则此三棱锥 的体积为 ▲ . 9.在△ ABC 中,已知 AB ? 3 , A ? 120o ,且 ?ABC 的面积 15 3 为 ,则 BC 边长为 ▲ . 4 10.已知函数 f ( x) ? x x ? 2 ,则不等式 f ( 2 ? x) ≤ f (1) 的 解集为 ▲ .

S ?S ?n
n ? 10
N
输出 S 结束 (第 6 题图)

Y

? 11.已知函数 f ( x) ? 2sin(2? x ? ) (? ? 0) 的最大值与最小正周期相同, 则函数 f ( x) 在 [?1, 1] 4 上的单调增区间为 ▲ . 12.设等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a4 , a3 , a5 成等差数列,且 Sk ? 33 , Sk ?1 ? ?63 ,

其中 k ? N? ,则 Sk ? 2 的值为 ▲ . 13 .在平面四边形 ABCD 中,已知 AB ? 3 , DC ? 2 ,点 E , F 分别在边 AD, BC 上,且 ??? ? ???? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ▲ . AD ? 3 AE , BC ? 3BF .若向量 AB 与 DC 的夹角为 60? ,则 AB ? EF 的值为 14.在平面直角坐标系 xOy 中,若动点 P(a , b) 到两直线 l1 : y ? x 和 l2 : y ? ? x ? 2 的距离

之和为 2 2 ,则 a2 ? b2 的最大值为 ▲ . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 已知向量 a ? (cos? , sin ? ) , b ? (2 , ? 1) . sin ? ? cos ? (1)若 a ? b ,求 的值; sin ? ? cos ? ? ? (2)若 a ? b ? 2 , ? ? (0 , ) ,求 sin(? ? ) 的值. 2 4

16.(本小题满分 14 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中,点 E , F 分别是棱 PC, AC 的中点. (1)求证: PA //平面 BEF ; (2)若平面 PAB ? 平面 ABC , PB ? BC ,求证: BC ? PA .

P

A F C

E

B

(第 16 题图)

17.(本小题满分 14 分) 某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示),该扇环面是由以点 O 为圆心的两个同 心圆弧和延长后通过点 O 的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为 30 米,其中 大圆弧所在圆的半径为 10 米.设小圆弧所在圆的半径为 x 米,圆心角为 ? (弧度) . (1)求 ? 关于 x 的函数关系式; (2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时,直线部分的装饰费用为 4 元/米,弧线 部分的装饰费用为 9 元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为 y ,求 y 关于 x 的 函数关系式,并求出 x 为何值时, y 取得最大值?

?
O (第 17 题图)

18.(本小题满分 16 分) 已知 ?ABC 的三个顶点 A(?1 , 0) , B(1, 0) , C(3 , 2) ,其外接圆为 ? H . (1)若直线 l 过点 C ,且被 ? H 截得的弦长为 2,求直线 l 的方程; (2)对于线段 BH 上的任意一点 P ,若在以 C 为圆心的圆上都存在不同的两点 M , N ,使 得点 M 是线段 PN 的中点,求 ? C 的半径 r 的取值范围.

19.(本小题满分 16 分)
5 2 ,其图象是曲线 C . x ? ax ? b ( a, b 为常数) 2 (1)当 a ? ?2 时,求函数 f ( x) 的单调减区间; (2)设函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x) ,若存在唯一的实数 x0 ,使得 f ( x0 ) ? x0 与 f ?( x0 ) ? 0 同 时成立,求实数 b 的取值范围; (3)已知点 A 为曲线 C 上的动点,在点 A 处作曲线 C 的切线 l1 与曲线 C 交于另一点 B ,

已知函数 f ( x) ? x3 ?

在点 B 处作曲线 C 的切线 l2 ,设切线 l1 , l2 的斜率分别为 k1 , k2 .问:是否存在常数 ? , 使得 k2 ? ? k1 ?若存在,求出 ? 的值;若不存在,请说明理由.

20. (本小题满分 16 分) 已知数列 {a n } 满足 a1 ? x ,a2 ? 3x ,Sn ?1 ? Sn ? Sn ?1 ? 3n2 ? 2 (n ≥ 2 , n ? N* ) ,S n 是数列 {an } 的前 n 项和. (1)若数列 {a n } 为等差数列. (ⅰ)求数列的通项 an ; (ⅱ)若数列 {b n } 满足 bn ? 2an ,数列 {c n } 满足 cn ? t 2bn ? 2 ? tbn ?1 ? bn ,试比较数列 {bn } 前 n 项和 Bn 与 {c n } 前 n 项和 Cn 的大小; (2)若对任意 n ? N* , an ? an ?1 恒成立,求实数 x 的取值范围.

数 学 试 题
数学Ⅱ 注意事项
1. 本试卷共 2 页,均为非选择题(第 21 题~第 23 题,共 4 题) 。本卷满分为 40 分,考试时 间为 30 分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。 2. 作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其它位置 作答一律无效。 21.【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题 ,并在相应的答题区域内作 ....... ........... 答 .若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . A.(选修 4—1:几何证明选讲)(本小题满分 10 分) 如图,点 D 为锐角 ?ABC 的内切圆圆心,过点 A 作直线 BD 的垂线,垂足为 F ,圆 D 与边 AC 相切于点 E .若 ?C ? 50? , 求 ?DEF 的度数.

附加题部分

A E D F

B C (第 21(A)图) B.(选修 4—2:矩阵与变换)(本小题满分 10 分) ?a 0? 设矩阵 M ? ? ,若曲线 C :x2 + y 2 = 1 在矩阵 M 所对应的变换 b>0 ) ? (其中 a > 0 , 0 b ? ?
x2 作用下得到曲线 C ? : ? y 2 ? 1 ,求 a +b 的值. 4

C.(选修 4—4:坐标系与参数方程)(本小题满分 10 分)

? ?x ? ? 在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程是 ? ? y? ? ?

2 t, 2 ( t 为参数) ;以 O 2 t?4 2 2 ? 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos(? ? ) .由直 4 线 l 上的点向圆 C 引切线,求切线长的最小值.

D.(选修 4—5:不等式证明选讲)(本小题满分 10 分) 1 1 1 已知 a , b , c 均为正数,证明: a 2 ? b2 ? c2 ? ( ? ? )2 ≥ 6 3 . a b c

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解 ....... 答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 某品牌汽车 4 S 店经销 A, B, C 三种排量的汽车, 其中 A, B, C 三种排量的汽车依次有5, 4, 3 款不同车型.某单位计划购买 3 辆不同车型的汽车,且购买每款车型等可能. (1)求该单位购买的 3 辆汽车均为 B 种排量汽车的概率; (2)记该单位购买的 3 辆汽车的排量种数为 X ,求 X 的分布列及数学期望.

23. (本小题满分 10 分)

??? ? ??? ? ??? ? 已知点 A(?1 , 0) , F (1, 0) ,动点 P 满足 AP ? AF ? 2 | FP | . (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)在直线 l : 过点 Q 作轨迹 C 的两条切线, 切点分别为 M , N . 问: y ? 2 x ? 2 上取一点 Q , 是否存在点 Q ,使得直线 MN // l ?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理 由.

参考答案
数学Ⅰ部分
一、填空题: 1.2 8.
1 6

2.1 9. 7

3.20 10. ? ?1, ?? ?

4.

1 3

5. 5 12. 129

6.25 13. 7

7.(?? , 0) 14. 18

1 3 11. [? , ] 4 4

二、解答题: 15. (1) 由 a ? b 可知,a ? b ? 2cos? ? sin? ? 0 , 所以 sin? ? 2cos? , ??????????? 2分 所 以

s ?? s ??

?

? ?

i ? ? . ????????????????????6 分 i ?

(2)由 a ? b ? (cos? ? 2,sin ? ? 1) 可得,
a ? b ? (cos ? ? 2)2 ? (sin ? ? 1)2 ? 6 ? 4cos? ? 2sin ? ? 2 ,

即 ①

1 ? 2cos? ? sin? ? 0



???????????????????????10 分
? 又 cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 , 且? ? ( 0 , ) 2

3 ? sin ? ? ? ? 5 ②, 由①②可解得,? , ??????? ?cos ? ? 4 ? 5 ?

12 分 所 ? ?? 4 以
2

s



??????????? i 14 分

P

?

2

?

2

16. (1)在 ?PAC 中, E 、 F 分别是 PC 、 AC 的中点,所以 PA // EF , 又 PA ? 平面 BEF , EF ? 平面 BEF , 所以 PA // 平面 BEF .??????????????6 分

A F C

D

E

B

(2)在平面 PAB 内过点 P 作 PD ? AB ,垂足为 D . 因为平面 PAB ? 平面 ABC ,平面 PAB ? 平面 ABC ? AB ,

PD ? 平面 PAB ,所以 PD ? 平面 ABC ,??????8 分


BC ?





ABC







PD ? BC ,?????????????????????10 分
又 PB ? BC , PD ? PB ? P , PD ? 平面 PAB ,

PB ?





PAB







BC ?





PAB ,???????????????????12 分
又 平 面 PA ? PAB BC ? PA .?????????????????????14 分 17.(1)设扇环的圆心角为?,则 30 ? ? ?10 ? x ? ? 2(10 ? x) , 所 以 , 所 以

??

1 ? x 0 ,??????????????????????????????4 分 10 ? x

(2)













1 ? (102 ? x2 ) ? (5 ? x)(10 ? x) ? ? x2 ? 5x ? 50, (0 ? x ? 10) .??????7 分 2 装 饰 总 费 用
9? ?10 ? x ? ? 8(10 ? x) ? 170 ? 10 x ,



???????????????9 分 饰 总 费 用 的 比

所 以 花 坛 的 面 积 与 装 2 ? x ? 5 x ? 50 x ? 5 x ? 50 , ???????11 分 y= =? 170 ? 10 x 10(17 ? x)
2

令 t ? 17 ? x , 则y?

39 1 324 3 12 当且仅当 t=18 时取等号, 此时 x ? 1,? ? . ? (t ? )≤ , 10 10 t 10 11

答: 当 x ? 1 时, 花坛的面积与装饰总费用的比最大. ???????????????? 14 分 (注:对 y 也可以通过求导,研究单调性求最值,同样给分) 18.(1)线段 AB 的垂直平分线方程为 x ? 0 ,线段 BC 的垂直平分线方程为 x ? y ? 3 ? 0 , 所以 ?ABC 外接圆圆心 H (0,3) ,半径 12 ? 32 ? 10 , 圆
x2 ? ( y ? 3)2 ? 10 .

H









??????????????????????4 分

设圆心 H 到直线 l 的距离为 d ,因为直线 l 被圆 H 截得的弦长为 2,所以
d ? ( 102 ) ? 1? . 3

当直线 l 垂直于 x 轴时, 显然符合题意, 即 x ? 3 为所求; ????????????? 6分

当直线 l 不垂直于 x 轴时,设直线方程为 y ? 2 ? k ( x ? 3) ,则
3k ? 1 1? k
2

? 3 ,解得 k ?

4 , 3

综 上 , 直 线 的 方 程 为 l 4x ? 3 y ? 6 ? 0 . ?????????????????8 分 (2)直线 BH 的方程为 3x ? y ? 3 ? 0 ,设 P(m, n)(0 ≤ m ≤1), N ( x, y) , 因为点 M 是线段 PN 的中点, 所以 M (

x?3



m? x n? y 又 M , N 都在半径为 r 的圆 C 上, , ), 2 2
2





?( x ? 2 ? y ? ? r3 ? ? m? x n? y ? 2? ? ?( ? 2 2

)
2

2

(
2

3? r

)



(

?( x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ? r 2 , ? ???????10 分 ? 2 2 2 ? ?( x ? m ? 6) ? ( y ? n ? 4) ? 4r .

因为该关于 x, y 的方程组有解,即以 (3, 2) 为圆心, r 为半径的圆与以 (6 ? m, 4 ? n) 为 圆心,

2r

























(2r ? r )2 ≤ (3 ? 6 ? m)2 ? (2 ? 4 ? n)2 ≤ (r ? 2r )2 ,????12 分

又 3m ? n- 1] ]成立. 12m ?10 ≤9r 2 对 ?m ?[0 , 3 ? 0 ,所以 r 2 ≤10m2- 32 32 12m ? 10 在[0,1]上的值域为[ ,10],所以 r 2 ≤ 而 f ? m ? ? 10m2- 且 10 ≤ 9r 2 .?? 5 5 15 分 又线段 BH 与圆 C 无公共点,所以 (m ? 3)2 ? (3 ? 3m ? 2)2 ? r 2 对 ?m ?[0 , 1] 成立,即
r2 ? 32 . 5


[



C







r













10 4 10 , ). 3 5

?????????????????16 分 ???????????????

