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第一届陈省身杯全国高中数学奥林匹克


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中 等 数 学

第一届陈省身杯全国高中数学奥林匹克
中图分类号 : G 424 79 文献标识码 : A 文章编号 : 1005- 6416( 2010) 09 - 0028- 05

赛事简介: 由 中等数学 编辑部和陈省身杯组委会联合主办的第一届陈省身杯全国高中 数学奥林匹克夏令营于 2010年

7 月 12日 20 日在北京举行。 其间由本刊部分编委对参加比 赛的学员进行了专题辅导及方法培训 , 并于 7 月 18日 、 19 日晚进行了两天考试, 每天 3小时考 4 道题 (每题 50 分 )。 来自全国各地的百余名学生参加了此次比赛 。多名学生获得了好成绩 ( 获奖名单见封底 ) 。 明年我们将继续举办第二届陈省身杯全国高中数学奥林匹克。

第 一 天
1 .在 ABC 中, D、 E 分别为边 AB 、 AC 的 中 点, BE 与 CD 交 于 点 G, ABE 的 外 接圆与 ACD 的外接圆交于点 P (P A ), AG 的延 长 线 与 (L ACD 的 外 接 圆 交 于 点 L CD. 1 2 x , 4 1 2 - x + x+ 7, 4
2 2

第 二 天
5. 已知 ABC 的内 切 圆 I 分 别 与边 BC、 CA、 AB 切于点 D、 E、 F, A I、 B I、 CI 分别与 ABC 的 外接 圆 O 交于 点 L、 M、 N, LD、 ME、 NF 分别与 O 交于 点 P、 Q、 R. 过 P 作 PA 的垂线 lA , 过 Q 作 QB 的垂线 lB , 过 R 作 RC 的垂线 lC . 证明: lA 、 lB 、 lC 三线共点 . 6. 设正实数 a、 b、 c 满足 a + b + c = 3. 证明: 1 1 1 + 2 + 2 1 . a + a+ 1 b + b + 1 c + c+ 1 2 2 7. 设 a、 b 为正整数, a + b 除以 a + b 的
2 3 3 3

A ). 求证 : PL 2 . 已知集合 M= N= (x, y ) y (x, y ) y

D r ( x0, y 0 ) = { ( x, y ) | (x - x0 ) + (y - y0 )
p p k

r }.

2

试求最大的 r, 使得 D r (x 0, y 0 ) M

N.

3 . 求 方程 3 + 4 = n 的正 整数 解 (p, n, k ), 其中 , p 为质数 , k > 1 . 4 . 平面上满足任意三点不共线的 n 个点 P 1, P 2, , P n 构成的集合为 D, 在 任意两点 之间连一条线段 , 且每条线段的长互不相等. 在一个三角形的三条边中, 长度非最长、 也非 最短的边称为该三角形的 中边 ; 若一个三 角形的三条边都是中边 ( 不一定是这个三角 形的中边 ), 则称这个 三角形为集合 D 中的 一个 中边三角形 . 一条不过点 P i ( i = 1, 2 , , n ) 的直线 l 将集合 D 分成两个子集 D 1、 D 2. 若无论这 n 个点如何分布, 也无论 l如何 选取, 总存在一个子集 D k ( k { 1, 2 } ), 使得 D k 中存在中边三角形 . 求 n 的最小值 .

商为 q, 余 数 为 r , 且 q + r = 2 010 . 求 ab 的值. 8. 一名科学家发明了一台时间机器, 形 似一条地铁环形轨道 . 现在 ( 2010 年 ) 为第一 站台, 第 2 , 3 , , 2 009 站台依次为 2011 年 , 2012 年, , 4018 年, 第 2 010 站又回到现 在 (出发站台 ). 后来, 这台机 器出现了程序 错误, 使得其运行规则变为: 乘客指定一个时 间 (即站台号 ), 机器首先到达指定 站台, 然 后每隔 4站 , 停靠在第 5站 , 若所停靠的站台 号为 2 的正整数次幂, 则向后退 2 站停靠 (如 17 22 27 32 30 35 ); 若在第一站 台停靠 , 则停止工作 . 试问 : ( 1) 这台机器能否迷失在时间轨道中而 无法回到现在 ( 即不在第一站台停靠 )?

2

2010 年第 9 期

29

( 2) 若最终能够回到 现在, 则 该机器最 多能停靠多少个站台 ?

参考答案
第 一 天
1 . 如图 1 , 联结 PA、 PB 、 PC、 PD、 PE.

