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圆周运动水平面临界问题


水平面内圆周运动的临界问题
1.如图所示,半径为 R 的圆筒绕竖直中心轴 OO′ 转动,小物块 A 靠在圆筒的 内壁上,它与圆筒的动摩擦因数为 ?,现要使 A 不下落,则圆筒转动的角速 度 ω 至少为 ( D )

?g

A. R B. 2.如图所示,OO′为竖直轴,MN 为固定在 OO′上的水平光滑杆,有两个质量相同的金属球 A、 B 套在水平杆上,AC 和 BC 为抗拉能力相同的两根细线,C 端固定在 转轴 OO′上.当绳拉直时,A、B 两球转动半径之比恒为 2∶1,当转轴 的角速度逐渐增大时 ( ) A.AC 先断 B.BC 先断 C.两线同时断 D.不能确定哪根线先断 .A;对 A 球进行受力分析,A 球受重力、支持力、拉力 FA 三个力作用, 拉力的分力提供 A 球做圆周运动的向心力,得:水平方向 FAcosα=mrAω2,同理,对 B 球: rArB rA rB FA rAcosβ BC AC = = . 由 FBcosβ=mrBω2,由几何关系,可知 cosα= ,cosβ= . 所以: = AC BC FB rBcosα rBrA BC AC 于 AC>BC,所以 FA>FB,即绳 AC 先断. 3 在一个水平转台上放有 A、B、C 三个物体,它们跟台面间的摩擦因数相同.A 的质量为 2m, B、C 各为 m.A、B 离转轴均为 r,C 为 2r.则[ ] A.若 A、B、C 三物体随转台一起转动未发生滑动,A、C 的向心加速度比 B 大 B.若 A、B、C 三物体随转台一起转动未发生滑动,B 所受的静摩擦力最小 C.当转台转速增加时,C 最先发生滑动 D.当转台转速继续增加时,A 比 B 先滑动 【分析】A、 B、 C 三物体随转台一起转动时,它们的角速度都等于转台的角速度,设为 ω.根 据向心加速度的公式 an=ω2r,已知 rA=rB<rC,所以三物体向心加速度的大小关系为 aA=aB< aC. A 错. 三物体随转台一起转动时,由转台的静摩擦力提供向心力,即 f =Fn=mω2r,所以三物体受到的 静摩擦力的大小分别为 fA=mAω2rA=2mω2r, fB=mBω2rB=mω2r, fC=mcω2rc =mω2·2r=2mω2r. 即物体 B 所受静摩擦力最小.B 正确. 由于转台对物体的静摩擦力有一个最大值,设相互间摩擦因数为 ?,静摩擦力的最大值可认为是 fm=?mg.由 fm=Fn,即

?g

g C. R

g ?R D.

得不发生滑动的最大角速度为

即离转台中心越远的物体,使它不发生滑动时转台的最大角速度越小. 由于 rC>rA=rB,所以当转台的转速逐渐增加时,物体 C 最先发生滑动.转速继续增加时,物 体 A、B 将同时发生滑动.C 正确,D 错.

【答】B、C. 4 如图(a)所示,在光滑的圆锥顶用长为 L 的细线悬挂一质量为 m 的小球,圆锥顶角为 2θ,当圆 锥和球一起以角速度 ω 匀速转动时,球压紧锥面.此时绳的张力是多少?若要小球离开锥面, 则小球的角速度至少为多少?

【分析】 小球在水平面内做匀速圆周运动, 由绳子的张力和锥面的支持力两者的合力提供向心力, 在竖直方向则合外力为零。由此根据牛顿第二定律列方程,即可求得解答。

【解】对小球进行受力分析如图(b)所示,根据牛顿第二定律,向心方向上有 T·sinθ-N·cosθ=mω2r ① y 方向上应有 N·sinθ+T·cosθ-G=0 ② ∵r = L·sinθ ③ 由①、②、③式可得 T = mgcosθ+mω2Lsinθ 当小球刚好离开锥面时 N=0(临界条件) 则有 Tsinθ=mω2r ④ T·cosθ-G=0 ⑤

【说明】本题是属于二维的牛顿第二定律问题,解题时,一般可以物体为坐标原点,建立 xoy 直角坐标,然后沿 x 轴和 y 轴两个方向,列出牛顿第二定律的方程, 【例题】用长 L1=4m 和长为 L2=3m 的两根细线,拴一质量 m=2kg 的小球 A,L1 和 L2 的另两 端点分别系在一竖直杆的 O1,O2 处,已知 O1O2=5m 如下图(g=10m·s-2) (1)当竖直杆以的角速度 ω 匀速转动时,O2A 线刚好伸直且不受拉力.求此时角速度 ω1. (2)当 O1A 线所受力为 100N 时,求此时的角速度 ω2.

【分析】小球做圆周运动所需的向心力由两条细线的拉力提供,当小球的运动速度不同时,所受 拉力就不同。 【解】 (1)当 O2A 线刚伸直而不受力时,受力如图所示。 则 F1cosθ=mg ① F1sinθ=mRω12 ②

由几何知识知

∴R=2.4m θ=37° 代入式③ω1=1.77(rad/s) (2)当 O1A 受力为 100N 时,由(1)式 F1cosθ=100×0.8=80(N)>mg 由此知 O2A 受拉力 F2。则对 A 受力分析得 F1cosθ-F2sinθ-mg=0 ④ F1sinθ+F2cosθ= mRω22 ⑤ 由式(4) (5)得

【说明】向心力是一种效果力,在本题中 O2A 受力与否决定于物体 A 做圆周运动时角速度的临 界值.在这种题目中找好临界值是关键. 5.如图所示,把一个质量 m = 1 kg 的物体通过两根等长的细绳与竖直杆上 A、B 两个固定点相 连接,绳 a、b 长都是 1 m,杆 AB 长度是 1.6 m,直杆和球旋转的角速度等于多 少时,b 绳上才有张力?