19. (1)当 a ? ?2 时, f ?( x) ? 3x2 ? 5x ? 2 ? (3x ? 1)( x ? 2) . 2分

1 1 令 f ?(x)<0, 解得 ?2 ? x ? , 所以 f(x)的单调减区间为 (?2 , ) . ?????????? 3 3

4分
2 ?3x0 ? 5 x0 ? a ? 0 ? (2) f ?( x) ? 3x ? 5x ? a ,由题意知 ? 3 5 2 消去 a , ? x0 ? x0 ? ax0 ? b ? x0 ? 2

2



2 x03 ?

5 2 x0 ? x0 ? b ? 0 2







解.???????????????????????6 分 5 令 g ( x) ? 2 x3 ? x 2 ? x ,则 g ?( x) ? 6 x2 ? 5x ? 1 ? (2 x ? 1)(3x ? 1) , 2 1 1 1 1 所 以 g ( x) 在 区 间 (??, ? ) , (? , ??) 上 是 增 函 数 , 在 (? , ? ) 上 是 减 函 2 3 2 3 数,?????8 分 1 1 1 7 又 g ( ? ) ? ? , g (? ) ? ? , 2 8 3 54 故 实 数 的 取 值 范 围 是 b 7 1 (??, ? ) ? (? , ??) . ?????????????????10 分 54 8 (3)设 A( x0 , f ( x0 )) ,则点 A 处切线方程为 y ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) , 与 曲 线 C : y ? f ( x) 联 立 方 程 组 , 得 f ( x) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) , 即
5 ( x ? x0 )2 [ x ? (2 x0 ? )] , 2 所 以 点 的 横 坐 标 B 5 xB ? ?(2 x0 ? ) . ??????????????????????12 分 2 5 25 由题意知, k1 ? f ?( x0 ) ? 3x02 ? 5x0 ? a , k2 ? f ?(?2 x0 ? ) ? 12 x02 ? 20 x0 ? ?a, 2 4

25 ? a ? ? (3x02 ? 5x0 ? a) , 4 25 即存在常数 ? ,使得 (4 ? ? )(3x02 ? 5x0 ) ? (? ? 1)a ? , 4 0 , ?4 ? ? ? ? 所 以 解 得 ? ?4 ? 25 (? ? 1)a ? ? 0. ? ? 4

若存在常数 ? ,使得 k2 ? ? k1 ,则 12 x02 ? 20 x0 ?



a?

25 . 12

??????????????????15 分
25 25 时, 存在常数 ? ? 4 , 使 k2 ? 4k1 ;a ? 时, 不存在常数 ? , 使 k2 ? ? k1 . ?? 12 12

故a ? 16 分

20.(1)(ⅰ)因为 Sn?1 ? Sn ? Sn ?1 ? 3n2 ? 2(n ≥ 2, n ? N* ) ,所以 S3 ? S2 ? S1 ? 14 , 即
a3 ? 14 ? 9 x ,
a3 ? 2a2 ? 3a1 ? 14





a1 ? x, a2 ? 3x







????????????2 分

又因为数列 {a n } 成等差数列,所以 2a2 ? a1 ? a3 ,即 6 x ? x ? ?14 ? 9 x ? ,解得 x ? 1 , 所
an ?
1


1?

?

?

?

?

N* ? ;

? ????????????4a 分

1

(ⅱ)因为 an ? 2n ? 1? n ? N* ? ,所以 bn ? 2an ? 22n?1 ? 0 ,其前 n 项和 Bn ? 0 , 又 因 为

cn ? t 2bn ? 2 ? tbn ?1 ? bn ? ?16t 2 ? 4t ? 1? bn ,??????????????????5 分









n





Cn ? ?1 t 2 ? 6 t?

?B 4
n

, 1 所



Cn ? Bn ? 2 ? 8t 2 ? 2t ? 1? Bn ,???????7 分

当t ? ? 当

1 1 1 1 或 t ? 时, Cn ? Bn ;当 t ? ? 或 t ? 时, Cn ? Bn ; 4 2 4 2 1 1 ? ?t ? 4 2





Cn ? Bn .??????????????????????????9 分

(2)由 Sn?1 ? Sn ? Sn ?1 ? 3n2 ? 2(n ≥ 2, n ? N* ) 知 Sn ? 2 ? Sn ?1 ? Sn ? 3 ? n ? 1? ? 2(n ? N* ) ,
2













an ? 2 ? an ?1 ? an ? 6n ? 3(n ≥ 2, n ? N* ) ,????????????????10 分





an ?3 ?

an ? 2 ?6 ?

an ?1 ?1 ?

N*

n3 ? ,

(

作n ?

差 )?



????? 11 分 an ?3 ? an ? 6 n ≥ (n ? N* , 2 , 所以,当 n ? 1 时, an ? a1 ? x ;

)

当 n ? 3k ? 1 时, an ? a3k ?1 ? a2 ? ? k ? 1? ? 6 ? 3x ? 6k ? 6 ? 2n ? 3x ? 4 ; 当 n ? 3k 时, an ? a3k ? a3 ? ? k ? 1? ? 6 ? 14 ? 9 x ? 6k ? 6 ? 2n ? 9 x ? 8 ; 当 n ? 3k ? 1时,an ? a3k ?1 ? a4 ? ? k ? 1? ? 6 ? 1 ? 6 x ? 6 k ? 6 ? 2 n ? 6 x ? 7 ; ?????? 14 分 因为对任意 n ? N* , an ? an ?1 恒成立,所以 a1 ? a2 且 a3k ?1 ? a3k ? a3k ?1 ? a3k ? 2 ,
? x ? 3x ?6k ? 3 x ? 6 ? 6k ? 9 x ? 8 13 7 ? 13 7 ? ? 所以 ? ,解得, ? x ? ,故实数 x 的取值范围为 ? , ? .? 15 6 ? 15 6 ? ?6k ? 9 x ? 8 ? 6 k ? 6 x ? 5 ? ?6k ? 6 x ? 5 ? 6k ? 3 x

16 分

数学Ⅱ部分
21. 【选做题】 A.(选修 4—1:几何证明选讲) 由圆 D 与边 AC 相切于点 E ,得 ?AED ? 90? ,因为 DF ? AF ,得 ?AFD ? 90? , 所 以
A, D,

四 F,

点 E





,





?D

5分 ? ?????????????? D A F 1 1 1 又 ?ADF ? ?ABD ? ?BAD ? (?ABC ? ?BAC ) ? (180? ? ?C ) ? 90? ? ?C , 2 2 2
1 所以 ?DEF ? ?DAF ? 90? ? ?ADF ? ?C , 由 ?C ? 50? , 得 ?DEF ? 25? . ????? 2

E ? . F

10 分 B. (选修 4-2:矩阵与变换) 设曲线 C :x 2 + y 2 = 1 上任意一点 P( x, y) ,在矩阵 M 所对应的变换作用下得到点

P 1 ( x1 , y1 ) ,


? a 0 ? ? x ? ? x1 ? ?0 b? ? y ? ? ? y ? ? ? ? ? ? 1?





?a ? ? ?b ?

1

x x . ??????????????????????5 分 y y 1

x12 x2 ax 2 2 2 ? 又点 P 在曲线 上, 所以 , 则 ( x , y ) C : ? y ? 1 ? y ? 1 ? by 2 ? 1 为曲线 C 的 1 1 1 1 4 4 4 方程.
又曲线 C 的方程为 x 2 + y 2 = 1,故 a 2 = 4 , b2 = 1 , 因 为

a >0, b >0







a + b = 3 . ??????????????????????10 分 C. (选修 4-4:坐标系与参数方程)
因 为 圆

C 的 极 坐 标 方 程 为 ? ? 2 cos? ? 2 sin ?

, 所 以

? 2 ? 2? c o ?? s 2? s i ?, n
所以圆 C 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 x ?
2 2

? 2 2? ? ,半径为 , ? 2 y ? 0 ,圆心为 ? ? 2 ? 2 ? ?

1,?4 分
? ?x ? ? 因为直线 l 的参数方程为 ? ? y? ? ? 2 t, 2 ( t 为参数) , 2 t?4 2 2

? 2t 2t ? 所以直线 l 上的点 P ? ? 2 , 2 ?4 2? ? 向圆 C 引切线长是 ? ?
? 2t 2 ? ? 2t 2? PC ? R ? ? ? 2 ? 2 ? ? ?? ? 2 ?4 2? 2 ? ? ?1 ? ? ? ? ?
2 2 2 2

?t ? 4?

2

? 24 ≥ 2 6 ,

所 以 直 线 l

上 的 点 向 圆

C

引 的 切 线 长 的 最 小 值 是

2 6 . ??????????????10 分
D. (选修 4-5:不等式选讲)
2

证法一: 因为 a , 由均值不等式得 a 2 ? b 2 ? c 2 ≥ 3( abc ) 3 , ????????? b, c 均为正数, 2分 1 1 ?1 1 因 为 , 所 以 ? ? ≥ 3(abc) 3 a b c 2 ? 1 1 1 5分 ( ? ? )2 ≥ 9 abc 3 .????????????? ( ) a b c 2 2 ? 1 1 1 故 a 2 ? b2 ? c 2 ? ( ? ? )2 ≥ 3(abc) 3 ? 9(abc) 3 . a b c
2



3

(abc ) 3 ? 9(abc )

?

2 3

≥ 2 27 ? 6 3

















立.?????????????10 分 证法二: 因为 a , 由基本不等式得 a 2 +b2 ≥ 2ab ,b2 +c 2 ≥ 2bc ,c 2 + a 2 ≥ 2ca . b, c 均为正数, 所 以 2 a + + ≥ ? ? .?????????????????????????? b2 分 同 理 1 1 分 + + ≥ ? ? ,?????????????????????????5 2 a b2 1 1 1 3 3 3 所以 a2 +b2 + c2 ? ( + + )2 ≥ ab ? bc ? ca ? ? ? ≥6 3 . a b c ab bc ca 所 以 原 不 等 式 成 立.??????????????????????????????10 分 3 C4 1 22. (1)设该单位购买的 3 辆汽车均为 B 种排量汽车为事件 M ,则 P( M ) ? 3 ? . C12 55
2

所 以 该 单 位 购 买 的

3

辆 汽 车 均 为 B 种 排 量 汽 车 的 概 率 为

1 . ????????????4 分 55

(2)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3. 则 P( X ? 1) ?
3 3 3 1 1 1 C5 ? C4 ? C3 3 C5 C4C3 3 ? , P ( X ? 3) ? ? , 3 3 C12 11 C12 44

P( X ? 2) ? 1 ? P( X ? 1) ? P( X ? 3) ?

29 . 44

X







所以 X 的分布列为

P

3 44

29 44

3 11

????????? ??8 分 数
E( X ) ? 1?







3 29 3 97 .??????????????????10 分 ? 2 ? ? 3? ? 44 44 11 44 ??? ? ??? ? ??? ? 23.(1)设 P( x, y) ,则 AP ? ( x ? 1, y) , FP ? ( x ? 1, y) , AF ? (2,0) ,
??? ? ??? ? ??? ? 由 AP ? AF ? 2 | FP | ,得 2( x ? 1) ? 2 ( x ? 1)2 ? y 2 ,化简得 y 2 ? 4 x .


y2 ? 4x .





