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江苏省南京市建邺区2013届高三数学模拟考试试题(含解析)苏教版


江苏省南京市建邺区 2013 年高考数学模拟试卷
一、选择题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题意要求的. 2 1. 分) (5 (2013? 建邺区模拟)已知映射 f:A→B,其中 A=B=R,对应法则:f:x→y=x ﹣ 2x+2 若对实数 k∈B,在集合 A 中不存在原象,则 k 的取值范围是( ) A

.k≤1 B.k<1 C.k≥1 D.k>1 考点: 映射. 专题: 计算题. 2 分析: x ﹣2x+2=k,据题意知此方程应无实根,用判别式表示方程无实根,即判别式小于 设 0,解出 k 的值. 2 解答: 解:设 x ﹣2x+2=k,据题意知此方程应无实根 2 ∴△=(﹣2) ﹣4?(2﹣k)<0, 1﹣2+k<0 ∴k<1, 故选 B 点评: 本题考查映射的意义, 本题解题的关键是利用一元二次方程的解的判别式表示出符合 题意的不等式. 2. 分) (5 (2013? 建邺区模拟) (1﹣x) ?(1+x) 的展开式中 x 的系数为( A.﹣6 B.6 C.﹣9 D.9
5 3 3



考点: 二项式系数的性质.. 专题: 计算题. 5 3 2 3 分析: 先把(1﹣x) ?(1+x) 等价转化为(1﹣x) ?[(1﹣x) (1+x)] ,进一步等价转化 2 2 4 6 3 为(x ﹣2x+1)?(1﹣3x +3x ﹣x ) ,由此可求出展开式中 x 的系数. 5 3 2 3 2 2 4 解答: (1﹣x) ?(1+x) =(1﹣x) ?[(1﹣x) 解: (1+x)] =(x ﹣2x+1)?(1﹣3x +3x ﹣ 6 x) 3 ∴展开式中 x 的系数为(﹣2)?(﹣3)=6. 故选 B. 点评: 本题考查二项式系数的性质,解题时要认真审题,根据多项式的运算法则合理地进行 等价转化.

3. 分) (5 (2013? 建邺区模拟)等差数列{an}中,若 a4+a6+a8+a10+a12=120,则 a9﹣ 值是( A.14 ) B.15 C.16 D.17



考点: 等差数列的性质.. 分析: 先由等差数列的性质 a4+a6+a8+a10+a12=120 得 a8,再用性质求解. 解答: 解:依题意,由 a4+a6+a8+a10+a12=120,得 a8=24, 所以 a9﹣ = (3a9﹣a11)= (a9+a7+a11﹣a11)= (a9+a7)= =16

1

故选 C 点评: 本题主要考查等差数列的性质.

4. 分) (5 (2013? 建邺区模拟)已知 A. B. C.

,则 sin2x 的值为( D.



考点: 二倍角的正弦.. 专题: 计算题. 分析: 解法 1:利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简已知的等式,然 后将化简后的等式两边平方, 利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公 式化简,即可求出 sin2x 的值; 解法 2:令 ,求出 x,原式变形为 sinα 的值为 ,把 x 的值代入所求式子

中,利用诱导公式化简后,再利用二倍角的余弦函数公式化简,将 sinα 的值代入即 可求出值. 解答: 解:法 1:由已知得 , 两边平方得 法 2:令 所以 ,则 ,求得 , . ;

故选 D 点评: 此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式,两角和与差的正弦函数公式及诱导公式, 熟练掌握公式是解本题的关键. 5. 分) (5 (2013? 建邺区模拟)设地球半径为 R,若甲地位于北纬 45°东经 120°,乙地位 于南纬度 75°东经 120°,则甲、乙两地球面距离为( ) A. R B. C. D. R R R

考点: 球面距离及相关计算.. 专题: 计算题. 分析: 甲、乙两地都在东经 120°,就是都在同一个大圆上,求出纬度差,即可求出球面距 离. 解答: 解:由于甲、乙两地都在东经 120°,就是都在同一个大圆上, 它们的纬度差是:120°,就是大圆周的 则甲、乙两地球面距离为: 故选 D.
2

