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福建省晋江市永和中学高中数学 直线的倾斜角与斜率课件 新人教A版必修2


§3.1.1 直线的倾斜角和斜率

(1)对于平面直角坐标系内的一条直线,它的位置由哪些条件确定 呢? (2)一点能确定一条直线的位置吗?已知直线 l 经过点P,直线 l 的位置能够确定吗?

y l

O

P

x

直线的倾斜角
当直线 l

与x轴相交时,我们取x轴作为基准, 向上 方向之间所成的角α 叫 正向 与直线 l ______ x轴______ 做直线 l 的倾斜角(angle of inclination) .

当直线l与x轴平行或重 合时倾斜角是多少呢?
? 0 规定它的倾斜角为

y

l
?

O

x

直线的倾斜角? 的取值范围为:

0 ? ? ? 180?.
?

尝试练习1:
下列图中标出的直线的倾斜角对不对?如果不对,违 背了定义中的哪一条?

y

y

y

y

o

?

x

o

?

x

?

o

x

?
o
(D)

x

(A)

(B)

(C)

问题.日常生活中,还有没有表示倾斜程度的量? 升高量 坡度(比) ? 前进量

升 高 量

?

前进量

直线的斜率
一条直线的倾斜角 ? 的正切值叫做这 条直线的斜率(slope).
通常用小写字母k表示,即

k ? tan?

(? ? 90? )

倾斜角是90? 的直线的斜率不存在.

正切函数的图像
y
1

-? - ?
2 4

o
-1

? 2

?

3? 2

x

已知直线上两点的坐标,如何计算 直线的斜率? 给定两点P1 ( x1 ,y1), P2 ( x2 ,y2), 并且x1 ≠x2,如何计算 直线P1 P2的斜率k.

y
.

P2 ( x2,y2)

.

?

P1 ( x1,y1 ) Q ( x2,y1 )

?

O

x

当 ? 为锐角时,? ? ?QP 1P 2 , x1 ? x2 , y1 ? y2 . 在直角 ?P1 P2Q 中

| QP2 | y2 ? y1 tan? ? tan ?QP1 P2 ? ? | P1Q | x2 ? x1

两点的斜率公式

y

.

P2 ( x2,y2 )

Q ( x 2, y 1 )

? .P1 ( x1,y1 )

?

O
? ? ? 180 ? ?QP1 P2 , x1 ? x2 , ? 当 为钝角时,

x

y1 ? y2 .

tan ? ? tan(180? ? ? ) ? ? tan?

在直角 ?P1 P2Q 中

| QP2 | y2 ? y1 y2 ? y1 tan? ? ? ?? | P1Q | x1 ? x2 x2 ? x1

y2 ? y1 tan? ? . x2 ? x1

y
.
?

.
?
P2 ( x2,y2)

P1( x1,y1 )

y
Q ( x1,y2 )

P1 ( x1,y1 )

Q ( x 1, y 2 )

?

P2 ( x2,y2)

?

O

x

O

x

经过两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 )(x1 ? x2 ) 的直线的 斜率公式为: y2 ? y1 k? . x2 ? x1

(1) 当直线 P2 P1 与 成立吗?为什么?

x轴平行或重合时,上述式子还
成立

(2)当直线平行于y 轴,或与y 轴重合时,上述式子还 适用吗?为什么? 不适用 y P2 ( x ,y )
.
2 2

. P1 ( x ,y
1

1



o

x

例1 如图 ,已知 A( 3,2), B( ?4,1), C (0,?1) ,求 直线AB,BC,CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角 是锐角还是钝角.

解:直线AB的斜率 1? 2 1 k AB ? ? ; ?4?3 7 直线BC的斜率 ?1?1 ? 2 1 k BC ? ? ?? ; 0 ? ( ?4 ) 4 2 ?1? 2 ? 3 ? ? 1; 直线CA的斜率 kCA ? 0?3 ?3 由 k AB ? 0 及 kCA ? 0 知,直线AB 与CA的倾斜角均 为锐角;由 kBC ? 0 知,直线BC的倾斜角为钝角.

例2、已知( A 3,3),B(-4,2),C(0,-2), (1)求直线AB和AC的斜率 (2)若点D在线段BC上(包括端点)移动时,求直线AD的 斜率变化范围

例 在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分 l1 , l2 , 及 l3 . l4 别为1,-1,2及-3的直线 l y l A 解:取 l1上某一点为 1 的 A 坐标是 ( x1 , y1 ),根据斜率公式 A 有: y1 ? 0 x 1? , A x1 ? 0 l
3
3 1 1 2

4

即 x1 ? y1 .

A4

l2

设 x1 ? 1 ,则 y1 ? 1 ,于是 A1的坐标是 (1,1) .过 原点及 A1 (1,1) 的直线即为 l1 . l 2是过原点及 A2 ( x2 , y2 ) 的直线,l 3 是过原点及 A3 ( x3 , y3 )的直线, l 4 是过原点及 A4 ( x4 , y4 ) 的直线.

例 已知三点A(1,-1),B(3,3), C(4,5),求证三点在同一条直线上.


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