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江西省两校2016届高三上学期第一次联考试题 数学(理)


2016 届高三第一次联考 数学(理)试卷
命题人:万炳金 审题人:廖涂凡 2015.12

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题意.) 1.已知集合 A ? {x ? Z | x ? 5}, B ? {x | x ? 2 ? 0} ,则 A ? B 等于( A. (2,5) B

. ? 2,5? C.{2,3,4}
) D.y=sinx ) 2 3



D.{3,4,5}

2.下列函数中,既是偶函数又在 (0, ??) 上单调递增的是( A.y=ex 2 3
3

B.y=lnx2 1 B.- 3

C.y= x 1 3

3.已知{an}是等差数列,a10=10,其前 10 项和 S10=70,则其公差 d 为( A.- C. D.

2x ,x<0, ? ? ? 4.已知函数 f(x)=? 则 f [ f ( )] ? ( π 4 ? ?-tanx,0≤x<2, A.2
A. [2,6]


D. ?1
) D. ( ?6, ?2)

B.1
B. [ ?6, ?2]

C. ? 2
C. (2,6)

5.若命题“?x0∈R,使得 x2 0+mx0+2m-3<0”为假命题,则实数 m 的取值范围是(

π 6. 将函数 y=sin(2x+φ)的图像沿 x 轴向左平移 个单位后, 得到一个函数 f ( x) 的图像, 则“ f ( x ) 是 8 π 偶函数”是“φ= ”的( 4 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
3

3
正视图

1

3
侧视图

7.右图是一个几何体的三视图,则该几何体体积是( A.14 B.15 C.16

) D.18
俯视图

8.已知 S n 是等差数列 {an } 的前 n 项和,且 S6 ? S7 ? S5 ,给出下列五个命题: ① d ? 0 ;②

S11 ? 0 ;③ S12 ? 0 ;④数列 ?S n ? 中的最大项为 S11 ;⑤ a6 ? a7 . 其中正确命题的个数是
( ) A.5 9.过双曲线 C1 : B.4 C.3 D.1

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F 作圆 C2 : x 2 ? y 2 ? a 2 的切线,设切点 2 a b


为 M, 延长 FM 交双曲线 C1 于点 N, 若点 M 为线段 FN 的中点, 则双曲线 C1 的离心率为 ( A. 5 B.

5 2

C. 5 +1

D.

5 ?1 2

10. 已知过球面上三点 A、 B、 C 的截面到球心距离等于球半径的一半, 且 AC ? BC ? 6 , AB ? 4 , 则球面面积为( A. 42? ) B. 48? C. 54? D. 60?

11.已知点 C 为线段 AB 上一点, P 为直线 AB 外一点,PC 是 ?APB 角的平分线, I 为 PC 上 一 点 , 满 足 BI ? BA ? ? (

AC

| AC | | AP |

?

AP

)( ? ? 0) , | PA | ? | PB |? 4 , | PA ? PB |? 10 , 则

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ??? ? BI ? BA ??? ? 的值为( | BA |



A. 2

B. 3

C. 4

D. 5


?? x ? 1( x ? 0) 12.已知函数 f ( x) ? ? ,则函数 y ? f [ f ( x)] ? 1 的零点个数是( ?ln x( x ? 0)
A.1 B.2 C.3 D.4

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.)

n a1 ? l n a2 ????? l n a2 13. 等比数列 {an } 的各项均为正数, 且 a10 a11 ? a9 a12 ? 2e5 , 则l 0
f (2015) ? _________.

=________.

14.已知函数 f ( x) 满足 f ( x ? 6) ? f ( x) ? 0 ,函数 y ? f ( x ? 1) 关于点 (1,0) 对称, f (1) ? ?2 ,则

?x ? 0 x ? 2y ? 3 ? 15.设 x , y 满足约束条件 ? y ? x ,则 的取值范围是__________. x ?1 ? 4 x ? 3 y ? 12 ?
16. 对于函数 y ? f ( x) , 若在其定义域内存在 x0 , 使得 x0 ? f ( x0 ) ? 1 成立, 则称 x0 为函数 f ( x) 的“反比点”.下列函数中具有“反比点”的是_________. ① f ( x) ? ?2x ? 2 2 ; ② f ( x) ? sin x, x ?[0, 2? ] ; ③ f ( x) ? x ?