P







C







??????????????????????5 分

(2)直线 l 方程为 y ? 2( x ? 1) ,设 Q( x0 , y0 ) , M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) . 过点 M 的切线方程设为 x ? x1 ? m( y ? y1 ) ,代入 y 2 ? 4 x ,得 y 2 ? 4my ? 4my1 ? y12 ? 0 , y 由 ? ? 16m2 ? 16my1 ? 4 y12 ? 0 , 得 m ? 1 , 所 以 过 点 M 的 切 线 方 程 为 2 y1 y ? 2( x ? x1 ) ,??7 分 同理过点 N 的切线方程为 y2 y ? 2( x ? x2 ) . 所以直线 MN 的方程为 y0 y ? 2( x0 ? x) , ??? 9分 又 MN // l ,所以 故
1 (? ,1) . 2
2 ? 2 ,得 y0 ? 1 ,而 y0 ? 2( x0 ? 1) , y0



Q









??????????????????????????10 分

苏州市 2014 届高三调研测试
数学Ⅰ试题
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 本试卷共 4 页,包含填空题(第 1 题 ? 第 14 题) 、解答题(第 15 题 ? 第 20 题) .本卷满分 160 分,考 试时间为 120 分钟.考试结束后,请将答题卡交回. 2. 答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定 位置. 3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效.作答必须用 0.5 毫米黑 色墨水的签字笔.请注意字体工整,笔迹清楚. 4. 如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗. 5. 请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.

2014.1

样本数据 x1,x2 ,…,xn 的方差 s 2 ?

1 n 1 n 2 ,其中 ( x ? x ) x ? ? i ? xi . n i ?1 n i ?1

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.不需要写出解答过程,请把答案 直接填在答题卡相应位置上 . ........ 1. 已知集合 A ? { x | x < 2 },B ? { ?1,0,2,3 },则 A∩B ? 2. 已知 i 为虚数单位,计算 (1 ? 2i)(1 ? i)2 = 3. 若函数 f ( x) ? sin( x ? ? )( 0 ? ? ? 对称,则 θ ? 则 S7 = ▲ . N ▲ . ▲ . 开始 输入 x ▲ .

π π )的图象关于直线 x ? 2 6

4. 设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,已知 S5 = 5,S9 = 27, ▲ . 5. 若圆锥底面半径为 1,高为 2,则圆锥的侧面积为

x≥0

Y

y ← ?2x

y ← x(x?2)

6. 运行右图所示程序框图,若输入值 x?[?2,2],则输出值

y 的取值范围是
7. 已知 sin( x ?



. ▲ . 输出 y 结束 (第 6 题)

π 3 π 4 ) ? , sin( x ? ) ? ,则 tan x = 4 5 4 5

8. 函数 y ? ex ? ln x 的值域为





9. 已知两个单位向量 a , b 的夹角为 60°, c = t a ?(1 ? t) b . 若 b · c = 0,则实数 t 的值为 ▲ .

10. 已知 m?{?1,0,1},n?{?1,1},若随机选取 m,n,则直线 mx ? ny ? 1 ? 0 恰好不经过第二 象限的概率是 ▲ .

? x 2 ? x ( x≥ 0), ? 11. 已知 f ( x) ? ? 2 ,则不等式 f ( x2 ? x ? 1) ? 12 的解集是 ? x ? x ( x ? 0) ? ?





12. 在直角坐标系 xOy 中,已知 A(?1,0) ,B(0,1) ,则满足 PA2 ? PB2 ? 4 且在圆 x2 ? y 2 ? 4 上的点 P 的个数为 ▲ . ▲ . ▲ .

13. 已知正实数 x,y 满足 xy ? 2x ? y ? 4 ,则 x ? y 的最小值为 14. 若

m2 x ? 1 ? 0 (m ? 0)对一切 x≥4 恒成立,则实数 m 的取值范围是 mx ? 1

二、解答题:本大题共六小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 1 在△ABC 中,设角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a cos C ? c ? b . 2 (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 15 , b ? 4 ,求边 c 的大小.

16. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,四边形 ABCD 是矩形,平面 PCD⊥平面 ABCD,M 为 PC 中点.求 证: (1)PA∥平面 MDB; P (2)PD⊥BC.

M D B
(第 16 题)

C

A

17. (本小题满分 14 分) 甲、乙两地相距 1000 km ,货车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 80 km/h ,已知 1 货车每小时的运输成本(单位:元)由可变成本和固定成本组成,可变成本是速度平方的 4 倍,固定成本为 a 元. (1)将全程运输成本 y(元)表示为速度 v( km/h )的函数,并指出这个函数的定义 域; (2)为了使全程运输成本最小,货车应以多大的速度行驶?

18. (本小题满分 16 分) 如图,已知椭圆
x2 y 2 1 ,点 P(2e, )在椭圆上(e ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右顶点为 A(2,0) 2 2 a b

为椭圆的离心率) . (1)求椭圆的方程;
???? ??? ? ???? ??? ? (2)若点 B,C(C 在第一象限)都在椭圆上,满足 OC ? ? BA ,且 OC ?OB ? 0 ,求实数

λ 的值.

y C

O

A x

B

(第 17 题)

19. (本小题满分 16 分) 设数列{an}满足 an?1 = 2an ? n2 ? 4n ? 1. (1)若 a1 ? 3,求证:存在 f (n) ? an2 ? bn ? c (a,b,c 为常数) ,使数列{ an ? f(n) }是等 比数列,并求出数列{an}的通项公式; (2)若 an 是一个等差数列{bn}的前 n 项和,求首项 a1 的值与数列{bn}的通项公式.

20. (本小题满分 16 分)
b 已知 a,b 为常数,a ? 0,函数 f ( x) ? (a ? ) e x . x (1)若 a = 2,b = 1,求 f ( x) 在(0,?∞)内的极值; (2)① 若 a > 0,b > 0,求证: f ( x) 在区间[1,2]上是增函数;

② 若 f (2) ? 0 , f (?2) ? e?2 ,且 f ( x) 在区间[1,2]上是增函数,求由所有点 (a, b) 形成的 平面区域的面积.

2014 届高三调研测试 数学Ⅱ(附加题)
注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 本试卷只有解答题,供理工方向考生使用.本试卷第 21 题有 A、B、C、D 4 个小题供选做,每位考 生在 4 个选做题中选答 2 题.若考生选做了 3 题或 4 题,则按选做题中的前 2 题计分.第 22 、23 题为必答题.每小题 10 分,共 40 分.考试时间 30 分钟.考试结束后,请将答题卡交回. 2. 答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规 定位置. 3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效.作答必须用 0.5 毫米 黑色墨水的签字笔.请注意字体工整,笔迹清楚. 4. 如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗. 5. 请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔. 2014.1

21. 【选做题】本题包括 A 、 B 、 C 、 D 四小题,请选定其中两题 ,并在相应的 答题区域 内 ...... ..... .... . 作答 ,若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ..

A .选修 4 ? 1:几何证明选讲(本小题满分 10 分)
如图,MN 为两圆的公共弦,一条直线与两圆及公共弦依 次交于 A,B,C,D,E,求证:AB·CD = BC·DE.

M E C B A N D

B .选修 4 ? 2:矩阵与变换(本小题满分 10 分)
? ?1 a ? 已知 a,b ? R ,若 M = ? ? 所对应的变换 TM 把直线 2 x ? y = 3 变换成自身,试求 ? b 3?

实数 a,b.

C .选修 4 ? 4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分)
在极坐标系中,求点 M (2,
π π ) 关于直线 ? ? 的对称点 N 的极坐标,并求出 MN 的长. 6 4

D .选修 4 ? 5:不等式选讲(本小题满分 10 分)
已知 x,y,z 均为正数.求证:
x y z 1 1 1 ? ? ≥ ? ? . yz zx xy x y z

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题 卡指定区域 内作答,解答 .. ..... 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 如图,在空间直角坐标系 O ? xyz 中,正四棱锥

z P

P ? ABCD 的侧棱长与底边长都为 3 2 ,点 M,N 分别
在 PA,BD 上,且
PM BN 1 ? ? . PA BD 3

M C D x A

O N

B

y

(1)求证:MN⊥AD; (2)求 MN 与平面 PAD 所成角的正弦值.

(第 22 题)

23. (本小题满分 10 分) 设 ? 为随机变量,从棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的八个顶点中任取四个点,当四点共 面时, ? = 0,当四点不共面时, ? 的值为四点组成的四面体的体积. (1)求概率 P( ? = 0) ; (2)求 ? 的分布列,并求其数学期望 E ( ? ).

参考答案与评分标准
1.{?1,0} 6.[?1,4] 11. (?1,2) 2.4 ? 2 i 7.? 7 12.2 3.
π 3

4.14 9.2 14. m ? ?
1 2

5. 5 π 10.
1 3

8.[2,?∞) 13. 2 6 ? 3

1 15.解: (1)用正弦定理,由 a cos C ? c ? b , 2 1 得 sin A cos C ? sin C ? sin B . ???? 2 分 2 ∵ sin B ? sin( A ? C) ? sin A cos C ? cos Asin C , 1 ∴ sin C ? cos A sin C . 2

???? 4 分 ???? 6 分 ???? 8 分

∵ sin C ? 0 ,∴ cos A ? ∵0 < A < π ,∴ A ?

1 . 2

π . 3

(2)用余弦定理,得 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A . ∵ a ? 15 , b ? 4 , ∴15 = 16 ? c2 ? 2×4×c× 即 c2 ? 4c ? 1 = 0. 则c ? 2? 3 .
1 . 2

???? 12 分 ???? 14 分

16.证明: (1)连结 AC 交 BD 于点 O,连结 OM.?????? 2 分

∵M 为 PC 中点,O 为 AC 中点, ∴MO∥PA. ?????? 4 分 ∵MO ? 平面 MDB,PA ? 平面 MDB, ∴PA∥平面 MDB. ?????? 7 分 (2)∵平面 PCD⊥平面 ABCD, 平面 PCD∩平面 ABCD = CD, BC ? 平面 ABCD,BC⊥CD, ∴BC⊥平面 PCD. ?????? 12 分 ∵PD ? 平面 PCD, ∴BC⊥PD. ?????? 14 分 1 2 1000 17. (1)可变成本为 v ,固定成本为 a 元,所用时间为 . 4 v 1000 1 2 1 a ∴y? ( v ? a) ,即 y ? 1000( v ? ) . ???? 4 分 v 4 4 v 定义域为(0,80]. ???? 5 分 2 1 a v ? 4a (2) y? ? 1000( ? 2 ) ? 250 ? . 4 v v2 令 y? ? 0 ,得 v ? 2 a . ???? 7 分 ∵v ?(0,80], ∴当 2 a ≥80,即 a≥1600 时,y?≤0,y 为 v 的减函数, 在 v = 80 时,y 最小. ∴当 2 a < 80,即 0 < a < 1600 时, v y? y 在 v = 2 a 时,y 最小; (0, 2 a ) ? ↘
2 a

???? 9 分

( 2 a ,80) ? ↗

0 极小值 ????? 13 分

(答)以上说明,当 0 < a < 1600(元)时,货车以 2 a km/h 的速度行驶,全程运输成本最小; 当 a≥1600(元)时,货车以 80 km/h 的速度行驶,全程运输成本最小.??? 14 分
c ,代入椭圆方程, 2

18.解: (1)由条件,a = 2, e ?
c2 1 ? 2 ? 1. 4 4b ∵ b2 ? c 2 ? 4 , ∴ b2 ? 1 ,c2 = 3.



???? 2 分

x2 ? y 2 ? 1 .???? 5 分 4 (2)设直线 OC 的斜率为 k, 则直线 OC 方程为 y = kx,

∴椭圆的方程为

代入椭圆方程

x2 ? y 2 ? 1 ,即 x2 ? 4y2 = 4, 4
2 1 ? 4k 2

得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 4 ,∴ xC ?



则 C(

2 1 ? 4k 2

,

2k 1 ? 4k 2

) . ???? 7 分

又直线 AB 方程为 y = k(x ? 2), 代入椭圆方程 x2 ? 4y2 = 4, 得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 4 ? 0 .
2(4k 2 ? 1) . 1 ? 4k 2 2(4k 2 ? 1) ?4k 则 B( ) . , 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

∵ xA ? 2 ,∴ xB ?

???? 9 分

???? ??? ? 2(4k 2 ? 1) 2 ?4k 2k ? ?0. ∵ OC ? OB ? 0 ,∴ 2 2 1 ? 4k 2 1 ? 4 k 1 ? 4k 1 ? 4k 2

∴ k2 ?

2 1 .∵C 在第一象限,∴k > 0, k ? .???? 12 分 2 2
2 1 ? 4k
2

???? ∵ OC ? (

,

2k 1 ? 4k 2

),

??? ? 2(4k 2 ? 1) ?4k 4 4k BA ? (2 ? ,0 ? )?( , ), 2 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4k 2 ???? ??? ? 1 由 OC ? ? BA ,得 ? ? k 2 ? . ???? 15 分 4

∵k ?

