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【高考聚焦】2015届高考数学(理)一轮复习题库(梳理自测+重点突破+能力提升):8.5椭圆]


第 5 课时





1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质. 2.了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用. 3.理解数形结合的思想.

[对应学生用书 P137]

【梳理自测】 一、椭圆的概念 x y 已知椭圆 + =1 上一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3,则

P 到另一个焦点的距离为 25 16 ( )
2 2

A.2 C.5 D.7
答案:D ◆此题主要考查了以下内容:

B.3

在平面内到两定点 F1、F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭 圆.这两定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做焦距. 集合 P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中 a>0,c>0,且 a,c 为常数: (1)若 2a>2c,则集合 P 为椭圆; (2)若 2a=2c,则集合 P 为线段; (3)若 2a<2c,则集合 P 为空集. 二、椭圆的标准方程和几何性质 1.(教材改编)若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为 18,焦距为 6,则椭 圆的方程为( )

A. + =1 B. + =1 C. + =1 或 + =1 D.以上都不对
x y 2.(教材改编)椭圆 + =1 的焦距为 4,则 m 等于( 10-m m-2
2 2

x 9

2

y 16

2

x y 25 16
2 2

2

2

x 25

2

y 16

2

x y 16 25

)

A.4 B.8 C.4 或 8 D.12
x y 10 3.(教材改编)已知椭圆 + =1 的离心率 e= ,则 m 的值为________. 5 m 5 x y 4.(教材改编)设 P 是椭圆 + =1 上的点,若 F1,F2 是椭圆的两焦点,则△PF1F2 的 25 16 周长为________. 答案:1.C 2.C 3.3 或 25 3 4.16
2 2 2 2

◆以上题目主要考查了以下内容: 标准方程 x y 2+ 2=1(a>b>0) a b
2 2

y x 2+ 2=1(a>b>0) a b

2

2

图形

范围 对称性 顶点 轴 焦距 离心率 a,b,c 的关 系

-a≤x≤a-b≤y≤b 对称轴:坐标轴

-b≤x≤b-a≤y≤a 对称中心:原点

A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b), A1(0,-a),A2(0,a) B2(0,b) B1(-b,0),B2(b,0)

性质

长轴 A1A2 的长为 2a;短轴 B1B2 的长为 2b |F1F2|=2c c e= ∈(0,1) a c =a -b 【指点迷津】
2 2 2

1.一个统一 x y 2 2 椭圆焦点位置与 x ,y 系数间的关系是统一的,给出椭圆方程 + =1 时,椭圆的焦 m n 点在 x 轴上?m>n>0;椭圆的焦点在 y 轴上?0<m<n.
2 2

2.两种方法 (1)定义法:根据椭圆定义,确定 a 、b 的值,再结合焦点位置,直接写出椭圆方程. (2)待定系数法:根据椭圆焦点是在 x 轴还是 y 轴上,设出相应形式的标准方程,然后 根据条件确定关于 a、b、c 的方程组,解出 a 、b ,从而写出椭圆的标准方程.
2 2 2 2

[对应学生用书 P138]

考向一

椭圆的定义

x y (2014·徐州模拟)已知 F1、F2 是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的两个焦点,P 为 a b → → 椭圆 C 上的一点,且PF1⊥PF2.若△PF1F2 的面积为 9,则 b=________. 【审题视点】 从题目中关注△PF1F2 面积的表示以及椭圆的两焦点与椭圆上的点组成

2

2

的三角形的性质,结合定义求解. 【典例精讲】 设|PF1|=r1,|PF2|=r2,

? ?r1+r2=2a, 则? 2 2 2 ?r1+r2=4c , ?

∴2r1r2=(r1+r2) -(r1+r2)=4a -4c =4b , 1 2 ∴S△PF1F2= r1r2=b =9, 2 ∴b=3. 【答案】 3

2

2

2

2

2

2

【类题通法】 椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”, 利用定义可求其周长, 利用定义和余弦定理可求|PF1|· |PF2|; 通过整体代入可求其面积等.

