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解析版2015海淀一模数学理


海淀区高三年级第二学期期中练习



学(理)

2015.4

本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要 求的一项。 (1)设集合 A ? {x ? R | x ? 1} , B ? {x ? R | x2≤4} ,则 A (A) [?2, ??) 答案:A 解析:画数轴观察: A ? ?1, ??? , B ? ? ?2, 2? , A (B) (1, ??) (C) (1, 2]

B?(

) (D) (??, ??)

B ? [?2, ??)

(2)抛物线 x 2 =4 y 上的点到其焦点的最短距离为( (A)4 答案:C (B)2

) (D)

(C)1

1 2

解析:做出抛物线图像, 短距离为 1 (3)已知向量 a 与向量 b 的夹角为 60 ? , | a |?| b |? 1 ,则 a ? b ? (

易知在原点处取得最



第 1 页 共 17 页

(A) 3 答案:D

(B) 3

(C) 2 ? 3

(D)1

解析:根据三角形法则,做出示意图:

易知向量 a, b, a ? b 组成

等边三角形,故

a ?b ?

1 )

(4) “ sin ? ? 0 ”是“角 ? 是第一象限的角”的( (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 答案:B

(B)必要而不充分条件

(D)既不充分也不必要条件

解析:根据三角函数的定义,第一象限的角的正弦值符号为正;但正弦值为正的角未必是第 一象限的角,如

? ,故选 B 2
( ? 为参数)被直线 y ? 0 截得的劣弧长为( )

(5)圆 ?

? ? x ? ?1 ? 2 cos ?, ? ? y ? 1 ? 2 sin ?

(A)

2π 2

(B) π

(C) 2 2π

(D) 4 π

答案:A

解析:圆的直角方程为 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ?
2 2

2

2

如图所示

故此圆被直线 y ? 0 截得的劣弧圆心角为直角,弧长为

2π 2

第 2 页 共 17 页

? x ? y ? 0, ? (6)若 x, y 满足 ? x ? 1, 则下列不等式恒成立的是( ? x ? y ? 0, ?
(A) y ? 1 (C) x ? 2 y ? 2 ? 0 答案: (B) x ? 2



(D) 2 x ? y ? 1 ? 0

解析:易知点 ?1, ? 满足不等式组,可排除 A、B 选项;点 ? 5, ?5? 也满足不等式组,可排 除 C 选项;故选 D (7)某三棱锥的正视图如图所示,则这个三 棱锥的俯视图不可能 是( ... )

? 1? ? 2?

正视图

(A)

(B) (C) (D)

答案:C

解析:选项 A 的直观图:

选项 B 的直观图:

第 3 页 共 17 页

选 项

D

的 直 观 图 :
y

(8)某地区在六年内第 x 年的生产总值 y (单 位:亿元)与 x 之间的关系如图所示,则下列 四个时段中,生产总值的年平均增长率 最高的 ...... 是( )

O

1

2

3

4

5

6

x

(A)第一年到第三年 (C)第三年到第五年 答案:A

(B)第二年到第四年 (D)第四年到第六年

解析: 假设生产总值 A, 经 n 年后生产总值为 B, 则其年平均增长率 P 计算公式为 A ?1 ? P ? ? B
n

即P? 故选 A

n

B / A ? 1又因为

B B? A B B? A ? 1? 故观察选项可知第一到第三年的 ? 1 ? 最大, A A A A

第 4 页 共 17 页

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)已知 答案: 解析: a ?

ai ? ?1 ? i ,其中 i 是虚数单位,那么实数 a =2 1? i 1? i ? ? ?1 ? i ? ? 2 i
开始

.

i = 1, S = 0

S = S + lg i i=i+1 否

S ?1
是 输出 i

(10)执行如图所示的程序框图,输出的 i 值为 4______. 答案:

结束

步骤 开始 第1步 第2步 第3步 解析:此程序框图计算过程如下表所示 第4步

i 1 2 3 4

S 0 0 lg2 lg6 lg24

(11)已知 m, 4, n 是等差数列,那么 ( 2)m ? ( 2)n =16; mn 的最大值为 16. 答案:
m n 解析:由题可知 m ? n ? 8 ∴ ( 2) ? ( 2) ?

2

m? n

? m?n? ? 16 , mn ? ? ? ? 16 ? 2 ?
.

2

(12)在 ?ABC 中,若 a ? 答案:

2, c ? 3, ?A ?