2 3 ,∴ ? ? . 2 2

???? 16 分

19.解: (1)∵an?1 = 2an ? n2 ? 4n ? 1, 设 an?1 ? a(n ? 1)2 ? b(n ? 1) ? c = 2 (an ? an2 ? bn ? c ),?????? 2 分 也即 an?1 ? 2an ? an2 ? (b ? 2a)n ? c ? a ? b .
?a ? 1, ? ∴ ?b ? 2a ? ?4, ?c ? a ? b ? 1. ?

?????? 4 分

∴a = 1,b = ? 2,c = 0. ∵a1 ? 1 ? 2 = 2,

?????? 6 分

∴存在 f (n) ? n2 ? 2n ,使数列{ an ? n2 ? 2n }是公比为 2 的等比数列.??? 8 分

∴ an ? n2 ? 2n ? 2 ? 2n ?1 ? 2n . 则 an ? 2n ? n2 ? 2n . ?????? 10 分

(2)∵an?1 = 2an ? n2 ? 4n ? 1, 即 an?1 ? (n ? 1)2 ? 2(n ? 1) ? 2(an ? n2 ? 2n) , ∴ an ? n2 ? 2n ? (a1 ? 1)2n?1 .即 an ? (a1 ? 1)2n?1 ? n2 ? 2n . ???? 12 分
(n ? 1), ? ?a1 ∴ bn ? ? n?2 ? ?(a1 ? 1)2 ? 2n ? 3 (n≥ 2).

???? 14 分 ???? 16 分

∵{bn}是等差数列,∴a1 = 1,bn = ?2n ? 3. 20. (1)解: f ?( x) ? (a ?

b b x ex ? 2 ) e ? ax 2 ? bx ? b 2 .???? 2 分 x x x x e ex 当 a = 2,b = 1 时, f ?( x) ? 2 x 2 ? x ? 1 2 ? ? x ? 1?? 2 x ? 1? 2 , x x 1 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 或 x ? ?1 (舍去) . ???? 4 分 2

?

?

?

?

ex 1 ? 0 ,当 x ? (0, ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 是减函数, 2 2 x 1 当 x ? ( , ??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 是增函数, 2



∴当 x ?

1 时, f ( x) 取得极小值为 4 e . 2

???? 6 分

(2)令 g ( x) ? ax 2 ? bx ? b , ① 证明:∵a > 0,b > 0,∴二次函数 g ( x) 的图象开口向上,
b ? 0 ,且 g (1) ? a ? 0 , 2a ∴ g ( x) ? 0 对一切 x ? [1, 2] 恒成立.

对称轴 x ? ?

???? 8 分



ex ? 0 ,∴ f ?( x) ? 0 对一切 x?(1,2)恒成立. x2

∵ f ( x) 函数图象是不间断的, ∴ f ( x) 在区间[1,2]上是增函数. ② 解:∵ f (2) ? 0, f (?2) ? e?2 ,
b ? (a ? ) e2 ? 0, ? ? 2a ? b ? 0, ? 2 ∴? ,即 ? (*) . ? 2a ? b ? 2. ?(a ? b ) e?2 ? e?2 . ? ? 2

???? 10 分

∵ f ( x) 在区间[1,2]上是增函数, ∴ f ?( x)≥0 对 x?(1,2)恒成立.

则 g ( x) ? ax 2 ? bx ? b≥0 对 x?(1,2)恒成立.
? g (1) ? a ? 0, ∴? (**) . ? g (2) ? 4a ? b≥ 0.

???? 12 分
b ≤2 , 2a

在(*) (**)的条件下, b ? 0 且 1 ? ? 且 g (?

b ?4ab ? b2 4a ? b )? ? ?b( )≥0 恒成立. 2a 4a 4a

? a ? 0, b ? 0, ? 2a ? b ? 0, ? 综上,点 (a, b) 满足的线性约束条件是 ? ?? 14 分 ? 4a ? b≥ 0, ? ? 2a ? b ? 2.

b
C

O B A

a

由所有点 (a, b) 形成的平面区域为△OAB(如图所示) ,
1 4 1 其中 A( , ? ) , B( , ?1) , C (1,0) , 2 3 3
1 4 1 则 S△OAB = S△OAC ? S△OBC = ( ? 1) ? . 2 3 6

即△OAB 面积为

1 . 6

??????? 16 分

数学Ⅱ(附加题)
21. A .证明:由相交弦定理,得

M E C B A N D

AC·CD = MC·NC. BC·CE = MC·NC. ∴AC·CD = BC·CE. ?????3 分 即(AB ? BC) ·CD = BC· (CD ? DE) . ??6 分 也即 AB·CD ? BC·CD = BC·CD ? BC·DE. ∴AB·CD = BC·DE. ??????10 分

? ?1 a ? ? x ? ? x? ? B .解:设 ? ?? ? ? ? ?, ? b 3 ? ? y ? ? y ?? ? x? ? ? x ? ay, 则? ? y ? ? bx ? 3 y.

???? 3 分

∵2 x? ? y? = 3,∴2(?x?ay) ? (bx?3y) = 3. 即(?2 ? b) x? (2a ? 3) y = 3.???? 6 分 此直线即为 2 x ? y = 3, ∴? 2 ? b = 2,2a ? 3 = ?1. 则 a = 1,b = ? 4. ???? 10 分

C .解:M (2,

π π π ) 关于直线 ? ? 的对称点为 N (2, ) .?????3 分 6 4 3 π MN = 2OM sin ?????6 分 12 6? 2 = 4? ?????10 分 ? 6? 2. 4

D .证明:∵x,y,z 都是为正数,

x y 1 x y 2 ? ? ( ? )≥ . yz zx z y x z
y z 2 z x 2 ? ≥ , ? ≥ . zx xy x xy yz y

?????3 分 ?????6 分

同理可得

将上述三个不等式两边分别相加,并除以 2, x y z 1 1 1 得 ? ? ≥ ? ? . yz zx xy x y z

?????10 分

22.解: (1)∵正四棱锥 P ? ABCD 的侧棱长与底边长都为 3 2 , ∴OA =3,OP =3. ???? 2 分

则 A(3,0,0) ,B(0,3,0) ,D(0,?3,0) ,P(0,0,3) , ∴M(1,0,2) ,N(0,1,0) .
???? ? ???? 则 MN ? (?1,1, ?2) , AD ? (?3, ?3,0) . ???? 4 分 ???? ? ???? ∵ MN ? AD ? (?1) ? (?3) ? 1? (?3) ? (?2) ? 0 ? 0 ,

∴MN⊥AD.

???? 5 分

(2)设平面 PAD 的法向量为 n ? ( x, y, z) , ???? ??? ? ∵ AD ? (?3, ?3,0) , AP ? (?3,0,3) , ???? ? n ? AD ? 0, ??3x ? 3 y ? 0, ? 由 ? ??? 得? ? ? ? n ? AP ? 0, ??3x ? 3z ? 0. 取 z = 1,得 x = 1,y = ?1. ∴ n ? (1, ?1,1) . ???? 7 分 ???? ? ???? ? n ? MN (?1) ? 1 ? 1 ? (?1) ? (?2) ? 1 2 2 ???? ? ? 则 cos ? n, MN ?? . ?? 9 分 ?? 3 | n | ? | MN | 3? 6 设 MN 与平面 PAD 所成角为 θ , ???? ? 2 2 则 sin ? ? | cos ? n, MN ? | ? . 3 2 2 ∴MN 与平面 PAD 所成角的正弦值为 . ?? 10 分 3
4 ? 70 种不同取法. 23.解: (1)从正方体的八个顶点中任取四个点,共有 C8

其中共面的情况共有 12 种(6 个侧面,6 个对角面) .
12 6 . ???????? 3 分 ? 70 35 (2)任取四个点,当四点不共面时,四面体的体积只有以下两种情况: 1 1 ① 四点在相对面且异面的对角线上,体积为 1 ? 4 ? ? . 6 3 这样的取法共有 2 种. ???????? 5 分

则 P( ? = 0)=

② 四点中有三个点在一个侧面上,另一个点在相对侧面上,体积为 这样的取法共有 70 ? 12 ? 2 = 56 种. ???????? 7 分 ∴ ? 的分布列为

1 . 6

?
P

? =0
6 35

1 6 1 28 35 35 ???????? 8 分

?=

1 3

?=

1 1 1 28 1 数学期望 E ( ? ) = ? ? ? ? . ???????? 10 分 3 35 6 35 7

2013~2014 学年度泰州第一学期期末考试 高三数学试题
(考试时间:120 分钟 总分:160 分)
命题人: 朱占奎 张乃贵 王宏官 范继荣 审题人: 吴卫东 石志群 注意事项:所有试题的答案均填写在答题纸上,答案写在试卷上的无效. 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相 应答题线上. ) 1.已知集合 A ? ?1, 6,9? , B ? ?1, 2? ,则 A ? B ?
2



. ▲ 开始 .

2.复数 (1 ? i ) ? a ? bi ( a, b 是实数, i 是虚数单位) ,则 a ? b 的值为 3.函数 y ? log 2 ( x ? 3) 的定义域为 ▲ .

4.为了解某地区的中小学生视力情况,从该地区的中小学生中用 分层抽样的方法抽取 300 位学生进行调查,该地区小学,初中, 高中三个学段学生人数分别为 1200 , 1000 , 800 ,则从初中 抽取的学生人数为 ▲ .

n←1,S←0 n≤3
是 否 输出 S 结束

S←2S+1 n←n+1
第5题

5.已知一个算法的流程图如右图,则输出的结果 S 的值是 ▲ .

6. 在 ?ABC 中,BD ? 2DC , 若 AD ? ?1 AB ? ?2 AC , 则 ?1?2 的值为 ▲ . 7.将一颗骰子先后抛掷两次,观察向上的点数.则点数相同的概率是 ▲ . 8.如图,在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, D 为棱 AA1 的中点.若

??? ?

????

????

??? ?

????

A1 B1 D

C1

A

C B

AA1 ? 4 , AB ? 2 ,则四棱锥 B ? ACC1 D 的体积为



. 第8题

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为圆心,且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为 ▲ . 9.以双曲线 9 16

10.设函数 f ( x) ? ( x ? a) x ? a ? b ( a, b 都是实数) . 则下列叙述中,正确的序号是 ▲ . (请把所有叙述正确的序号都填上)

①对任意实数 a, b ,函数 y ? f ( x) 在 R 上是单调函数;

②存在实数 a, b ,函数 y ? f ( x) 在 R 上不是单调函数; ③对任意实数 a, b ,函数 y ? f ( x) 的图像都是中心对称图形; ④存在实数 a, b ,使得函数 y ? f ( x) 的图像不是中心对称图形. 11.已知在等差数列 {an } 中,若 m ? 2n ? p ? s ? 2t ? r , m, n, p, s, t , r ?N* 则 am ? 2an ? a p ? as ? 2at ? ar ,仿此类比,可得到等比数列 {bn } 中的一个正确命题: 若 m ? 2n ? p ? s ? 2t ? r , m, n, p, s, t , r ?N*,则 ▲ .

12.设等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a2 a4 a6 a8 ? 120 ,且

1 1 1 1 7 ,则 S 9 的值为 ? ? ? ? a4 a6 a8 a2 a6 a8 a2 a4 a8 a2 a4 a6 60





13.在平面直角坐标系中, A ? 0, 0 ? , B(1, 2) 两点绕定点 P 顺时针方向旋转 ? 角后,分别到

A? ? 4, 4 ? , B?(5, 2) 两点,则 cos ? 的值为





14.已知函数 f ( x) ? 3x ? a 与函数 g ( x) ? 3x ? 2a 在区间 (b, c) 上都有零点, 则

a 2 ? 2ab ? 2ac ? 4bc 的最小值为 b 2 ? 2bc ? c 2





二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? 2sin ? 2 x ?

? ?

??

?. 4?

(1)求函数 y ? f ( x) 的最小正周期及单调递增区间; (2)若 f ( x0 ?

?

6 ) ? ? ,求 f ( x0 ) 的值. 8 5
E

16. (本题满分 14 分)如图,在四棱锥 E ? ABCD 中,

?ABD 为正三角形, EB ? ED, CB ? CD .
(1)求证: EC ? BD ; (2)若 AB ?BC , M , N 分别为线段 AE , AB 的中点,
A M D C

求证:平面 DMN / / 平面 BEC .