点评: 本题考查球面距离,好在两点在同一个经度上,简化了计算,是基础题. 6. 分) (5 (2013? 建邺区模拟)若 a、b、c 是常数,则“a>0 且 b ﹣4ac<0”是“对任意 2 x∈R,有 ax +bx+c>0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;一元二次不等式的解法.. 专题: 压轴题. 2 2 分析: 要判断“a>0 且 b ﹣4ac<0”是“对任意 x∈R,有 ax +bx+c>0”什么条件,我们要 2 2 先假设“a>0 且 b ﹣4ac<0”成立,然后判断“对任意 x∈R,有 ax +bx+c>0”是否 2 2 成立,然后再假设“对任意 x∈R,有 ax +bx+c>0”成立,再判断“a>0 且 b ﹣4ac <0”是否成立,然后根据结论,结合充要充要条件的定义,即可得到结论. 2 2 解答: 解:若 a>0 且 b ﹣4ac<0,则对任意 x∈R,有 ax +bx+c>0, 2 反之,则不一定成立.如 a=0,b=0 且 c>0 时,也有对任意 x∈R,有 ax +bx+c>0. 2 2 故“a>0 且 b ﹣4ac<0”是“对任意 x∈R,有 ax +bx+c>0”的充分不必要条件 故选 A 点评: 判断充要条件的方法是:①若 p? q 为真命题且 q? p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的 充分不必要条件;②若 p? q 为假命题且 q? p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的必要不 充分条件;③若 p? q 为真命题且 q? p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的充要条件;④ 若 p? q 为假命题且 q? p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件.⑤ 判断命题 p 与命题 q 所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判 断命题 p 与命题 q 的关系. 7. 分) (5 (2013? 建邺区模拟)双曲线 x ﹣y =2012 的左、右顶点分别为 A1、A2,P 为其右 支上一点,且∠A1PA2=4∠PA1A2,则∠PA1A2 等于( ) A.无法确定 B. C. D.
2 2 2

考点: 双曲线的简单性质.. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: P(x,y) 设 ,y>0,过点 P 作 x 轴的垂线 PH,垂足为 H,则可得 , 利用∠A1PA2=4∠PA1A2, 即可求∠PA1A2 的值. 解答: 解:设 P(x,y) ,y>0,过点 P 作 x 轴的垂线 PH,垂足为 H, 则 , ( 其中 a =2012)
2







3

设∠PA1A2=α ,则∠PA2H=5α ,∴ 即 ,故选 D.

,∴



点评: 本题考查双曲线的标准方程,考查正切函数的定义,属于基础题. 8. 分) (5 (2013? 建邺区模拟)已知直线 ax+by﹣1=0(a,b 不全为 0)与圆 x +y =50 有公 共点,且公共点的横、纵坐标均为整数,那么这样的直线有( ) A.66 条 B.72 条 C.74 条 D.78 条 考点: 直线与圆的位置关系;计数原理的应用.. 专题: 数形结合. 分析: 先考虑在第一象限找出圆上横、纵坐标均为整数的点有 3 个,依圆的对称性知,圆上 共有 3×4=12 个点横纵坐标均为整数,经过其中任意两点的割线有 12 个点任取 2 点 确定一条直线,利用计数原理求出直线的总数,过每一点的切线共有 12 条,又考虑 到直线 ax+by﹣1=0 不经过原点,如图所示上述直线中经过原点的有 6 条,所以满足 题意的直线利用总数减去 12,再减去 6 即可得到满足题意直线的条数. 解答: 解:当 x≥0,y≥0 时,圆上横、纵坐标均为整数的点有(1,7)(5,5)(7,1) 、 、 , 根据题意画出图形,如图所示:
2 2

根据圆的对称性得到圆上共有 3×4=12 个点横纵坐标均为整数, 2 经过其中任意两点的割线有 C12 =66 条,过每一点的切线共有 12 条, 上述直线中经过原点的有 6 条,如图所示, 则满足题意的直线共有 66+12﹣6=72 条. 故选 B 点评: 此题考查了直线与圆的位置关系,以及计数原理的运用.根据对称性找出满足题意的 圆上的整数点的个数是解本题的关键. 9. 分) (5 (2013? 建邺区模拟)从 8 名女生,4 名男生选出 6 名学生组成课外小组,如果按 性别比例分层抽样,则不同的抽取方法种数( ) A. B. C. D.

