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1.4全称量词与存在量词


全称量词与存在量词

1.4.1 全 词





想一想??

下列语句是命题吗? 3 2 4 1 )与), )与 )之间有什么关系? 1) x ? 3 2)2 x ? 1 是整数 3)对所有的 x ? R, x ? 3 4)对任意一个x ? Z , 2 x ? 1是整数
短语“所有的”“任意一个” 在逻辑中通常叫 做全称量词.用符号“ ”表示。 ? 含有全称量词的命题,叫做全称命题。

例如: 1 )对任意 n ?, 2n ? 1是奇数。 2 )所有的正方形都是矩形。

常见的全称量词还有 “一切” “每一个” “任给” “所有的” 等.

通常,将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、 r(x)表示,变量x的取值范围用M表示。 全称命题“对 M中任意一个x, 有p(x)成立.

简记为:?x ? M,p(x)
读作“任意x属于M,有P(x)成立”。
例1 判断下列全称命题的真假: 1)所有的素数都是奇数;

2)?x ? R, x 2 ? 1 ? 1; 2 3)对每一个无理数x,x 也是无理数.

1.4.2 存 在 量 词

想一想??
下列语句是命题吗? 1 )与), 3 2 )与4 )之间 有什么关系? 1)2 x ? 1 ? 3; 2) x能被2和3整除; 3)存在一个 x ? R, 使2 x ? 1 ? 3; 4)至少有一个x ? Z , x能被2和3整除。

短语“存在一个”“至少一个” 在逻辑中通常 叫做存在量词.用符号“ ”表示。 ? 含有存在量词的命题,叫做特称命题。

例如: 1 )有一个素数不是奇数。 2 )有的平行四边形是菱形。

常见的存在量词还有

“有些” “有一个” “对某个” “有 的”等.

通常,将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、 r(x)表示,变量x的取值范围用M表示。 特称命题“存在 M中的一个x ,使p(x)成立.

简记为:?x ? M,p(x)
读作“存在一个x属于M,使P(x)成立”。

例1 判断下列特称命题的真假: 1)有一个实数x,使x2 +2x+3=0成立;

2)存在两个相交平面垂直同一条直线; 3)有些整数只有两个正因数.

1.4.3 含有一个量词的命题的否定

想一想?

写出下列命题的否定

? 1)所有的矩形都是平行四边形; x ? M,p(x)

2)每一个素数都是奇数; 2 3)?x ? R, x ? 2 x ? 1 ? 0 否定:
2)存在一个素数不是奇数;

?x ? M,p(x) ?x ? M,p(x)

1)存在一个矩形不是平行四边形;?x ? M,?p(x)

3)?x ? R, x ? 2 x ? 1 ? 0
2

?x ? M,?p(x) ?x ? M,?p(x)

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?

从形式看,全称命题的否定是特称命题。
含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论 全称命题 p : ?x ? M,p(x)

它的否定 ?p : ?x ? M,?p(x)

例1写出下列全称命题的否定: 1)p:所有能被3整除的整数都是奇数;

2)p:每一个四边形的四个顶点公圆; 2 3)p:对任意x ? Z,x 的个位数字不等于3。

想一想?

写出下列命题的否定 1)有些实数的绝对值是正数;

?x ? M,p(x)

2)某些平行四边形是菱形;

3)?x ? R, x 2 ? 1 ? 0
否定: 1)所有实数的绝对值都不是正数; 2)每一个平行四边形都不是菱形; 3) ?x ? R, x 2 ? 1 ? 0

?x ? M,p(x) ?x ? M,p(x)
?x ? M,?p(x)

?x ? M,?p(x) ?x ? M,?p(x)

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?

从形式看,特称命题的否定都变成了
全称命题. 含有一个量词的特称命题的否定,有下面的 结论
特称命题 p : ?x ? M,p(x) 它的否定

?p : ?x ? M,?p(x)

例1

写 出下列特 称命题 的否定:
2

1)p:?x ? R,x +2x+3 ? 0;

2)p:有的三角形是等边三角形;
3)p:有一个素数含有三个正因子。

例2写出下列命题的否定,并判断真假: 1)p:任意两个等边三角形都是相似的; 2)p:?x ? R,x2 +2x+2=0;

练习: P28

作业: P29


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