N

B

17. (本题满分 15 分)已知椭圆 C :
2 2 2

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 和 a 2 b2

y P A

圆 O : x ? y ? a , F1 ? ?1, 0 ? , F2 ?1, 0 ? 分别是椭圆的左、右 两焦点,过 F1 且倾斜角为 ? ? ? ? ? 0,

? ?

? ? ?? ? 的动直线 l 交椭圆 C ? 2? ??
Q

F1 B

O

F2

x

于 A, B 两点,交圆 O 于 P, Q 两点(如图所示,点 A 在 x 轴上

方) .当 ? ?

?
4

时,弦 PQ 的长为 14 .

(1)求圆 O 与椭圆 C 的方程; (2)若点 M 是椭圆 C 上一点,求当 AF2 , BF2 , AB 成等差数列时, ?MPQ 面积的最大值.

18 . (本题满分 15 分)某运输装置如图所示,其中钢结构 ABD 是

AB ? BD ? l ,?B ?

?
3

C

的固定装置, AB 上可滑动的点 C 使 CD 垂直于

底面( C 不与 A, B 重合) ,且 CD 可伸缩(当 CD 伸缩时,装置 ABD 随之 绕 D 在同一平面内旋转) ,利用该运输装置可以将货物从地面 D 处沿
D

D ? C ? A 运送至 A 处,货物从 D 处至 C 处运行速度为 v ,从 C 处
至 A 处运行速度为 3v .为了使运送货物的时间 t 最短,需在运送前调整运输装置中

?DCB ? ? 的大小.
(1)当 ? 变化时,试将货物运行的时间 t 表示成 ? 的函数(用含有 v 和 l 的式子) ; (2)当 t 最小时, C 点应设计在 AB 的什么位置?

19. (本题满分 16 分)设函数 f1 ( x) ?

1 4 x ? ae x (其中 a 是非零常数, e 是自然对数的 12

底) ,记 f n ( x) ? f n??1 ( x) ( n ? 2 , n ? N*) (1)求使满足对任意实数 x ,都有 f n ( x) ? f n ?1 ( x) 的最小整数 n 的值( n ? 2 , n ? N*) ; (2)设函数 g n ( x) ? f 4 ( x) ? f 5 ( x) ? ? ? f n ( x) ,若对 ?n ? 5 , n ? N*, y ? g n ( x) 都存 在极值点 x ? t n ,求证:点 An (t n , g n (t n )) ( n ? 5 , n ? N*)在一定直线上,并求出该直线 方程; (注:若函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处取得极值,则称 x 0 为函数 y ? f ( x) 的极值点.)

(3) 是否存在正整数 k ? k ? 4 ? 和实数 x 0 , 使 f k ( x0 ) ? f k ?1 ( x0 ) ? 0 且对于 ?n ? N*, f n ( x) 至多有一个极值点,若存在,求出所有满足条件的 k 和 x 0 ,若不存在,说明理由.

20. (本题满分 16 分)己知数列 ?a n ?是公差不为零的等差数列,数列 ?bn ? 是等比数列. (1)若 cn ? ? an ?1 ? an ? bn (n∈N*) ,求证: ?cn ? 为等比数列; (2)设 cn ? anbn (n∈N*) ,其中 a n 是公差为 2 的整数项数列, bn ? ?

? 12 ? ? ,若 ? 13 ?

n

c5 ? 2c4 ? 4c3 ? 8c2 ? 16c1 ,且当 n ? 17 时,?cn ? 是递减数列,求数列 ?an ? 的通项公式;
(3) 若数列 ?cn ? 使得 ?

? a n bn ? a ? cn 数列 ?d n ?的前 n 项和为 n , 且数列 ?d n ?满 ? 是等比数列, c c ? n ? n

足: 对任意 n ? 2 ,n ? N*,或者 d n ? 0 恒成立或者存在正常数 M , 使 求证:数列 ?cn ? 为等差数列.

1 ? d n ? M 恒成立, M

2013~2014 学年度第一学期期末考试 高三数学试题(附加题)
21. [选做题]请考生在 A、B、C、D 四小题中任选两题作答,如果多做,则按所做的前两题 记分.

A. (本小题满分 10 分,几何证明选讲)
如图, AB 是 ? O 的一条直径,C , D 是 ? O 上不同于 A, B 的两点,过 B 作 ? O 的切线与 AD 的延长线相交于点 M , AD 与 BC 相交于 N 点, BN ? BM . (1)求证: ?NBD ? ?DBM ; (2)求证: AM 是 ?BAC 的角平分线.
A

C N

D

M

O

B

B. (本小题满分 10 分,矩阵与变换)

已知矩阵 A ? ?

? ? ?1 ? ? 2 n? ? ? ? ?. 的一个特征根为 ,它对应的一个特征向量为 ? ? 2 ? ?2? ?m 1 ?
(2)求 A?1 .

(1)求 m 与 n 的值;

C. (本小题满分 10 分,坐标系与参数方程选讲)

? 5 3 x? ? 2 cos ? ? ? 2 己知在平面直角坐标系 xOy 中,圆 M 的参数方程为 ? ( ? 为参数) , 7 ? y ? ? 2sin ? ? ? 2
以 Ox 轴为极轴,O 为极点建立极坐标系,在该极坐标系下,圆 N 是以点 ? 3, 且过点 (2,

? ?

??

? 为圆心, 3?

?
2

) 的圆.

(1)求圆 M 及圆 N 在平面直角坐标系 xOy 下的直角坐标方程; (2)求圆 M 上任一点 P 与圆 N 上任一点 Q 之间距离的最小值.

D. (本小题满分 10 分,不等式选讲)
已知: a ? b ? c ? 1, a, b, c ? 0 . (1)求证: abc ?
2

1 ; 27
2 2 3

(2)求证: a ? b ? c ?

abc .

[必做题]第 22 题,第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤. 22.(本小题满分 10 分)
2 T ? t , 0 ? (t ? 0 且 t ? 2 ) 己知直线 l : y ? 2 x ? 4 与抛物线 C : y ? 4 x 相交于 A, B 两点,

为 x 轴上任意一点,连接 AT , BT 并延长与抛物线 C 分别相交于 A1 , B1 . (1)设 A1 B1 斜率为 k ,求证: k ? t 为定值; (2)设直线 AB, A1 B1 与 x 轴分别交于 M , N ,令

S?ATM ? S1 , S?BTM ? S2 , S?B1TN ? S3 , S?A1TN ? S4 ,
M NM

若 S1 , S2 , S3 , S4 构成等比数列,求 t 的值.

23.(本小题满分 10 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,底面 ?ABC 为直角三角 形, ?ACB ?

?
2

,顶点 C1 在底面 ?ABC 内的射影是点 B ,且
A1

B1 C1

AC ? BC ? BC1 ? 3 ,点 T 是平面 ABC1 内一点.
(1)若 T 是 ?ABC1 的重心,求直线 AT 1 与平面 ABC1 所成角;
T A B

B1 ? T C (2) 是否存在点 T , 使T

且平面 TA1C1 ? 平面 ACC1 A1 ,

C

若存在,求出线段 TC 的长度,若不存在,说明理由.

2013~2014 学年度第一学期期末考试 高三数学参考答案
一、填空题 1. ?1? ; 6. 2. 2 ; 7.
2

3. ? x | x ? 3? ; 4. 100 ; 8. 2 3 ; 12. 9. ( x ? 5) ? y ? 16 ;
2 2

5. 7 ; 10.①③; 14. ?1 .

2 ; 9

1 ; 6
2

11. bm ? bn ? bp ? bs ? bt ? br ; 二、解答题 15.(1) T ?

63 ; 2

13. ?

3 ; 5

2? ?? , 2
? 3 ? 8 1 8 ? ?

………………2 分 ………………6 分

增区间为 ? ? ? ? k? , ? ? k? ? , k ? Z ; (2) f ( x0 ?

?

6 3 4 ) ? ? 即 sin(2 x0 ) ? ? ,所以 cos(2 x0 ) ? ? , 8 5 5 5

………………10 分

? 2 7 2 f ( x0 ) ? 2sin(2 x0 ? ) ? 2 ? sin 2 x0 ? cos 2 x0 ? ? 或? . 4 5 5

………14 分

16.(1)取 BD 的中点 O,连结 EO,CO,∵△ABC 为正三角形,且 CD=CB ∴CO⊥BD,EO⊥BD ………………4 分
M D

E

又 CO ? EO ? 0 ,∴BD⊥平面 EOC,∵ EC ? 平面 EOC ∴BD⊥EC. ………………7 分

C O A N B

(2)∵N 是 AB 中点, ?ABD 为正三角形,∴DN⊥AB, ∵BC⊥AB,∴DN//BC, ∵BC ? 平面 BCE DN ? 平面 BCE,∴BC//平面 BCE, ∵M 为 AE 中点,N 为 AB 中点,∴MN//BE, ∵MN ? 平面 BCE,BE ? 平面 BCE,∴MN//平面 BCE, ∵MN ? DN=N,∴平面 MND//平面 BCE. 17.解: (1)取 PQ 的中点 D,连 OD,OP 由? ? ………………12 分 ………………14 分 ………………10 分

y

?
4

, c ? 1 ,知 OD ?

2 2
B Q

A D F1 O

P

l

F2

x

? PQ ? 14 ? OQ 2 ?
? a 2 ? 4, b2 ? 3

PQ 2 ? OD 2 ? 4 4

?椭圆 C 的方程为:

x2 y2 ? ? 1 , ? O : x2 ? y 2 ? 4 , 4 3

………………4 分

(2)设 AF2 ? s, BF2 ? t ,

? AF1 ? AF2 ? 2a ? 4, BF1 ? BF2 ? 2a ? 4 , ? AF2 , BF2 , AB 的长成等差数列,? 2t ? s ? 8 ? s ? t ? t ?
64 ? ( x0 ? 1) 2 ? y0 2 ? ? 4 15 9 ? ), 设 B( x0 , y0 ) ,由 ? 得 B(? , ? 2 2 3 3 ? x0 ? y0 ? 1 ? 4 3 ?
? k ? 15 ,? PQ : y ? 15( x ? 1) ,? PQ ?

………………6 分

8 3

………………10 分

7 . 2

………………12 分

易求得椭圆上一点到直线 PQ 的距离的最大值是

3 7 ? 15 ,所以 ?MPQ 的面积的 4
………………15 分

最大值是

21 7 ? 7 15 . 16

18.解: (1)在 ?BCD 中? ?BCD ? ? , ?B ?

?
3

, BD ? l
………………4 分

? BC ?

3l l sin(120? ? ? ) , CD ? 2sin ? sin ?

? AC ? AB ? BC ? l ?
则t ?

l sin(120? ? ? ) , sin ?

AC CD l l sin(120? ? ? ) 3l ? 2? ? ? ? ? ,( ?? ? ) … ……8 分 3v v 3v 3v sin ? 2v sin ? 3 3 l 3 cos ? 3l l 3l 3 ? cos? (1 ? )? ? ? ? 6v sin ? 2v sin ? 6v 6v sin ?
………………10 分 ………………12 分

(2) t ?

令 m(? ) ?

3 ? cos? 1 ? 3cos? ' ,则 m (? ) ? sin ? sin 2 ?

令 m (? ) ? 0 得 cos? ?
'

则? ? (

?
3

1 1 ,设 cos? 0 ? 3 3

?0 ? (

? 2?
3 , 3

, )

,? 0 ) 时, m' (? ) ? 0 ; ? ? (? 0 ,

2? ) 时 m' (? ) ? 0 3

? cos ? ?

6?4 1 时 m(? ) 有最小值 2 2 ,此时 BC ? l . ………………14 分 8 3 6?4 l 时货物运行时间最短. 8
………………15 分

答:当 BC ?