1.已知圆(x+2) +y =36 的圆心为 M,设 A 为圆上任一点,N(2,0),线段 AN 的垂直 平分线交 MA 于点 P,则动点 P 的轨迹是( )

2

2

A.圆 C.双曲线 D.抛物线

B.椭圆

解析:选 B.点 P 在线段 AN 的垂直平分线上, 故|PA|=|PN|.又 AM 是圆的半径,

∴|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|, 由椭圆定义知,P 的轨迹是椭圆. 考向二 求椭圆的标准方程

(1)若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形;且焦点到同侧顶点的 距离为 3,则椭圆的标准方程为________; y x (2)(2014·西安模拟)过点( 3,- 5),且与椭圆 + =1 有相同焦点的椭圆的标准 25 9 方程为________. 【审题视点】 (1)建立 a、c 的方程,再求 b.
2 2

(2)可确定焦点,利用定义或者利用其焦点的椭圆方程求解. c 1 ? ?a=2 ?c= 3 【典例精讲】 (1)由题意可知? ,∴? , ?a=2 3 ? ?a-c= 3 ∴b =a -c =12-3=9. x y x y 椭圆方程为 + =1 或 + =1. 12 9 9 12 (2) y x + =1 的焦点为(0,±4),即为所求椭圆焦点. 25 9 ∴2a= ( 3) +(- 5-4) + ( 3) +(- 5+4)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

(方法一)

=2 20,∴a= 20, ∴b =20-16=4, y x ∴椭圆为 + =1. 20 4 (方法二) ∴ y x 设所求椭圆为 + =1 过定点( 3,- 5), 25+m 9+m
2 2 2 2 2

5 3 + =1,∴m=-5, 25+m 9+m
2 2

y x ∴椭圆为 + =1. 20 4 【答案】 x y x y (1) + =1 或 + =1 12 9 9 12
2 2 2 2

y x (2) + =1 20 4

2

2

【类题通法】

求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定形,再定

量,即首先确定焦点所在位置,然后再根据条件建立关于 a,b 的方程组.如果焦点位置不 确定,要考虑是否有两解.有时为了解题方便,也可把椭圆方程设成 mx +ny =1(m>0,n >0,m≠n)的形式.
2 2

2.(2014·惠州调研)已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 椭圆 G 上一点到其两个焦点的距离之和为 12,则椭圆 G 的方程为( )

3 ,且 2

A. + =1 B. + =1 C. + =1 D. + =1
解析:选 C.依题意设椭圆 G 的方程为 x y 2+ 2=1(a>b>0), a b ∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为 12, ∴2a=12,∴a=6. ∵椭圆的离心率为 a -b 3 ∴ = , a 2 ∴ 36-b 3 2 = ,解得 b =9, 6 2
2 2 2 2 2 2 2

x 4

2

y 9

2

x 9

2

y 4

2

x 36

2

y 9

2

x 9

2

y 36

2

3 , 2

x y ∴椭圆 G 的方程为 + =1.故选 C. 36 9 考向三 椭圆的几何性质及应用
2 2

x y (1)(2013·高考辽宁卷)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,椭圆 C a b 4 与过原点的直线相交于 A,B 两点,连接 AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF= ,则 5 椭圆 C 的离心率 e=________. (2)已知动点 P(x,y)在椭圆 x y → → → + =1 上,若 A 点的坐标为(3,0),|AM|=1,且PM·AM 25 16
2 2

→ =0,则|PM|的最小值为________. 【审题视点】 (1)利用焦点三角形的边角关系求 BF 和 AB.

→ (2)由|AM|=1 求点 M 的轨迹,根据切线长的计算,研究椭圆上的点到焦点的最小距离. 【典例精讲】 设椭圆的右焦点为 F1,因为直线过原点,所以|AF|=|BF1|=6,|BO|

4 2 =|AO|.在△ABF 中,设|BF|=x,由余弦定理得 36=100+x -2×10x× ,解得 x=8,即 5 |BF|=8,所以∠BFA=90°,所以△ABF 是直角三角形,所以 2a=6+8=14,即 a=7.又因 1 5 为在 Rt△ABF 中,|BO|=|AO|,所以|OF|= |AB|=5,即 c=5.所以 e= . 2 7

→ (2)由|AM|=1,A(3,0)知点 M 在以 A(3,0)为圆心,1 为半径的圆上运动, → → ∵PM·AM=0 且 P 在椭圆上运动, ∴PM⊥AM,∴PM 为⊙A 的切线,连结 PA(如图), → 则|PM|= = |PA― →| -|AM― →|
2 2 2

|PA― →| -1,

→ → ∴当|PA|min=a-c=5-3=2 时,|PM|min= 3.