π ,则 ? B 的大小为 4

π 5π 或 12 12

解析:由正弦定理, a sin C ? c sin A ? sin C ?

? 5? 2? ? 3 ;C ? ,A? 有C ? , A ? 3 12 3 12 2

(13)社区主任要为小红等 4 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照,要求排成一排,小红必 须与 2 位老人都相邻,且两位老人不排在两端,则不同的排法种数是 24 (用数字作答)
第 5 页 共 17 页

答案:
3 1 2 解析:利用捆绑法、插空法,排列方法有: A3 ? C2 ? A2 ? 24
3 ? ? x , x ? a, (14)设 f ( x ) ? ? 2 若存在实数 b ,使得函数 g ( x) ? f ( x) ? b 有两个零点,则 a 的取 ? ? x , x ? a.

值范围是 答案: (??,0)

.

(1, ??)

解析:函数 g ( x) ? f ( x) ? b 有两个零点,等价于函数 y ? b, y ? f ? x ? 图象有两个交点,做 出

y ? x2



y ? x3







观察可知 a 的取值范围是 (??,0)

(1, ??)

三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 (15) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin ( x ? ) .
2

π 4

(Ⅰ )求 f ( x ) 的最小正周期及其图象的对称轴方程; (Ⅱ )求 f (

π ? x ) 的单调递减区间. 3
第 6 页 共 17 页

2π π 7π ?π [kπ ? , kπ ? ](k ? Z) k π π 2 12 12 ? (k ? Z) (Ⅱ 答案: (Ⅰ ) ,x? ) 2 4 ? 1 ? cos 2( x ? ) 4 解析: (Ⅰ )因为 f ( x) ? ??????2 2 T?


?
所以 T ? 分 令 2 x ? kπ ?

1 ? sin 2 x . 2
?????? 4

2π ?π. 2

π kπ π (k ? Z) ,得: x ? ? ( k ? Z) . 2 2 4
kπ π ? ( k ? Z) . 2 4

??????6 分

所以 f ( x ) 的最小正周期为 π ,对称轴的方程为 x ?

? sin 2( ? x) ? 1 ? 3 (Ⅱ ) f ( ? x) ? 3 2 1 2π 1 ? ? sin(2 x ? ) ? . 2 3 2 π 2π π ? 2kπ ? (k ? Z) , 令 2kπ ? ? 2 x ? 2 3 2 π 7π ? x ? kπ ? (k ? Z) . 得: kπ ? 12 12 π π 7π ](k ? Z) . 所以 f ( ? x ) 的单调递减区间为 [kπ ? , kπ ? 3 12 12

??????9 分

??????13 分

(16) (本小题满分 13 分) 某超市从 2014 年甲、乙两种酸奶的日销售量(单位:箱)的数据中分别随机抽取 100 个,并按[ 0,10],(10,20],(20,30],(30,40],(40,50]分组,得到频率分布直方 图如下:

假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立. (Ⅰ)写出频率分布直方图(甲)中的 a 的值;记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量(单位:箱)
第 7 页 共 17 页

2 2 2 2 的方差分别为 s1 , s2 ,试比较 s1 与 s2 的大小;(只需写出结论)

(Ⅱ)估计在未来的某一天里,甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于 20 箱且另一个不高于 20 箱的概率; (Ⅲ)设 X 表示在未来 3 天内甲种酸奶的日销售量不高于 20 箱的天数,以日销售量落入各 组的频率作为概率,求 X 的数学期望. 答 案 : ( Ⅰ )

a ? 0.015



2 s12 ? s2







0.42







0? . 3 0 . 9 解析:(Ⅰ) a ? 0.015 ;

2 . s12 ? s2

EX ? 3 ?

??????2 ??????4

分 (Ⅱ)设事件 A :在未来的某一天里,甲种酸奶的销售量不高于 20 箱; 事件 B :在未来的某一天里,乙种酸奶的销售量不高于 20 箱; 事件 C :在未来的某一天里,甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于 20 箱且另一个 不高于 20 箱. 则

P( A) ? 0.20 ? 0.10 ? 0.3 , P( B) ? 0.10 ? 0.20 ? 0.3 .
所以 P(C) ? P( A) P( B) ? P( A) P( B) ? 0.42 . 分 (Ⅲ)由题意可知, X 的可能取值为 0,1,2,3.
0 P( X ? 0) ? C3 ? 0.30 ? 0.73 ? 0.343 , 1 1 2 P( X ? 1)? C ? 3 ? 0 . 3? 0 . 7

