当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

2012全国高中数学联赛山东省预赛试题


一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.复数 z= (i 为虚数单位)的共轭复数所对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 2.已知集合 M={x| -3x≤0},N={x|y= ln(x-2)},则 Venn 图中阴影部分表示的集合是 A.[2,3] C.[0,2] B. (2,3] D. (2,+∞) D.第四象限

3.设 x∈ R,向量 a=(2,x) ,b=(3,-2) ,且 a⊥ b, 则|a-b|= A.5 B. C.2 D.6

4.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 A. C. B.16 D.

5.将函数 f(x)=sin(2x+ )的图象向右平移 个单位 后得到函数 y=g(x)的图象,则 g(x)的单调递增区间为 A.[2kπ- ,2kπ+ ] (k∈ Z) B.[2kπ+ ,2kπ+ ] (k∈ Z) C.[kπ- ,kπ+ ] (k∈ Z) D.[kπ+ ,kπ+ ] (k∈ Z) 6.曲线 y=lnx+x 在点 M(1,1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积是 A. B. C. D.

7.如果执行下面的程序框图,输出的 S=240,则判断框中为

A.k≥15?

B.k≤16?

C.k≤15?

D.k≥16?

8.已知双曲线 的离心率为 3,有一个焦点与抛物线 y= 的焦点相同,那么双曲线的渐近线方程 为 A.2 x±y=0 B.x±2 y=0 C.x±2y=0 D.2x±y=0

9.如图,半径为 5cm 的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为 1cm 的小圆,现将半径为 1cm 的一枚硬币抛到此纸板上,使整块硬币随机完全落在纸 板内,则硬币与小圆无公共点的 概率为 A. B.

C.

D.

10.已知四面体 ABCD 中,AB=AD=6,AC=4,CD=2 ,AB⊥ 平面 ACD,则四面体 ABCD 外接球的表面积为 A.36π B.88π C.92π D.128π

11.设函数 f(x)=2 -2k (a>0 且 a≠1)在(-∞,+∞)上既是奇函数又是减函数,则 g(x) = 的图象是

12.若直线 y=-nx+4n (n∈ N﹡)与两坐标轴所围成封闭区域内(不含坐标轴)的整点的个数 为 (其中整点是指横、纵坐标都是整数的点) ,则 (a1+a3+a5+…+a2013)= A.1012 第Ⅱ 非选择题 卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题-第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作 答.第 22 题-第 24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.如果实数 x,y 满足条件 ,那么目标函数 z=2x-y 的最小值为____ ________. 14.已知递增的等比数列{ }(n∈ N﹡)满足 b3+b5=40,b3?b5=256,则数列{ }的前 10 项和 =_______________. 15.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 -8x+15=0,若直线 y=kx-2 上至少存在一点, 使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值为_________. 16.对于 (m,n∈ N,且 m,n>2)可以按如下的方式进行“分解”,例如 的“分解”中最小的数是 1,最大的数是 13.若 的“分解”中最小的数是 651,则 m=___________. B.2012 C.3021 D.4001

三、解答题:解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,点(a,b)在直线 4xcosB-ycosC= ccosB 上. (Ⅰ )求 cosB 的值; (Ⅱ )若 ? =3,b=3 ,求 a 和 c. 18. (本小题满分 12 分)

某园艺师用两种不同的方法培育了一批珍贵树苗,在树苗 3 个月大的时候,随机抽取甲、 乙两种方式培育的树苗各 20 株,测量其高度,得到的茎叶图如图(单位:cm) :