考点: 排列、组合及简单计数问题;分层抽样方法..
4

专题: 计算题;概率与统计. 分析: 根据题意,由分层抽样方法确定需要抽出的男、女学生的人数,再由组合数公式计算 可得男、女学生的抽取方法数目,进而由分步计数原理计算可得答案. 解答: 解:根据题意,从 8 名女生,4 名男生中按性别比例分层抽样选出 6 名学生, 需要抽出男生 6× 需要抽出女生 6×
4 2

=2 人,有 C4 种抽取方法, =4 人,有 C8 种抽取方法,
4

2

则共有 C8 ×C4 种抽取方法, 故选 A. 点评: 本题考查排列、组合的运用,涉及分层抽样方法;关键是由分层抽样方法确定抽取的 男、女学生人数. 10. (2013? 建邺区模拟)为了解某校高三学生的视力情况,随机地抽查了该校 100 名高三 学生的视力情况,得到频率分布直方图如下图,由于不慎将部分数据丢失,但知道前 4 组的 频数成等比数列,后 6 组的频数成等差数列,设最大频率为 a,视力在 4.6 到 5.0 之间的学 生数为 b,则 a,b 的值分别为( )

A.0.27,78

B.0.27,83

C.2.7,78

D.2.7,83

考点: 频率分布直方图.. 专题: 计算题;压轴题;图表型. 分析: 先根据直方图求出前 2 组的频数,根据前 4 组成等比数列求出第 3 和第 4 组的人数, 从而求出后 6 组的人数,根据直方图可知 4.6~4.7 间的频数最大,即可求出频率 a, 根据等差数列的性质可求出公差 d,从而求出在 4.6 到 5.0 之间的学生数为 b. 解答: 解:由频率分布直方图知组矩为 0.1,4.3~4.4 间的频数为 100×0.1×0.1=1. 4.4~4.5 间的频数为 100×0.1×0.3=3. 又前 4 组的频数成等比数列,∴公比为 3. 根据后 6 组频数成等差数列,且共有 100﹣13=87 人. 3 从而 4.6~4.7 间的频数最大,且为 1×3 =27,∴a=0.27, 设公差为 d,则 6×27+ ∴d=﹣5,从而 b=4×27+ d=87. (﹣5)=78.

故选:A. 点评: 本题考查频率分布直方图的相关知识,以及等差数列和等比数列的应用等有关知识,
5

直方图中的各个矩形的面积代表了频率,所以各个矩形面积之和为 1,同时考查分析 问题的能力,属于基础题.

11. (2013? 建邺区模拟) A.i B.﹣i

+ C.1

=(

) D.﹣1

考点: 复数代数形式的混合运算.. 分析: 先化简复数的分母,然后再整理即可. 解答: 解:∵ + = 故选 D. 点评: 本题考查复数代数形式的混合运算,是基础题. 12. 分) (5 (2013? 建邺区模拟)如图,函数 y=f(x)的图象是中心在原点、焦点在 x 轴上 的椭圆的两段弧,则不等式 f(x)<f(﹣x)+x 的解集为( )

A.{x|﹣ <x<0 或 <x≤2} C. {x|﹣2≤x<﹣ 或 <x≤2}

B.{x|﹣2≤x<﹣ D.{x|﹣ <x<

或 <x≤2} ,且 x≠0}

考点: 椭圆的简单性质.. 专题: 计算题;数形结合;转化思想. 分析: 由图象知 f(x)为奇函数,原不等式可化为 f(x)< ,把包含这两段弧的椭圆方程 和直线 y= 联立,解得 x 的值,结合图象得到不等式的解集.