1 , x ? (0, ??) ;④ f ( x) ? e x ; ⑤ f ( x) ? ?2ln x . x

三、解答题(本大题共 8 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, 角 A、 B、 C 所对的边为 a、 b、 c, 已知 A ? 450 , cos B ? (1)求 cos C 的值; (2)若 BC ? 10 ,D 为 AB 的中点,求 CD 的长.

4 . 5

1 18. (本小题满分 12 分)袋中装有黑球和白球共 7 个,从中任取 2 个球都是白球的概率为 。 7 现在甲、乙两人从袋中轮流摸取 1 球,甲先取,乙后取,然后甲再取……,取后不放回,直 到两人中有一人取到白球为止, 每个球在每一次被取出的机会是相等的, 用 ξ 表示终止时所需 要的取球次数. (1)求袋中原有白球的个数; (2)求随机变量 ξ 的概率分布列及期望.

19. (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,PG⊥平 面 ABCD,垂足为 G,G 在 AD 上,且 PG=4, AG ? BC 的中点. (1)求异面直线 GE 与 PC 所成角的余弦值; (2)若 F 点是棱 PC 上一点,且 DF⊥GC,求

1 GD ,BG⊥GC,GB=GC=2,E 是 3
P

PF 的值. FC
F D

A

G

B

E

C

x2 y 2 6 20 . (本小题满分 12 分)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率 e ? ,过点 a b 3 ??? ? ??? ? R (?1, 0) 的直线 l 与椭圆 C 交于 P, Q 两点,且 PR ? 2RQ .
(1)当直线 l 的倾斜角为 60 时,求三角形 OPQ 的面积; (2)当三角形 OPQ 的面积最大时,求椭圆 C 的方程.
0

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? a( x ? 1) , g ( x) ? e x . (1) (i)求证: g ( x) ? x ? 1 ; (ii)设 h( x) ? f ( x ? 1) ? g ( x) ,当 x ? 0 , h( x ) ? 1 时,求实数 a 的取值范围; (2)当 a ? 0 时,过原点分别作曲线 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的切线 l1 , l2 ,已知两切线的斜率 互为倒数,证明:

e ?1 e2 ? 1 ?a? . e e

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号上方的方框涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 已知 A,B,C,D 为圆 O 上的四点,直线 DE 为圆 O 的切线,D 为切点,AC∥DE,AC 与 BD 相交于 H 点. (1)求证:BD 平分∠ABC; (2)若 AB=4,AD=6,BD=8,求 AH 的长.

23. (本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,已知圆 C 的圆心 C C (3,

?
6

) ,半径 r=3.

(1)求圆 C 的极坐标方程; (2)若点 Q 在圆 C 上运动,P 在 OQ 的延长线上,且|OQ|∶|QP|=3∶2,求动点 P 的轨迹方程.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x | , g ( x) ? ? | x ? 4 | ?m . (1)解关于 x 的不等式 g[ f ( x)] ? 2 ? m ? 0 ; (2)若函数 f ( x) 的图像恒在函数 g ( x) 图像的上方,求实数 m 的取值范围.

江西师大附中、临川一中 2016 届高三第一次联考 数学(理)试卷
命题人:万炳金 审题人:廖涂凡 2015.12

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题意.) 1.已知集合 A ? {x ? Z | x ? 5}, B ? {x | x ? 2 ? 0} ,则 A ? B 等于( A. (2,5) B. ? 2,5? C.{2,3,4} )

D.{3,4,5}

【答案】C 【命题意图】本题主要考查不等式的解法,集合的运算,属容易题. 【解析】 A ? {?4, ?3, ?2, ?1,0,1, 2,3, 4}, B ? {x | x ? 2} , A ? B ={2,3,4},选 C. 2.下列函数中,既是偶函数又在 (0, ??) 上单调递增的是( )
A.y=ex 【答案】B 【命题意图】本题主要考查函数性质:单调性、奇偶性等属容易题. 【解析】y= x,y=ex 为(0,+∞)上的单调递增函数,但是不是偶函数,故排除 A,C; 在整个定义域上不具有单调性,排除 D;y=lnx2 满足题意,故选 B. 3.已知{an}是等差数列,a10=10,其前 10 项和 S10=70,则其公差 d 为( A.- 【答案】D 【命题意图】本题主要考查等差数列通项及前 n 项和公式,属容易题. 2 3 1 B.- 3 C. 1 3 D. 2 3 ) y=sinx B.y=lnx2 C.y= x D.y=sinx