??????6 分 ?????? 8

??????9 分

0, .441

2 P( X ? 2) ? C3 ? 0.32 ? 0.71 ? 0.189 , 3 P( X ? 3) ? C3 ? 0.33 ? 0.70 ? 0.027 .

所以 X 的分布列为

??????11 分 所以 X 的数学期望 EX ? 0 ? 0.343 ? 1? 0.441 ? 2 ? 0.189 ? 3 ? 0.027 ? 0.9 . ? ? ? ? ? ? 13 分
第 8 页 共 17 页

另解:由题意可知 X ~ B(3,0.3) . 所以 X 的数学期望 EX ? 3 ? 0.3 ? 0.9 . 分 ??????13

(17) (本小题满分 14 分) 如图 1,在直角梯形 ABCD 中, AD

BC , AD ? DC , BC ? 2 AD ? 2 DC ,四边

形 ABEF 是 正 方 形 . 将 正 方 形 ABEF 沿 AB 折 起 到 四 边 形 ABE1F 1 的位置,使平面

ABE1F1 ? 平面 ABCD , M 为 AF1 的中点,如图 2.
(Ⅰ)求证: BE1 ? DC ; (Ⅱ)求 BM 与平面 CE1M 所成角的正弦值; (Ⅲ)判断直线 DM 与 CE1 的位置关系,并说明理由.
C B F1 E1

D

A

E C D A

M B

图1

F

图2

答案: (Ⅰ )略(Ⅱ )

2 30 (Ⅲ) DM / / CE1 . 15

解析: (Ⅰ)证明:因为 四边形 ABE1 F 1 为正方形, 所以 BE1 ? AB .

BE1 ? 平 因为 平面 ABCD ? 平面 ABE 1F 1 ,平面 ABCD ? 平面 ABE 1F 1 ? AB ,
面 ABE1F 1, 所以 BE1 ? 平面 ABCD . 因为 DC ? 平面 ABCD , 所以 BE1 ? DC . ??????4 分 ??????2 分

第 9 页 共 17 页

z E1 F1

C x D A

M B

(Ⅱ)解:如图,

y

以点 B 为坐标原点,分别以 BC, BE1 所在

的直线为 x , z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 B ? xyz . 设 AD ? 1 ,则 B(0, 0, 0), C (2, 0, 0), E1 (0, 0, 2), M (1,1,

2 ). 2
??????6 分

所以 BM ? (1,1,

2 2 ). ) , CE1 ? (?2, 0, 2) , E1 M ? (1,1, ? 2 2

设平面 CE1 M 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) .

??2 x ? 2 z ? 0, ? ? ?n ? CE1 ? 0, 由? 得? 2 z ? 0. ? ?n ? E1 M ? 0, ? x ? y ? ? 2
令 x ? 1 ,得 z ? 2, y ?0 ,所以 n ? (1, 0, 2) . 设 BM 与平面 CE1 M 所成角为 ? , ??????8 分

则 sin ? ? cos ? BM , n ? ?

BM ? n BM n

?

1? 0 ?1 5 ? 3 2
2 30 . 15

?

2 30 . 15

所以 BM 与平面 CE1 M 所成角的正弦值为

??????10 分

(Ⅲ)解:直线 DM 与直线 CE1 平行. 理由如下: 由题意得, D(2,1, 0), DM ? (?1, 0, 所以 CE1 ? 2DM .
第 10 页 共 17 页

??????11 分

2 ), CE1 ? (?2, 0, 2) . 2

所以 CE1 / / DM . 分 因为 DM , CE1 不重合, 所以 DM / / CE1 . 另解:直线 DM 与直线 CE1 平行. 理由如下: 取

??????13

??????14 分

BC

的 中 点

P



CE1 的 中 点 Q , 连 接
E1

AP



PQ ,

F1 Q M P B

C D A

QM .

所以 PQ / / BE1 且 PQ ?

1 BE1 . 2

因为 M 为 AF1 的中点,四边形 ABE1 F 1 是正方形, 所以 AM / / BE1 且 AM ?

1 BE1 . 2

所以 PQ / / AM 且 PQ ? AM . 所以 APQM 为平行四边形. 所以 MQ / / AP 且 MQ ? AP . 因为 四边形 ABCD 为梯形, BC ? 2 AD , 所以 AD / / PC 且 AD ? PC . 所以 四边形 APCD 为平行四边形. 所以 CD / / AP 且 CD ? AP . 所以 CD / / MQ 且 CD ? MQ .