(Ⅰ )依茎叶图判断用哪种方法培育的树苗的平均高度大? (Ⅱ )现从用甲种方式培育的高度不低于 80 cm 的树苗中随机抽取两株,求高度为 86 cm[来源:学 *科*网] 的树苗至少有一株被抽中的概率; (Ⅲ )如果规定高度不低于 85cm 的为生长优秀,请填写下面的 2×2 列联表, 并判断“能 否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为树苗高度与培育方式有关?” 甲方式 乙方式 合计 优秀 不优秀 合计 下面临界值表仅供参考: 19. (本小题满分 12 分) 如图,平面四边形 ABCD 中,AB=BC=CD=DA=BD=6,O 为 AC,BD 的交点.将 四边形 ABCD 沿对角线 AC 折起,得到三棱锥 B-ACD,M 为 BC 的中点,且 BD=3 . (Ⅰ )求证:OM∥ 平面 ABD; (Ⅱ )求证:平面 ABC⊥ 平面 MDO. 20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 (a>b>0)的中心在原点,右顶点为 A(2,0) ,其离心率与双曲 线 的离心率互为倒数. (Ⅰ )求椭圆的方程; (Ⅱ )设过椭圆顶点 B(0,b) ,斜率为 k 的直线交椭圆于另一点 D,交 x 轴于点 E,且 |BD|,|BE|,|DE|成等比数列,求 的值. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 g(x)= lnx-bx-3(b∈ R)的极值点为 x=1,f(x)= -ax-3. (Ⅰ )求函数 g(x)的单调区间,并比较 g(x)与 g(1)的大小关系; (Ⅱ )记函数 y=F(x)的图象为曲线 C,设点 A(x1,y1) ,B(x2,y2)是曲线 C 上的 不同两点,如果在曲线 C 上存在点 M(x0,y0) ,使得 x0= 且曲线 C 在点

M 处的切线平行于直线 AB ,则称函数 F(x)存在“中值相依切线”. 试问:函数 F(x)=g(x)-f(x)是否存在“中值相依切线”?请说明理由.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写 清题号. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,四边形 ACED 是圆内接四边形,延长 AD 与 CE 的延长线交于点 B,且 AD=DE,AB=2AC. (Ⅰ )求证:BE=2AD; (Ⅱ )当 AC=2,BC=4 时,求 AD 的长.

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系,xOy 中,曲线 C1: =1,以平面直角坐标系 xOy 的原点 O 为 极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,直线 l:3cosθ-2sinθ =. (Ⅰ )将曲线 C1 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 2 倍、3 倍后得到曲线 C2, 试写出直线 l 的直角坐标方程和曲线 C2 的参数方程; (Ⅱ )求 C2 上一点 P 到 l 的距离的最大值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x-m|+|x+6|(m∈ . R) (Ⅰ )当 m=5 时,求不等式 f(x)≤12 的解集; (Ⅱ )若不等式 f(x)≥7 对任意实数 x 恒成立,求 m 的取值范围. 数学(文科)?答案

(17)解: )由题意得 ,……………………………(1 分) (Ⅰ 由正弦定理得 , , , 所以 ,………………………………………(3 分) 即, 所以 ,…………………………………………………(5 分) 又,

所以 .………………………………………………………………………………(6 分) (Ⅱ )由 得 ,又 ,所以 .………………(9 分) 由 , 可得 , 所以 ,即 ,………………………………………………………………(11 分) 所以 .…………………………………………………………………………(12 分) ( 18)解: )用甲种方式培育的树苗的高度集中于 60~90 cm 之间,而用乙种方式培育的树 (Ⅰ 苗的高度集中于 80~100 cm 之间,所以用乙种方式培养的树苗的平均高度大.……(3 分) (Ⅱ )记高度为 86 cm 的树苗为 ,其他不低于 80 cm 的树苗为 “从用甲种方式培育的高度不低于 80 cm 的树苗中随机抽取两株”,基本事件有: 共 15 个.…………………………………(5 分) “高度为 86 cm 的树苗至少有一株被抽中”所组成的基本事件有: 共 9 个,…………(7 分) 故所求概率 ……………………………………………………………………(8 分) 甲方式 乙方式 合计 优秀 3 10 13 不优秀 17 10 27 合计 20 20 40 (Ⅲ ) …………………………(9 分) (20)解:(Ⅰ 双曲线 的离心率 ,所以椭圆的离心率为 , ) 由已知得椭圆的长半轴 ,又 ,所以 ,……………………………(3 分) 所以 ,………………………………………………………………………(4 分) 所以椭圆的方程为 .……………………………………………………………(5 分) (Ⅱ )由(Ⅰ )得过点 的直线为 , 由 ,得 , 所以 , ,……………………………………………………(7 分) 依题意知 ,且 . 因为 成等比数列,所以 ,又 在 轴上的投影分别为 它们满足 ,即 , ……(9 分) 显然 , ,解得 或 (舍去) ,………………………(10 分)