图 1

因为 BDP = ACP, CEP = ABP, 所以, DBP CEP. AB DB DP 故 = = AC CE CP sin DCP sin BAP = = . sin CDP sin CAP 设 BC 的中点为 F. 则 1 AB AF sin BAF S ABF BF 2 = = = 1 . CF S ACF 1 AC AF sin CAF 2 AB sin CAF . 故 = AC sin BAF 由式 、 得 sin BAP sin CAF = . sin CAP sin BAF 从而, BAP = CAF = CAL. 故 PCD = BAP = CAL = CPL. 因此, PL CD. 1 2 2 . 设 f( x ) = x , 4 2 1 2 1 g ( x ) = - x + x + 7= - ( x - 2) + 8 . 4 4 则M N f ( x ) g (x )有实解 2 x - 2x - 14 0 有实解. 故M N . 在平面直 角坐标 系中 , y = f ( x ) 与 y = g ( x ) 的顶点分别为 O ( 0 , 0 )、 A(2 , 8 ), 且两条

抛物线关于点 B ( 1 , 4 ) 对称. 从而, M N 在坐标系中所对应的图形 T 以点 B 为中心对称 , 且所包含的最大半径的 圆应为 T 的内切圆. 下面证明: 该圆的圆心为 B. 否则, 设该圆圆心 为 B 1 ( B ), 半径为 r. 取点 B 1 关于 B 的对称点 B 2. 则以 B 2 为圆 心、 r 为半径的圆也是 T 的内切圆 . 作两圆的两条外公切线. 因为 T 是凸的 , 所以 , 上述两条外公切线 及两圆所围区域在 T 的内部 . 从而, 以点 B 为圆心、 r 为半径的圆在 T 的内部 (不含边界 ). 于是, 以点 B 为圆心的 内切圆半径大于 r, 矛盾. 因 T 关于点 B 对称, 所以 , 其内切圆 B 2 就是以 B 为圆心与 y = 1 x 相内切的 B, 设 4 其半径为 r0. 1 2 设 B 与 y = x 切于点 C ( a, b ). 则 4 2 a b= . 4 1 2 y = x 在点 C 的切线 l方程为 4 a y = ( x - a ) + b. 2 显然, BC ,即 l b- 4 a = - 1. a- 1 2 3 式 代入式 整理得 a - 8a - 8= 0 . 解得 a = - 2 或 1 5.
2

a 又 r 0 = |B C | = + 1 |1- a |, 将 a 2 的值代入知 , r0 的最小值为 B 的半径, 即当 a = 1+ 5 时 , r0 = 所以, rm ax = r 0 = 25- 5 5 . 2

25- 5 5 . 2 2 2 2 3. 显然 , 3 + 4 = 5 , 即 p = 2 , n= 5 , k= 2 是方程的一组解 . 以下不妨设 p 为奇质数 , p = 2 l+ 1 .则 k 2l + 1 2l + 1 n = 3 +4

30

中 等 数 学

= ( 3+ 4) ( 3 - 3 4+ 3 4 - + 4 ). k 于是, 7 | n , 7 | n. k 由 k> 1 , 得 49 | n , 即 2l + 1 2l + 1 3 + 4 0 ( m od 49 ). 由二项式定理得 2l + 1 l l 3 = 3 9 = 3( 7+ 2) l- 1 l 3( l 7 2 + 2 ) l- 1 ( 21 l+ 6 ) 2 ( m od 49 ), 2l + 1 l 4 = 4( 14+ 2) l- 1 l 4 ( l 14 2 + 2 ) l- 1 ( 56 l+ 8 ) 2 ( m od 49 ). 2l + 1 2l + 1 l- 1 故 3 + 4 ( 77l+ 14) 2 ( m od 49). 2l + 1 2l + 1 由 49 | ( 3 +4 ), 得 49| ( 77l+ 14) 7 | ( 11l+ 2) 7 | ( 4l+ 2), 即 4 l+ 2 0( m od 7 ). 此同余式的解为 l 3 ( m od 7 ). 故 p = 2l + 1 0 ( m od 7 ). 又 p 为质数, 因此, p 只能为 7 . 注意到 7 7 3 + 4 = 2 187+ 16 384 = 18 571= 49 379 . k 但 379 为 质数 , 故 上 式不 可能 写 成 n ( k 2 )形式, 即当 p 为奇质数时无解 . 综上, 方程只有一组正整数解 (p, n, k ) = ( 2 , 5, 2 ). 4 . n 的最小值为 11 . 当 n 11 时 , 无论 l如何选取, 总存在一 个子集 , 不妨假设为 D 1, 满足 D 1 中至少有六 个点. 考虑 D 1 中的所有三角形的中边 , 并将其 染为红色, 然后将其他边染为蓝色. 由拉姆塞定理知, 一定存在一个同色三 角形. 由于每个三角形都有中边, 因此, 这个 同色三角形一定是红色的 . 故在 D 1 中存在中 边三角形. 下面证明: 当 n 10 时 , 存在点集 D 和 直线 l, 使得 D 1、 D 2 中均不存在中边三角形 . 若 n = 10 , 考虑在直线 l两侧的两个子集 D 1、 D 2 中均有五个点, 且分布情况相同 . 假设 D 1 中的 五个 点为 P 1、 P 2、 P 3、 P 4、 P 5, 且在圆周上依逆时针的次序排列 , 设

