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第十二章 坐标系与参数方程(选修4-4)


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第十二章? ? 坐标系与参数方程(选修 4-4)
第一节 坐标系

?

1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换
? x?λ>0?, ?x′=λ· φ:? 的作用下,点 P(x,y)对应到点 P′(x

′,y′), ?y′=μ· y?μ>0? ?

称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点 O,叫做极点;自极点 O 引一条射线 Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧 度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. (2)极坐标 ①极径:设 M 是平面内一点,极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径,记为 ρ. ②极角:以极轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的极角,记为 θ. ③极坐标:有序数对(ρ,θ)叫做点 M 的极坐标,记作 M(ρ,θ). 3.极坐标与直角坐标的互化 设 M 是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),则它们之间的关系 为:
?x=ρcos θ, ? ? ?y=ρsin θ; ?

ρ =x +y , ? ? ? y ? ?tan θ=x?x≠0?.

2

2

2

4.常见曲线的极坐标方程 (1)圆心在极点,半径为 r 的圆的极坐标方程:ρ=r(0≤θ<2π). π? (2)圆心为? ?r,2?,半径为 r 的圆的极坐标方程:ρ=2rsin_θ(0≤θ<π). (3)过极点,倾斜角为 α 的直线的极坐标方程:θ=α(ρ∈R)或 θ=π+α(ρ∈R);θ=α 和 θ=π+α. π π? (4)过点(a,0),与极轴垂直的直线的极坐标方程:ρcos θ=a? ?-2<θ<2 ?. π? (5)过点? ?a,2?,与极轴平行的直线的极坐标方程:ρsin_θ=a(0<θ<π).

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[小题体验]
1 ? ?x′=2x, 1.(教材习题改编)设平面内伸缩变换的坐标表达式为? 则在这一坐标变换 ? ?y′=3y, 下正弦曲线 y=sin x 的方程变为__________________. 1 x=2x′, ? ? ?x′=2x, ? 解析:由? 知? 1 ? ? ?y′=3y ?y=3y′. 代入 y=sin x 中得 y′=3sin 2x′. 答案:y′=3sin 2x′ 2.(教材习题改编)点 P 的直角坐标为(1,- 3),则点 P 的极坐标为________. 解析:因为点 P(1,- 3)在第四象限,与原点的距离为 2,且 OP 与 x 轴所成的角为- π? π ,所以点 P 的极坐标为? ?2,-3?. 3 π? 答案:? ?2,-3? π 3.在极坐标系中,圆 ρ=4sin θ 的圆心到直线 θ= (θ∈R)的距离是________. 3 π 解析:设圆心到直线 θ= (θ∈R)的距离为 d, 3 π 因为圆的半径为 2, d=2· sin =1. 6

答案:1

1.极坐标方程与直角坐标方程的互化易错用互化公式.在解决此类问题时考生要注意 两个方面:一是准确应用公式,二是注意方程中的限制条件. 2.在极坐标系下,点的极坐标不唯一性易忽视. 注意极坐标(ρ,θ)(ρ,θ+2kπ)(k∈Z),(-ρ,π+θ+2kπ)(k∈Z)表示同一点的坐标. [小题纠偏] 1.圆 ρ=5cos θ-5 3sin θ 的圆心的极坐标为________. 解析:将方程 ρ=5cos θ-5 3sin θ 两边都乘以 ρ 得: ρ2=5ρcos θ-5 3ρsin θ,

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化成直角坐标方程为 x2+y2-5x+5 3y=0. 5π? 5 3? ?5 圆心的坐标为 ,- ,化成极坐标为? ?5, 3 ?. 2 ? ?2 5π? 答案:? ?5, 3 ?(答案不唯一) π? 2.若圆 C 的极坐标方程为 ρ2-4ρcos? ?θ-3?-1=0,若以极点为原点,以极轴为 x 轴 的正半轴建立相应的平面直角坐标系 xOy ,则在直角坐标系中,圆心 C 的直角坐标是 ________. π? 2 2 2 解析:因为 ρ2-4ρcos? ?θ-3?-1=0,所以 ρ -2ρcos θ-2 3ρsin θ-1=0,即 x +y -2x-2 3y-1=0,因此圆心坐标为(1, 3). 答案:(1, 3)

考点一

平面直角坐标系下图形的伸缩变换?基础送分型考点——自主练透?
[题组练透]

1 ? ?x′=2x, x2 2 1.求椭圆 +y =1,经过伸缩变换? 4 ? ?y′=y 1 ? ? ?x′=2x, ?x=2x′, 解:由? 得到? ① ?y=y′. ? ? ?y′=y x2 将①代入 +y2=1, 4 得 4x′2 +y′2=1,即 x′2+y′2=1. 4

后的曲线方程.

x2 因此椭圆 +y2=1 经伸缩变换后得到的曲线方程是 x2+y2=1. 4
?X=ax?a>0?, ? x2 y2 2.将圆 x2+y2=1 变换为椭圆 + =1 的一个伸缩变换公式为 φ:? 求 9 4 ? ?Y=by?b>0?,

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a,b 的值.
?X=ax, ? 解:由? 知 ?Y=by ?