10× 9 2 【解析】 a10=a1+9d=10,S10=10a1+ d=10a1+45d=70,解得 d= .故选 D. 2 3 2x ,x<0, ? ? ? 4.已知函数 f(x)=? 则 f [ f ( )] ? ( π - tan x , 0≤ x < , 4 ? 2 ? A.2
【答案】C
3


D. ?1

B.1

C. ? 2

【命题意图】本题主要考查复合函数求值,属容易题.
π π π π π 【解析】∵ ∈[0, ),∴f( )=-tan =-1.∴f(f( ))=f(-1)=2× (-1)3=-2. 4 2 4 4 4 5.若命题“?x0∈R,使得 x2 0+mx0+2m-3<0”为假命题,则实数 m 的取值范围是( A. [2,6] 【答案】A B. [ ?6, ?2] C. (2,6) D. ( ?6, ?2) )

【命题意图】本题主要考查用特称命题的否定解决问题,属中等题.
2 【解析】∵命题“?x0∈R,使得 x2 0+mx0+2m-3<0”为假命题,∴命题“?x∈R,使得 x +mx+2m

-3≥0”为真命题,∴Δ≤0,即 m2-4(2m-3)≤0,∴2≤m≤6.

π 6.将函数 y=sin(2x+φ)的图像沿 x 轴向左平移 个单位后,得到一个函数 8 π f ( x) 的图像,则“ f ( x) 是偶函数”是“φ=4”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件
3


3
正视图

1

3
侧视图

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】B 【命题立意】本题考查三角函数的图像变换以及充分必要条件,属中 等题.

俯视图

π π 【解析】 把函数 y=sin(2x+φ)的图像向左平移 个单位后, 得到的图像的解析式是 y=sin(2x+ +φ), 8 4 π π π 该函数是偶函数的充要条件是 +φ=kπ+ ,k∈Z,所以则“f(x)是偶函数”是“φ= ”的必要不充分条 4 2 4 件,选 B.

7.右图是一个几何体的三视图,则该几何体体积是( A.14
【答案】B

) D.18

B.15

C.16

【命题立意】本题考查由三视图构造几何体的直观图并求其体积,属中等题. 【解析】三棱柱体积—三棱锥体积. 8.已知 S n 是等差数列 {an } 的前 n 项和,且 S6 ? S7 ? S5 ,给出下列五个命题: ① d ? 0 ;②

S11 ? 0 ;③ S12 ? 0 ;④数列 ?S n ? 中的最大项为 S11 ;⑤ a6 ? a7 . 其中正确命题的个数是
( ) A.5 B.4 C.3 D.1

【答案】C 【命题立意】本题主要考查等差数列相关知识及前 n 项和增减性等,推理等相关知识,属中 等题. 【解析】 S6 ? S5 ? a6 ? 0, S7 ? S6 ? a7 ? 0, S7 ? S5 ? a6 ? a7 ? 0, d ? a7 ? a6 ? 0

S11 ?

11(a1 ? a11 ) 12(a1 ? a12 ) ? 11a6 ? 0, S12 ? ? 6(a6 ? a7 ) ? 0, 2 2

a6 ? 0, a7 ? 0, a6 ? a7 ? 0,? a6 ? a7 ,①②⑤正确
9.过双曲线 C1 :

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F 作圆 C2 : x 2 ? y 2 ? a 2 的切线,设切点 2 a b


为 M, 延长 FM 交双曲线 C1 于点 N, 若点 M 为线段 FN 的中点, 则双曲线 C1 的离心率为 ( A. 5 B.

5 2

C. 5 +1

D.