2l

2l - 1

2l - 2

2

2l

3 3 , P 2P 3 = , P 3P 4 = , 10 5 10 3 P 4P 5 = , P 5P 1 = . 4 4 则 P 1、 P 2、 P 3、 P 4、 P 5 两两的距离互不相 同 , 且 P 2P 3、 P 3P 1、 P 1P 5、 P 5P 4、 P 4P 2 为中边 , 但是, 不存在中边三角形 . 若 n < 10 , 那么 , 对于 D 1、 D 2 中少于五个 点的情况, 只要在前面的例子中删去若干个 点 , 仍然不存在中边三角形. 综上, n 的最小值为 11 . P 1P 2 =

第 二 天
5. 如图 2, 联结 PB、 PC、 PE 、 PF. 因为 PD 是 BPC 的 角 平 分线, 所以 , PB BD = PC CD BF = . CE 又 FBP = ECP, 则 FBP 图 2 ECP. 故 FPB = EPC FPE = BPC = BAC. 因此, P、 A、 F、 E 四点共圆 . 注意到 A、 E、 I、 F 四点共圆 , 且 A I 为直 径 , 则 API = 90 , 即 lA 过 ABC 的内心 I. 同理, lB 、 lC 也过 ABC 的内心 I. 6. 证法 1 因 ( a - 1) ( a + 1 ) 0 , 所以, 3 2 a + 2 a + a+ 1 . 3 2 同理, b + 2 b + b + 1 , 3 2 c + 2 c + c+ 1 . 1 1 1 故 2 + 2 + 2 a + a + 1 b + b+ 1 c + c + 1 1 1 1 + 3 + 3 . 3 a + 2 b + 2 c + 2 由柯西不等式得 1 1 1 + 3 + 3 3 a +2 b + 2 c + 2
2

2010 年第 9 期

31

9 3 3 3 ( a + 2) + ( b + 2) + ( c + 2) 9 9 = 3 = = 1 . 3 3 a + b + c + 6 3+ 6 1 1 1 + 2 + 2 2 a + a + 1 b + b + 1 c + c+ 1 证法 2 由柯西不等式得 1 1 1 + 2 + 2 2 a + a+ 1 b + b + 1 c + c+ 1 故
9 2 2 2 ( a + a + 1) + ( b + b + 1) + ( c + c+ 1)

1 .

9 . ( a + b + c ) + ( a + b + c) + 3 又由幂平均不等式得 =
2 2 2



a +b + c 2 3 2 2 2 a + b + c 3 .

2

2

2

1

a + b +c 3
3

3

3

3

1 3

= 1 ,
1

a + b+ c a +b +c 3 类似地, 由 = 1 , 3 3 得 a + b+ c 3 .则 9 2 2 2 ( a + b + c ) + ( a + b + c) + 3 9 = 1 . 3+ 3+ 3 1 1 1 故 2 + 2 + 2 1 . a + a + 1 b + b + 1 c + c+ 1 1 ( x > 0 ). 则 2 x + x+ 1 2x + 1 f (x) = - 2 2, (x + x + 1 ) 6x (x + 1) f (x) = 2 . 3> 0 ( x + x + 1) 因此, f (x )是凸函数. 由琴生不等式得 1 1 1 + 2 + 2 2 a + a+ 1 b + b + 1 c + c+ 1 3 . 2 a+ b + c a+ b+ c + + 1 3 3 再由幂平均不等式得 证法 3 设 f ( x ) = a+ b + c 3 a +b + c 3
3 3 3
1 3