?x=aX, ? 1 ?y=bY,

1

X 2 Y2 代入 x +y =1 中得 2 + 2 =1, a b
2 2

∴a2=9,b2=4, 即 a=3,b=2.

[谨记通法]

伸缩变换公式应用时的 2 个注意点

(1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的,解题时一定要区 分变换前的点 P 的坐标 (x , y) 与变换后的点 P′的坐标 (X , Y) ,再利用伸缩变换公式
? ?X=ax?a>0?, ? 建立联系. ?Y=by?b>0? ?

(2)已知变换后的曲线方程 f(x,y)=0,一般都要改写为方程 f(X,Y)=0,再利用换元法 确定伸缩变换公式.

考点二

极坐标与直角坐标的互化

(重点保分型考点——师生共研)

[典例引领]
在极坐标系下,已知圆 O:ρ=cos θ+sin θ 和直线 l: π? 2 ρsin? ?θ-4?= 2 . (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程; (2)当 θ∈(0,π)时,求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标. 解:(1)圆 O:ρ=cos θ+sin θ,即 ρ2=ρcos θ+ρsin θ, 圆 O 的直角坐标方程为:x2+y2=x+y, 即 x2+y2-x-y=0, π? 2 直线 l:ρsin? ?θ-4?= 2 ,即 ρsin θ-ρcos θ=1, 则直线 l 的直角坐标方程为:y-x=1,即 x-y+1=0.

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2 2 ? ? ?x +y -x-y=0, ?x=0, π 1, ? . (2)由? 得? 故直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标为? 2? ? ?x-y+1=0 ? ? ?y=1,

[由题悟法]
1.极坐标与直角坐标互化公式的 3 个前提条件 (1)取直角坐标系的原点为极点. (2)以 x 轴的非负半轴为极轴. (3)两种坐标系规定相同的长度单位. 2.直角坐标化为极坐标的注意点 (1)根据终边相同的角的意义,角 θ 的表示方法具有周期性,故点 M 的极坐标(ρ,θ)的 形式不唯一,即一个点的极坐标有无穷多个. 当限定 ρ≥0,θ∈[0,2π)时,除极点外,点 M 的极坐标是唯一的. (2)当把点的直角坐标化为极坐标时,求极角 θ 应注意判断点 M 所在的象限(即角 θ 的 终边的位置),以便正确地求出角 θ∈[0,2π)的值.

[即时应用]
π? 1. (2015· 北京高考改编)在极坐标系中, 求点? ?2,3?到直线 ρ(cos θ+ 3sin θ)=6 的距离. π? 解:点? ?2,3 ?的直角坐标为(1, 3), 直线 ρ(cos θ+ 3sin θ)=6 的直角坐标方程为 x+ 3y-6=0. 所以点(1, 3)到直线的距离 d= |1+ 3× 3-6| 2 = =1. 2 12+? 3?2

π 2.(2015· 安徽高考改编)在极坐标系中,求圆 ρ=8sin θ 上的点到直线 θ= (ρ∈R)距离 3 的最大值. 解:圆 ρ=8sin θ 即 ρ2=8ρsin θ, 化为直角坐标方程为 x2+(y-4)2=16, π 直线 θ= 即 tan θ= 3, 3 化为直角坐标方程为 3x-y=0, |-4| 圆心(0,4)到直线的距离为 =2, 4 所以圆上的点到直线距离的最大值为 2+4=6.

考点三

曲线的极坐标方程

(重点保分型考点——师生共研)

[典例引领]

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(2015· 全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中,直线 C1:x=-2,圆 C2:(x-1)2+(y-2)2=1, 以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求 C1,C2 的极坐标方程; π (2)若直线 C3 的极坐标方程为 θ= (ρ∈R),设 C2 与 C3 的交点为 M,N,求△C2MN 的 4 面积. 解:(1)因为 x=ρcos θ,y=ρsin θ, 所以 C1 的极坐标方程为 ρcos θ=-2, C2 的极坐标方程为 ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0. π (2)将 θ= 代入 ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0, 4 得 ρ2-3 2ρ+4=0, 解得 ρ1=2 2,ρ2= 2. 故 ρ1-ρ2= 2,即|MN|= 2. 由于 C2 的半径为 1, 1 所以△C2MN 的面积为 . 2

[由题悟法]

用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系,如果几何关系不容易通过极坐标表 示时,可以先化为直角坐标方程,将不熟悉的问题转化为熟悉的问题.