所以 ,解得 , 所以当 成等比数列时, .…………………………………(12 分) (21)解: )易知函数 的定义域是 ,且 ,……………(1 分) (Ⅰ 因为函数 的极值点为 ,所以 ,且 , 所以 或 (舍去),………………………………………………………………(3 分) 所以 , , 当 时, , 为增函数, 当 时, , 为减函数, 所以 是函数 的极大值点,并且是最大值点,…………………………………(5 分) 所以 的递增区间为 递减区间为 , .………………………(6 分) (Ⅱ )不存在.…………………………………………………………………………………(7 分) 理由如下: 假设函数 存在“中值相依切线”. 设 是曲线 上的不同两点,且 , 则 …………………………………………………(8 分) 曲线在点 处的切线斜率 ……………………………(9 分) 依题意得 化简可得: ,即 . 设 ,上式可化为 ,即 . 令 ,则 . 因为 ,显然 ,所以 在 上单调递增,显然有 恒成立. 所以在 内不存在 ,使得 成立.…………………………………(11 分) 综上所述,假设不成立.所以函数 不存在“中值相依切线”.…(12 分) (22)解:(Ⅰ 因为四边形 为圆的内接四边形,所以 ………(1 分) ) 又 所以 ∽,则 .……………………………(3 分) 而 ,所以 .…………………………………………………………(4 分) 又 ,从而 ……………………………………………………………(5 分) (24)解: )当 时, 即 , (Ⅰ

当 时,得 ,即 ,所以 ; 当 时,得 成立,所以 ; 当 时,得 ,即 ,所以 . 故不等式 的解集为 .………………………………………(5 分) (Ⅱ )因为 , 由题意得 ,则 或 , 解得 或 , 故 的取值范围是 .…………………………………………………(10 分)


相关文章:
2011年全国高中数学联赛山东省预赛试题及答案
2011年全国高中数学联赛山东省预赛试题及答案 - 2011 年全国高中数学联赛山东省预赛 一、选择题(每小题 6 分,共 60 分) 1.已知集合 6 .直线 y = 与 5 ...
2015年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题(答案)
2015年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题(答案)_学科竞赛_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档2015年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题(答案)_学科...
2016年全国高中数学联赛 山东省预赛试题及解析
2016年全国高中数学联赛 山东省预赛试题及解析 - 2016年全国高中数学联赛 山东省预赛试题 一、填空题(本题共10小题,每小题8分,共80分) 1.方程 x ? x ? ...
2012年全国高中数学联赛天津预赛试卷含详细答案
2012年全国高中数学联赛天津预赛试卷含详细答案 - 2012 年高中数学联赛天津预赛试卷 一、选择题 1.(12 天津预赛)数列 {an } 的前 n 项和 S n ? n 2 ? ...
1. 2012年全国高中数学联赛天津预赛
1. 2012年全国高中数学联赛天津预赛_学科竞赛_高中教育_教育专区。预赛试题集锦(2013) 高中竞赛 2012 年全国高中数学联赛天津市预赛一.选择题(每小题 6 分,共 ...
2012年高中数学联赛四川预赛试题
2012年高中数学联赛四川预赛试题 - 2012 年全国高中数学联合竞赛(四川初赛) (5 月 20 日下午 14:30——16:30) 题目得分 评卷人 复核人 考生注意:1、本试卷...
2012年全国高中数学联赛预赛试题及答案
2012年全国高中数学联赛预赛试题及答案 - 2012 年全国高中数学联合竞赛(四川初赛) 一、单项选择题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 2 1、设...
2015年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题解析
2015年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题解析_学科竞赛_高中教育_教育专区。2015年高中数学竞赛初试山东赛区试题解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
2011年全国高中数学联赛山东省预赛试题及答案
2011年全国高中数学联赛山东省预赛试题及答案 - 2011 年全国高中数学联赛山东省预赛 一、选择题(每小题 6 分,共 60 分) ??? 1.已知集合 M ? {x |?( ...
2010-2012年全国高中数学联赛广东省预赛试题及答案
. n ?1 10 2 2012 年全国高中数学联赛广东省预赛试题(考试时间:2012 年 9 月 8 日上午 10∶00—11∶20) 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分...
更多相关标签: