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2013高考数学人教B版课后作业:12-2 坐标系与参数方程)


12-2 坐标系与参数方程
1.(2011?北京海淀期中)在极坐标系下,已知圆 C 的方程为 ρ =2cosθ ,则下列各点中, 在圆 C 上的是( π A.(1,- ) 3 C.( 2, 3π ) 4 ) π B.(1, ) 6 D.( 2, 5π ) 4

[答案] A [解析] 将备选答案代入圆 C 的方程,因为 2cos(- π 1 )=2?

=1,所以 A 成立. 3 2
? ?x=-1-t ?y=2+t ?

2.(2010?湖南文,4)极坐标方程 ρ =cosθ 和参数方程? 示的图形分别是( A.直线、直线 C.圆、圆 [答案] D ) B.直线、圆 D.圆、直线

(t 为参数)所表

[解析] 由 ρ =cosθ 得 ρ =ρ cosθ ,∴x +y -x=0.此方程所表示的图形是圆. 消去方程?
? ?x=-1-t ?y=2+t ?

2

2

2

中的参数 t 可得,x+y-1=0,此方程所表示的图形是直线.

3.(文)(2011?湖南十二校联考)若直线的参数方程为? 线的倾斜角为( A.30° C.120° [答案] D [解析] 由直线的参数方程知,斜率 k= 角,所以该直线的倾斜角为 150°. (理)直线的参数方程为? A.40° C.140° [答案] C
?x=tsin50°-1 ? ? ?y=-tcos50°

?x=1+3t ?y=2- 3t

(t 为参数),则直

) B.60° D.150°

y-2 - 3t 3 = =- =tanθ ,θ 为直线的倾斜 x-1 3t 3

(t 为参数),则直线的倾斜角为( B.50° D.130°

)

[解析] 将直线的参数方程变形得,?

?x=-1-tcos140° ? ?y=-tsin140° ?

,∴倾斜角为 140°.

4.(文)(2011?皖中地区示范高中联考)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为
? ?x=t ? ?y=t+1 ?

(t∈R),圆的参数方程为? )

? ?x=cosθ +1 ?y=sinθ ?

(θ ∈[0,2π )),则圆心 C 到直线 l 的

距离为( A.0 C. 2

B.2 D. 2 2

[答案] C [解析] 化直线 l 的参数方程?
? ?x=cosθ +1 ?y=sinθ ? ? ?x=t ?y=t+1 ?

(t∈R)为普通方程为 x-y+1=0,化圆的参数

方程?

(θ ∈[0,2π ))为普通方程为(x-1) +y =1,则圆心 C(1,0)到直线 l 的

2

2

距离为

|1-0+1| 1+ -
2

2

= 2.
?x=4t ?
2

(理)(2011?上海奉贤区摸底)已知点 P(3,m)在以点 F 为焦点的抛物线? 数)上,则|PF|=( A.1 C.3 [答案] D ) B.2 D.4

? ?y=4t

(t 为参

[解析] 将抛物线的参数方程化为普通方程为 y =4x,则焦点 F(1,0),准线方程为 x= -1,又 P(3,m)在抛物线上,由抛物线的定义知|PF|=3-(-1)=4. 5.(文)(2011?北京市西城区高三模拟)在极坐标系中,过点(1,0)并且与极轴垂直的直 线方程是( ) B.ρ =sinθ D.ρ sinθ =1

2

A.ρ =cosθ C.ρ cosθ =1 [答案] C

[解析] 过点(1,0)且与极轴垂直的直线,在直角坐标系中的方程为 x=1,所以其极坐标 方程为 ρ cosθ =1,故选 C. (理)(2011?衡阳市联考)在极坐标系中,曲线 ρ cosθ +ρ sinθ =2(0≤θ <2π )与 θ = π 的交点的极坐标为( 4 )

A.(1,1) C.( 2, π ) 4

π B.(1, ) 4 π D.(- 2, ) 4

[答案] C π π [解析] 将 θ = 代入到 ρ cosθ +ρ sinθ =2 中得交点( 2, ). 4 4 [点评] 本题也可以先化为直角坐标方程求解,但求出交点后还需要再化为极坐标,不