[即时应用]
π θ- ?=2. (2016· 洛阳统考)已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为 ρ=2,ρ2-2 2ρcos? ? 4? (1)将圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程. 解:(1)由 ρ=2 知 ρ2=4,所以 x2+y2=4. π? 因为 ρ2-2 2ρcos? ?θ-4?=2, π π? 所以 ρ2-2 2ρ? ?cos θcos4+sin θsin4 ?=2. 所以 x2+y2-2x-2y-2=0. (2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为 x+y=1.

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化为极坐标方程为 ρcos θ+ρsin θ=1, π? 2 即 ρsin? ?θ+4?= 2 .

?x′=3x, ? y2 1.求双曲线 C:x2- =1 经过 φ:? 变换后所得曲线 C′的焦点坐标. 64 ? ?2y′=y,

解:设曲线 C′上任意一点 P′(x′,y′), 1 ? ?x=3x′, y2 2 ? 由上述可知,将 代入 x - =1 64 ? ?y=2y′ x′2 4y′2 x′2 y′2 得 - =1,化简得 - =1, 9 64 9 16 x2 y2 即 - =1 为曲线 C′的方程, 9 16 可见仍是双曲线,则焦点 F1(-5,0),F2(5,0)为所求. 2.(1)化圆的直角坐标方程 x2+y2=r2(r>0)为极坐标方程; (2)化曲线的极坐标方程 ρ=8sin θ 为直角坐标方程. 解:(1)将 x=ρcos θ,y=ρsin θ 代入 x2+y2=r2, 得 ρ2cos2θ+ρ2sin2θ=r2,ρ2(cos2θ+sin2θ)=r2,ρ=r. 所以,以极点为圆心、半径为 r 的圆的极坐标方程为 ρ=r(0≤θ<2π). y (2)法一:把 ρ= x2+y2,sin θ= 代入 ρ=8sin θ, ρ 得 x2+y2=8· y , x +y2
2

即 x2+y2-8y=0, 即 x2+(y-4)2=16. 法二:方程两边同时乘以 ρ, 得 ρ2=8ρsin θ, 即 x2+y2-8y=0. π? 3.(2015· 广东高考改编)已知直线 l 的极坐标方程为 2ρsin? ?θ-4?= 2,点 A 的极坐标 7π? 为 A? ?2 2, 4 ?,求点 A 到直线 l 的距离. π? 解:由 2ρsin? ?θ-4?= 2,

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得 2ρ

? 2sin θ- 2cos θ?= 2, 2 ?2 ?

所以 y-x=1, 故直线 l 的直角坐标方程为 x-y+1=0, 7π? 而点 A? ?2 2, 4 ?对应的直角坐标为 A(2,-2), 所以点 A(2,-2)到直线 l:x-y+1=0 的距离为 |2+2+1| 5 2 = . 2 2 4. 在极坐标系中, 直线 ρ(sin θ-cos θ)=a 与曲线 ρ=2cos θ-4sin θ 相交于 A, B 两点, 若|AB|=2 3,求实数 a 的值. 解:直线的极坐标方程化为直角坐标方程为 x-y+a=0, 曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为(x-1)2+(y+2)2=5,所以圆心 C 的坐标为(1, |1+2+a| -2),半径 r= 5,所以圆心 C 到直线的距离为 = 2 解得 a=-5 或 a=-1. 故实数 a 的值为-5 或-1. π? 2 5.设 M,N 分别是曲线 ρ+2sin θ=0 和 ρsin? ?θ+4?= 2 上的动点,求 M,N 的最小距 离. π? 2 解:因为 M,N 分别是曲线 ρ+2sin θ=0 和 ρsin? ?θ+4?= 2 上的动点,即 M,N 分别 是圆 x2+y2+2y=0 和直线 x+y-1=0 上的动点,要求 M,N 两点间的最小距离,即在直 线 x+y-1=0 上找一点到圆 x2+y2+2y=0 的距离最小, 即圆心(0, -1)到直线 x+y-1=0 |0-1-1| 的距离减去半径 r=1,故最小值为 -1= 2-1. 2 π? ? π? 6.(2016· 南京模拟)已知直线 l:ρsin? ?θ-4?=4 和圆 C:ρ=2kcos?θ+4 ?(k≠0),若直线 l 上的点到圆 C 上的点的最小距离等于 2.求实数 k 的值并求圆心 C 的直角坐标. 解:∵ρ= 2kcos θ- 2ksin θ, ∴ρ2= 2kρcos θ- 2kρsin θ, ∴圆 C 的直角坐标方程为 x2+y2- 2kx+ 2ky=0, 即 x- |AB|?2 r2-? ? 2 ? = 2,

? ?