【答案】

(1)

5 7

(2) 3 x y (1)椭圆的几何性质常涉及一些不等关系,例如对椭圆 2+ 2=1(a>b a b
2 2

【类题通法】

>0)有-a≤x≤a,-b≤y≤b,0<e<1 等,在求与椭圆有关的一些量的范围,或者求这些 量的最大值与最小值. (2)椭圆上任意一点 M 到焦点 F 的所有距离中,长轴端点到焦点的距离分别为最大距离 和最小距离,且最大距离为 a+c,最小距离为 a-c. (3)求椭圆的离心率,常见的有三种方法:一是通过已知条件列方程组,解出 a,c 的 值;二是由已知条件得出关于 a,c 的二元齐次方程,然后转化为关于离心率 e 的一元二次 方程求解;三是通过取特殊值或特殊位置,求出离心率.

→ 3.(2014·长春模拟)在以 O 为中心,F1、F2 为焦点的椭圆上存在一点 M,满足|MF1|= → → 2|MO|=2|MF2|,则该椭圆的离心率为( )

A. C.

2 2 6 3

B. D.
2 4

3 3

解析:选 C.不妨设 F1 为椭圆的左焦点,F2 为椭圆的右焦点,过点 M 作 x 轴的垂线,交 → → → ?c ? x 轴于 N 点, 则 N 点坐标为? ,0?.设|MF1|=2|MO|=2|MF2|=2t(t>0), 根据勾股定理可知, ?2 ? 6 3t c 6 → 2 → 2 → 2 → 2 |MF1| -|NF1| =|MF2| -|NF2| ,得到 c= t,而 a= ,则 e= = ,故选 C. 2 2 a 3

[对应学生用书 P139]

直线与椭圆位置关系的规范答题 x y (2013·高考安徽卷)设椭圆 E: 2+ 2=1 的焦点在 x 轴上. a 1-a (1)若椭圆 E 的焦距为 1,求椭圆 E 的方程; (2)设 F1、F2 分别是椭圆 E 的左、右焦点,P 为椭圆 E 上第一象限内的点,直线 F2P 交 y 轴于点 Q,并且 F1P⊥F1Q .证明:当 a 变化时,点 P 在某定直线上. 【审题视点】 ①利用焦距直接求字母 a 的值.
2 2

②设出 P 点坐标,并求其横、纵坐标的关系式,利用点的坐标满足直线方程. 【思维流程】 利用 c =a -b 关系求解方程中的 a,写出方程. 设点 P(x0,y0),求 kF1P、kF2P. 求 Q 点坐标和 kF1Q. 利用 F1P⊥F1Q,求 x0 与 y0 的关系. 求 P 点坐标,并验证直线. 1 5 2 2 【规范答题】 (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上且焦距为 1,所以 2a -1= ,解得 a = . 4 8 8x 8y 故椭圆 E 的方程为 + =1.4 分 5 3 (2)证明:设 P(x0,y0),F1(-c,0),F2(c,0), 其中 c= 2a -1. 由题设知 x0≠c,则直线 F1P 的斜率 kF1P= y0 直线 F2P 的斜率 kF2P= .6 分 x0-c y0 故直线 F2P 的方程为 y= (x-c).7 分 x0-c y0 ,5 分 x0+c
2 2 2 2 2 2

cy0 ? cy0 ? 当 x=0 时,y= ,即点 Q 坐标为?0, ?.8 分 c-x0 ? c-x0? y0 因此,直线 F1Q 的斜率为 kF1Q= .9 分 c-x0 由于 F1P⊥F1Q,所以 kF1P·kF1Q=
2 2 2

y0 y0 · =-1. x0+c c-x0

化简得 y0=x0-(2a -1).①10 分 将①代入椭圆 E 的方程,由于点 P(x0,y0)在第一象限,解得 x0=a ,y0=1-a ,即点 P 在定直线 x+y=1 上.12 分 【规范建议】 关系式. (2)此题分清 F1、F2 的左右焦点,当直线 F2P 与 y 轴相交时,才隐含着 x0≠c(否则,F2P 与 y 轴平行),kF2P=
2 2 2