如直接求解简便. 6. 抛物线 x -2y-6xsinθ -9cos θ +8cosθ +9=0 的顶点的轨迹是(其中 θ ∈R)( A.圆 C.抛物线 [答案] B [ 解析 ]
? ?x=3sinθ ? ?y=4cosθ ?
2 2

)

B.椭圆 D.双曲线

1 2 原方程变形为: y = (x - 3sinθ ) + 4cosθ . 设抛物线的顶点为 (x , y) ,则 2 ,消去参数 θ 得轨迹方程为 + =1.它是椭圆. 9 16

x2

y2

7.(文)极坐标系中,点 A 在曲线 ρ =2sinθ 上,点 B 在曲线 ρ cosθ =-2 上,则|AB| 的最小值为________. [答案] 1 [解析] ρ =2sinθ ? ρ =2ρ sinθ ∴x +y -2y=0,即 x +(y-1) =1; ∵ρ cosθ =-2,∴x=-2, 易知圆心(0,1)到直线 x=-2 的距离为 2,圆半径为 1,故|AB|min=1. π 2 (理)(2011?安徽“江南十校”联考)在极坐标系中,直线 ρ sin(θ - )= 与圆 ρ = 4 2 2cosθ 的位置关系是________. [答案] 相离 [解析] 直线的直角坐标方程为 x-y+1=0,圆的直角坐标方程为(x-1) +y =1,其圆 心 C(1,0),半径 r=1.因为圆心到直线的距离 d= 2 2 = 2>1,故直线与圆相离.
2 2 2 2 2 2 2

8.(文)(2010?湖南师大附中)已知曲线 C1,C2 的极坐标方程分别为 ρ cosθ =3,ρ = π 4cosθ (ρ ≥0,0≤θ < ),则曲线 C1 与 C2 交点的极坐标为________. 2 π? ? [答案] ?2 3, ? 6

?

?

[解析] 化为直角坐标方程为 x=3 和 x +y =4x(y≥0),故交点为(3, 3),其极坐标 π? ? 为?2 3, ?. 6? ?
? ?ρ cosθ =3 可直接解? ?ρ =4cosθ ?

2

2

[点评]

? ?ρ =2 3 ,得? π θ = ? 6 ?

.

(理)(2010?广东文)在极坐标系(ρ ,θ )(0≤θ <2π )中,曲线 ρ (cosθ +sinθ )=1 与 ρ (sinθ -cosθ )=1 的交点的极坐标为__________. π [答案] (1, ) 2 [解析] 曲线 ρ (cosθ +sinθ )=1 化为直角坐标方程为 x+y=1,ρ (sinθ -cosθ ) =1 化为直角坐标方程为 y-x=1.联立方程组? π 应的极坐标为(1, ). 2 [点评] 可直接由两方程联立解出交点坐标,
?ρ cosθ +ρ sinθ =1 ? 由? ? ?ρ sinθ -ρ cosθ =1 ?ρ cosθ =0 ? 得,? ? ?ρ sinθ =1 ? ?x+y=1 ?y-x=1 ?
[来源:高&考%资(源#网 wxc]

,得?

? ?x=0 ?y=1 ?

,则交点为(0,1),对



π ∵ρ ≠0,∴cosθ =0,∴θ = +kπ 2 ∴sinθ =±1,∵ρ >0,∴sinθ =1, π ∴θ = +2nπ (n∈Z),ρ =1, 2

(k∈Z),

π 令 n=0 得,交点的一个极坐标为(1, ). 2 9 . ( 文 ) 直线 ? ________. [答案] 7 5
? ?x=1+4t ?y=-1-3t ? ?x=1+4t, ? ? ?y=-1-3t

(t 为 参数 ) 被曲 线 ρ = 2 cos(θ +

π ) 所截 的弦长 为 4

[解析] 由?