5 ?1 2

【答案】A 【命题立意】本题考查圆锥曲线离心率,属中等题. 【解析】 FN ? 2b, F 1 N ? 2a FN ? F 1N ? 2a ? b ? 2a, 则 e ? 5 . 10. 已知过球面上三点 A、 B、 C 的截面到球心距离等于球半径的一半, 且 AC ? BC ? 6 , AB ? 4 , 则球面面积为( )

A. 42?

B. 48?

C. 54?

D. 60?

【答案】C 【命题立意】本题考查立体几何中的球的切接和球的表面积问题,属中等偏难题.

9 2 27 , S球表 ? 4? R2 ? 54? . ? R2 ? 4 2 11.已知点 C 为线段 AB 上一点, P 为直线 AB 外一点,PC 是 ?APB 角的平分线, I 为 PC
【解析】 ?ABC 外接圆的半径 r ? 上 一 点 , 满 足 BI ? BA ? ? (

AC

| AC | | AP |

?

AP

)( ? ? 0) , | PA | ? | PB |? 4 , | PA ? PB |? 10 , 则

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ??? ? BI ? BA ??? ? 的值为( | BA |



A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

【答案】B 【命题立意】本题主要考查向量运算,数量积及其几何意义、圆的切线长等,属难题. 【解析】? | PA ? PB |?| AB |? 10 ,PC 是 ?APB 角的平分线,

??? ? ??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? AC AP ? )( ? ? 0) , ? ? ??? ? ), 又 BI ? BA ? ? ( 即 AI ? ? ( ??? | AC | | AP | | AC | | AP |
AC AP
所以 I 在∠BAP 的角平分线上,由此得 I 是△ABP 的内心,过 I 作 IH⊥AB 于 H, I 为圆心, IH 为半径, 作△PAB 的内切圆, 如图, 分别切 PA,PB 于 E、F,? | PA | ? | PB |? 4 , | PA ? PB |? 10 ,

???? ??? ? 1 ??? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? 1 ??? BH ? BF ? PB ? AB ? PA ? ? AB ? PA ? PB ? ? 3 , ? 2 2? ???? ??? ??? ? BH ???? BI ? BA ??? 在直角三角形 BIH 中, cos ?IBH ? ??? ,所以 ??? ? ? BI cos ?IBH ? BH ? 3 . | BA | BI
?? x ? 1( x ? 0) 12.已知函数 f ( x) ? ? ,则函数 y ? f [ f ( x)] ? 1 的零点个数是( ?ln x( x ? 0)
A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A 【命题立意】本题考查分段及复合函数零点问题,属难题. 【解析】利用数形结合知 y ? f [ f ( x)] ? 1 仅在 (1, ??) 内有一零点. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) )

?

?

?

?

n a1 ? l n a2 ????? l n a2 13. 等比数列 {an } 的各项均为正数, 且 a10 a11 ? a9 a12 ? 2e5 , 则l 0
【答案】50 【命题立意】本题考查等比数列性质问题,属中等题. 【解析】 因为{an}为等比数列,所以由已知可得 a10a11=a9a12=a1a20=e5.

=________.

于是 lna1+lna2+…+lna20=ln(a1a2a3…a20). 而 a1a2a3…a20=(a1a20)10=(e5)10=e50,因此 lna1+lna2+…+lna20=lne50=50. 14.已知函数 f ( x) 满足 f ( x ? 6) ? f ( x) ? 0 ,函数 y ? f ( x ? 1) 关于点 (1,0) 对称, f (1) ? ?2 ,则

f (2015) ? _________.
【答案】2 【命题立意】本题考查函数周期、图像平移、对称、奇偶性等性质问题,属中等题. 【解析】由于 f ?x ? ? ? f ?x ? 6? ,? f ?x ? 12? ? f ??x ? 6? ? 6? ? ? f ?x ? 6? ? f ?x ? ,

故函数的周期为 12 ,把函数 y ? f ?x ? 的图象向右平移 1 个单位,得 y ? f ?x ? 1? ,因此

y ? f ?x ? 的 图 象 关 于 ?0,0? 对 称 , ? f ? 2015? ? f ?167 ?12 ?11? ? f ?11? ? f ?11?12? ? f ? ?1? ? ? f ?1? ? 2 .