解答: 解:由图象知 f(x)为奇函数,∴f(﹣x)=﹣f(x) . ∴原不等式可化为 f(x)< .由图象易知,包含这两段弧的椭圆方程为 与直线 y= 联立得 + =1, +y =1,
2

6

∴x =2,x=± . 观察图象知:﹣ <x<0,或 <x≤2, 故选 A. 点评: 本题考查椭圆的标准方程,奇函数的性质,体现了数形结合及转化的数学思想. 13. 分(2013? 建邺区模拟) (5 )用正偶数按下表排列 第1列 第2列 第3列 第4列 第一行 2 4 6 第二行 16 14 12 10 第三行 18 20 22 ? ? 28 26 则 2006 在第几行第几列( ) A.第 251 行第 3 列 B.第 250 行第 C.第 250 行第 3 列 D.第 251 行第

2

第5列 8 24

4 列 4 列

考点: 数列的函数特性;等差数列的通项公式.. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 观察数表,可以发现数的排列规律:每行有 4 个偶数,并且奇数行前空一格,偶数行 后空一格;所有偶数按从小到大的顺序,依“之”字形排列;故知 2006 是第 2006÷2=1003 个偶数,从而得出 2006 应排在哪行哪列. 解答: 解:每行用去 4 个偶数,而 2006 是第 2006÷2=1003 个偶数 又 1003÷4=250?余 3, 前 250 行共用去 250×4=1000 个偶数,剩下的 3 个偶数放入 251 行, 考虑到奇数行所排数从左到右由小到大,且前空一格, ∴2006 在 251 行,第 4 列. 故选 D. 点评: 本题考查了由数表表示的数列的应用,解题时应细心观察,找出数的排列规律,应用 所学知识,解答出结果来. 14. 分(2013? 建邺区模拟) (5 )半径为 4 的球面上有 A、B、C、D 四点,AB,AC,AD 两两 互相垂直,则△ABC、△ACD、△ADB 面积之和 S△ABC+S△ACD+S△ADB 的最大值为( ) A.8 B.16 C.32 D.64 考 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积;球内接多面体.. 点: 专 综合题;压轴题. 题: 2 2 2 分 AB,AC,AD 为球的内接长方体的一个角,故 a +b +c =64,计算三个三角形的面积之和, 析:利用基本不等式求最大值. 解 解析:C.根据题意可知,设 AB=a,AC=b,AD=c,则可知 AB,AC,AD 为球的内接长方 2 2 2 答:体的一个角.故 a +b +c =64,而

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. 故选 C. 点 本题考查了利用构造法求球的直径、利用基本不等式求最值问题,考查了同学们综合解 评:决交汇性问题的能力. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 0 分,共 16 分.把答案填在答题卡相应位置. 15. (2013? 建邺区模拟) = .

考 极限及其运算.. 点: 专 计算题. 题: 分 因为 析: = 解 解: 答: = = ,由此能够求出

,所以

的值.

=

= .

点 本题考查组合数的计算公式和数列的极限,解题时要注意计算能力的培养. 评: 16. 分) (4 (2013? 建邺区模拟)命题“若 a,b 都是偶数,则 a+b 是偶数”的否命题是 若 a,b 不都是偶数,则 a+b 不是偶数 . 考点: 四种命题.. 专题: 阅读型. 分析: 欲写出它的否命题,须同时对条件和结论同时进行否定即可. 解答: 解:条件和结论同时进行否定,则否命题为:若 a,b 不都是偶数,则 a+b 不是偶数. 故答案为:若 a,b 不都是偶数,则 a+b 不是偶数. 点评: 命题的否定就是对这个命题的结论进行否认(命题的否定与原命题真假性相反) ;命 题的否命题就是对这个命题的条件和结论进行否认 (否命题与原命题的真假性没有必 然联系) .

8

17. 分) (4 (2013? 建邺区模拟)函数 y=lg (lg2,+∞) .

的定义域是

考点: 对数函数的定义域.. 专题: 计算题. 分析: x 由对数函数的性质知 10 ﹣2>0,由此能求出函数 y=lg 解答: 解:由题设知 10 ﹣2>0, 解得 x>lg2. ∴函数 y=lg 的定义域是(lg2,+∞) .
x

的定义域.

