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【导与练】(新课标)2016高考数学二轮复习 专题1 高考客观题常考知识检测 理


专题 1 高考客观题常考知识检测 理
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.(2015 甘肃河西五地市第一次联考)设集合 M={x|x +3x+2<0},集合 N={x|( ) ≤4},则 M ∪N 等于( ) (A){x|x≥-2} (B){x|x>-1} (C){x|x<-1

} (D){x|x≤-2} 2.(2015 高考湖北卷)命题“? x0∈(0,+∞),ln x0=x0-1”的否定是( ) (A)? x∈(0,+∞),ln x≠x-1 (B)? x?(0,+∞),ln x=x-1 (C)? x0∈(0,+∞),ln x0≠x0-1 (D)? x0?(0,+∞),ln x0=x0-1 3.(2015 甘肃省河西五地市高三第一次联考)下列推断错误的是( ) 2 2 (A)命题“若 x -3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1,则 x -3x+2≠0” (B)命题 p:存在 x0∈R,使得 +x0+1<0,则非 p:任意 x∈R,都有 x +x+1≥0 (C)若 p 且 q 为假命题,则 p,q 均为假命题 2 (D)“x<1”是“x -3x+2>0”的充分不必要条件 4.(2014 新课标全国卷Ⅱ)若函数 f(x)=kx-ln x 在区间(1,+∞)单调递增,则 k 的取值范围是 ( ) (A)(-∞,-2] (B)(-∞,-1] (C)[2,+∞) (D)[1,+∞) 5.(2015 甘肃河西五地市第一次联考)设 k 是一个正整数,(1+ ) 的展开式中第四项的系数
k 2 2 x

为 ,记函数 y=x 与 y=kx 的图象所围成的阴影部分的面积为 S,任取 x∈[0,4],y∈[0,16], 则点(x,y)恰好落在阴影区域内的概率为( )

2

(A)

(B)

(C) (D)
cos x

6.(2015 山东济宁一模)函数 f(x)=2

(x∈[-π ,π ])的图象大致为(

)

7.(2015 山东威海一模)已知 M 是△ABC 内的一点(不含边界),且

·

=2

,∠BAC=30°,

1

若△MBC,△MAB,△MCA 的面积分别为 x,y,z,记 f(x,y,z)= + + ,则 f(x,y,z)的最小值为 ( ) (A)26 (B)32

(C)36

(D)48 若 z=2x+y 的最小值为 1,

8.(2015 安徽皖北协作区一模)已知 x,y 满足约束条件 则 a 的值是( (A)4 ) (D)2

(B) (C)1

9.(2015 安徽马鞍山市质检)定义域为 R 的函数 f(x)对任意 x 都有 f(2+x)=f(2-x),且其导函 数 f′(x)满足
a

>0,则当 2<a<4,有(

)
a

(A)f(2 )<f(log2a)<f(2) (B)f(log2a)<f(2)<f(2 ) a a (C)f(2 )<f(2)<f(log2a) (D)f(log2a)<f(2 )<f(2) x 2 10.(2015 山东淄博市一模)函数 f(x)=e +x +x+1 与 g(x)的图象关于直线 2x-y-3=0 对称,P,Q 分别是函数 f(x),g(x)图象上的动点,则|PQ|的最小值为( ) (A) (B) (C) (D)2

11.(2015 山西太原市一模)已知函数 f(x)=ln x+tan α (α ∈(0, ))的导函数为 f′(x),若 使得 f′(x0)=f(x0)成立的 x0<1,则实数α 的取值范围为( (A)( , ) (B)(0, ) (C)( , ) (D)(0, ) 12.(2015 山东济南一模)设函数 f(x)的定义域为 R,若存在常数ω >0,使|f(x)|≤ω |x|对一 切实数 x 均成立,则称 f(x)为“条件约束函数”.现给出下列函数: ① f(x)=4x; ② f(x)=x +2;③ f(x)=
2

)

; ④ f(x) 是定义在实数集 R 上的奇函数 ,且对一切 )

x1,x2 均有|f(x1)-f(x2)|≤4|x1-x2|.其中是“条件约束函数”的有( (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.(2015 山东济宁市一模 ) 若 a= 为 . cos xdx, 则二项式( a
4

- ) 的展开式中的常数项

2

14.(2015 闵行区一模)已知函数 f(x)= ( ) ,g(x)=log 函数 F(x)=h(x)+x-5 所有零点的和为 . 15.(2015 安徽黄山市二模)已知函数 f(x)=

x

x,记函数 h(x)=



数列{an}满足 an=f(n),n∈N ,若

*

数列{an}是单调递增数列,则

的取值范围是

.