(1)已知椭圆方程形式,首先确定长轴及短轴,才可利用 c =a -b 的

2

2

2

y0 才有意义. x0-c
2 2

(3)求出 x0=a ,y0=1-a 后,即求出了 P 点满足的参数方程,消去 a ,即为 P 点的直 线方程.

x y 1.(2013·高考全国新课标卷)设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2, a b P 是 C 上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则 C 的离心率为( )

2

2

A. C.

3 6 1 2

B. D.
3 3

1 3

解析:选 D.根据椭圆的定义以及三角知识求解. |PF2| 1 如图,由题意知 sin 30°= = ,∴|PF1|=2|PF2|. |PF1| 2 又∵|PF1|+|PF2|=2a, 2a ∴|PF2|= . 3 2a |PF2| 3 3 ∴tan 30°= = = . |F1F2| 2c 3 c 3 ∴ = .故选 D. a 3 x y 2.(2013·高考辽宁卷)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,椭圆 C 与过原点 a b
2 2

4 的直线相交于 A,B 两点,连接 AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF= ,则椭圆 C 的 5 离心率为( )

A. C.

3 5 4 5

B. D.

5 7 6 7

解析:选 B.利用余弦定理确定 AF,进而判定△ABF 的形状,利用椭圆定义及直角三角 形性质确定离心率. 4 2 2 2 2 2 在△ABF 中,|AF| =|AB| +|BF| -2|AB|·|BF|·cos∠ABF=10 +8 -2×10×8× = 5 36,则|AF|=6. 由|AB| =|AF| +|BF| 可知, △ABF 是直角三角形, OF 为斜边 AB 的中线, c=|OF|=
2 2 2

|AB| 2

=5.设椭圆的另一焦点为 F1,因为点 O 平分 AB,且平分 FF1,所以四边形 AFBF1 为平行四边 c 5 形,所以|BF|=|AF1|=8.由椭圆的性质可知|AF|+|AF1|=14=2a?a=7,则 e= = . a 7 3.(2013·高考全国大纲卷)已知 F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆 C 的两个焦点,过 F2 且 垂直于 x 轴的直线交 C 于 A,B 两点,且|AB|=3,则 C 的方程为( )

A. +y2=1 B. + =1 C. + =1 D. + =1
解析:选 C.设出椭圆的方程,依据题目条件用待定系数法求参数. x y 由题意知椭圆焦点在 x 轴上,且 c=1,可设 C 的方程为 2+ 2 =1(a>1),由过 F2 a a -1
2 2

x 2 x 4

2

x 3 x 5

2

y 2 y 4

2

2

y 3

2

2

2

? 3? 且垂直于 x 轴的直线被 C 截得的弦长|AB|=3,知点?1, ?必在椭圆上,代入椭圆方程化简 ? 2?
1 x y 得 4a -17a +4=0,所以 a =4 或 a = (舍去).故椭圆 C 的方程为 + =1. 4 4 3
4 2 2 2 2 2

x y 4.(2013·高考全国大纲卷)椭圆 C: + =1 的左、右顶点分别为 A1、A2,点 P 在椭 4 3 圆 C 上且直线 PA2 斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线 PA1 斜率的取值范围是( )

2

2

?1 3? ?3 3? A.? , ? B.? , ? ?2 4?
1 ?2

?8 4?
3 ?4

? ? ? ? C.? ,1? D.? ,1? ? ?
解析:选 B.利用直线 PA2 斜率的取值范围确定点 P 变化范围的边界点,再利用斜率公

式计算直线 PA1 斜率的边界值. 由题意可得 A1(-2,0),A2(2,0),当 PA2 的斜率为-2 时,直线 PA2 的方程为 y=-2(x 26 2 -2),代入椭圆方程,消去 y 化简得 19x -64x+52=0,解得 x=2 或 x= .由点 P 在椭圆 19 3 ?26 24? 上得点 P? , ?,此时直线 PA1 的斜率 k= .同理,当直线 PA2 的斜率为-1 时,直线 PA2 8 ?19 19? 2 2 方程为 y=-(x-2),代入椭圆方程,消去 y 化简得 7x -16x+4=0,解得 x=2 或 x= . 7 3 ?2 12? 由点 P 在椭圆上得点 P? , ?,此时直线 PA1 的斜率 k= .数形结合可知,直线 PA1 斜率的 4 ?7 7 ?

?3 3? 取值范围是? , ?. ?8 4?


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