故答案为: (lg2,+∞) . 点评: 本题考查对数函数的定义域,解题时要注意指数函数的性质和应用. 18. 分) (4 (2013? 建邺区模拟)定义一种运算“*”对于正整数满足以下运算性质: 1003 (1)2*2006=1; (2n+2)*2006=3?[(2n)*2006],则 2008*2006 的值是 3 (2) . 考点: 数列递推式.. 专题: 计算题;新定义. n 分析: 设(2n)*2006=an,则(2n+2)*2006=an+1,且 a1=1,由此知 an+1=3an,即(2n)*2006=3 ﹣1 ,由此能求出 2008*2006 的值. 解答: 解:设(2n)*2006=an, 则(2n+2)*2006=an+1,且 a1=1, ∴an+1=3an, n﹣1 ∴an=3 , n﹣1 即(2n)*2006=3 , 1003 ∴2008*2006=3 . 1003 故答案为:3 . 点评: 本题考查运算“*”对于正整数满足的运算性质,解题时要正确理解新定义,合理地 运用新定义的性质求解. 19. 分) (4 (2013? 建邺区模拟)如果直线 y=kx+1 与圆 x +y +kx+my﹣4=0 相交于 M、N 两点,
2 2

且点 M、N 关于直线 x+y=0 对称,则不等式组

所表示的平面区域的面积为



考点: 二元一次不等式(组)与平面区域.. 专题: 压轴题;数形结合. 分析: M 与 N 关于 x+y=0 对称得到直线 y=kx+1 与 x+y=0 垂直,利用两直线垂直时斜率的 由 乘积为﹣1,得到 k 的值;设出 M 与 N 的坐标,然后联立 y=x+1 与圆的方程,消去 y
9

得到关于 x 的一元二次方程,根据韦达定理得到两横坐标之和的关于 m 的关系式,再 根据 MN 的中点在 x+y=0 上得到两横坐标之和等于﹣1,列出关于 m 的方程,求出方程 的解得到 m 的值,把 k 的值和 m 的值代入不等式组,在数轴上画出相应的平面区域, 求出面积即可. 解答: 解:∵M、N 两点,关于直线 x+y=0 对称, ∴k=1,又圆心 ∴ ∴m=﹣1 在直线 x+y=0 上

∴原不等式组变为

作出不等式组表示的平面区域,

△AOB 为不等式所表示的平面区域,联立

解得 B(﹣ , ) ,A(﹣1,0) ,

所以 S△AOB= ×|﹣1|×|﹣ |= . 故答案为: .

点评: 此题考查学生掌握直线与圆的位置关系、二元一次不等式(组)与平面区域等基本知 识,考查学生灵活运用中点坐标公式化简求值,会进行简单的线性规划,是一道中档 题. 三、解答题:本大题共 7 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 20. (12 分) (2013? 建邺区模拟)已知函数 (1)求 f(x)的定义域; ﹣1 (2)求该函数的反函数 f (x) ; ﹣1 (3)判断 f (x)的奇偶性. 考点: 函数的定义域及其求法;函数奇偶性的判断;反函数.. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由 >0 解得﹣1<x<1,即得函数的定义域. .

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(2)由函数的解析式求出自变量,再把自变量和函数交换位置,即得反函数的解析 式,注明反函数的定义域. (3)由 f (﹣x)= 解答: 解: (1) 故函数的定义域是(﹣1,1) (2)由 ,得 (y∈R) ,
﹣1

=

=﹣f (x) ,可得 f (x)是奇函数.

﹣1

﹣1



所以



所求反函数为 f (x)=

﹣1

(x∈R) .