2 ?2 ? 2 ?2 2 k + y+ k =k , 2 ? ? 2 ?

∴圆心的直角坐标为

? 2k,- 2k?. 2 ? ?2

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2 2 ∵ρsin θ· -ρcos θ· =4, 2 2 ∴直线 l 的直角坐标方程为 x-y+4 2=0,



? 2k+ 2k+4 2? 2 ?2 ?
2

-|k|=2.

即|k+4|=2+|k|, 两边平方,得|k|=2k+3,
?k>0, ?k<0, ? ? ∴? 或? ?k=2k+3 ? ? ?-k=2k+3,

解得 k=-1,故圆心 C 的直角坐标为 -

? ?

2 2? . , 2 2? π? 3 ,点 R? ?2 2,4 ?. 1+2sin2θ

7.(2016· 山西质检)在极坐标系中,曲线 C 的方程为 ρ2=

(1)以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,把曲线 C 的极坐标方 程化为直角坐标方程,R 点的极坐标化为直角坐标; (2)设 P 为曲线 C 上一动点,以 PR 为对角线的矩形 PQRS 的一边垂直于极轴,求矩形 PQRS 周长的最小值,及此时 P 点的直角坐标. 解:(1)∵x=ρcos θ,y=ρsin θ, x2 ∴曲线 C 的直角坐标方程为 +y2=1, 3 点 R 的直角坐标为 R(2,2). (2)设 P( 3cos θ,sin θ), 根据题意可得|PQ|=2- 3cos θ,|QR|=2-sin θ, ∴|PQ|+|QR|=4-2sin(θ+60°), 当 θ=30°时,|PQ|+|QR|取最小值 2, ∴矩形 PQRS 周长的最小值为 4, 3 1? 此时点 P 的直角坐标为? ?2,2?. 8.(2016· 邯郸调研)在极坐标系中,已知直线 l 过点 A(1,0),且其向上的方向与极轴的 π 正方向所成的最小正角为 ,求: 3 (1)直线的极坐标方程; (2)极点到该直线的距离. 解:(1)如图,由正弦定理得

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ρ 1 = . 2π π ? -θ? sin sin 3 ?3 ? π 2π 3 ? 即 ρsin? ?3-θ?=sin 3 = 2 , π 3 ? ∴所求直线的极坐标方程为 ρsin? ?3-θ?= 2 .

(2)作 OH⊥l,垂足为 H, π π 在△OHA 中,OA=1,∠OHA= ,∠OAH= , 2 3 π 3 则 OH=OAsin = , 3 2 即极点到该直线的距离等于 3 . 2

第二节

参数方程

1.参数方程的概念 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线 C 上任意一点 P 的坐标 x,y 是某个变数 t 的
? ? ?x=f?t?, ?x=f?t?, 函数:? 并且对于 t 的每一个允许值,由函数式? 所确定的点 P(x,y)都 ?y=g?t?, ?y=g?t? ? ? ?x=f?t?, ? 在曲线 C 上, 那么方程? 叫做这条曲线的参数方程, 变数 t 叫做参变数, 简称参数. 相 ? ?y=g?t?

对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2.直线、圆、椭圆的参数方程
? ?x=x0+tcos α, (1)过点 M(x0,y0),倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为? (t 为参数). ?y=y0+tsin α ? ?x=x0+rcos θ, ? (2)圆心在点 M0(x0,y0),半径为 r 的圆的参数方程为? (θ 为参数). ?y=y0+rsin θ ? ?x=acos φ, ? x2 y2 (3)椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的参数方程为? (φ 为参数). a b ? ?y=bsin φ

[小题体验]

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?x=2+ 22t, 1.(教材习题改编)在平面直角坐标系中,曲线 C:? 2 ?y=1+ 2 t
方程为________. 解析:依题意,消去参数可得 x-2=y-1,即 x-y-1=0. 答案:x-y-1=0

(t 为参数)的普通

? ?x=sin θ, 2.曲线? (θ 为参数)与直线 y=x+2 的交点坐标为________. 2 ?y=sin θ ? ?y=x2, ? 解析:曲线的直角坐标方程为 y=x2.将其与直线方程联立得? ∴x2-x-2= ?y=x+2, ?