.如图所示,a、b 两绳都伸直时,已知 a、b 绳长均为 1 m,即 AD = BD =1 m, AO 0.8 1 = =0.8,sinθ=0.6,θ=37°,小球 AO = AB =0.8 m;△AOD 中,cosθ= 2 1 AD

做圆周运动的轨道半径 r= OD = AD ·sinθ=1×0.6 m=0.6 m.,b 绳被拉直但无张力时,小 球所受的重力 mg 与 a 绳拉力 FTa 的合力 F 为向心力,其受力分析如图所示,由图可知小球 的向心力为 F=mgtanθ,根据牛顿第二定律得 F=mgtanθ=mr·ω2 解得直杆和球的角速度为 ω= gtanθ = r 10×tan37° rad/s≈3.5 rad/s。当直杆和球的角速度 ω 0.6

>3.5 rad/s 时,b 中才有张力 题型:有关摩擦力的临界问题 6 如图所示,用细绳一端系着的质量为 M=0.6kg 的物体 A 静止在水平转盘上,细 绳另一端通过转盘中心的光滑小孔 O 吊着质量为 m=0.3kg 的小球 B,A 的重心到 O 点的距离为 0.2m.若 A 与转盘间的最大静摩擦力为 f=2N,为使小球 B 保持静 止,求转盘绕中心 O 旋转的角速度ω的取值范围. (取 g=10m/s2) 解析: 要使 B 静止, 必须相对于转盘静止——具有与转盘相同的角速度. A A 需要的向心力由绳拉力和静摩擦力合成.角速度取最大值时,A 有离心趋势,静摩擦力指向圆心 O;角速度取最小值时,A 有向心运动的趋势,静摩擦力背离圆心 O. 对于 B,T=mg 对于 A,

T + f = Mrω 12
2 T ? f = Mrω 2

ω 1 = 6.5 rad/s
所以

ω 2 = 2.9 rad/s

2.9 rad/s ≤ ω ≤ 6.5 rad/s

7 . 一圆盘可以绕其竖直轴在图 2 所示水平面内转动,圆盘半径为 R。甲、乙物体质量分别是 M 和 m(M>m) ,它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的

? 倍,两物体用一根长为

L( L < R ) 的轻绳连在一起。若将甲物体放在转轴位置上,甲、乙之间连线刚好沿半径方向被拉
直,要使两物体与圆盘间不发生相对滑动,则转盘旋转角速度的最大值不得超过(两物体均看作 质点) ( )

? ( M ? m) g
A.

? ( M ? m) g
B.

mL

ML

? ( M + m) g
C.

? ( M + m) g
D.

ML

mL

M

m

ω

图2

[解析]

D

乙不仅是摩擦力充当向心力,而是甲对乙的拉力以及摩擦力的合力充当向心力

8.如图所示,质量为 m=0.1kg 的小球和 A、B 两根细绳相连,两绳固定在细杆的 A、B 两点,其 中 A 绳长 LA=2m, 当两绳都拉直时, B 两绳和细杆的夹角θ1=30°, 2=45°, A、 θ g=10m/s2. 求: (1)当细杆转动的角速度ω在什么范围内,A、B 两绳始终张紧? (2)当ω=3rad/s 时,A、B 两绳的拉力分别为多大? [解析](1)当 B 绳恰好拉直,但 TB=0 时,细杆的转动角速度为ω1, 有: TAcos30°=mg

T A sin 30 0 = mω 12 L A sin 30 0
解得:ω1=2.4 rad/s 当 A 绳恰好拉直,但 TA=0 时,细杆的转动角速度为ω2, 有:

TB cos 45 0 = mg
2 TB sin 45 0 = mω 2 L A sin 30 0

解得:ω2=3.15(rad/s) 要使两绳都拉紧 2.4 rad/s≤ω≤3.15 rad/s (2)当ω=3 rad/s 时,两绳都紧.

T A sin 30° + TB sin 45° = mω 2 L A sin 30°

T A cos 30° + TB cos 45° = mg

TA=0.27

N,

TB=1.09

N

[点评]分析两个极限(临界)状态来确定变化范围,是求解“范围”题目的基本思路和方法. 9.如图,光滑的水平桌面上钉有两枚铁钉 A、B,相距 L0=0.1m.长 L=1m 的柔软细线一端拴在 A 上,另一端拴住一个质量为 500g 的小球.小球的初始位置在 AB 连线上 A 的一侧.把细线拉 直,给小球以 2m/s 的垂直细线方向的水平速度,使它做圆周运动.由于钉子 B 的存在,使细 线逐步缠在 A、B 上.

若细线能承受的最大张力 Tm=7N,则从开始运动到细线断裂历时多长? 【分析】小球转动时,由于细线逐步绕在 A、B 两钉上,小球的转动半径会逐渐变小,但小球转 动的线速度大小保持不变. 【解】小球交替地绕 A、B 作匀速圆周运动,因线速度不变,随着转动半径的减小,线中张力 T 不断增大,每转半圈的时间 t 不断减小.

令 Tn=Tm=7N,得 n=8,所以经历的时间为

【说明】 圆周运动的显著特点是它的周期性. 通 过对运动规律的研究, 用递推法则写出解答结果的通式 (一般表达式) 有很重要的意义. 对本题, 还应该熟练掌握数列求和方法. 如果题中的细线始终不会断裂, 有兴趣的同学还可计算一下, 从小球开始运动到细线完全绕在 A、 B 两钉子上,共需多少时间?


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