1 19. (1) f1 ( x) ? 1 x 4 ? ae x , f 2 ( x) ? x 3 ? ae x , f3 ( x) ? x 2 ? ae x , 3 12

f 4 ( x) ? 2 x 2 ? ae x , f 5 ( x) ? 2 ? ae x , f 6 ( x) ? ae x ,
f n' ( x) ? ae x (n ? 6) ,? nmin ? 7 .
x x x x

………………4 分
x

(2) g n ( x) ? (2 x ? ae ) ? (2 ? ae ) ? ae ? ??? ? ae ? (2 x ? 2) ? (n ? 3) ? ae



………………6 分
' ' gn ( x) ? 2 ? (n ? 3)ae x 存在极值点 x ? tn ? g n (tn ) ? 2 ? (n ? 3)aetn ? 0 ' ? gn (tn ) ? 2tn ? 2 ? (n ? 3)aetn ? 2tn



………………8 分 ………………9 分 ………………10 分

? An 在直线 y ? 2 x 上.
(3) f n ( x) ? ae ? 0(n ? 6) 无解, ? k ? 5
x

①当 k ? 5 时, f 4 ( x ) ? f 5 ( x ) ? 0 ? ? 而当 a ? ?

? 2 ? ae x0 ? 0 ?2 x0 ? ae ? 0
x0

? x0 ? 1 ? a ? ?

2 e

2 x x x ?1 时, f 6 ( x) ? ae ? 0 ? f5 ( x) ? 2 ? ae ? 2 ? 2e 单调减,且 f5 (1) ? 0 e

? f 4 ( x) 在 (??,1) 上增, (1, ??) 上减,? f 4 (1) ? 0 ? f 4 ( x) ? 0 恒成立.

? f3 ( x) 单调减,而 f3 ( x) ? x 2 ? 2e x ?1 , f3 (?1) ? 1 ?

2 ? 0, f3 (0) ? ?2e?1 ? 0 2 e

?t ? (?1, 0), f3 ? t ? ? 0 在 (??, t ) 上 f3 (t ) ? 0 ? f 2 ( x) 在 (??, t ) 上增, (t , ??) 上减,

1 1 1 f 2 (t ) ? t 3 ? 2et ?1 ,又? f3 (t ) ? t 2 ? 2et ?1 ? 0,? f 2 (t ) ? t 3 ? t 2 ? t 2 ( t ? 1) ? 0 3 3 3
? f1 (t ) 在 R 上单调减

综上所述,?存在 k ? 5 , a ? ? ②当 k ? 4 时, f 4 ( x0 ) ? 2 x0 ? ae
x0

2 满足条件. e

………………13 分

? f3 ( x0 ) ? x0 2 ? ae x0 ? 0 ,即 x0 ? 0 或 2

当 x0 ? 0 时 f 4 (0) ? a ? 0 (舍) 当 x0 ? 2 时 f 4 (2) ? 4 ? ae2 ? 0 ? a ? ?

4 4 ? f 6 ( x) ? ? 2 e x ? ?4e x ?2 ? 0 2 e e

? f5 ( x) ? 2 ? 4e x ?2 单调减,且 f5 ( x) ? 0 时, x ? 2 ? ln 2

? f 4 ( x) 在 (??, 2 ? ln 2) 上增, (2 ? ln 2, ??) 上减,而 f 4 (2) ? 0

? ?m ? 2 ? ln 2 使得在 (??, m) 上, f 4 ( x) ? 0 ,在 (m, 2) 上 f 4 ( x) ? 0 ,
在 (2, ??) 上, f 4 ( x) ? 0

? f3 ( x) 在 (??, m) 上减,在 (m, 2) 上增,在 (2, ??) 上减(舍)

?k ? 4
综上①②所述:存在 k ? 5 , a ? ?

2 满足条件. e

………………16 分

20.(1)证明: cn ? bn (an ?1 ? an ) ,设 ?a n ?公差为 d 且 d ? 0 , ?bn ? 公比为 q ,

?

cn ?1 bn ?1 (an ? 2 ? an ?1 ) bn ?1 ? ? ? q =常数,??cn ? 为等比数列………3 分 cn bn (an ?1 ? an ) bn

(2)由题意得: cn ?1 ? 2cn 对 n ? 1, 2,3, 4 恒成立且 c n ? c n ?1 对 ?n ? 17 恒成立,…5 分

? 12 ? c n ? a n bn ? ? ? ? (2n ? t ) ? 13 ? ? 12 ? ?? ? ? 13 ?
n ?1

n

? 12 ? (2n ? t ? 2) ? 2? ? (2n ? t ) ? 14t ? 24 ? 28n 对 n ? 1,2,3,4 恒成立 ? 13 ?
………… ……7 分
n ?1

n

?t ??
n

44 7

? 12 ? ? 12 ? ? ? ( 2n ? t ) ? ? ? ? 13 ? ? 13 ?

(2n ? t ? 2) ? t ? 24 ? 2n 对 n ? 17 恒成立
………… ……9 分

? t ? ?10

??10 ? t ? ?

44 而 t ? Z ? t ? ?9, ?8, ?7 7
………… ……10 分
n

? an ? 2n ? 7 或 an ? 2n ? 8 或 an ? 2n ? 9 .
ab A ?q ? n (3)证明:设 bn ? A1q1 , n n ? A2 q2 ? an ? 2 ? 2 ? ? cn cn A1 ? q1 ?
n

不妨设

n A2 q Aq n cn ? cn ? Aq n ? 1 ? A , 2 ? q ? a n ? Aq n ? c n ? ? di ? cn A1 q1 i ?1

? d n ? ? di ? ? di ? ? A(q ? 1) ? q n ?1 (n ? 2) ,即
i ?1 i ?1

n

n ?1

d n ? A(q ? 1) q

n ?1

(n ? 2) .

………… ……13 分

若 q ? 1 ,满足 d n ? 0(n ? 2) , 若 q ? 1 ,则对任给正数 M,则 n 取 (log q

M , ??) 内的正整数时, A(q ? 1)

d n ? M ,与

1 ? d n ? M 矛盾. M
T 1 ? ?) 内的正整数时 ,则 n 取 (log q A(q ? 1) M

若 0 ? q ? 1 ,则对任给正数 T=

dn ? T =

1 1 ,与 ? d n ? M 矛盾. M M

? q ? 1 ,? an ? Acn 而 a n 是等差数列,设公差为 d ? ,

? cn ?1 ? cn ?

1 d? (an ?1 ? an ) ? 为定值,? c n 为等差数列. A A

………… ……16 分

附加题参考答案
21.A.证明: (1)∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ADB=90°而 BN=BM ? △BNM 为等腰三角形

? BD 为∠NBM 的角平分线 ? ∠DBC=∠DBM.

………………5 分

?DBM ? ?DAB ? ? (2)BM 是⊙O 的切线, ?CBD ? ?CAD ? ? ?DAB ? ?DAC ?DBC ? ?DBM ? ?

? AM 是∠CAB 的角平分线.
21.B.解: (1)由题意得:

………………10 分

? ? ? ? ? 2 n ? ?1 ? ? 2 ? 2n ? 2 ? n ? 0 ?1 ? ?1 ? ?? A? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? ? ? ? ? ? ?m ? 2 ? m 1 ? ? 2? ? 2? ? 2? ?m?2? 4
(2)设 A
?1

……5 分

?2 0? ?a b ? ?1 0 ? ?a b ? ?E?? ?? ?? ? ? ? ? ? ?2 1? ? c d ? ?0 1 ? ?c d ?

? 1 ? ? 2a ? 1 ?a ? 2 ? ? ? 2b ? 0 ? ?? ??b?0 ? 2 a ? c ? 0 ? c ? ?1 ? 2b ? d ? 1 ? ? d ?1 ? ? ?
21.C.解: (1)⊙M: ( x ?

?1 ? 0? ? 即A ? 2 . ? ? ? ?1 1 ?
?1

………………10 分

5 3 2 7 3 3 ? ) ? ( y ? ) 2 ? 4 , ( 3, ) 对应直角坐系下的点为 ( , ) , 2 2 2 2 3

3 2 3 ? ) ? ( y ? ) 2 ? 1 .……5 分 (2, ) 对应直角坐系下的点为 (0, 2) ,∴⊙N: ( x ? 2 2 2
(2)PQ=MN-3= 4 ? 3 ? 1 . 21.D.证明: (1) a ? b ? c ? 3 ? 3 abc ,而 a ? b ? c ? 1 ………………10 分

1 1 ,当且仅当 a ? b ? c ? 时取“=”. ………………5 分 27 3 1 1 1 2 2 2 2 (2)柯西不等式 a ? b ? c ? (a ? b ? c) ? ,由(1)知 3 abc ? 3 3 3 ? abc ?
? a 2 ? b2 ? c 2 ? 3 abc ,当且仅当 a ? b ? c 时取“=”.
22.解: (1) ? ………………10 分

? y ? 2x ? 4
2 ? y ? 4x

? A(4, 4) , B(1, ?2) ,设 A1 (

m2 n2 , m) ,B1 ( , n) , 4 4

k AT ? k A1T ?

4 m ? 2 ? m2 ? 4t ? 4m ? tm ? m(m ? 4) ? t (4 ? m) m 4?t ?t 4

? m ? ?t ? A1 (

t2 , ?t ) ,同理: B1 (t 2 , 2t ) ? k ? 4

3t t2 ? t 4
2

?

4 ? kt ? 4定值. …5 分 t

4 t2 2 (2)A1B1: y ? 2t ? ( x ? t ), 令y ? 0得N ( , 0), 而M (2, 0) t 2

t2 ? t t t2 S1 yA 1 S4 TN ? y A1 t2 2 ? ? 2 ? S2 ? S1 , ? ? ? ? ? S4 ? S1 S2 yB 2 S1 TM ? y A t?2 4 8 8

t (t ? 2) 2t t 2 S3 t2 2 ? ? ? ? ? S3 ? S1 S1 TM ? y A t?2 4 4 4 TN ? yB1
S1 , S2 , S3 , S4 构成的等比数列,∴ t 2 ? 1 而 t ? 0 ? t ? 1.
………………10 分

23.解:如图以 CB、CA 分别为 x,y 轴,过 C 作直线 Cz//BC1,以 Cz 为 z 轴

? B(3,0,0), C (0,0,0), A(0,3,0), C1 (3,0,3)
CB1 ? CC1 ? CB ? (6,0,3) ? B1 (6,0,3) ???? ???? ? ??? ? CA1 ? CC1 ? CA ? (3,3,3) ? A1 (3,3,3)
(1)T 是△ABC1 重心 ? T (2,1,1) ? TA1 ? (1, 2, 2) 设面 ABC1 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ), AB ? (3, ?3, 0)
A1

B1 z C1

??? ?

x T y A B

??

??? ?

?3 x1 ? 3 y1 ? 0 ? z1 ? 0 ?? ?? ? 取法向量 n1 ? (1,1,0) ?3 x1 ? 3 y1 ? 3 z1 ? 0 ? x1 ? y1

C

??? ? ?? ? cos ? TA1 , n1 ??

3 3? 2

?

??? ? ?? 2 ? ?? TA1 , n1 ?? 2 4

??? ? ?? ? ………………5 分 ? ? TA1 , n1 ?? . 2 4 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ? ??? ? (2)T 在面 ABC1 内, CT ? CB ? BT ? CB ? mBC1 ? nBA ? ? 3 ? 3n,3n,3m ? ,
设 TA 1 与面 ABC1 所成角为 ? ? ? ?

?

即 T (3 ? 3n,3n,3m) .由 TB1 ? TC 得

(3 ? 3n)2 ? (3n)2 ? (3m) 2 ? (3n ? 3) 2 ? (3n) 2 ? (3m ? 3) 2 ? ?2m ? 4n ? ?1 ①
设面 CAA1C1 法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ), CA ? (0,3, 0), CC1 ? (3, 0,3)

?? ?

??? ?

???? ?

?3 y 2 ? 0 ?? ? 取 n2 ? (1,0,?1) 3 x ? 3 z ? 0 ? 2 2 ?? ? ???? ? ???? 设面 TA 1C1 法向量为 n3 ? ( x3 , y3 , z3 ), C1 A1 ? (0,3, 0), C1T ? (?3n,3n,3m ? 3)
? y3 ? 0 ?? ? 取 n3 ? (m ? 1,0, n) , 由平面 TA1C1 ? 平面 ACC1 A1 得 ? ?3nx3 ? (3m ? 3) z3 ? 0

cos ? n2 , n3 ??

m ?1? n 2 ? (m ? 1) 2 ? n 2

? 0 ? m ? n ? 1②

由①②解得 n ?

3 11 1 3 ?3 3 9? . , m ? ,?存在点 T ? , , ? ,TC= 2 2 2 ?2 2 2?