0, ∴x=-1 或 x=2.由 x=sin θ 知, x=2 不合题意. ∴x=-1, y=1, ∴交点坐标为(-1,1). 答案:(-1,1)

?x=2cos θ, 3.在平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆? (θ 为参数)的右焦点,且与直线 ?y= 3sin θ
?x=4-2t, ? ? (t 为参数)平行的直线截椭圆所得的弦长为________. ? ?y=3-t

x2 y2 解析:椭圆的普通方程为 + =1, 4 3 则右焦点的坐标为(1,0). 直线的普通方程为 x-2y+2=0,过点(1,0)与直线 x-2y+2=0 平行的直线方程为 x- 2y-1=0, x y ? ? 4 + 3 =1, 由? ?x-2y-1=0 ?
2 2

得 4x2 - 2x - 11 = 0 , 所 以 所 求 的 弦 长 为

1?2 1+? ?2? ×

?1?2-4×?-11?=15. ?2? ? 4? 4
答案: 15 4

1.在参数方程与普通方程的互化中,必须使 x,y 的取值范围保持一致.否则不等价. 2. 直线的参数方程中, 参数 t 的系数的平方和为 1 时, t 才有几何意义且其几何意义为: |t|是直线上任一点 M(x,y)到 M0(x0,y0)的距离,即|M0M|=|t|.

[小题纠偏]

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? ?x=-2+cos θ, 1.直线 y=x-1 上的点到曲线? 上的点的最近距离是________. ?y=1+sin θ ? ?x=-2+cos θ, ?cos θ=x+2, ? ? 解析:由? 得? ?y=1+sin θ ? ? ?sin θ=y-1,

∴(x+2)2+(y-1)2=1, ∴圆心坐标为(-2,1), 故圆心到直线 x-y-1=0 的距离 d= 4 = 2 2, 2

∴直线上的点到圆上的点的最近距离是 d-r=2 2-1. 答案:2 2-1
?x=4+at, ?x=2+ 3cos θ, ? 2.直线? (t 为参数)与圆? (θ 为参数)相切,则切线的倾斜 ? ?y=bt ?y= 3sin θ

角为________. 解析:直线的普通方程为 bx-ay-4b=0,圆的普通方程为(x-2)2+y2=3,因为直线 与圆相切,则圆心(2,0)到直线的距离为 3,从而有 |2b-a· 0-4b| 3= ,即 3a2+3b2=4b2, 2 a +b2

b 所以 b=± 3a,而直线的倾斜角 α 的正切值 tan α=a,所以 tan α=± 3,因此切线的倾斜 π 2π 角 或 . 3 3 π 2π 答案: 或 3 3

考点一

参数方程和普通方程的互化?基础送分型考点——自主练透?
[题组练透]

1.将下列参数方程化为普通方程.

?x=1+k , (1)? 6k ?y=1+k ;
2 2 2

3k

? ?x=1-sin 2θ, (2)? ?y=sin θ+cos θ. ?

y 解:(1)两式相除,得 k= , 2x y 3· 2x 3k 将其代入 x= 得 x= y ?2, 1+k2 1+? ?2x? 化简得所求的普通方程是 4x2+y2-6y=0(y≠6).

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(2)由(sin θ+cos θ)2=1+sin 2θ=2-(1-sin 2θ) 得 y2=2-x.又 x=1-sin 2θ∈[0,2], 得所求的普通方程为 y2=2-x,x∈[0,2].

?x=cos α, ? 2.(2016· 重庆巴蜀中学模拟)已知曲线 C 的参数方程是? (α 为参数),直线 ? ?y=m+sin α

?x=1+ 55t, l 的参数方程为? 2 5 ?y=4+ 5 t

(t 为参数),

(1)求曲线 C 与直线 l 的普通方程; 4 5 (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 P,Q 两点,且|PQ|= ,求实数 m 的值. 5
? ? ① ?x=cos α, ?x=cos α, 解:(1)由? 得? ?y=m+sin α, ?y-m=sin α, ② ? ?

①的平方加②的平方得曲线 C 的普通方程为: x2+(y-m)2=1. 由 x=1+ 5 5 2 5 t 得 t=x-1,代入 y=4+ t得 5 5 5

y=4+2(x-1), 所以直线 l 的普通方程为 y=2x+2. (2)圆心(0,m)到直线 l 的距离为 d= |-m+2| , 5

?|-m+2|?2 ?2 5?2 所以由勾股定理得? =1, ?+ 5 ? ? 5 ? ?
解得 m=3 或 m=1.