16.(2015 福州市一模)已知函数 f(x)=xsin x,有下列四个结论: ①函数 f(x)的图象关于 y 轴对称; ②存在常数 T>0,对任意的实数 x,恒有 f(x+T)=f(x)成立; ③对于任意给定的正数 M,都存在实数 x0,使得|f(x0)|≥M; ④函数 f(x)的图象上至少存在三个点,使得该函数在这些点处的切线重合. 其中正确结论的序号是 (请把所有正确结论的序号都填上). 三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分) 17.(本小题满分 14 分) (2015 甘肃省河西五地市第一次联考)已知函数 f(x)=ln (x+1)+ .

(1)当 a= 时,求 f(x)的单调递减区间; (2)若当 x>0 时,f(x)>1 恒成立,求 a 的取值范围.

18.(本小题满分 14 分) x (2015 河北唐山市二模)已知函数 f(x)=e -ax-2.(e 是自然对数的底数,a∈R). (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)若 k 为整数,a=1,且当 x>0 时, 最大值. f′(x)<1 恒成立,其中 f′(x)为 f(x)的导函数,求 k 的

3

19.(本小题满分 14 分) x (2015 河北唐山市二模)设函数 f(x)=e -x-2(e 为自然对数的底数). (1)求函数 f(x)的图象在点 A(0,-1)处的切线方程; (2)若 k 为整数,且当 x>0 时,(x-k+1)f′(x)+x+1>0 恒成立,其中 f′(x)为 f(x)的导函数,求 k 的最大值.

20.(本小题满分 14 分) (2015 山东淄博市二模)已知函数 f(x)= x +(k-1)x-k+ ,g(x)=xln x. (1)若函数 g(x)的图象在(1,0)处的切线 l 与函数 f(x)的图象相切,求实数 k 的值; (2)当 k=0 时,证明:f(x)+g(x)>0;
2

21.(本小题满分 14 分) x (2015 江西九江市三模)已知函数 f(x)=aln (x+1)-x-b,g(x)=e (a,b∈R). (1)试讨论函数 f(x)的单调区间; (2)过原点 O 作曲线 y=g(x)的切线 l,若曲线 y=f(x)上存在一点 P(x0,y0)(其中 x0∈(0,e-1)), 使得直线 OP 与曲线 y=f(x)相切,且 OP⊥l,求实数 b 的取值范围.

4

专题检测答案 专题检测(一) 1.A 2.A 3.C 4.D 5.C 6.B 7.C 8.D 9.A 10.D 11.A 12.C 13.解析:因为 a=

=sin x|

=sin -sin (- ) =2, 所以 a=2, 所以二项式(2 - ) 的展开式通项为
4

Tr+1= 2 (-1) x , 当 2-r=0 时,r=2,常数项为 ·4×1=6×4=24. 答案:24 14.解析:因为函数 f(x)=( ) ,g(x)=lo
x

4-r

r 2-r

x,关于直线 y=x 对称,

记函数 h(x)= 所以可知 h(x)关于直线 y=x 对称. 因为 y=x 与 y=5-x,交点为 A(2.5,2.5), 所以 y=5-x 与函数 h(x)交点关于 A 对称, x1+x2=2× =5.

故函数 F(x)=h(x)+x-5 所有零点的和为 5.

5

答案:5 15.解析:因为函数 f(x)= 数列{an}满足 an=f(n),n∈N ,若数列{an}是单调递增数列,
*

所以 解得 2≤a<3. 所以 =a+1+ +1,

令 a+1=t∈[3,4),f(t)=t+ +1,

f′(t)=1- =

>0,

所以 f(t)在 t∈[3,4)单调递增; 所以 f(3)≤f(t)<f(4), 可得 ≤f(t)<6.

所以

的取值范围是[ ,6).

答案:[ ,6) 16.解析:对于①,因为 f(-x)=-xsin (-x)=xsin x=f(x), 所以函数为偶函数,所以函数 f(x)的图象关于 y 轴对称,故①正确; 对于②,因为当 x=2kπ + 时,f(x)=x,随着 x 的增大函数值也在增大,所以不会是周期函数,故 ②错; 对于③,对任意正数 M,存在 k∈Z, 使 M≤2kπ + ,

则存在 x0=(2k+1)π + ,使|f(x0)|≥M,故③正确. 对于④,因为 f′(x)=sin x+xcos x,

6

当 x=2kπ + ,f′(2kπ + )=1,

f(2kπ + )=2kπ + , 所以切线方程为 y-2kπ - =x-2kπ - , 即切线方程为 y=x, 所以函数 f(x)的图象上至少存在三个点,使得该函数在这些点处的切线重合,故④正确. 答案:①③④ 17.解:(1)当 a= 时,

f′(x)=

=

(x>-1),

令 f′(x)<0,可得- <x<3,

所以 f(x)的单调递减区间为(- ,3).

(2)由 ln (x+1)+

>1 得

a>(x+2)-(x+2)ln (x+1), 记 g(x)=(x+2)[1-ln (x+1)], 则 g′(x)=1-ln (x+1)-

=-ln (x+1)-

,

当 x>0 时,g′(x)<0, 所以 g(x)在(0,+∞)递减, 又 g(0)=2·(1-ln 1)=2, 所以 g(x)<2(x>0), 所以 a≥2.