………10 分

2014 届扬州中学高三数学期末模拟试题

2014.1.11

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分) 1. 已知集合 A={-1,1,2,3},B={-1,0,2},则 A∩B=__▲ ______. 2. “ x ? 1 ”是“ x ? 1 ”的
2



条件(填“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、

“既不充分也不必要” ) 3. 设复数 z 满足 i(z+1)=-3+2i(i 为虚数单位),则 z 的实部是_▲ _______. 4. 一组样本数据 8,12,10,11 ,9 的方差为 5. 6. ▲ . .

若一个长方体的长、宽、高分别为 3 、 2 、1,则它的外接球的表面积是 ▲

如图是一次青年歌手大奖赛上七位评委为甲、 乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中 m 为 数字 0~9 中的一个),去掉一个最高分和一个最低分后,甲、乙两名选手得分的平均数 分别为 x, y ,则 x, y 的大小关系是______▲ _______(填 x ? y, x ? y, x ? y )

7. 在区间[- π , b, 则使得函数 f ( x) ? x ? 2ax ? b ? π 有 π ]内随机取两个数分别记为 a,
2 2

零点的概率为
:ZXXK]





8. 公差不为零的等差数列 {an } 的第二、三及第六项构成等比数列,则 9.若 sin(

a1 ? a3 ? a5 = ▲ a2 ? a 4 ? a6

1 2? . ? ? ) ? , 则 cos( ? 2? ) 的值为 ▲ 6 3 3 x2 y 2 10. 在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 E : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左顶点为 A ,过双曲 a b
线 E 的右焦点 F 作与实轴垂直的直线交双曲线 E 于 B ,C 两点, 若 ?ABC 为直角三角 形,则双曲线 E 的离心率为 ▲ .

?

11. 在平面区域 ( x, y ) | x |? 1,| y |? 1 上恒有 ax ? 2by ? 2 ,则动点 P(a, b) 所形成平面区域 的面积为 ▲ .
2

?

?

12.已知关于 x 的不等式 ? 2 ? x ? ax ? b ? 1 ( a ? R, b ? R, a ? 0) 恰好有一解, 则b ? 的最小值为 ▲ .

1 a2

13.设函数 f ( x) 在 R 上存在导数 f ?( x) , 对任意的 x ? R 有 f (? x) ? f ( x) ? x , 且在 ?0,???
2

上, f ?( x) ? x. ,若 f (2 ? a) ? f (a) ? 2 ? 2a, 则实数 a 的取值范围为





14. 已知 A, B, C 为 ?ABC 的三个内角, 向量 ? ? (cos

A? B A? B , 3 sin ) , | ? |? 2 2
| MC | | AB |

2.

如果当 C 最大时,存在动点 M , 值是 ▲ ;

使得 | MA |, | AB |, | MB | 成等差数列, 则

最大

二、解答题(本大题共 6 道题,共计 90 分) 15.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? sin(

?
2

? x) cos x ? sin x ? cos(? ? x) 。

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ)在 ?ABC 中,若 A 为锐角,且 f ( A) =1, BC ? 2 , B ? 16. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AD∥BC,PB⊥平面 ABCD,CD⊥BD,

? ,求 AC 边的长。 3

PB=AB=AD=1,点 E 在线段 PA 上,且满足 PE=2EA.
(1)求三棱锥 E-BAD 的体积; (2)求证:PC∥平面 BDE.

P

E B A D
(第 16 题)

C

17.(本小题满分 14 分)

某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为 10 万元/辆, 出厂价为 13 万元/辆, 年 销售量为 5000 辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆 车投入成本增加的比例为 x (0< x <1 ) ,则出厂价相应提高的比例为 0.7 x ,年销售量也 相应增加.已知年利润=(每辆车的出厂价-每辆车的投入成本)×年销售量. (1)若年销售量增加的比例为 0.4 x ,为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成 本增加的比例 x 应在什么范围内? (2)年销售量关于 x 的函数为 y ? 3240 (? x 2 ? 2 x ? ) ,则当 x 为何值时,本年度的年利 润最大?最大利润为多少?

5 3

18.(本小题满分 16 分) 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为

1 ,短轴长为 4 3 。 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ) P(2, n) , Q(2,?n) 是椭圆 C 上两个定点,A、B 是椭圆 C 上位于直线 PQ 两侧的动点。 ① 若直线 AB 的斜率为

1 ,求四边形 APBQ 面积的最大值; 2

② 当 A、B 两点在椭圆上运动,且满足∠APQ=∠BPQ 时,直线 AB 的斜率是否为定值,说 明理由。 y

P B O Q 18 题 x

A

19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? e ? ax, g ( x) ? e ln x ( e 是自然对数的底数).
x x

(1)当 a ? 0 时,曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1处取得极值,求实数 a 的值; (2)若对于任意 x ? R, f ( x) ? 0 恒成立,试确定实数 a 的取值范围; (3)当 a ? ?1时,是否存在 x0 ? (0, ??) ,使曲线 C : y ? g ( x) ? f ( x) 在点 x ? x0 处的切 线斜率与 f ( x) 在 R 上的最小值相等?若存在,求符合条件的 x0 的个数;若不存在, 请说明理由.

20.(本小题满分 16 分) 已知正项数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? (1)求 a1 的值及数列 ?an ? 的通项公式; (2)求证:

an (an ? 2) ( n ? N* ) . 4

1 1 1 1 5 ( n ? N* ) ; ? 3 ? 3 ?? ? 3 ? 3 a1 a2 a3 an 32 ? an ?1 1 1 1 (3) 是否存在非零整数 ? , 使不等式 ? (1 ? )(1 ? ) ?? ? (1 ? ) cos ? a1 a2 an 2

1 an ? 1

对一切 n ? N* 都成立?若存在,求出 ? 的值;若不存在,说明理由.

命题:高三数学组 理科(附加题)
(总分 40 分,加试时间 30 分钟)
1.(本小题满分 10 分)已知矩阵 A ? ?

?1 ? 1? ? ,其中 a ? R ,若点 P(1,1)在矩阵 A 的变换 ?a 1 ?

下得到点 P’(0,-3), (1)求实数 a 的值; (2)求矩阵 A 的特征值及特征向量

2. (本小题满分 10 分) 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点,极轴与 x 轴的正半轴重合.曲线 C 的极坐标
? x ? ? 3t , ? 方程为 ? 2 cos 2 ? ? 3? 2 sin 2 ? ? 3 ,直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数,t∈R).试在 ? ?y ?1? t

曲线 C 上求一点 M,使它到直线 l 的距离最大.

3.(本小题满分10分) 如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面是以∠ABC 为直角的等腰三角形,AC=2,BB1=3,D 为 A1C1 的中点,E 为 B1C 的中点. B1 C1 (1)求直线 BE 与 A1C 所成的角的余弦; (2)在线段 AA1 上取一点 F,问 AF 为何值时,CF⊥平面 B1DF? D

A1

E F B A C

4.(本小题满分 10 分) 在一次运动会上,某单位派出了有 6 名主力队员和 5 名替补队员组成的代表队参加比赛. (1)如果随机抽派 5 名队员上场比赛,将主力队员参加比赛的人数记为 X,求随机变量 X 的数学期望; (2)若主力队员中有 2 名队员在练习比赛中受轻伤,不宜同时上场;替补队员中有 2 名队 员身材相对矮小,也不宜同时上场;那么为了场上参加比赛的 5 名队员中至少有 3 名 主力队员,教练员有多少种组队方案?

高三数学参考答案
一、填空题 1. ?? 1,2? ; 2. 充分不必要; 9. ? 3. 1; 4. 2;

1.11 5. 6? ; 6. x ? y ; 7.

3 ; 4

8.

3 ; 5

7 ;10. 2; 9

11. 4; 12. 2

13.

?? ?,1?

14.

2 3? 2 4

二、解答题 15. 解: (Ⅰ) f ( x) ? sin(

?
2

? x) cos x ? sin x ? cos(? ? x) ? cos2 x ? sin x cos x ?(2 分)

1 1 2 ? 1 ? cos2 x ? sin 2 x ? (sin 2 x ? cos 2 x ? 1) ? sin(2 x ? ) ? ?(3 分) 2 2 2 4 2
令?

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
4

?

?
2

? 2k? , k ? Z

所以函数 f ( x) 的单调增区间为: ? ?

? ? 3? ? ? k? , ? k? ?, k ? Z 8 ? 8 ?

?(6 分)

(Ⅱ)因为 f ( A) =1,所以 因为 A 为锐角,所以 所以 2 A ?

2 ? 1 ? 2 sin(2 A ? ) ? ? 1 所以 sin(2 A ? ) ? 2 4 2 4 2

?
4

? 2A ?

?
4

?

?
4

?

3? ? ,所以 A ? 4 4

5? 4

??????(8 分) ?????(9 分)

在△ABC 中,由正弦定理得,

BC AC 2 AC ? 即 ? (12 分) ? ? sin A sin B sin sin 4 3

解得 AC ? 16、 (本题满分 14 分)

6

???(14 分)

(1)过 E 作 EF ? AB ,垂足为 F , 因为 PB ? 平面 ABCD , 所以平面 PAB ? 平面 ABCD . 又平面 PAB ? 平面 ABCD ? AB ,

EF ? 平面 PAB , 所以 EF ? 平面 ABCD , 即 EF 为三棱锥 E ? BAD 的高.????3 分 由 PB ? 平面 ABCD 得 PB ? AB , 故 PB // EF.

因为 PE ? 2EA 且 PB ? 1 故 EF ?

1 ? ???????5 分 3
o

因为 CD ? BD. 所以在直角梯形 ABCD 中, ?BAD ? 90 .

1 ? 2 1 1 从而 VE ? BAD ? ? S ?BAD ? EF ? ??????8 分 3 18 (2)连结 AC 交 BD 于 G ,连结 EG .
因为 AB ? AD ? 1. 所以 S ?BAD ? 因为在直角梯形 ABCD 中, ?BAD ? 90 . 又因为 AB ? AD ? 1.
o

所以 BD ?

2 , ?ABD ? 45 ? , 从而 ?CBD ? 45 ?.

因为 CD ? BD. 所以 BC ? 2. ????????10 分 因为 AD // BC, BC ? 2, AD ? 1, 所以 AG : GC ? 1 : 2.

又因为 PE ? 2EA. ,所以 AG : GC ? AE : EP 所以 EG // PC. ????????12 分 因为 PC ? ? 平面 BDE.EG ? 平面 BDE , 所以 PC // 平面 BDE .????????14 分 17. 解: (1)由题意得:本年度每辆车的投入成本为 10×(1+x) ; 出厂价为 13×(1+0.7x) ;年销售量为 5000×(1+0.4x) , ……2 分 因此本年度的利润为 y ? [13 ? (1 ? 0.7 x) ? 10 ? (1 ? x)] ? 5000 ? (1 ? 0.4 x)

? (3 ? 0.9 x) ? 5000 ? (1 ? 0.4 x)
即: y ? ?1800 x ? 1500 x ? 15000(0 ? x ? 1),
2

………………………6 分 得0 ? x ?

由 ?1800 x2 ? 1500 x ? 15000 ? 15000 , (2)本年度的利润为

5 6

…………8 分

5 f ( x) ? (3 ? 0.9 x) ? 3240 ? (? x 2 ? 2 x ? ) ? 3240 ? (0.9 x 3 ? 4.8 x 2 ? 4.5 x ? 5) 3 ' 2 则 f ( x) ? 3240 ? (2.7 x ? 9.6 x ? 4.5) ? 972 (9 x ? 5)( x ? 3), …10 分 5 由 f ' ( x) ? 0, 解得x ? 或x ? 3, 9 5 5 当 x ? (0, )时,f ' ( x) ? 0, f ( x) 是增函数;当 x ? ( ,1)时,f ' ( x) ? 0, f ( x) 是减函数. 9 9 5 5 ∴当 x ? 时, f ( x)取极大值f ( ) ? 20000 万元, ……12 分 9 9 因为 f ( x) 在(0,1)上只有一个极大值,所以它是最大值, ……14 分 5 所以当 x ? 时,本年度的年利润最大,最大利润为 20000 万元. ……15 分 9

18. 解: (Ⅰ)设 C 方程为 由已知 b= 2 3

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

离心率 e ?

c 1 2 ? , a ? b2 ? c2 a 2

得a ? 4

所以,椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ?1 16 12

(Ⅱ)①由(Ⅰ)可求得占 P、Q 的坐标为 P(2,3) , Q(2,?3) ,则 | PQ |? 6 , 设 A ? x1 , y1 ?, B( x 2 , y 2 ),直线 AB 的方程为 y ?
2 2

x2 y2 1 ,代人 ? ?1 x?t 16 12 2

得 x ? tx ? t ? 12 ? 0 由△>0,解得 ? 4 ? t ? 4 ,由根与系数的关系得

? x1 ? x 2 ? ?t 四边形 APBQ 的面积 ? 2 ? x1 x 2 ? t ? 12

S?

