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数学竞赛-几何变换


几何变换
【竞赛知识点拨】 一、 平移变换

1.

定义 设

是一条给定的有向线段,T 是平面上的一个变换,它把平面图形 F = ,则 T 叫做沿有向线段 的平移变换。记为

上任一点 X 变到 X‘,使得 X X’,图形 F

F‘ 。

2.

主要性质 在平移变换下,对应线段平行且相等,直线变为直线,三角形变为 三角形,圆变为圆。两对应点连线段与给定的有向线段平行(共线)且相等。 二、 轴对称变换 1. 定义 设 l 是一条给定的直线,S 是平面上的一个变换,它把平面图形 F 上任 一点 X 变到 X’,使得 X 与 X‘关于直线 l 对称,则 S 叫做以 l 为对称轴的轴对称变 换。记为 X X’,图形 F F‘ 。

2. 主要性质 在轴对称变换下,对应线段相等,对应直线(段)或者平行,或者 交于对称轴,且这两条直线的夹角被对称轴平分。 三、 旋转变换 1. 定义 设 α 是一个定角,O 是一个定点,R 是平面上的一个变换,它把点 O 仍变到 O(不动点),而把平面图形 F 上任一点 X 变到 X’,使得 OX‘=OX,且 ∠XOX’=α,则 R 叫做绕中心 O,旋转角为 α 的旋转变换。记为 X 图形 F F’ 。 X‘,

其中 α<0 时,表示∠XOX‘的始边 OX 到终边 OX’的旋转方向为顺时针方向;α>0 时,为逆时针方向。 2. 主要性质 在旋转变换下,对应线段相等,对应直线的夹角等于旋转角。 四、 位似变换

1.

定义 设 O 是一个定点,H 是平面上的一个变换,它把平面图形 F 上任一点 X 变到 X‘,使得 =k· ,则 H 叫

做以 O 为位似中心,k 为位似比的位似 变换。记为 X F F‘ 。 X’,图形

其中 k>0 时,X’在射线 OX 上,此时的位似变换叫做外位似;k<0 时, X‘在射线 OX 的反向延长线上,此时的位似变换叫做内位似。 2. 主要性质 在位似变换下,一对位似对应点与位似中心共线;一条线上的点变 到一条线上,且保持顺序,即共线点变为共线点,共点线变为共点线;对应线段的 比等于位似比的绝对值,对应图形面积的比等于位似比的平方;不经过位似中心的 对应线段平行,即一直线变为与它平行的直线;任何两条直线的平行、相交位置关 系保持不变;圆变为圆,且两圆心为对应点;两对应圆相切时切点为位似中心。 【竞赛例题剖析】 【例 1】P 是平行四边形 ABCD 内一点,且∠PAB=∠PCB。 求证:∠PBA=∠PDA。

【分析】作变换△ABP

△DCP’,

则△ABP≌△DCP‘,∠1=∠5,∠3=∠6。由 PP’ AD BC,ADPP‘、PP’CB 都是平 行四边形,知∠2=∠8,∠4=∠7。由已知∠1=∠2,得∠5=∠8。 ∴P、D、P‘、C 四点共圆。故∠6=∠7,即∠3=∠4。 【例 2】“风平三角形”中,AA’=BB‘=CC’=2,∠AOB‘=∠BOC’=60°。

求证:S△AOB‘+S△BOC’+S
△COA‘

<



【分析】作变换△A’OC

△AQR‘,△BOC’

△B‘PR’‘,则 R’、

R‘’重合,记为 R。P、R、Q 共线,O、A、Q 共线,O、B‘、P 共线,△OPQ 为等边 三角形。 ∴S△AOB’+S△BOC‘+S△COA’<S△OPQ=

【例 3】 对角线长度以及夹角一定的所有凸四边形中,试求周长最小的四边形。

在两条

【分析】取 AC、BD 的中点 E、F,令 AC 件的平行四边形。延长 AF、CC‘交于 G。

A‘C’,则 A‘BC’D 是一个符合条

∵E 是 AC 的中点且 EF∥CC’,FC‘∥EC,∴F、C’分别为 AG、CG 的中点。 ∴AD+BC=BG+BC≥2BC‘=A’D+BC‘。 同理可得 AB+DC≥A’B+DC‘。 故当四边形为平行四边形时,周长最小。

【评注】当已知条件分散,尤其是相等的条件分散,而又不容易找出证明途径,或 题目中有平行条件时,将图形的某一部分施行平移变换,常常十分凑效。

【例 4】 P 是⊙O 的弦 AB 的中点,过 P 点引⊙O 的两弦 CD、EF,连结 DE 交 AB 于 M,连结 CF 交 AB 于 N。求证: MP=NP。(蝴蝶定理) 【分析】 设 GH 为过 P 的直径, F ∵PF PF‘,PA F’F, 显然‘∈⊙O。 又 P∈GH, ∴PF’=PF。 PB,∴∠FPN=∠F’PM,PF=PF‘。