7

即 a 的取值范围为[2,+∞). x 18.解:(1)f′(x)=e -a,x∈R. 若 a≤0,则 f′(x)>0 恒成立, 所以 f(x)在区间(-∞,+∞)上单调递增, 若 a>0,当 x∈(ln a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(ln a,+∞)上单调 递增. 综上,当 a≤0 时,f(x)的增区间为(-∞,+∞); 当 a>0 时,f(x)的增区间为(ln a,+∞). (2)由于 a=1, 所以 f′(x)<1?(k-x)(e -1)<x+1,
x

当 x>0 时,e -1>0,故(k-x)(e -1)<x+1?k<

x

x

+x,(*)

令 g(x)=

+x(x>0),

则 g′(x)=
x

+1=

.

函数 h(x)=e -x-2 在(0,+∞)上单调递增,而 h(1)<0,h(2)>0. 所以 h(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点, 故 g′(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点. 设此零点为α ,则α ∈(1,2). 当 x∈(0,α )时,g′(x)<0, 当 x∈(α ,+∞)时,g′(x)>0, 所以 g(x)在(0,+∞)上的最小值为 g(α ). α 由 g′(α )=0,可得 e =α +2, 所以,g(α )=α +1∈(2,3). 由于(*)式等价于 k<g(α ). 故整数 k 的最大值为 2. x x 19.解:(1)f(x)=e -x-2,x∈R,f′(x)=e -1,x∈R, f′(0)=0,曲线 f(x)在点 A(0,-1)处的切线方程为 y=-1. x (2)当 x>0 时,e -1>0,所以不等式可以变形如下: (x-k+1)f′(x)+x+1>0?(x-k+1)(e -1)+x+1>0?k<
x

+x+1,①

令 g(x)=

+x+1,

则 g′(x)=

+1=

.

8

函数 h(x)=e -x-2 在(0,+∞)上单调递增,而 h(1)<0,h(2)>0. 所以 h(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点, 故 g′(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点. 设此零点为α ,则α ∈(1,2). 当 x∈(0,α )时,g′(x)<0;当 x∈(α ,+∞)时,g′(x)>0; 所以 g(x)在(0,+∞)上的最小值为 g(α ). α 由 g′(α )=0,可得 e =α +2, 所以 g(α )=α +2∈(3,4).由于①式等价于 k<g(α ). 故整数 k 的最大值为 3. 20.(1)解:因为函数 g(x)定义域为(0,+∞),g′(x)=ln x+1. 则 g(1)=0,g′(1)=1, 所以 l:y=x-1, 由 ? x +2(k-2)x-2k+5=0
2

x

因为 l 与函数 f(x)的图象相切. 所以Δ =4(k-2) -4(5-2k)=0? k=1+ (2)证明:令 F(x)=f(x)+g(x), 当 k=0 时,F(x)=xln x+ x -x+ , F′(x)=ln x+x,显然,F′(x)是单调增函数, 设 F′(x0)=0,即 ln x0+x0=0,易得 x0∈(0,1), 从而 x∈(0,x0),F′(x)<0,F(x)单调递减; x∈(x0,+∞),F′(x)>0,F(x)单调递增; 所以 F(x)的最小值为 F(x0). 又 F(x0)=x0ln x0+ =-x0+ =x0(-x0+ x0-1)+ =-x0+ =- (x0+3)(x0-1),
2 2

.

因为 x0∈(0,1),所以 F(x0)>0, 所以 F(x)>0 恒成立.即 f(x)+g(x)>0 恒成立. 21.解:(1)因为 f′(x)= -1= (x>-1),

当 a≤0 时,x∈(-1+∞),f′(x)<0, 所以函数 f(x)在区间(-1,+∞)上单调递减, 当 a>0 时,x∈(-1,a-1),f′(x)>0; x∈(a-1,+∞),f′(x)<0, 所以函数 f(x)在区间(-1,a-1)上单调递增,在区间(a-1,+∞)上单调递减. (2)依题意可设切线 l 的方程为 y=kx,切点为(x1,y1),则 y1= ,k=g′(x1)= = ,

9

所以 x1=1,y1=e,k=e, 所以直线 OP 的斜率 k0=- ,

直线 OP 的方程为 y=- x.

所以 k0=

-1=- = ,

所以 y0=- x0,a=(1- )(x0+1), 又 y0=aln (x0+1)-x0-b, 所以- x0=(1- )(x0+1)ln (x0+1)-x0-b,

即 b=(1- )[(x0+1)ln (x0+1)-x0],x0∈(0,e-1). 令 m(x)=(x+1)ln (x+1)-x,x∈(0,e-1), 因为 m′(x)=ln (x+1)>0, 所以 m(x)在(0,e-1)上单调递增, 所以 m(x)∈(0,1), 即实数 b 的取值范围为(0,1- ).

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