?x ? 0 x ? 2y ? 3 ? 15.设 x , y 满足约束条件 ? y ? x ,则 的取值范围是__________. x ?1 ? 4 x ? 3 y ? 12 ?
【答案】 ?3,11? 【命题立意】本题考查线型规划、斜率等问题,属中等题.
【解析】

x ? 2y ? 3 2( y ? 1) ? 1? ,可行域内点与点(-1,-1)斜率的 2 倍加 1. x ?1 x ?1

16. 对于函数 y ? f ( x) , 若在其定义域内存在 x0 , 使得 x0 ? f ( x0 ) ? 1 成立, 则称 x0 为函数 f ( x) 的“反比点”.下列函数中具有“反比点”的是_________. ① f ( x) ? ?2x ? 2 2 ; ② f ( x) ? sin x, x ?[0, 2? ] ; ③ f ( x) ? x ?

1 , x ? (0, ??) ;④ f ( x) ? e x ; ⑤ f ( x) ? ?2ln x . x

【答案】①②④ 【命题立意】本题考查方程、函数零点、导数求最值,属中等偏难题. 【解析】①由 x (?2 x ? 2 2) =1 得: 2 x 2 ? 2 2 x ? 1 ? 0 ? x ?

2 ,所以①具有“反比点”. ② 2

设 h( x) ? x sin x ? 1 ,∵h(0)=-1<0, h ?

?? ? ? ?2 ?0, ?? 2 ?2? ? ?? ? 上有解,所以②具有“反比点”. ? 2?

∴ h( x) ? x sin x ? 1 ? 0 ? x sin x ? 1 在 ? 0,

③由 x ? x ?

? ?

1? 2 ? ? 1 ? x ? 0 ? x ? 0 ? ? 0, ?? ? ,所以③不具有“反比点”; x?

④若 xe x ? 1 令 g ( x) ? xe x ? 1, g (0) ? ?1 ? 0, g (1) ? e ? 1 ? 0 ④具有“反比点” ⑤若 ?2 x ln x ? 1 ? x ln x ?

1 在 ? 0, ?? ? 上 有解, ?2

令 h ? x ? ? x ln x ? h?( x) ? ln x ? 1 ? 0 ? x ? e ?1 ,

可得 h(x)在 x ? e ?1 有最小值 ?e ?1 ,而 ?e ?1 ?

1 ,所以⑤不具有“反比点” ?2

三、解答题(本大题共 8 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, 角 A、 B、 C 所对的边为 a、 b、 c, 已知 A ? 450 , cos B ? (1)求 cos C 的值; (2)若 BC ? 10 ,D 为 AB 的中点,求 CD 的长. 【命题立意】本题考查诱导公式;同角三角函数关系;正弦定理;余弦定理.属中等题. 【解析】 (1)? cos B ?

4 . 5

4 3 , 且 B ? (0? ,180? ) ,∴ sin B ? 1 ? cos 2 B ? .---------2 分 5 5 ? ? cos C ? cos(180 ? A ? B) ? cos(135 ? B) ---------------- 3 分

? cos135? cos B ? sin135? sin B ? ?