3

3

3 2 a+ b + c a + b+ c + + 1 3 3 3 = 1 . 1+ 1+ 1 1 1 1 故 2 + 2 + 2 1 . a + a + 1 b + b+ 1 c + c + 1 7. 不妨设 a b. 2 2 2 2 由 a + b > b - a = ( b - a ) ( b + a ), 得 q b - a. 2 2 2 又由 a + b a + ab = a ( a + b ), 得 q a. 另一方面, 由带余除法的性质有 0 r < a + b. 故 0 r < a + b = a + a + ( b - a ) 3q. 2 由 q + r = 2 010 ,得 2 2 q 2 010< q + 3q. 此不等式的正整数解只有 q = 44 , 此时, r = 74 . 2 2 则 a + b = 44 ( a + b ) + 74 , 2 2 2 (a - 22) + ( b - 22) = 74+ 2 22 = 1 042 . 记 x = m in { |a - 22 |, | b - 22 | }, y = m ax { |a - 22 |, | b - 22 | }. 2 2 则 x + y = 1 042 2( m od 8 ). 故 x、 y 均为正奇数. 2 2 由 x y ,得 2 2 2 2 y x + y = 1 042 2y , 即 23 y 32 . 于是, y 的可能值只有 23 、 25 、 27 、 29 、 31, 共五个 . 2 当 y = 23 、25 、27 、29 时, x = 513 , 417, 313 , 201, 均无正整数解 . 则 当 y = 31 时, x = 81 x = 9 . | a - 22 | = 31 , 从而, 无解. | b - 22 | = 9 |a - 22 | = 9 , 的正整数解为 | b - 22 | = 31 ( a, b ) = ( 13 , 53 ), ( 31 , 53 ). 经检验 , 当 ( a, b ) = ( 13 , 53 ) 时, 与 74= r < a + b = 66 矛盾; 当 ( a, b) = ( 31 , 53 ) 时, 2 2 a + b = 3 770= 44 84+ 74 ,
2

= 1 .

32

中 等 数 学

满足条件. 综上, 只有一组解 ( a, b, q, r ) = ( 31 , 53 , 44 , 74). 此时, ab = 31 53= 1 643. 8 . ( 1 )时间轨道共有 2 009个站台 , 且不 超过 2 009 的 2的正整数次幂为 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128 , 256 , 512 , 1 024 . 由规则知 ( i) 5k + 1 ( k = 1, 2 , 3)
3- k 次

( 2) 记第 2 009 站台到第 1 站台这段轨 道为 A. 设机器经过 A 的次数为 s, 共停靠 t 站 , 其中, 停靠在 2 的正整 数次幂号的站 台有 v 次 , 其余站台为 u 次 . 则
2 009 s+ 1= a + 5 ( u - 1 ) - 2v = a + 5 t - 5- 7v.

16 14= 5 2+ 4 ; 5k + 1 ( k = 4 , 5 , , 51) 256 254= 5 50+ 4 ; 5k + 1 ( k = 52 , 53 , , 401 )

51- k 次

2 006 2 . ( ii) 2 2 009 5 ; 5k + 2 ( k = 1 , 2 , , 6)
6- k 次

401- k 次

2 009 s + 7v - a + 6 . 5 下面证 明: 机 器不 会 在 同一 站 台 停靠 两次. 否则, 机器所停靠的站台序列构成循环 . 其结果是或者永远不能在第一站台停靠 ( 与 ( 1) 矛盾 ), 或者在第一个循环段就已停靠过 第一站台, 从而停止 , 不会构成循环 , 矛盾 . 所以, v 10. 考虑机器每次经过 A 后最先停靠的站台 号 , 其包含在 { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }中 . 注意到 故 t= 3 8 6
2次

32 30= 5 6 ; 5k + 2 ( k = 7 , 8 , , 102) 512 510= 5 102; 5k + 2 ( k = 103 , 104 , , 401 )

16

14

10 次

64

62

102- k 次

90 次

512

510

299 次

2 005 1 ,

2 007 3 . ( iii) 3 8 6= 5+ 1; 5k + 3 ( k = 1 , 2 , , 25)
25- k 次

401- k 次

128 126= 5 25+ 1 ; 5k + 3 ( k = 26 , 27 , , 401 )

4 2 2 009 5 2 005 1. 故甲或者在第 3 站台停靠过 , 或者在第 4 、 2 、 5 站台停靠过, 二者不能都停靠过. 从而, s 2 . 2 009+ 70- 0+ 6 = 417 . 若 s= 1 ,则 t 5 若 s= 2 , 则第二圈为 3 1 ,或 2 1 ,或 4 1 . 下面利用 ( 1) 中 ( i) ~ ( v ) 将第一圈从 3 或 2 、 4 逆推回去 : 3 2 007
197次 26 次 407次 403次 404次