[谨记通法]
参数方程化为普通方程,主要用“消元法”消参,常用代入法、加减消元法、利用三 角恒等式消元等.在参数方程化为普通方程时,要注意保持同解变形.

考点二

直线的参数方程

(重点保分型考点——师生共研)

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[典例引领]
? ?x=1+4cos θ (2015· 哈师大附中模拟)已知在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C 的参数方程为? ?y=2+4sin θ ?

π (θ 为参数),直线 l 经过定点 P(3,5),倾斜角为 . 3 (1)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的标准方程; (2)设直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,求|PA|· |PB|的值. 解:(1)曲线 C:(x-1)2+(y-2)2=16,

?x=3+2t, 直线 l:? 3 ?y=5+ 2 t
t2+(2+3 3)t-3=0,

1

(t 为参数).

(2)将直线 l 的参数方程代入圆 C 的方程可得

设 t1,t2 是方程的两个根, 则 t1t2=-3, 所以|PA||PB|=|t1||t2|=|t1t2|=3.

[由题悟法]
1.解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位 置关系来解决问题.
? ?x=x0+at, 2.对于形如? (t 为参数). ?y=y0+bt ?

当 a2+b2≠1 时,应先化为标准形式后才能利用 t 的几何意义解题.

[即时应用]
已知直线 l: x+y-1=0 与抛物线 y=x2 相交于 A, B 两点, 求线段 AB 的长度和点 M(- 1,2)到 A,B 两点的距离之积. 3π 解:因为直线 l 过定点 M,且 l 的倾斜角为 , 4

?x=-1+tcos 4 , 所以它的参数方程为? 3π ?y=2+tsin 4



(t 为参数),

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?x=-1- 22t, 即? 2 ?y=2+ 2 t

(t 为参数),

把它代入抛物线的方程,得 t2+ 2t-2=0, 由根与系数的关系得 t1+t2=- 2,t1· t2=-2, 由参数 t 的几何意义可知|AB|=|t1-t2|= 10, |MA|· |MB|=|t1t2|=2.

考点三

极坐标、参数方程的综合应用(重点保分型考点——师生共研)
[典例引领]

?x=tcos α, ? (2015· 全国卷Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1:? (t 为参数,t≠0),其中 ?y=tsin α ?

0≤α<π.在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:ρ=2sin θ,C3:ρ=2 3 cos θ. (1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (2)若 C1 与 C2 相交于点 A,C1 与 C3 相交于点 B,求|AB|的最大值. 解:(1)曲线 C2 的直角坐标方程为 x2+y2-2y=0, 曲线 C3 的直角坐标方程为 x2+y2-2 3x=0.
2 2 ?x +y -2y=0, 联立? 2 2 ?x +y -2 3x=0,

x= , ?x=0, 2 ? 解得? 或 ? 3 ?y=0

? 3 ? ?y=2.

所以 C2 与 C3 交点的直角坐标为(0,0)和

? 3, 3? . ? 2 2?

(2)曲线 C1 的极坐标方程为 θ=α(ρ∈R,ρ≠0), 其中 0≤α<π. 因此 A 的极坐标为(2sin α,α),B 的极坐标为(2 3cos α,α).

? π ?? 所以|AB|=|2sin α-2 3cos α|=4? ?sin?α- 3 ??.
当 α= 5π 时,|AB|取得最大值,最大值为 4. 6

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[由题悟法]
处理极坐标、参数方程综合问题的方法 (1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题,求解的一般方法是分别化为普通方程和直角 坐标方程后求解.当然,还要结合题目本身特点,确定选择何种方程. (2)数形结合的应用,即充分利用参数方程中参数的几何意义,或者利用 ρ 和 θ 的几何 意义,直接求解,能达到化繁为简的解题目的.

[即时应用]
1 π ? (2016· 大庆模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 经过点 P? ?2,1?,倾斜角 α=6. 在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位, 以原点 O 为极点, 以 x 轴正半轴为极轴) π ? 中,圆 C 的极坐标方程为 ρ=2 2cos? ?θ-4 ?. (1)写出直线 l 的参数方程,并把圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)设 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,求|PA|+|PB|的值.

?x=2+tcos6, 解:(1)直线 l 的参数方程为? π ?y=1+tsin6
3 + t, ?x=1 2 2 即? 1 ?y=1+2t (t 为参数).