得直线方程为 3x+4y+1=0,

π ∵ρ = 2cos(θ + )=cosθ -sinθ , 4 ∴ρ =ρ cosθ -ρ sinθ ,∴x +y =x-y,
2 2 2

1 2 1 2 1 即(x- ) +(y+ ) = . 2 2 2 1 圆心到直线的距离 d= , 10 ∴弦长=2? 1 1 7 - = . 2 100 5

1 x=1+ t ? 2 ? (理)(2011?安徽皖南八校联考)已知直线 l 的参数方程是? 3 ? ?y= 2 t

(t 为参数),

以原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 圆 C 的极坐标方程为 ρ =2cosθ +4sinθ , 则直线 l 被圆 C 所截得的弦长等于________. [答案] 4 [解析] 依题意得,直线 l 的普通方程是 y= 3(x-1),即 3x-y- 3=0;圆 C 的直 角坐标方程是 x +y =2x+4y,即(x-1) +(y-2) =5.圆心 C(1,2)到直线 l 的距离 d= | 3?1-2- 3| 3+1 =1,因此直线 l 被圆 C 所截得的弦长等于 2 5
2 2 2 2 2

-1 =4.

2

1 2 3 2 2 2 [点评] ∵( ) +( ) =1,∴可只将⊙C 方程化为普通方程 x +y -2x-4y=0, 2 2 1 ? ?x=1+2t 将? 3 y= t ? ? 2

代入得 t -2 3t-1=0,

2

∴t1+t2=2 3,t1t2=-1, ∴|t1-t2|=

t1+t2

2

-4t1t2=4,

∴直线 l 被⊙C 所截弦长为 4. 3 x=- t+2 ? ? 5 10.(文)(2010?吉林省调研)已知曲线 C :ρ =2sinθ ,曲线 C :? 4 ? ?y=5t
1 2

(t

为参数). (1)化 C1 为直角坐标方程,化 C2 为普通方程; (2)若 M 为曲线 C2 与 x 轴的交点,N 为曲线 C1 上一动点,求|MN|的最大值. [解析] (1)曲线 C1 的方程化为 ρ =2ρ sinθ 又 x +y =ρ ,x=ρ cosθ ,y=ρ sinθ
2 2 2 2

所以曲线 C1 的直角坐标方程 x +y -2y=0, 3 x=- t+2 ? ? 5 因为曲线 C 的参数方程是? 4 y= t ? ? 5
2

2

2

,消去参数 t 得曲线 C2 的普通方程 4x+3y

-8=0. (2)在曲线 C2 的方程中,令 y=0 得 x=2, 即 M 点的坐标为(2,0), 又曲线 C1 为圆,其圆心坐标为 C1(0,1),半径 r=1, 则|MC1|= 5, ∴|MN|≤|MC1|+r= 5+1,|MN|的最大值为 5+1. 4 ? ?x=1+5t (理)(2010?哈师大附中)在直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为: ? 3 ?y=-1-5t ? (t 为参数),若以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为 ρ = π 2cos(θ + ),求直线 l 被曲线 C 所截的弦长. 4 4 ? ?x=1+5t 将方程? 3 ?y=-1-5t ?

[解析]

(t 为参数)化为普通方程得,3x+4y+1=0,

π? ? ?1 1? 2 2 将方程 ρ = 2cos?θ + ?化为普通方程得,x +y -x+y=0,它表示圆心为? , ?,半 4 ? ? ?2 2? 径为 2 1 的圆,则圆心到直线的距离 d= , 2 10
2 2

弦长为 2 r -d =2

1 1 7 - = . 2 100 5

11.(文)(2011?广东理,14)已知两曲线参数方程分别为? 5 ? ?x= t2 ? 4 ? ?y=t

?x= 5cosθ ?y=sinθ

(0≤θ <π )和

(t∈R),它们的交点坐标为________.

? 2 5? [答案] ?1, ? 5 ? ? ?x= 5cosθ [解析] ? ?y=sinθ
5 ? ?x= t2 而? 4 ? ?y=t (0≤θ ≤π ) 化为普通方程为 +y =1(0≤y≤1), 5

x2

2

5 2 化为普通方程为 x= y , 4

? ? 5 +y = 由? 5 ? ?x=4y
2 2

x2

y

x=1 ? ? 得? 2 5 y= ? 5 ?



