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根式教案


第一课时


根式

教学目标

(一)知识目标
1、 理解 n 次方根及根式的概念; 2、 正确应用根式的运算性质化简、求值;

(二)能力目标
1、 体会类比、 从特殊到一般、 分类讨论等数学思想方法的运用; 2、培养学生观察、分析、抽象等认知能力。 (三)德育目标

1、激发学生的内在动力; 2、养成良好的学习习惯。 二

教学重点、难点

重点:根式的概念 难点:根式概念的理解 三

教学过程

1、提出问题、引入新课
问题 1 在初中我们学过平方根、立方根的概念,它是如何定义的?它有 什么性质?(学生回忆,老师补充并出示投影) (1) 如果一个数 x 的平方等于 a,即 x a 的平方根; (2) 如果一个事 x 的立方等于 a,即 x
3 2

? a ,则数 x 叫做 ? a ,则数 x 叫做

a 是立方根; (3) 正数的平方根有两个,这两个数互为相反数;负数没 有平方根;零的平方根是零; (4) 正数的立方根是一个正数,负数的立方根是一个负数, 零的立方根是零。 问题 2 说明下列式子 3
2

? 9,(?3)2 ? 9 ,23 ? 8,(?2)3 ? ?8,

24 ? 16,(?2)4 ? 16 , ,35 ? 243,(?3)5 ? ?243 中 3 与 9,
-3 与 9,2 与 8,-2 与-8,2 与 16,-2 与-16,3 与 243,-3 与-243 是什 么关系? 学生通过观察、思考,以小组的形式讨论并得出结论: (1) 由于 3
2

? 9,(?3)2 ? 9 ,则 ?3 是 9 的平方根;

(2) 由于 2

4

? 16,(?2)4 ? 16 ,则 ?2 是 16 的四次方根;

(3) 由于 2

3

? 8,(?2)3 ? ?8, ,则 2 是 8 的立方根,-2 是-8
? 243,(?3)5 ? ?243 , 3 是 243 的五次方根, 则

的立方根; (4) 由于 ,3
5

-3 是-243 的五次次方根。

2、n 次方根的定义
问题 3 你能类比给出 a 的 n 次方根的定义: 如果一个数 x 的 n 次方等于 a,即 x 次方根,其中 n>1,且 n ? N * .
n

? a ,那么 x 叫做 a 的 n

3、n 次方根的性质
问题 4 由平方根、立方根的性质及问题 2 你能观察类比得出 n 次方 根的性质吗?学生归纳、教师补充得出: (1) 当 n 为奇数时, 正数的 n 次方根是一个正数, 负数的 n 次方根是一个负数; (2) 当 n 为偶数时,正数的 n 次方根有两个,这两个数互 为相反数; (3) 负数没有偶次方根; (4) 零的 n 次方根是零。

4、根式的运算性质
问题 5 (1) ( (2)
n
n

a )n ? a 成立吗?

an ? a 成立吗?
n 24 ? 2 ? ( 4 2)4 ,所以 ( a ) ? a 成立。 n

启发引导学生应用特例来验证得: (1) (2)
4

4

( ?2) 4 ? 2, 而 5 -2)=-2 ,所以 n an ? a 不一 ( 5

定成立。 由此得根式的运算性质: (1) (
n

a )n ? a ;
n n

(2)当 n 为奇数时, a ? a ;

n

当 n 为偶数时,

a n ? a ? ? a (aa(?0)0) ? a?

5、课堂练习
例 求下列各式的值: (1)
5

(?8)5



(2)

( ?10) 2
3

(3) (6)

4

(3 ? ? ) 4
( a ? b) 4

2 (4) (a ? b) (a ? b) (5)

( a ? b)3

4

学生课堂上自己完成,教师点评:指数为偶数的题目易出错, 应按性质,注意讨论。

6、变式练习,巩固新知:
1、① ③
4

( ?3) 2 n

② ④
5

6

2n+1 (-4)

5

x4

? x2


上述四个式子中,没有意义的是 2、已知

4a2 ? 2a ?1 ? 1 ? 2a ,求 a 的取值范围。

7、板书设计
根 定义 问题 式 草稿

性质

例题

推导过程


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