400 次

2 008 4 . ( iv) 4 2 2 009 5 ; 5k + 4 ( k = 1 , 2 , , 12)
12- k 次

401- k 次

64 62= 5 5k + 4 ( k = 13 , 14 ,

12+ 2 ; , 204 )

1 022 1 024 128
23次

154 次

204- k 次

254 256 2 2 006

126 261 ,

13 ,

1 024 1 022= 5 204+ 2 ; 5k + 4 ( k = 205 , 206 , , 401 ) 2 009 5 .
401- k 次

349次 375次

401- k 次

( v) 5 k (k = 1 ,2 , , 401) 2 005 1 . 设乘客指定站台号为 a( 1< a 2 009 ). 由 ( i) ~ ( v) 知, 无论 a 为何数 , 均能使 机器回到现在.

4 2 008 133 . 综上, 若 a = 13 , 则 v= 7 , t= 812 ; 若 a = 261 , 则 v= 1 , t= 754 ; 若 a = 133 , 则 v= 2 , a = 781. 所以, 机器最多能停靠 812 个站台. (命题人 李建泉 李宝毅 宋强 李涛 )

第一届陈省身杯全国高中数学奥林匹克获奖名单

李振坤 郭洸男 常诚谊 黄 金 龙子昂 杜雨昆 孟 聪 荆一凡 李华杰 王佳伟 祖少磊 乔春雨 徐文锐 陈威志 阮珊珊 刁勍琛 王运鑫 李 响 毛瑞九 朱墨翟 曲钧如 赵 克 天津耀华中学 天津耀华中学 天津耀华中学 天津一中 天津耀华中学 河北唐山一中 东北师范大学附中 天津一中 广东湛江一中 武汉第六高级中学



奖 ( 20 名 )
高安凝哲 赵 恺 王东 皞 李睎白 佘 莫 许 松 宇 岚 河北唐山一中 东北师范大学附中 北京大学附中 天津耀华中学 广东北江中学 广东湛江一中 广东湛江一中 北京师范大学附中 湖北仙桃中学 辽宁朝阳一中 北京师范大学附中 天津一中 天津南开中学 北京牛栏山一中 吉林长春市实验中学 天津三中 天津一中 河北唐山一中 广东北江中学 河南南阳第五高级中学 广东湛江一中 河南项城正泰高中

李昊天 胡维达 李 适


天津耀华中学 辽宁辽源五中 天津耀华中学 天津一中 北京四中 内蒙古呼和浩特市二中 北京牛栏山一中 天津塘沽一中 北京师范大学附中 辽宁锦州中学 天津塘沽一中 山东东营胜利一中



奖 ( 24 名 )
李曦鸣 胡 王 柳 博 牧 帅

艾靖东 刘正阳 陈 键 周逸 芃 毛耀晨 杨 李 斐 龙

郭智慧

会之外互相也 经常来往 。 2003 年 , 在 湖南师 大附中 召开的协作体校 长全体 会议 上 , 协作体 又扩 进了两 所学校 东北师大 附中和福州一中。但同时也出 现了一个问题 , 参加 I M O 的 国家队 最后 6 名队员基 本上被协作体 学校 的学生 包揽 下来。这 样一 来 , 其 他 不是 协作 体学 校的 学生 和老 师的 积极 性大 打折 扣。所以 , 在 2002 年和 2003 年的校长 会议上 , 我们 想了很多的办法和政策来照顾 不是协作体成员的学 校 , 协作体学校的校 长们都 很愿 意想办 法照 顾到其 他学校的学生 , 然 而 , 是 考试 就只 能由成 绩来 作主 , 所以一直都没有想出 更好的解决办法。

直到 2005 年终于有了一个机会 , 当时全国已 经 有四 十九个学校拿到了 I MO 奖牌 , 而且 2000 年之后 就只 新增加一个学 校。因此 , 在 国家 集训 队的集 训 工作 开始之前 , 在 石家 庄二 中特 地搞 了一 个 50 工 程 。当时 , 有九所学 校的十 一名 学生 参加 , 这些 学 校都没有得过 奖牌 , 结果那一年 , 就有三所新的 学校 获得 了 I M O 的奖牌 ( 分别是 : 天津 耀华中学 , 石家 庄 二中 , 江西师大附中 ), 这个突 破让很 多的 学校都 有 了新 的积极性。 2006 年 , 又 有三所 新的学 校获得 奖 牌 , 而且全部拿的金 牌 ( 分 别是华 中师 大一附 中、 深 圳高 级中学和宁波镇海中学 ) 。


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