? 2 5? 即交点坐标为?1, ?. 5 ? ?
2 ? x =1- t ? 2 l:? 2 ? ?y=1+ 2 t

( 理 )(2011? 西 安 检 测 ) 已 知 直 线

(t 为 参 数 ) 与 圆 C :

?x=1+ 2cosθ ? ?y=1+ 2sinθ
[答案] 2

(θ 为参数),它们的公共点个数为________个.

[解析] 直线 l 的普通方程为 x+y-2=0,⊙C 的圆心(1,1),半径 r= 2,圆心 C 在直 线 l 上,∴l 与⊙C 相交. 12.(文)(2011?咸阳模拟)若直线 3x+4y+m=0 与圆? 有公共点,则实数 m 的取值范围是________. [答案] (-∞,0)∪(10,+∞) [解析] 由条件知,圆心 C(1,-2)到直线 3x+4y+m=0 的距离大于圆的半径 1, ∴ |3-8+m| >1,∴m<0 或 m>10. 5
? ?x=2t ?y=1+4t ? ?x=1+cosθ ? ? ?y=-2+sinθ

(θ 为参数)没

(理)已知直线 l 的参数方程:?

(t 为参数),曲线 C 的极坐标方程:ρ =2 2

π? ? sin?θ + ?,求直线 l 被曲线 C 截得的弦长为________. 4? ? [答案] 2 30 5

[分析] 可将参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程求解;也可将曲线 C 的方程化为 直角坐标方程后,将 l 方程代入利用 t 的几何意义求解. [解析] 将直线 l 的参数方程化为普通方程为 y=2x+1,将圆 C 的极坐标方程化为普通 方程为(x-1) +(y-1) =2,从圆方程中可知:圆心 C(1,1),半径 r= 2,所以圆心 C 到直 线 l 的距离 d= |2?1-1+1| 2+ -
2 2 2 2



2

< 2=r.所以直线 l 与圆 C 相交. 5

所以直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 r -d =2
2 2

4 2 30 2- = . 5 5
? ?x=8t , 的参数方程为? ?y=8t, ?
2 2 2 2

13.(2011?天津理,11)已知抛物线 C

(t 为参数),若斜率为

1 的直线经过抛物线 C 的焦点,且与圆(x-4) +y =r (r>0)相切,则 r=________. [答案] [解析] 2
? ?x=8t 根据抛物线 C 的参数方程? ?y=8t ?
2

, 得出 y =8x, 得出抛物线焦点坐标为(2,0), 2 2

2

所以直线方程:y=x-2,利用圆心到直线距离等于半径,得出 r=

= 2.

14 . (2011? 课 标 全 国 文 , 23) 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 曲 线 C1 的 参 数 方 程 为
? ?x=2cosα , ? ?y=2+2sinα . ?

→ → (α 为参数).M 是 C1 上的动点,P 点满足OP=2OM,P 点的轨迹为曲线 C2.

(1)求 C2 的方程; π (2)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 θ = 与 C1 的异于极点的交 3 点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求|AB|. [解析] (1)设 P(x,y),则由条件知 M( , ).由于 M 点在 C1 上,所以 2 2

x y

x ? ?2=2cosα , ?y ? ?2=2+2sinα .
从而 C2 的参数方程为?

即?

?x=4cosα , ? ?y=4+4sinα . ?

? ?x=4cosα , ?y=4+4sinα . ?

(α 为参数)

(2)曲线 C1 的极坐标方程为 ρ =4sinθ ,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ =8sinθ . π π 射线 θ = 与 C1 的交点 A 的极径为 ρ 1=4sin =2 3, 3 3

π π 射线 θ = 与 C2 的交点 B 的极径为 ρ 2=8sin =4 3. 3 3 所以|AB|=|ρ 2-ρ 1|=2 3. 1 π 15.(文)(2011?大连市模拟)已知直线 l 经过点 P( ,1),倾斜角 α = ,圆 C 的极坐 2 6 π 标方程为 ρ = 2cos(θ - ). 4 (1)写出直线 l 的参数方程,并把圆 C 的方程化为直角坐标方程; (2)设 l 与圆 C 相交于两点 A、B,求点 P 到 A、B 两点的距离之积. 1 π x= +tcos , ? ? 2 6 的参数方程为? π y=1+tsin , ? ? 6

[解析]

(1) 直 线 l

(t 为 参 数 ) , 即

1 3 ? ?x=2+ 2 t, ? 1 ? ?y=1+2t.