2 4 2 3 2 .--------------6 分 ? ? ? ?? 10 2 5 2 5

(2)由(1)可得 sin C ? 1 ? cos 2 B ? 1 ? (? 由正弦定理得

2 2 7 ) ? 2 .--------------8 分 10 10

BC AB 10 AB ? ? ,即 ,解得 AB ? 14 .------------10 分 7 sin A sin C 2 2 10 2 4 2 2 2 在 ?BCD 中, BD ? 7 , CD ? 7 ? 10 ? 2 ? 7 ?10 ? ? 37 , 5 所以 CD ? 37 .-------------------------12 分
1 18. (本小题满分 12 分)袋中装有黑球和白球共 7 个,从中任取 2 个球都是白球的概率为 。 7 现在甲、乙两人从袋中轮流摸取 1 球,甲先取,乙后取,然后甲再取……,取后不放回,直 到两人中有一人取到白球为止, 每个球在每一次被取出的机会是相等的, 用 ξ 表示终止时所需 要的取球次数. (1)求袋中原有白球的个数; (2)求随机变量 ξ 的概率分布列及期望. 【命题立意】本题考查概率及概率分布.属中等题. n(n-1) 2 n(n-1) 1 C2 n 【解析】(1)设袋中原有 n 个白球,由题意知 = 2= = ,--------3 分 7 C7 7× 6 7× 6 2 所以 n(n-1)=6,解得 n=3 或 n=-2(舍去). 即袋中原有 3 个白球.-------------------6 分 (2)由题意知 ξ 的可能取值为 1,2,3,4,5. 3 4× 3 2 4× 3× 3 6 4× 3× 2× 3 3 P(ξ=1)= ;P(ξ=2)= = ;P(ξ=3)= = ; P(ξ=4)= = ; 7 7× 6 7 7× 6× 5 35 7× 6× 5× 4 35 4× 3× 2× 1× 3 1 P(ξ=5)= = .所以取球次数 ξ 的概率分布如下表所示: 7× 6× 5× 4× 3 35 ξ 1 2 3 4 5 P 3 2 6 3 1 P 7 7 35 35 35 ? E? ? 2 -------------------12 分(第 2 问每个答案一分) 19. (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 A G F D

B

E

C

ABCD 是平行四边形,PG⊥平面 ABCD,垂足为 G,G 在 AD 上,且 PG=4, AG ? BG⊥GC,GB=GC=2,E 是 BC 的中点. (1)求异面直线 GE 与 PC 所成角的余弦值; (2)若 F 点是棱 PC 上一点,且 DF⊥GC,求

1 GD , 3

PF 的值. FC

【命题立意】本题考查立体几何的问题.属中等题. 【解析】(1)以 G 点为原点, GB 、 GC 、 GP 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系, 则 B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,4), 故 E(1,1,0), GE =(1,1,0), PC =(0,2, 4) -------2 分

PC ?? ? cos ? GE ,

GE ? PC | GE | ? | PC |

?

2 10 ----4 分 ? 10 2 ? 20

10 .-------------------6 分 10 3 3 3 3 (2)解:设 F(0,y,z),则 DF ? (0 , y, z) ? (? , , 0) ? ( , y? , z) 2 2 2 2 ∵ DF ? GC ,∴ DF ? GC ? 0 ,
∴GE 与 PC 所成角的余弦值为

3 3 , z) ? (0, 2, 0) ? 2 y ? 3 ? 0 ,∴ y ? ,-------------------8 分 2 2 3 又 PF ? ? PC ,即(0, ,z-4)=λ(0,2,-4), 2 3 ∴z=1,故 F(0, ,1) ,-------------------10 分 2
即 ( ,y ?

3 2

3 1 PF ? (0, , ? 3), FC ? (0, , ? 1) ,∴ PF ? 2 2 FC

3 5 2 ? 3 -------------------12 分 5 2

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C :

x2 y 2 6 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率 e ? ,过点 2 a b 3

R (?1, 0) 的直线 l 与椭圆 C 交于 P, Q 两点,且 PR ? 2RQ .
(1)当直线 l 的倾斜角为 60 时,求三角形 OPQ 的面积; (2)当三角形 OPQ 的面积最大时,求椭圆 C 的方程. 【命题立意】本题考查椭圆标准方程的求解及研究直线和椭圆相交时对应三角形面积的最值. 属中等题.
0

??? ?

??? ?

6 2 2 2 2 2 得 a ? 3b ,所以 C : x ? 3 y ? 3b .-------------------2 分 3 ? x1 ? 2 x2 ? ?1 uur uuu r ? ? 3 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ), ,则由 PR ? 2RQ , R(?1, 0) ,得 ? ---------3 分 ? y1 ? 2 y2 ? 0 ? ? 3 uur uuu r 2 2 2 由 PR ? 2RQ 知直线 l 斜率存在设为 k ,得直线 l 的方程 y ? k ( x ? 1) ,代入 C : x ? 3 y ? 3b
【解析】由 e ?