1

π

(t 为参数),

π ? 由 ρ=2 2cos? ?θ-4 ?得:ρ=2cos θ+2sin θ, ∴ρ2=2ρcos θ+2ρsin θ, ∴x2+y2=2x+2y, 故圆 C 的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=2. 3 + t, ?x=1 2 2 (2)把? 1 ?y=1+2t

(t 为参数)代入(x-1)2+(y-1)2=2 得 t2-

3 7 t- =0, 2 4

设点 A,B 对应的参数分别为 t1,t2, 则 t1+t2= 3 7 ,t1t2=- , 2 4

∴|PA|+|PB|=|t1-t2| = ?t1+t2?2-4t1t2 = 31 . 2

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?x=-3+ 3t, x2 y2 1.(2016· 吉林实验中学)已知椭圆 C: + =1,直线 l:? (t 为参数). 4 3 ?y=2 3+t
(1)写出椭圆 C 的参数方程及直线 l 的普通方程; (2)设 A(1,0),若椭圆 C 上的点 P 满足到点 A 的距离与其直线 l 的距离相等,求点 P 的 坐标.

?x=2cos θ, 解:(1)椭圆 C 的参数方程为:? (θ 为参数), ?y= 3sin θ
直线 l 的普通方程为 x- 3y+9=0. (2)设 P(2cos θ, 3sin θ), 则|AP|= ?2cos θ-1?2+? 3sin θ?2=2-cos θ,

P 到直线 l 的距离 d= |2cos θ-3sin θ+9| 2cos θ-3sin θ+9 = . 2 2

由|AP|=d,得 3sin θ-4cos θ=5,又 sin2θ+cos2θ=1, 3 4 得 sin θ= ,cos θ=- . 5 5

? 8 3 3 ?. 故P - , ? 5 5 ?

?x=3+2t, 2.(2015· 陕西高考)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为? 3 ?y= 2 t
(1)写出⊙C 的直角坐标方程; (2)P 为直线 l 上一动点,当 P 到圆心 C 的距离最小时,求 P 的直角坐标. 解:(1)由 ρ=2 3sin θ, 得 ρ2=2 3ρsin θ, 从而有 x2+y2=2 3y, 所以 x2+(y- 3)2=3. 3? ? 1 (2)设 P 3+ t, t ,又 C(0, 3), ? 2 2 ?

1

(t 为参

数).以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C 的极坐标方程为 ρ=2 3sin θ.

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则|PC|= = t2+12,

?3+1t?2+? 3t- 3?2 ? 2? ?2 ?

故当 t=0 时,|PC|取得最小值, 此时,点 P 的直角坐标为(3,0). 3 . (2016· 辽宁五校联考 ) 倾斜角为 α 的直线 l 过点 P(8,2) ,直线 l 和曲线 C :

?x=4 2cos θ, ? (θ 为参数)交于不同的两点 M1,M2. ?y=2sin θ
(1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程,并写出直线 l 的参数方程; (2)求|PM1|· |PM2|的取值范围. 解:(1)曲线 C 的普通方程为 x2 y2 + =1, 32 4

? ?x=8+tcos α, 直线 l 的参数方程为? (t 为参数). ?y=2+tsin α ?

(2)将 l 的参数方程代入曲线 C 的方程得: (8+tcos α)2+8(2+tsin α)2=32, 整理得(8sin2α+cos2α)t2+(16cos α+32sin α)t+64=0, 由 Δ=(16cos α+32sin α)2-4×64(8sin2α+cos2α)>0, π ? 得 cos α>sin α,故 α∈? ?0,4 ?, ∴|PM1||PM2|=|t1t2| = 128 64 ∈? ,64? ?. 1+7sin2α ? 9

π? 4.(2016· 山西模拟)在极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为 ρ=4 2sin? ?θ+4?.现以极点 O 为原点,极轴为 x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为

?x=-2+2t, ? 3 ?y=-3+ 2 t

1

(t 为参数).

(1)写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; (2)设直线 l 和曲线 C 交于 A,B 两点,定点 P(-2,-3),求|PA|· |PB|的值. π θ+ ?=4sin θ+4cos θ, 解:(1)ρ=4 2sin? ? 4? 所以 ρ2=4ρsin θ+4ρcos θ, 所以 x2+y2-4x-4y=0, 即(x-2)2+(y-2)2=8;

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直线 l 的普通方程为 3x-y+2 3-3=0. (2)把直线 l 的参数方程代入到圆 C: x2+y2-4x-4y=0 中, 得 t2-(4+5 3)t+33=0, 设 A,B 对应的参数分别为 t1,t2, 则 t1t2=33. 点 P(-2,-3)显然在直线 l 上, 由直线标准参数方程下 t 的几何意义知 |PA|· |PB|=|t1t2|=33, 所以|PA|· |PB|=33. 5.(2016· 长春模拟)以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,已知点 P 的 π? π 直角坐标为(1,-5),点 C 的极坐标为? ?4,2?,若直线 l 过点 P,且倾斜角为3,圆 C 的半 径为 4. (1)求直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程. (2)试判断直线 l 与圆 C 的位置关系.