第 11 页 共 17 页

所以 CDMQ 是平行四边形. 所以 DM / / CQ ,即 DM / / CE1 . 分 ?????? 14

(18) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ?

1 (a ? 0) . x

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 {x f ( x) ? 0} ? [b, c] (其中 b ? c ) ,求 a 的取值范围,并说明 [b, c] ? (0,1) . 答案: (Ⅰ )当 a ? 0 时单调递减区间是 (0, ??) ,当 a ? 0 时 f ( x ) 的单调递减区间是 (0, ) , 单调递增区间是 ( , ??) .(Ⅱ ) a 的取值范围是 (e, +?) . 解析: (Ⅰ) f '( x ) ? 分 (ⅰ)当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 ,则函数 f ( x ) 的单调递减区间是 (0, ??) . ??????3 分 (ⅱ)当 a ? 0 时,令 f '( x) ? 0 ,得 x ?

1 a

1 a

a 1 ax ? 1 ? ? 2 ( x ? 0) . x x2 x

??????2

1 . a

当 x 变化时, f '( x) , f ( x ) 的变化情况如下表

所以 f ( x ) 的单调递减区间是 (0, ) ,单 调递增区间是 ( , ??) . ??????5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知: 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在区间 (0, ??) 内是减函数,所以,函数 f ( x ) 至多存在一个 零点, 不符合题意.
第 12 页 共 17 页

1 a

1 a

??????6 分

当 a ? 0 时,因为 f ( x ) 在 (0, ) 内是减函数,在 ( , ??) 内是增函数,所以 要使

1 a

1 a

1 1 {x f ( x) ? 0} ? [b, c] ,必须 f ( ) ? 0 ,即 a ln ? a ? 0 . a a 所以 a ? e . ??????7 分 1 1 2 2 当 a ? e 时, f ( 2 ) ? a ln( 2 ) ? a ? ?2a ln a ? a ? a ? (a ? 2 ln a) . a a 2 x?2 ( x ? e) . 令 g ( x) ? x ? 2ln x( x ? e) ,则 g '( x) ? 1 ? ? x x
当 x ? e 时, g '( x) ? 0 ,所以, g ( x) 在 [e, ??) 上是增函数. 所以 当 a ? e 时, g (a) ? a ? 2ln a ? g (e) ? e ? 2 ? 0 .

1 ) ?0. ??????9 分 a2 1 1 1 因为 2 ? ? 1 , f ( ) ? 0 , f (1) ? 1 ? 0 , a a a 1 1 1 所以 f ( x ) 在 ( 2 , ) 内存在一个零点,不妨记为 b ,在 ( ,1) 内存在一个零点, a a a
所以 f ( 不妨记为 c . 分 因为 f ( x ) 在 (0, ) 内是减函数,在 ( , ??) 内是增函数, 所以 {x f ( x) ? 0} ? [b, c] . 综上所述, a 的取值范围是 (e, +?) . 分 因为 b ? ( ?????? 12 ??????11

1 a

1 a

1 1 1 , ) , c ? ( ,1) , 2 a a a
??????13 分

所以 [b, c] ? (0,1) .

(19) (本小题满分 13 分) 已知椭圆 M :

x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 (0, ?1) ,且离心率 e ? . 2 a b 3

(Ⅰ)求椭圆 M 的方程; (Ⅱ)是否存在菱形 ABCD ,同时满足下列三个条件: ①点 A 在直线 y ? 2 上; ②点 B , C , D 在椭圆 M 上;
第 13 页 共 17 页

③直线 BD 的斜率等于 1 . 如果存在,求出 A 点坐标;如果不存在,说明理由. 答案: (Ⅰ )

x2 )不存在 ? y 2 ? 1(Ⅱ 3

?b ? 1, ? 6 ?c , 解析: (Ⅰ)由题意得: ? ? 3 ?a ?a 2 ? b 2 ? c 2 . ?


??????3

? a 2 ? 3, ? 解得: ? 2 ? ?b ? 1.
所以 椭圆 M 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3

??????4 分 ??????5

(Ⅱ)不存在满足题意的菱形 ABCD ,理由如下: 分 假设存在满足题意的菱形 ABCD .

