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第二章 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角


[课时作业] [A 组 基础巩固] 1.以下选项中,不一定是单位向量的有( )


①a=(cos θ,-sin θ);②b=( lg 2, lg 5);③c=(2x,2 x);④d=(1-x,x). A.1 个 C.3 个


B.2 个 D.4 个

解析:因为|a|=1,|b|=1,|c|= ?2x? 2+?2 x? 2 ≥ 2≠1, |d|= ?1-x? 2+x2= 2x2-2x+1= 答案:B 2.设向量 a=(2,0),b=(1,1),设下列结论中正确的是( A.|a|=|b| C.(a-b)⊥b 解析:因为 a=(2,0),b=(1,1), 所以|a|=2,|b|= 2,故|a|≠|b|,A 错误; a· b=(2,0)· (1,1)=2×1+0×1=2,故 B 错误; 因为 a-b=(1,-1),所以(a-b)· b=(1,-1)· (1,1)=0,所以(a-b)⊥b,故 C 正确. 因为 2×1-0×1≠0,所以 a 与 b 不共线,故 D 错误. 答案:C 3.(2014 年高考重庆卷)已知向量 a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,则实数 k= ( ) B.0 15 D. 2 9 A.- 2 C.3 1 B.a· b= 2 D.a∥b ) 1 1 2 2?x- ? 2+ ≥ .故选 B. 2 2 2

解析:因为 a=(k,3),b=(1,4),所以 2a-3b=2(k,3)-3(1,4)=(2k-3,-6). 因为(2a-3b)⊥c, 所以(2a-3b)· c=(2k-3,-6)· (2,1)=2(2k-3)-6=0,解得 k=3. 答案:C 4.若向量 a=(1,2),b=(1,-1),则 2a+b 与 a-b 的夹角等于( π A.- 4 π C. 4 π B. 6 3π D. 4 )

解析:2a+b=2(1,2)+(1,-1)=(3,3). a-b=(1,2)-(1,-1)=(0,3),(2a+b)· (a-b)=9, |2a+b|=3 2,|a-b|=3, 9 2 π 设所求两向量夹角为 α,则 cos α= = ,所以 α= . 2 4 3 2×3 答案:C 5.已知 A、B、C 是坐标平面上的三点,其坐标分别 为 A(1,2)、B(4,1)、C(0,-1),则△ABC 的形状为( A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.以上均不正确 → → → → 解析:AC=(-1,-3),AB=(3,-1).∵AC· AB=-3+3=0,∴AC⊥A → → 又∵|AC|= 10,|AB|= 10,∴AC=AB.∴△ABC 为等腰直角三角形. 答案:C 6.设 x,y∈R,向量 a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4)且 a⊥c,b∥c,则|a+b|=( A. 5 C.2 5 B. 10 D.10 ) B. )

解析:由 a⊥c,得 2x-4=0 则 x=2,由 b∥c 得-4=2y 则 y=-2, |a+b|= 答案:B 7.设向量 a 与 b 的夹角为 θ,a=(2,1),3b+a=(5,4),则 cos θ=________.
?3x+2=5, ? 解析:设 b=(x,y),则由 a=(2,1),3b+a=(5,4)可得(3x+2,3y+1)=(5,4),即? ?3y+1=4 ? ?x=1, ? ?? 所以 b=(1,1),故 a· b=2×1+1×1=3 且|a|= 22+12= 5,|b|= 12+12= 2, ? y = 1 , ?

?2+1?2+?1-2?2= 10.

3 3 10 a· b 所以 cos θ= = = . |a||b| 10 10 3 10 答案: 10 → → → → 8.已知OA=(2,2),OB=(4,1),O 为坐标原点,在 x 轴上求一点 P,使AP· BP有最小值,则 P 点的坐标为________. → → 解析:设 P(x,0),所以AP· BP=(x-2,-2)· (x-4,-1)=(x-2)(x-4)+2=x2-6x+10=(x

→ → -3)2+1,当 x=3 时,AP· BP有最小值,此时 P(3,0). 答案:(3,0) 9.已知 a=(2,1),b=(-1,3).若存在向量 c,使得 a· c=4,b· c=-9,试求向量 c 的坐标. 解析:设 c=(x,y),则 a· c=(2,1)· (x,y)=2x+y=4.① 由 b· c=-9,得 b· c=(-1,3)· (x,y)=3y-x=-9.②
? ? ?2x+y=4, ?x=3, 联立①②得? 解得? ∴c 的坐标为(3,-2). ?x-3y=9, ?y=-2. ? ?