(3)f (﹣x)=
﹣1

﹣1

=

=﹣f (x) ,

﹣1

所以 f (x)是奇函数. 点评: 本题主要考查求函数定义域、反函数,及利用 f(x)=﹣f(﹣x)或 f(x)=f(﹣x) 证明函数奇偶性. 21. (12 分) (2013? 建邺区模拟)某港口水的深度 y(米)是时间 t(0≤t≤24,单位:时) 的函数,记作 y=f(t) ,下面是某日水深的数据: t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 10.0 13.010.017.010.013.010.017.010.0 经长期观察,y=f(t)的曲线可以近似地看成函数 y=Asinω t+b 的图象. (Ⅰ)试根据以上数据,求出函数 y=f(t)的近似表达式; (Ⅱ)一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为 5 米或 5 米以上时认为是安全的(船 舶停靠时,船底只需不碰海底即可) ,某船吃水深度(船底离水面的距离)为 6.5 米.如果 该船希望在同一天内安全进出港,请问,它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的 时间) . 考点: y=Asin(ω x+φ )的部分图象确定其解析式.. 由 专题: 应用题;三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)通过读取图表,可以看出函数 y=f(t)的周期,根据水的最大深度和最小深度 联立方程组求出 A 和 b,则函数 y=f(t)的近似表达式可求; (Ⅱ)由题意得到该船进出港时,水深应不小于 5+6.5=11.5(米) ,由 y≥11.5 解出 一天内水深大于等于 11.5 的时间段,则船从最早满足水深到达 11.5 的时刻入港,从 最晚满足水深是 11.5 的时刻出港是安全的. 解答: 解: (Ⅰ)由已知数据,易知函数 y=f(t)的周期 T=12,则 ω = .

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再由 ∴

,得振幅 A=3,b=10, (0≤t≤24) ;

(Ⅱ)由题意,该船进出港时,水深应不小于 5+6.5=11.5(米) ∴ ∴ ,解得, ,所以

12k+1≤t≤12k+5(k∈Z) , 在同一天内,取 k=0 或 1, ∴1≤t≤5 或 13≤t≤17, ∴该船最早能在凌晨 1 时进港,下午 17 时出港,在港口内最多停留 16 个小时. 点评: 本题考查了由部分图象确定函数 y=Asin(ω x+φ )的解析式,对于平衡位置不是坐标 轴的,给出的最大值不是振幅 A,对于(Ⅱ)的求解,应明确题目的问法,属中档题. 22. (12 分) (2013? 建邺区模拟)已知某种从太空飞船中带回的植物种子每粒成功发芽的 概率都为 ,某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽实验,每次实验种一粒种 子,假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的,如果种子没有发芽,则称该次实验是失 败的. (1)第一小组做了三次实验,求至少两次实验成功的概率; (2)第二小组进行试验,到成功了 4 次为止,求在第四次成功之前共有三次失败,且恰有 两次连续失败的概率. 考点: 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率.. n 专题: 计算题;概率与统计. 分析: (1)第一小组做了三次实验,直接利用独立重复试验求至少两次实验成功的概率; (2)第二小组进行试验,到成功了 4 次为止,在第四次成功之前共有三次失败,说 明共进行了 6 次试验,其中三次成功三次失败,求出恰有两次连续失败的次数,求出 概率即可. 解答: (1)第一小组做了三次实验,至少两次实验成功的概率是 解: . (2)第二小组在第 4 次成功前,共进行了 6 次试验,其中三次成功三次失败,且恰 有两次连续失败,就是 3 次成功试验的间隔 4 空中选 2 个空,一个空位放置 2 次连续 失败,一个放置一次失败, 其各种可能的情况种数为 因此所求的概率为 .每一种情况的概率为: . .

点评: 本题考查独立重复试验的概率的求法,以及互斥事件的概率的和的求法,考查分析问 题解决问题的能力.