? ?6k 2 x ? x ? ? ? uur uuu r ? 1 2 3k 2 ? 1 2 2 2 2 2 得 (3k ? 1) x ? 6k x ? 3k ? 3b ? 0 ,由 PR ? 2 RQ知 ? ? 0 ,且 ? 解得 2 2 ? x x ? 3k ? 3b ? 1 2 ? 3k 2 ? 1 ? ? ?3k 2 ? 3 x ? ? ? ? 1 3k 2 ? 1 ,-------------------6 分 ? 2 ? x ? ?3k ? 3 ? 2 ? 3k 2 ? 1 ? k 3k 1 SVOPQ ? OR y1 ? y2 ? x1 ? x2 ? 2 -------------------8 分 2 2 3k ? 1 3k 3 3 (1) k ? 3 代入得 SVOPQ ? 2 -------------------10 分 ? 3k ? 1 10 k 3k 1 3 3 (2) ( k ? 0 时) SVOPQ ? OR y1 ? y2 ? x1 ? x2 ? 2 ? ? 2 2 3k ? 1 3 k ? 1 2 k
1 5 1 3 2 2 2 时三角形 OPQ 的面积最大,把 k ? 代入得 b ? .? a ? 5 k2 ? ,k ? ? 3 3 3 3 x2 3 y 2 ? ? 1 .-------------------12 分 于是椭圆 C 的方程为 5 5
注:其他书写酌情给分,原则上每一问 6 分. 21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? a( x ? 1) , g ( x) ? e x . (1) (i)求证: g ( x) ? x ? 1 ; (ii)设 h( x) ? f ( x ? 1) ? g ( x) ,当 x ? 0 , h( x ) ? 1 时,求实数 a 的取值范围; (2)当 a ? 0 时,过原点分别作曲线 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的切线 l1 , l2 ,已知两切线的斜率 互为倒数,证明:

e ?1 e2 ? 1 ?a? . e e
x x

【命题立意】本题考查用导数求证不等式、求参数范围、含参讨论等,属难题。 【解析】 (1) (i) 令 u( x) ? e ? ( x ? 1) , 则 u?( x) e ? 1 ,? x ? 0 时 u?( x) ? 0 ,x ? 0 时 u?( x) ? 0 , 所以 u( x) ? u(0) ? 0 ,即 g ( x) ? x ? 1 ;-----------------2 分
x (ii) h( x) ? f ( x ? 1) ? g ( x) ? ln( x ? 1) ? ax ? e , h?( x) ? e ?
x

1 ?a . x ?1

①当 a ? 2 时,由(1)知 e ? x ? 1 ,
x

所以 h?( x) ? e ?
x

1 1 ? a ? x ?1? ?a ? 2?a ? 0, x ?1 x ?1 h( x) 在 ?0, ??? 上递增, h( x) ? h(0) ? 1 恒成立,符合题意.------------------4 分

1 ( x ? 1)2 e x ? 1 ? ? 0 ,所以 h?( x) 在 ?0, ??? 上递 ( x ? 1)2 ( x ? 1)2 增,且 h?(0) ? 2 ? a ? 0 ,则存在 x0 ? (0, ??) ,使得 h?(0) ? 0 . 所以 h( x) 在 (0, x0 ) 上递减,在 ( x0 , ??) 上递增,又 h( x0 ) ? h(0) ? 1 ,所以 h( x) ? 1 不恒
x ②当 a ? 2 时,因为 h??( x) ? e ?

成立,不合题意.