10.在平面直角坐标系内,已知三点 A(1,0),B(0,1),C(2,5),求: → → (1)AB,AC的坐标; → → (2)|AB-AC|的值; (3)cos ∠BAC 的值. → → 解析:(1)AB=(0,1)-(1,0)=(-1,1),AC=(2,5)-(1,0)=(1,5). → → → → (2)因为AB-AC=(-1,1)-(1,5)=(-2,-4),所以|AB-AC|= ?-2?2+?-4?2=2 5. → → → → (3)因为AB· AC=(-1,1)· (1,5)=4,|AB|= 2,|AC|= 26, cos ∠BAC= → → AB· AC 4 2 13 = = . 13 → → 2× 26 |AB||AC| [B 组 能力提升] π 1.(2014 年高考山东卷)已知向量 a=(1, 3),b=(3,m),若向量 a,b 的夹角为 ,则实数 6 m=( A.2 3 C.0 解析:a· b=|a||b|cos 答案:B → → 2.在四边形 ABCD 中,AC=(1,2),BD=(-4,2),则该四边形的面积为( A. 5 C.5 B.2 5 D.10 ) ) B. 3 D.- 3 π 3 ,则 3+ 3m=2· 9+m2· .( 3+m)2=9+m2,解得 m= 3. 6 2

1 → → → → 解析:依题意得,AC· BD=1×(-4)+2×2=0.所以AC⊥BD,所以四边形 ABCD 的面积为 2 → → 1 |AC|· |BD|= × 5× 20=5. 2 答案:C

3. 已知 a=(2,1), b=(m,6), 向量 a 与向量 b 的夹角是锐角, 则实数 m 的取值范围是________. 解析:因为向量 a 与向量 b 的夹角 θ 是锐角, a· b 所以 cos θ= >0, |a||b| 所以 a· b=2m+6>0,得 m>-3, m 6 又当 a 与 b 同向时, = ,所以 m=12. 2 1 所以 m>-3 且 m≠12. 答案:m>-3 且 m≠12 → → 4.在△ABC 中,∠C=90° ,AB=(k,1),AC=(2,3),则 k 的值为________. → → → 解析:BC=AC-AB=(2,3)-(k,1)=(2-k,2). → → ∵∠C=90° ,即AC⊥BC,∴2(2-k)+3×2=0,k=5. 答案:5 → 5.已知在△ABC 中,A(2,-1)、B(3,2)、C(-3,-1),AD 为 BC 边上的高,求|AD|与点 D 的坐标. 解析:设 D 点坐标为(x,y), → → 则AD=(x-2,y+1),BC=(-6,-3), → BD=(x-3,y-2), ∵D 在直线 BC 上, → → 即BD与BC共线, → → ∴存在实数 λ,使BD=λBC,(0<λ<1) 即(x-3,y-2)=λ(-6,-3).
? ?x-3=-6λ ∴? , ?y-2=-3λ ?

∴x-3=2(y-2), 即 x-2y+1=0.① 又∵AD⊥BC, → → ∴AD· BC=0, 即(x-2,y+1)· (-6,-3)=0, ∴-6(x-2)-3(y+1)=0. 即 2x+y-3=0.②

? ?x=1 由①②可得? , ?y=1 ?

→ ∴|AD|= ?1-2?2+?1+1?2= 5, → 即|AD|= 5,点 D 的坐标为(1,1). → → → 6.平面内有向量OA=(1,7),OB=(5,1),OP=(2,1),点 M 为直线 OP 上的一动点. → → → (1)当MA· MB取最小值时,求OM的坐标; (2)当点 M 满足(1)的条件和结论时,求 cos ∠AMB 的值. → → → → 解析:(1)设OM=(x,y),因为点 M 在直线 OP 上,所以向量OM与OP共线,又OP=(2,1). ∴x×1-y×2=0,即 x=2y. → → → → → ∴OM=(2y,y),又MA=OA-OM,OA=(1,7), → ∴MA=(1-2y,7-y). → → → 同理MB=OB-OM=(5-2y,1-y). → → 于是MA· MB=(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y) =5y2-20y+12. 20 → → → 由二次函数的知识,可知当 y= =2 时,MA· MB有最小值-8,此时OM=(4,2). 2×5 → (2)当OM=(4,2),即 y=2 时, → → 有MA=(-3,5),MB=(1,-1), → → |MA|= 34,|MB|= 2, → → MA· MB=(-3)×1+5×(-1)=-8. → → -8 MA· MB 4 17 cos ∠AMB= = =- . 17 → → 34× 2 |MA||MB|


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