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23. (2013? 建邺区模拟)某城市有甲、乙、丙 3 个旅游景点,一位客人游览这三个景点的 概率分别是 0.4,0.5,0.6,且客人是否游览哪个景点互不影响,设 ξ 表示客人离开该城 市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值. (Ⅰ)求 ξ 的分布及数学期望; 2 (Ⅱ)记“函数 f(x)=x ﹣3ξ x+1 在区间[2,+∞)上单调递增”为事件 A,求事件 A 的概 率. 考点: 离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差.. 专题: 概率与统计. 分析: (I)ξ 表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值,根 据客人游览的景点数的可能取值为 0,1,2,3.和客人没有游览的景点数的可能取值 为 3,2,1,0,写出变量的可能取值,根据相互独立事件同时发生的概率写出分布列 和期望. 2 (II) 由题意知本题是一个等可能事件的概率, 函数 f x) ﹣3ξ x+1 在区间[2, ( =x +∞) 上单调递增,根据二次函数的性质,写出函数递增的变量的值,知道只有当变量对应 1 是成立,得到结果. 解答: (I)分别记“客人游览甲景点”,“客人游览乙景点”,“客人游览丙景点” 解: 为事件 A1,A2,A3.由已知 A1,A2,A3 相互独立,P(A1)=0.4,P(A2)=0.5,P(A3) =0.6. 客人游览的景点数的可能取值为 0,1,2,3.相应地,客人没有游览的景点数的可能 取值为 3,2,1,0,所以 ξ 的可能取值为 1,3. P(ξ =3)=P(A1?A2?A3)+P( =P(A1)P(A2)P(A3)+P( =2×0.4×0.5×0.6=0.24, P(ξ =1)=1﹣0.24=0.76. 所以 ξ 的分布列为 ) )

Eξ =1×0.76+3×0.24=1.48. (Ⅱ)因为 所以函数 要使 f(x)在[2,+∞)上单调递增,当且仅当 从而 . , 上单调递增, .

点评: 本题考查离散型随机变量的分布列和期望,考查等可能事件的概率,考查二次函数的 性质,是一个综合题目,这种题目可以作为解答题目出现在高考试卷中.

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24. (12 分) (2013? 建邺区模拟)如图,在斜三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧面 AA1B1B⊥底面 0 ABC,侧棱 AA1 与底面 ABC 成 60 的角,AA1=2.底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,其重心为 G 点.E 是线段 BC1 上一点,且 BE= BC1. (1)求证:GE∥侧面 AA1B1B; (2)求平面 B1GE 与底面 ABC 所成锐二面角的大小.

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定.. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)要证明 GE∥侧面 AA1B1B,可在平面 AA1B1B 内找到一条与 EG 平行的直线,根据 G 为底面三角形的重心,而 E 点满足 BE= ,延长 B1E 交 BC 于一点 F, 利用三角形相似得到 F 为 BC 的中点,说明 A、G、

F 三点共线,连结 GE,根据平行线截线段成比例定理得到 GE∥AB1,从而得到要证的 结论; (2)根据侧面 AA1B1B⊥底面 ABC,直接过 B1 作 B1H⊥AB 的延长线于 H,垂足为 H,然 后过 H 作 HT⊥AF 的延长线于 T,垂足为 T,连 B1T,由此得到∠B1TH 为所求二面角的 平面角,然后通过解直角三角形求二面角的大小. 解答: (1)证明:如图, 连结 B1E 并延长延长 B1E 交 BC 于 F,∵△B1EC1∽△FEB,BE= EC1 ∴BF= B1C1= BC,从而 F 为 BC 的中点. ∵G 为△ABC 的重心,∴A、G、F 三点共线,且 = = ,∴GE∥AB1,

又 GE?侧面 AA1B1B,∴GE∥侧面 AA1B1B (2)解:如图, 在侧面 AA1B1B 内, B1 作 B1H⊥AB 的延长线于 H, 过 垂足为 H, ∵侧面 AA1B1B⊥底面 ABC, 0 ∴B1H⊥底面 ABC.又侧棱 AA1 与底面 ABC 成 60 的角,AA1=2, ∴∠B1BH=60°,BH=1,B1H= . 在底面 ABC 内, H 作 HT⊥AF 的延长线于 T, 过 垂足为 T, B1T. 连 由三垂线定理有 B1T⊥AF, 又平面 B1GE 与底面 ABC 的交线为 AF,∴∠B1TH 为所求二面角的平面角. ∴AH=AB+BH=3,∠HAT=30°,∴HT=AHsin30°= , 在 Rt△B1HT 中,tan∠B1TH= = ,

14

从而平面 B1GE 与底面 ABC 所成锐二面角的大小为 arctan



点评: 本题考查了直线与平面平行的判定,考查了二面角的平面角的求法,综合考查了学生 的空间想象能力和思维能力, 利用三角形的中位线平行于底边及利用平行线截线段成 比例定理是证明线面平行常用的方法,此题是中档题. 25. (14 分) (2013? 建邺区模拟)设函数 f(x)=ax ﹣2bx +cx+4d(a、b、c、d∈R)图象 关于原点对称,且 x=1 时,f(x)取极小值 .
3 2

(1)求 a、b、c、d 的值; (2)当 x∈[﹣1,1]时,图象上是否存在两点,使得过此两点处的切线互相垂直?试证明 你的结论; (3)若 x1,x2∈[﹣1,1]时,求证: .