又 FF’⊥GH,AN⊥GH,∴FF‘∥AB。∴∠F’PM+∠MDF‘=∠FPN+∠EDF’ =∠EFF‘+∠EDF’=180°,∴P、M、D、F‘四点共圆。∴∠PF’M=∠PDE=∠PFN。 ∴△PFN≌△PF‘M,PN=PM。 【评注】一般结论为:已知半径为 R 的⊙O 内一弦 AB 上的一点 P,过 P 作两条相交 弦 CD、EF,连 CF、ED 交 AB 于 M、N,已知 OP=r,P 到 AB 中点的距离为 a,则

。(解析法证明:利用二次曲线系知识) 【例 5】⊙O 是给定锐角∠ACB 内一个定圆,试在⊙O 及射线 CA、CB 上各求一点 P、 Q、R,使得△PQR 的周长为最小。

【分析】在圆 O 上任取一点 P0,令 P0

P1,P0

P2, 连结 P1P2 分别交 CA、

CB 于 Q1、R1。显然△P0Q1R1 是在取定 P0 的情况下周长最小的三角形。 设 P0P1 交 CA 于 E,P0P2 交 CB 于 F,则 P0Q1 +Q1R1 +R1P0= P1P2=2EF。 ∵E、C、F、P0 四点共圆,CP0 是该圆直径,由正弦定理,EF=CP0sin∠ECF。 ∴当 CP0 取最小值时,EF 为最小,从而△P0Q1R1 的周长为最小,于是有作法: 连结 OC,交圆周于 P,令 P R。则 P、Q、R 为所求。 P1,P P2,连结 P1P2 分别交 CA、CB 于 Q、

【例 6】 △ABC 中,∠A≥90°,AD⊥BC 于 D,△PQR 是它的任一内接三角形。求证: PQ+QR+RP>2AD。 【分析】设 P AP=AP’=AP‘’。 ∴PQ+QR+RP= P‘’Q+QR+RP‘。 P’,P P‘’。则 RP=RP‘,PQ=P’‘Q,

又∠A≥90°,∴∠P’AP+∠P‘’AP=2∠A≥180°,A 点在线段 P‘P’‘上或在凸 四边形 P’RQP‘’的内部。∴P‘’Q+QR+RP‘>AP’+AP‘’=2AP>2AD。 ∴PQ+QR+RP>2AD。 【评注】如果题设中有角平分线、垂线,或图形是等腰三角形、圆等轴对称图形, 可以将图形或其部分进行轴对称变换。此外,也可以适当选择对称轴将一些线段的 位置变更,以便于比较它们之间的大小。

【例 7】 以△ABC 的边 AB、AC 为斜边分别向外作等腰直角三角形 APB、 AQC, M 是 BC 的中点。 求证: MP=MQ, MP⊥MQ。 【分析】延长 BP 到 E,使 PE=BP,延长 CQ 到 F, 使 QF=CQ,则△BAE、△CAF 都是 等腰三角形。

显然:E

B,C

F,∴EC=BF,EC⊥BF。

而 PM

EC,MQ

BF,∴MP=MQ,MP⊥MQ。

【例 8】 已知 O 是 △ABC 内一点,∠AOB=∠BOC=∠COA=120°;P 是△ABC 内任一点,求证: PA+PB+PC≥OA+OB+OC。(O 为费马点)

【分析】 将C

C‘, O

O’, P

P‘, 连结 OO’、 PP‘。

则△B OO’、△B PP‘都是正三角形。 ∴OO’=OB,PP‘ =PB。显然△BO’C‘≌△BOC,△BP’C‘≌△BPC。

由于∠BO’C‘=∠BOC=120°=180°-∠BO’O,∴A、O、O‘、C’四点共线。 ∴AP+PP‘+P’C‘≥AC’=AO+OO‘+O’C‘,即 PA+PB+PC≥OA+OB+OC。 【例 9】⊙O 与△ABC 的三边 BC、CA、AB 分别交于点 A1、A2、B1、B2、C1、C2, 过上述六点分别作所在边的垂线 a1、a2、b1、b2、,设 a1、b2、c1 三线相交于一点 D。 求证:a2、b1、c2 三线也相交于一点。 【分析】∵a1、a2 关于圆心 O 成中心对称, ∴a1 a2。

同理,b1

b2,c1

c2。

∴a1、b2、c1 的公共点 D 在变换 R(O,180°)下的像 D’也是像 a2、b1、c2 的公共点, 即 a2、b1、c2 三线也相交于一点。 【例 10】AD 是△ABC 的外接圆 O 的直径,过 D 作⊙O 的切线交 BC 于 P,连结并延长 PO 分别交 AB、AC 于 M、N。求证:OM=ON。

【分析】设 O

O‘,N

N’,而 M

B,

∵M、O、N 三点共线,∴B、O‘、N’三点共线,且 取 BC 中点 G,连结 OG、O‘G、DG、DB。



∵∠OGP=∠ODP=90°,∴P、D、G、O 四点共圆。 ∴∠ODG=∠OPG,而由 MN∥BN’有∠OPG=∠O‘BG, ∴∠ODG=∠O’BG,∴O‘、B、D、G 四点共圆。 ∴∠O’GB=∠O‘DB。而∠O’DB=∠ACB,∴∠O‘GB=∠ACB,O’G∥AC, 而 G 是 BC 的中点,∴O‘是 BN’的中点,O‘B= O’ N‘, ∴OM=ON。


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