1 ? 6 ? x1 ? x2 ? 3 48 ? 3t 2 2

故,当 t ? 0, S max ? 12 3 ②∠APQ=∠BPQ 时,PA、PB 的斜率之和为 0,设直线 PA 的斜率为 k , 则 PB 的斜率为 ? k , PA 的直线方程为 y ? 3 ? k ( x ? 2) 与

x2 y2 ? ? 1 联立解得 16 12

(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8(3 ? 2k )kx ? 4(3 ? 2k ) 2 ? 48 ? 0 ,

x1 ? 2 ?

8(2k ? 3)k 3 ? 4k 2

同理 PB 的直线方程 y ? 3 ? ?k ( x ? 2) ,可得 x2 ? 2 ? 所以 x1 ? x 2 ?

8(2k ? 3)k 3 ? 4k 2

16 k 2 ? 12 ? 48k , x1 ? x2 ? 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

k AB ?

y1 ? y 2 k ( x1 ? 2) ? 3 ? k ( x 2 ? 2) ? 3 ? x1 ? x 2 x1 ? x 2

16 k 3 ? 12 k ? 12 k ? 16 k 3 k ( x1 ? x 2 ) ? 4k ? 24 k 1 3 ? 4k 2 ? ? ? ? ? 48k x1 ? x 2 ? 48k 2 3 ? 4k 2

所以直线 AB 的斜率为定值
x

1 2

19. 解: (1) , f ?( x) ? e ? a ,由 y ? f ( x) 在 x ? 1处取得极值得: f ?(1) ? e ? a =0,

a ? ?e ,经检验 a ? ?e 是 f ( x) 的极小值点;
(2) f '( x) ? e ? a
x

①当 a ? 0 时, f '( x) ? 0, f ( x) 在 R 上单调递增,且当 x ? ?? 时, e ? 0, ax ? ?? ,
x

? f ( x) ? ?? ,故 f ( x) ? 0 不恒成立,所以 a ? 0 不合题意 ;?????6 分
②当 a ? 0 时, f ( x) ? e ? 0 对 x ? R 恒成立,所以 a ? 0 符合题意;
x

③当 a ? 0 时令 f '( x) ? e ? a ? 0 ,得 x ? ln( ?a) , 当 x ? (?, ?,ln(?a)) 时, f '( x) ? 0 ,
x

当 x ? (ln(?a), ??) 时, f '( x) ? 0 , 故 f ( x) 在 (??,ln(?a)) 上是单调递减, 在 (ln(?a), ??)

] i n? f ( l ? n (a ? ) )? a ? a 上 是 单 调 递 增 , 所 以 [ f ( x )m

l? na ( ?) ? 0a ,?? e a? ,0, 又

? a ? (?e,0) ,
综上: a ? (?e,0] . ???10 分

(3)当 a ? ?1时,由(2)知 [ f ( x)]min ? f (ln(?a)) ? ?a ? a ln(?a) ? 1 , 设 h( x) ? g ( x) ? f ( x) ? e ln x ? e ? x ,则 h / ( x) ? e x ln x ? e x ?
x x

1 x 1 ? e ? 1 ? e x (ln x ? ? 1) ? 1 , x x

假设存在实数 x0 ? (0, ??) ,使曲线 C : y ? g ( x) ? f ( x) 在点 x ? x0 处的切线斜率与 f ( x) 在 R 上的最小值相等, x0 即为方程的解,?????????13 分

1 1 ? 1) ? 0 ,因为 e x ? 0 , 所以 ln x ? ? 1 ? 0 . x x 1 1 1 x ?1 令 ? ( x) ? ln x ? ? 1 ,则 ? '( x) ? ? 2 ? 2 , x x x x 1 当 0 ? x ? 1 是 ? '( x) ? 0 ,当 x ? 1时 ? '( x) ? 0 ,所以 ? ( x) ? ln x ? ? 1 在 (0,1) 上单调递 x 1 减,在 (1, ??) 上单调递增,?? ( x) ? ? (1) ? 0 ,故方程 e x (ln x ? ? 1) ? 0 有唯一解为 1, x
令 h '( x) ? 1 得: e (ln x ?
x

所以存在符合条件的 x0 ,且仅有一个 x0 ? 1 .

???16 分

20. (1)由 S n ?

an (an ? 2) . 4 a (a ? 2) 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 1 ,解得 a1 ? 2 或 a1 ? 0 (舍去) . ??2 分 4 当 n ? 2 时, a (a ? 2) an ?1 (an ?1 ? 2) 由 an ? S n ? S n ?1 ? n n ? an 2 ? an ?12 ? 2(an ? an ?1 ) , ? 4 4 ∵ an ? 0 ,∴ an ? an ?1 ? 0 ,则 an ? an ?1 ? 2 ,
∴ ?an ? 是首项为 2,公差为 2 的等差数列,故 an ? 2n . ??????4 分

(2)证法一:∵

1 1 1 1 1 ? ? ? ? 3 3 2 2 an (2n) 8n ? n 8n(n ? 1) 8(n ? 1)n(n ? 1) 1 1 1 ? [ ? ](n ? 2) ,??4 分 16 (n ? 1)n n(n ? 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴当 n ? 2 时, 3 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? a1 a2 a3 an 2 4 6 (2n)3 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 3 ? [( ? )?( ? ) ??? ? ] 2 16 1? 2 2 ? 3 2 ? 3 3? 4 ( n ? 1) n n( n ? 1) 1 1 1 1 1 1 1 5 ? ? [ ? ] ? ? ? ? .? 7 分 8 16 2 n(n ? 1) 8 16 2 32 1 1 5 当 n ? 1 时,不等式左边 ? 3 ? ? 显然成立. ?????? 8 分 a1 8 32
3 2 2 3

证法二:∵ n ? 4n(n ? 1) ? n(n ? 4n ? 4) ? n(n ? 2) ? 0 ,∴ n ? 4n(n ? 1) . ∴

1 1 1 1 1 1 1 ? ? 3? ? ( ? ) (n ? 2) .??4 分 3 3 an (2n) 8n 32n(n ? 1) 32 n ? 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴当 n ? 2 时, 3 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? a1 a2 a3 an 2 4 6 (2n)3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 ? 3 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? ? (1 ? ) ? ? ? 2 32 2 2 3 n ?1 n 8 32 n 8 32 32
1 1 5 ? ? 显然成立. ??8 分 a13 8 32
? cos(n ? 1)? ? (?1) n ?1 ,
,则不等式等价于 (?1) n ?1 ? ? bn .

.??7

分 当 n ? 1 时,不等式左边 ? (3)由 an ? 2n ,得 cos 设 bn ?

? an ?1
2 1

(1 ?

1 1 1 )(1 ? ) ?? ? (1 ? ) an ? 1 a1 a2 an

an ? 1 bn ?1 2n ? 1 2n ? 2 ? ? ? 1 ? bn ? ? (2n ? 1)(2n ? 3) 1 ? ?1 ? ? an ?1 ? 1 ?1 ? 2n ? 2 ? 2n ? 3 ? ? ? an ?1 ?

?

? 1 ,??9 分 4 n 2 ? 8n ? 3 ∵ bn ? 0 ,∴ bn ?1 ? bn ,数列 ?bn ? 单调递增.

4 n 2 ? 8n ? 4

????? 10 分

假设存在这样的实数 ? ,使得不等式 (?1) n ?1 ? ? bn 对一切 n ? N* 都成立,则 ① 当 n 为奇数时,得 ? ? (bn ) min ? b1 ? ② 当 n 为偶数时,得 ?? ? (bn ) min 综上, ? ? (?

2 3 ; ??11 分 3 8 5 8 5 ,即 ? ? ? . ??12 分 ? b2 ? 15 15

8 5 2 3 , ) ,由 ? 是非零整数,知存在 ? ? ?1 满足条件.? 14 分 15 3

附加题答案
1. 解: (1) a ? ?4 (2)特征值 3 对应特征向量为 ? 2. 解:曲线 C 的普通方程是
x2 ? y2 ? 1 . 3

?1 ? ?1 ? , 特征值-1 对应特征向量为 ? ? ? ?? 2? ? 2?

直线 l 的普通方程是 x ? 3 y ? 3 ? 0 . 设点 M 的直角坐标是 ( 3 cos ? ,sin ? ) ,则点 M 到直线 l 的距离是
3 cos ? ? 3 sin ? ? 3 2

d?

π 3 2 sin(? ? ) ? 1 4 ? . 2

因为 ? 2 ? 2 sin(? ?

?
4

) ? 2 ,所以

π π π 3π 当 sin(? ? ) ? ?1 ,即 ? ? ? 2kπ ? (k ? Z),即 ? ? 2kπ ? (k ? Z)时,d 取得最大值. 4 4 2 4
6 2 . ,sin ? ? ? 2 2 7π 综上,点 M 的极坐标为 ( 2, ) 时,该点到直线 l 的距离最大. 6

此时 3 cos ? ? ?



凡给出点 M 的直角坐标为 (?

6 2 ,? ) ,不扣分. 2 2

3.

π (1)因为直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,BB1⊥面 ABC,∠ABC= . 2

以 B 点为原点,BA、BC、BB1 分别为 x、y、z 轴建立如图所示空间直角坐标系, 因为 z AC=2, ∠ABC=90?,所以 AB=BC= 2, 从而 B(0,0,0),A ( 2,0,0),C(0, 2,0),

B1 D E F B A

C1

B1(0,0,3),A1( 2,0,3),C1(0, 2,3), D(
2 2 2 3 , ,3),E(0, , ). 2 2 2 2

A1

2 3 所以→ CA1=( 2,- 2,3),→ BE =(0, , ). 2 2 11 7 → 而|→ CA1|= 13,|→ BE |= ,且→ CA1· BE = , 2 2 → → CA · BE
1

C y

7 143 7 143 所以 cosθ = = = ;所以直线 BE 与 A1C 所成的角的余弦为 . 143 143 11 |→ CA1||→ BE | 13× 2 (2)设 AF=x,则 F( 2,0,x), 2 2 → CF =( 2,- 2,x),→ B1F =( 2,0,x-3),→ B1D=( , ,0), 2 2 2 2 → → CF · B1D= 2× +(- 2)× +x×0=0,所以→ CF ⊥→ B1D 2 2 → → CF · B1F =2+x(x-3)=0, 有 x=1 或 x=2,故当 AF=1,或 AF=2 时,CF⊥平面 B1DF. 4. 解:(1)随机变量 X 的概率分布如下表: X P 0
0 5 C6 C5 5 C11

7 2

x

,要使得 CF⊥平面 B1DF,只需 CF⊥B1F,由

1
1 4 C6 C5 5 C11

2
3 C62 C5 5 C11

3
3 2 C6 C5 5 C11

4
1 C64 C5 5 C11

5
5 0 C6 C5 5 C11

-------3 分
0 5 1 4 3 3 2 1 5 0 C6 C5 C6 C5 C62 C5 C6 C5 C64 C5 C6 C E(X)=0× 5 +1× 5 +2× 5 +3× 5 +4× 5 +5× 5 5 C11 C11 C11 C11 C11 C11

=

630 ≈2.73 231

-----------------------5 分

3 1 2 ? C4 (2)①上场队员有 3 名主力,方案有:( C6 ) ( C52 ? C2 )=144(种)

4 2 1 ? C4 ②上场队员有 4 名主力,方案有:( C6 ) C5 =45(种)

5 3 4 1 ③上场队员有 5 名主力,方案有:( C6 ) C50 = C4 ? C4 C2 =2(种)

-------------8 分

教练员组队方案共有 144+45+2=191 种.

-----------10 分


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