综合①②可知,所求实数 a 的取值范围是 ? ??, 2? .------------------6 分

(2)设切线 l2 的方程为 y ? k2 x ,切点为 ( x2 , y2 ) ,则 y2 ? ex2 ,

y2 x ,所以 x2 ? 1 , y2 ? e ,则 k2 ? e 2 ? e . x2 1 1 1 由题意知,切线 l1 的斜率为 k1 ? ? , l1 的方程为 y ? k1 x ? x . e k2 e 1 1 y 设 l1 与曲线 y ? f ( x) 的切点为 ( x1 , y1 ) ,则 k1 ? f ?( x1 ) ? ? a ? ? 1 , x1 e x1 x 1 1 所以 y1 ? 1 ? 1 ? ax1 , a ? ? . e x1 e 1 1 又因为 y1 ? ln x1 ? a( x1 ? 1) ,消去 y1 和 a 后,整理得 ln x1 ? 1 ? ? ? 0 -------9 分令 x1 e 1 1 1 1 x ?1 m( x) ? ln x ? 1 ? ? ? 0 ,则 m' ( x) ? ? 2 ? 2 , x e x x x m( x) 在 (0,1) 上单调递减,在 (1, ??) 上单调递增. 1 1 1 1 若 x1 ? (0,1) ,因为 m( ) ? ?2 ? e ? ? 0 , m(1) ? ? ? 0 ,所以 x1 ? ( ,1) , e e e e 2 1 e ?1 e ?1 1 1 ?a? 而 a ? ? 在 x1 ? ( ,1) 上单调递减,所以 . e e e x1 e 若 x1 ? (1, ??) ,因为 m( x ) 在 (1, ??) 上单调递增,且 m(e) ? 0 ,则 x1 ? e , 1 1 所以 a ? ? ? 0 (舍去) . x1 e k2 ? g ?( x2 ) ? e x2 ?
e ?1 e2 ? 1 ? a ? 综上可知, .------------------12 分 e e
请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号上方的方框涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 已知 A, B, C, D 为圆 O 上的四点, 直线 DE 为圆 O 的切线, D 为 切点,AC∥DE,AC 与 BD 相交于 H 点. (1)求证:BD 平分∠ABC; (2)若 AB=4,AD=6,BD=8,求 AH 的长. 证明: (1)? DE // AC,? ?CDE ? ?ACD , 又? DE 切圆 O 于点 D ,? ?CDE ? ?CBD , ? ?ACD ? ?CBD ,而 ?ACD ? ?ABD , ? ?CBD ? ?ABD ,即 BD 平分∠ABC;-------------5 分 (2)由(1)知 ?CBD ? ?ABD ,又? ?CBD ? ?CAD , ? ?ABD ? ?CAD 又? ?ADH 为公共角, ∴ ?DBA 与 ?DAH 相似,?

AH AD ? , AB BD

∵AB=4,AD=6,BD=8,∴AH=3.-------------10 分 23. (本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,已知圆 C 的圆心 C C (3,

?
6

) ,半径 r=3.

(1)求圆 C 的极坐标方程; (2)若点 Q 在圆 C 上运动,P 在 OQ 的延长线上,且|OQ|∶|QP|=3∶2,求动点 P 的轨迹方程.

【解析】(1)设 M(ρ,θ)为圆 C 上任一点,OM 的中点为 N, π? ∵O 在圆 C 上,∴△OCM 为等腰三角形,由垂径定理可得|ON|=|OC|cos? ?θ-6?, π? ? π? ∴|OM|=2× 3cos? ?θ-6?,即 ρ=6cos?θ-6?为所求圆 C 的极坐标方程.-------------5 分 (2)设点 P 的极坐标为(ρ,θ),因为 P 在 OQ 的延长线上,且|OQ|∶|QP|=3∶2,所以点 Q 的坐标为 π? 3 ?3ρ,θ?, ? π? 所以 ρ=6cos? ?5 ? 由于点 Q 在圆上, ?θ-6?.故点 P 的轨迹方程为 ρ=10cos?θ-6?.-------------10 5 分

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x | , g ( x) ? ? | x ? 4 | ?m . (1)解关于 x 的不等式 g[ f ( x)] ? 2 ? m ? 0 ; (2)若函数 f ( x) 的图像恒在函数 g ( x) 图像的上方,求实数 m 的取值范围. 【解析】 (1)由 g[ f ( x)] ? 2 ? m ? 0 得 || x | ?4 |? 2 ,??2 ?| x | ?4 ? 2 ? 2 ?| x |? 6 故不等式的解集为 ? ?6, ?2? ? ? 2,6? -------------5 分 (2)∵函数 f ( x) 的图象恒在函数 g ( x) 图象的上方 ∴ f ( x) ? g ( x) 恒成立,即 m ?| x ? 4 | ? | x | 恒成立------------8 分 ∵ | x ? 4 | ? | x | ? | ( x ? 4) ? x |? 4 , ∴ m 的取值范围为 m ? 4 . -------------10 分 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org


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