(t 为参数).

[来源:Ks5u.com]

π 由 ρ = 2cos(θ - )得 ρ =cosθ +sinθ , 4 1 2 1 2 1 2 所以 ρ =ρ cosθ +ρ sinθ ,得(x- ) +(y- ) = . 2 2 2 1 3 ? ?x=2+ 2 t (2)把? 1 y=1+ t ? ? 2 1 1 2 得 t + t- =0. 2 4 1 由根与系数的关系得 t1t2=- , 4 1 由参数 t 的几何意义得:|PA|?|PB|=|t1t2|= . 4 (理)(2010?南京调研)已知直线 l 的参数方程为?
?x=4-2t ? ? ?y=t-2

1 2 1 2 1 代入(x- ) +(y- ) = 中 2 2 2

(t 为参数),P 是椭圆 + 4

x2

y2=1 上任意一点,求点 P 到直线 l 的距离的最大值.
[解析] 直线 l 的参数方程为?
?x=4-2t ? ?y=t-2 ?

(t 为参数)故直线 l 的普通方程为 x+2y=0

因为 P 为椭圆 +y =1 上任意一点, 4 故可设 P(2cosθ ,sinθ )其中 θ ∈R. 因此点 P 到直线 l 的距离是 2 2 |2cosθ +2sinθ | d= = 2 2 1 +2 π θ + 4 5

x2

2

π 2 10 所以当 θ =kπ + ,k∈Z 时,d 取得最大值 . 4 5

1. (2010?延边州质检)直线? 的弦长为( A.2 7 C.4 7 [答案] A [解析] 将直线?
?x=3cosα ? ?y=3sinα ? ? ?x=1+2t ?y=1-2t ?

? ?x=1+2t ?y=1-2t ?

(t 为参数)被圆?

? ?x=3cosα ?y=3sinα ?

(α 为参数)截得

) B. 7 D.2

化为普通方程得 x+y=2,

将圆?

化为普通方程得 x +y =9.

2

2

|0+0-2| 圆心 O 到直线的距离 d= = 2, 2 2 1 +1 所以弦长 l=2 R -d =2 7. 2.圆 ρ = 2(cosθ -sinθ )的圆心的一个极坐标是( )
2 2

? π? A.?1, ? 4? ?
π? ? C.? 2, ? 4? ? [答案] B [解析] 圆方程化为 x +y = 2x- 2y, 圆心?
2 2

? 7π ? B.?1, ? 4 ? ? ? D.? 2, ?
7π ? 4 ? ?

7π 2? ? 2 ,- ?,∴ρ =1,tanθ =-1,∴θ = ,故选 B. 4 2 2 ? ? )

3.将曲线 y=sin3x 变为 y=2sinx 的伸缩变换是(

x=3x′ ? ? A.? 1 y= y′ ? ? 2
C.?
? ?x=3x′ ?y=2y′ ?

x′=3x ? ? B.? 1 y′= y ? 2 ?
D.?
? ?x′=3x ?y′=2y ?

[答案] D π? ? 4.在极坐标系下,直线 ρ cos?θ - ?= 2与曲线 ρ = 2的公共点个数为( 4? ? A.0 C.2 [答案] B [分析] 讨论极坐标方程表示的曲线的位置关系,交点个数等问题,一般是化为直角坐 B.1 D.2 或 0 )

标方程求解.对于熟知曲线形状、位置的曲线方程,也可以直接画草图,数形结合讨论. π? ? [解析] 方程 ρ cos?θ - ?= 2化为 ρ cosθ +ρ sinθ =2, 4? ? ∴x+y=2,方程 ρ = 2,即 x +y =2,显然直线与圆相切,∴选 B. 5.已知点 P(x,y)满足(x-4cosθ ) +(y-4sinθ ) =4(θ ∈R),则点 P(x,y)所在区域 的面积为( A.36π C.20π [答案] B [解析] 圆心坐标为(4cosθ ,4sinθ ),显然圆心在以原点为圆心、半径等于 4 的圆上, 圆(x-4cosθ ) +(y-4sinθ ) =4(θ ∈R)绕着上述圆旋转一周得到的图形是一个圆环,圆环 的外径是 6,内径是 2,∴选 B. 6.(2011?宝鸡质检)直线?
?x=2t+1 ? ?y=t-1 ?
2 2 2 2 2 2