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;不等式的证明.. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1) )因为函数 f(x)图象关于原点对称,所以对任意实数 x 有 f(﹣x)=﹣f(x) ,

即可得出 b,d;由 x=1 时,f(x)取极小值



解出即可;

(2)当 x∈[﹣1,1]时,图象上不存在这样的两点使结论成立.利用导数得出切线的 斜率,再用反证法即可证明; (3)利用导数得出函数在区间[﹣1,1]上的单调性,得出其最大值与最小值,即可 证明. 解答: 解(1)∵函数 f(x)图象关于原点对称,∴对任意实数 x 有 f(﹣x)=﹣f(x) , 3 2 3 2 2 ∴﹣ax ﹣2bx ﹣cx+4d=﹣ax +2bx ﹣cx﹣4d,即 bx ﹣2d=0 恒成立,
15

∴b=0,d=0,∴f(x)=ax +cx,f'(x)=3ax +c,

3

2

∵x=1 时,f(x)取极小值

,∴





解得 故

. ,b=d=0,c=﹣1.

(2)当 x∈[﹣1,1]时,图象上不存在这样的两点使结论成立. 假设图象上存在两点 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,使得过此两点处的切线互相垂直, 则由 f'(x)=x ﹣1,知两点处的切线斜率分别为 且 ∵x1、x2∈[﹣1,1],∴ (*) . ,∴
2



此与(*)相矛盾,故假设不成立. 2 (3)证明:∵f'(x)=x ﹣1,令 f'(x)=0,得 x=±1, ∵x∈(﹣∞,﹣1) ,或 x∈(1,+∞)时,f'(x)>0;x∈(﹣1,1)时,f'(x) <0, ∴f(x)在[﹣1,1]上是减函数,且

∴在[﹣1,1]上,

时, .

点评: 本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、切线的斜率及其奇偶性、 反证法等基础知识与基本技能方法,要求具有较强的推理能力与计算能力. 26. (12 分) (2013? 建邺区模拟)过抛物线 y =2px(p>0)的对称轴上的定点 M(m,0) (m >0) ,作直线 AB 与抛物线相交于 A,B 两点. (1)试证明 A,B 两点的纵坐标之积为定值; (2)若点 N 是定直线 l:x=﹣m 上的任一点,试探索三条直线 AN,MN,BN 的斜率之间的关 系,并给出证明.
2

16

考点: 直线与圆锥曲线的关系;直线的斜率;直线的一般式方程.. 专题: 压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 分析: (1)设直线 AB 的方程为:x=ty+m,与 y =2px 联立,消去 x 得到关于 y 的一元二次方 程,利用根与系数的关系即可证明; (2)三条直线 AN,MN,BN 的斜率成等差数列.设点 N(﹣m,n) ,则直线 AN 的斜率 为 ,直线 BN 的斜率为 ,再利用(1)的结论即可证明.

解答: (1)证明: .设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)有 y1?y2=﹣2pm,下证之: 设直线 AB 的方程为:x=ty+m,与 y =2px 联立 消去 x 得 y ﹣2pty﹣2pm=0, 由韦达定理得 y1?y2=﹣2pm, (2)解:三条直线 AN,MN,BN 的斜率成等差数列,下证之: 设点 N(﹣m,n) ,则直线 AN 的斜率为 ,
2 2

直线 BN 的斜率为





=

=

=

又∵直线 MN 的斜率为 ∴kAN+kBN=2kMN 即直线 AN,MN,BN 的斜率成等差数列.



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点评: 熟练掌握直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到一元二次方程的根与系数的关 系、直线的斜率计算公式、等差数列的定义等是解题的关键.

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