设直线 BD 的方程为 y ? x ? m , B( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) ,线段 BD 的中点 Q( x0 , y0 ) , 点 A(t , 2) . 分 由? ??????6

? x 2 ? 3 y 2 ? 3, ?y ? x ? m
2

得 4 y 2 ? 2my ? m2 ? 3 ? 0 .

??????8 分

2 由 ? ? ? 2m ? ? 16 m ? 3 ? 0 ,解得 ?2 ? m ? 2 .

?

?

??????9



m , 2 y ? y2 m ? . 所以 y0 ? 1 2 4
因为 y1 ? y2 ? 因为 四边形 ABCD 为菱形, 所以 Q 是 AC 的中点. 所以 C 点的纵坐标 yC ? 2 y0 ? 2 ? 因为 点 C 在椭圆 M 上,
第 14 页 共 17 页

??????11 分

m ? 2 ? ?1 . 2

??????12 分

所以 yC ? ?1 .这与 yC ? ?1 矛盾. 分 所以 不存在满足题意的菱形 ABCD .

??????13

(20) (本小题满分 14 分) 有限数列 An : a1 , a2 , ???, an .(n ? 3) 同时满足下列两个条件: ① 对于任意的 i , j ( 1 ? i ? j ? n ) , ai ? a j ; ② 对于任意的 i, j , k ( 1 ? i ? j ? k ? n ) , ai a j , a j ak , ai ak 三个数中至少有一个数是 数列 An 中的项. (Ⅰ)若 n ? 4 ,且 a1 ? 1 , a2 ? 2 , a3 ? a , a4 ? 6 ,求 a 的值; (Ⅱ)证明: 2,3,5 不可能是数列 An 中的项; (Ⅲ)求 n 的最大值. 答案: (Ⅰ )3(Ⅱ )略(Ⅲ)9 解析: (Ⅰ)由①,得 2 ? a ? 6 . 由②,当 i ? 2 , j ? 3 , k ? 4 时. 2 a , 6 a , 12 中至少有一个是数列 1 , 2 , a , 6 中的项,但 6a ? 6 , 12 ? 6 ,故 2a ? 6 ,解得 a ? 3 . 经检验,当 a ? 3 时,符合题意. 分 (Ⅱ)假设 2,3,5 是数列 An 中的项,由②可知:6,10,15 中至少有一个是数列 An 中的 项,则有限数列 An 的最后一项 an ? 5 ,且 n ? 4 . 由①, an ? an?1 ? an?2 ? an?3 ? 1. 分 对于数 an?2 , an?1 , an ,由②可知: an?2 an?1 ? an ;对于数 an?3 , an?1 , an ,由②可知: ??????4 ??????3

an?3an?1 ? an .

第 15 页 共 17 页

??????6

所以 an?2 ? an?3 ,这与①矛盾. 所以 2,3,5 不可能是数列 An 中的项. 分 (Ⅲ) n 的最大值为 9 ,证明如下: 分 ( 1)令 A9 : ?4, ? 2, ? 1, ? 分 (2)设 An : a1 , a2 , ???, an (n ? 3) 符合①、②,则: (ⅰ) An 中至多有三项,其绝对值大于 1. 假设 An 中至少有四项,其绝对值大于 1,不妨设 ai , a j , ak , al 是 An 中绝 对值最大的四项,其中 1 ?| ai |?| a j |?| ak |?| al | . 则对 ai , ak , al 有 | ai al | ?| al | , | ak al | ?| al | ,故 ai al , ak al 均不是数列 An 中的项, 即 ai ak 是数列 An 中的项. 同理: a j ak 也是数列 An 中的项. 但 | ai ak | ? | ak | , | a j ak | ? | ak | . 所以 ai ak ? a j ak ? al . 所以 ai ? a j ,这与①矛盾. (ⅱ) An 中至多有三项,其绝对值大于 0 且小于 1. 假设 An 中至少有四项,其绝对值大于 0 且小于 1,类似(ⅰ)得出矛盾. (ⅲ) An 中至多有两项绝对值等于 1. (ⅳ) An 中至多有一项等于 0. 综合(ⅰ) , (ⅱ) , (ⅲ) , (ⅳ)可知 An 中至多有 9 项. ? ? ? ? ? ? 14 分 由(1) , (2)可得, n 的最大值为 9. ??????8 ??????7

1 1 1 , ? , 0, ,1, 2 ,则 A9 符合①、② . 2 4 2

?????? 11

第 16 页 共 17 页

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