) B.32π D.16π

5 2 2 2 ,(t 为参数)过圆 x +y -2ax+ay+ a -1=0 4

的圆心,则圆心坐标为________. 3 3 [答案] ( ,- ) 2 4 [解析] 由题意知,圆心 C(a,- )在直线 2

a

? ?x=2t+1 ? ?y=t-1 ?

a=2t+1 ? ? 上,∴? a - =t-1, ? ? 2

3 ? ?a=2 解之得? 1 ? ?t=4



3 3 ∴圆心 C 的坐标为( ,- ). 2 4

[来源:高&考%资(源#网 wxcKS5U.COM]

π π 7.(2011?广州)设点 A 的极坐标为(2, ),直线 l 过点 A 且与极轴所成的角为 ,则 6 3 直线 l 的极坐标方程为________. π [答案] 填 ρ cos(θ + )=1、 3ρ cosθ -ρ sinθ -2=0、 6 π 4π ρ sin( -θ )=1、ρ sin(θ - )=1 中任意一个均可 3 3 π [解析] ∵点 A 的极坐标为(2, ),∴点 A 的平面直角坐标为( 3,1),又∵直线 l 过 6 π π 点 A 且与极轴所成的角为 ,∴直线 l 的方程为 y-1=(x- 3)tan ,即 3x-y-2=0,∴ 3 3 π π 直线 l 的极坐标方程为 3ρ cosθ -ρ sinθ -2=0, 可整理得 ρ cos(θ + )=1 或 ρ sin( 6 3 4π -θ )=1 或 ρ sin(θ - )=1. 3 [点评] 一般地,在极坐标系下,给出点的坐标,曲线的方程,讨论某种关系或求某些

几何量时,通常都是化为直角坐标(方程)求解.如果直接用极坐标(方程)求解,通常是解一 个斜三角形. 8.(2011?深圳调研)在极坐标系中,设 P 是直线 l:ρ (cosθ +sinθ )=4 上任一点,Q 是圆 C:ρ =4ρ cosθ -3 上任一点,则|PQ|的最小值是________. [答案] 2-1
2

[解析] 直线 l 方程化为 x+y-4=0, ⊙C 方程化为 x +y -4x+3=0, 即(x-2) +y =1. |2+0-4| 圆心 C(2,0)到直线 l 的距离 d= = 2, 2 ∴|PQ|min= 2-1. 9 . (2010?新 课标 全国文 ) 已知 直线 C1 : ?
?x=cosθ , ? ? ?y=sinθ , ? ? ?x=1+tcosα , ? ?y=tsinα ,
2 2 2 2

(t 为参 数 ) , 圆 C2 :

(θ 为参数).

π (1)当 α = 时,求 C1 与 C2 的交点坐标; 3 (2)过坐标原点 O 作 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 的中点.当 α 变化时,求 P 点轨迹的

参数方程,并指出它是什么曲线. π 2 2 [解析] (1)当 α = 时,C1 的普通方程为 y= 3(x-1),C2 的普通方程为 x +y =1. 3 联立方程组?

?y= 3 x- ?x2+y2=1,



1 3 解得 C1 与 C2 的交点为(1,0),( ,- ). 2 2

(2)C1 的普通方程为 xsinα -ycosα -sinα =0.

A 点坐标为(sin2α ,-cosα sinα ),

[来源:Ks5u.com][来源:Ks5u.com]

故当 α 变化时,P 点轨迹的参数方程为 1 ? ?x=2sin α , ? 1 ? ?y=-2sinα cosα ,
2

(α 为参数),

1 2 1 2 消去参数得 P 点轨迹的普通方程为(x- ) +y = , 4 16 1 1 故 P 点轨迹是圆心为( ,0),半径为 的圆. 4 4


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