?x=1+tcos3, 解: (1)直线 l 的参数方程为? π ?y=-5+tsin3
∴圆 C 的方程为 x2+(y-4)2=16,
? ?x=ρcos θ, 将? 代入得, ? ?y=ρsin θ

π

?x=1+2t, (t 为参数), 即? 3 ?y=-5+ 2 t

1

(t 为参数).

由题知 C 点的直角坐标为(0,4),圆 C 的半径为 4,

圆 C 的极坐标方程为 ρ=8sin θ. (2)由题意得,直线 l 的普通方程为 3x-y-5- 3=0, 圆心 C 到 l 的距离为 d= ∴直线 l 与圆 C 相离. 6.(2016· 沈阳模拟)已知曲线 C1 的极坐标方程为 ρ2cos 2θ=8,曲线 C2 的极坐标方程为 π θ= ,曲线 C1,C2 相交于 A,B 两点. 6 (1)求 A,B 两点的极坐标; |-4-5- 3| 9+ 3 = >4, 2 2

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?x=1+ 23t, (2)曲线 C 与直线? 1 ?y=2t
1

(t 为参数)分别相交于 M,N 两点,求线段 MN 的长

度. ρ cos 2θ=8, ? ? π 解:(1)由? 得 ρ2cos =8, π 3 ?θ=6 ? 所以 ρ2=16,即 ρ=± 4. π ? π ? ? 所以 A,B 两点的极坐标为:A? ?4,6 ?,B?-4,6 ? 7π ? 或 B? ?4, 6 ?. (2)由曲线 C1 的极坐标方程得其直角坐标方程为 x2-y2=8,
2

?x=1+ 23t, 将直线? 1 ?y=2t

代入 x2-y2=8,

整理得 t2+2 3t-14=0, 即 t1+t2=-2 3,t1· t2=-14, 所以|MN|= ?-2 3?2-4×?-14?=2 17.

?x=2+t, ? x2 y2 7.已知曲线 C: + =1,直线 l:? (t 为参数). 4 9 ?y=2-2t ?

(1)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线,交 l 于点 A,求|PA|的最大值与最 小值.
? ?x=2cos θ, 解:(1)曲线 C 的参数方程为? (θ 为参数). ?y=3sin θ ?

直线 l 的普通方程为 2x+y-6=0. (2)曲线 C 上任意一点 P(2cos θ,3sin θ)到 l 的距离为 d= 5 |4cos θ+3sin θ-6|. 5

d 2 5 4 则|PA|= = |5sin(θ+α)-6|(其中 α 为锐角,且 tan α= ), sin 30° 5 3 22 5 当 sin(θ+α)=-1 时,|PA|取得最大值,最大值为 . 5

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2 5 当 sin(θ+α)=1 时,|PA|取得最小值,最小值为 . 5 8.(2016· 洛阳模拟)极坐标系与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,以原点 O 为极点,
?x=2+tcos α, ? 以 x 轴正半轴为极轴.已知直线 l 的参数方程为? (t 为参数).曲线 C 的极坐 ? ?y=tsin α

标方程为 ρsin2θ=8cos θ. (1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)设直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,与 x 轴的交点为 F,求 解:(1)由 ρsin2θ=8cos θ 得,ρ2sin2θ=8ρcos θ, ∴曲线 C 的直角坐标方程为 y2=8x. (2)易得直线 l 与 x 轴的交点为 F(2,0), 将直线 l 的方程代入 y2=8x, 得(tsin α)2=8(2+tcos α), 整理得 sin2α· t2-8cos α· t-16=0. 由已知 sin α≠0, Δ=(-8cos α)2-4×(-16)sin2α=64>0, ∴t1+t2= 故 8cos α 16 ,t1t2=- 2 <0, sin2α sin α 1 1 + 的值. |AF| |BF|

t1-t2 ? 1 1 1 1 + =? - ?=? |AF| |BF| ?t1 t2 ? ? t1t2 ? ?t1+t2? -4t1t2 = |t1t2|
2



α?2 64 ?8cos 2 ? sin α ? +sin2α 1 16 sin2α

= . 2


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